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2017-2021年河南中考数学真题分类汇编之函数
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这是一份2017-2021年河南中考数学真题分类汇编之函数，共39页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2017-2021年河南中考数学真题分类汇编之函数
一、选择题（共6小题）
1．（2021•河南）如图1，矩形中，点为的中点，点沿从点运动到点，设，两点间的距离为，，图2是点运动时随变化的关系图象，则的长为
A．4 B．5 C．6 D．7
2．（2020•河南）若点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是
A． B． C． D．
3．（2019•河南）已知抛物线经过和两点，则的值为
A． B． C．2 D．4
4．（2018•河南）如图，点、、、是正方形四条边（不含端点）上的点，设线段的长为，四边形的面积为，则能够反映与之间函数关系的图象大致是
A． B．
C． D．
5．（2018•河南）如图1，点从菱形的顶点出发，沿以的速度匀速运动到点，图2是点运动时，的面积随时间变化的关系图象，则的值为
A． B．2 C． D．
6．（2017•河南）如图，抛物线与轴交于点，对称轴为直线，当时，的取值范围是
A． B． C． D．
二、填空题（共3小题）
7．（2021•河南）请写出一个图象经过原点的函数的解析式 ．
8．（2018•河南）已知二次函数顶点在轴上，则 ．
9．（2017•河南）已知点，在反比例函数的图象上，则与的大小关系为 ．
三、解答题（共10小题）
10．（2021•河南）如图，大、小两个正方形的中心均与平面直角坐标系的原点重合，边分别与坐标轴平行，反比例函数的图象与大正方形的一边交于点，且经过小正方形的顶点．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求图中阴影部分的面积．
11．（2021•河南）猕猴嬉戏是王屋山景区的一大特色，猕猴玩偶非常畅销．小李在某网店选中，两款猕猴玩偶，决定从该网店进货并销售．两款玩偶的进货价和销售价如下表：
类别
价格
款玩偶
款玩偶
进货价（元个）
40
30
销售价（元个）
56
45
（1）第一次小李用1100元购进了，两款玩偶共30个，求两款玩偶各购进多少个．
（2）第二次小李进货时，网店规定款玩偶进货数量不得超过款玩偶进货数量的一半．小李计划购进两款玩偶共30个，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少？
（3）小李第二次进货时采取了（2）中设计的方案，并且两次购进的玩偶全部售出，请从利润率的角度分析，对于小李来说哪一次更合算？
（注：利润率
12．（2020•河南）小亮在学习中遇到这样一个问题：
如图，点是上一动点，线段，点是线段的中点，过点作，交的延长线于点．当为等腰三角形时，求线段的长度．
小亮分析发现，此问题很难通过常规的推理计算彻底解决，于是尝试结合学习函数的经验研究此问题．请将下面的探究过程补充完整：
（1）根据点在上的不同位置，画出相应的图形，测量线段，，的长度，得到下表的几组对应值．
0
1.0
2.0
3.0
4.0
5.0
6.0
7.0
8.0
8.0
7.7
7.2
6.6
5.9
3.9
2.4
0
8.0
7.4
6.9
6.5
6.1
6.0
6.2
6.7
8.0
操作中发现：
①“当点为的中点时，”．则上表中的值是 ；
②“线段的长度无需测量即可得到”．请简要说明理由．
（2）将线段的长度作为自变量，和的长度都是的函数，分别记为和，并在平面直角坐标系中画出了函数的图象，如图所示．请在同一坐标系中画出函数的图象；
（3）继续在同一坐标系中画出所需的函数图象，并结合图象直接写出：当为等腰三角形时，线段长度的近似值（结果保留一位小数）．
13．（2020•河南）如图，抛物线与轴正半轴，轴正半轴分别交于点，，且，点为抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式及点的坐标；
（2）点，为抛物线上两点（点在点的左侧），且到对称轴的距离分别为3个单位长度和5个单位长度，点为抛物线上点，之间（含点，的一个动点，求点的纵坐标的取值范围．
14．（2020•河南）暑期将至，某健身俱乐部面向学生推出暑期优惠活动，活动方案如下．
方案一：购买一张学生暑期专享卡，每次健身费用按六折优惠；
方案二：不购买学生暑期专享卡，每次健身费用按八折优惠．
设某学生暑期健身（次，按照方案一所需费用为（元，且；按照方案二所需费用为（元，且．其函数图象如图所示．
（1）求和的值，并说明它们的实际意义；
（2）求打折前的每次健身费用和的值；
（3）八年级学生小华计划暑期前往该俱乐部健身8次，应选择哪种方案所需费用更少？说明理由．
15．（2019•河南）模具厂计划生产面积为4，周长为的矩形模具．对于的取值范围，小亮已经能用“代数”的方法解决，现在他又尝试从“图形”的角度进行探究，过程如下：
（1）建立函数模型
设矩形相邻两边的长分别为，，由矩形的面积为4，得，即；由周长为，得，即．满足要求的应是两个函数图象在第 象限内交点的坐标．
（2）画出函数图象
函数的图象如图所示，而函数的图象可由直线平移得到．请在同一直角坐标系中直接画出直线．
（3）平移直线，观察函数图象
①当直线平移到与函数的图象有唯一交点时，周长的值为 ；
②在直线平移过程中，交点个数还有哪些情况？请写出交点个数及对应的周长的取值范围．
（4）得出结论
若能生产出面积为4的矩形模具，则周长的取值范围为 ．
16．（2018•河南）某校为改善办学条件，计划购进、两种规格的书架，经市场调查发现有线下和线上两种购买方式，具体情况如下表：
规格
线下
线上
单价（元个）
运费（元个）
单价（元个）
运费（元个）
240
0
210
20
300
0
250
30
（1）如果在线下购买、两种书架20个，共花费5520元，求、两种书架各购买了多少个
（2）如果在线上购买、两种书架20个，共花费元，设其中种书架购买个，求关于的函数关系式．
（3）在（2）的条件下，若购买种书架的数量不少于种书架的2倍，请求出花费最少的购买方案，并计算按照这种购买方案线上比线下节约多少钱．
17．（2018•河南）小明在研究矩形面积与矩形的边长，之间的关系时，得到下表数据：
0.5
1
1.5
2
3
4
6
12
12
6
4
3
2
1
0.5
结果发现一个数据被墨水涂黑了
（1）被墨水涂黑的数据为 ．
（2）与之间的函数关系式为 ，且随的增大而 ．
（3）如图是小明画出的关于的函数图象，点、均在该函数的图象上，其中矩形的面积记为，矩形的面积记为，请判断和的大小关系，并说明理由．
（4）在（3）的条件下，交于点，反比例函数的图象经过点交于点，连接、，则四边形的面积为 ．
18．（2017•河南）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点和．
（1）填空：一次函数的解析式为 ，反比例函数的解析式为 ；
（2）点是线段上一点，过点作轴于点，连接，若的面积为，求的取值范围．
19．（2017•河南）如图，一次函数的图象与轴交于点，与反比例函数的图象交于点．以为对角线作矩形，使顶点，落在轴上（点在点的右边），与交于点．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）求点的坐标．
2017-2021年河南中考数学真题分类汇编之函数
参考答案与试题解析
一、选择题（共6小题）
1．（2021•河南）如图1，矩形中，点为的中点，点沿从点运动到点，设，两点间的距离为，，图2是点运动时随变化的关系图象，则的长为
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】
【考点】动点问题的函数图象
【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力
【分析】当，即在点时，；利用两点之间线段最短，得到，得的最大值为；在中，由勾股定理求出的长，再根据求出的长．
【解答】解：由函数图象知：当，即在点时，．
利用两点之间线段最短，得到．
的最大值为，
．
在中，由勾股定理得：，
设的长度为，
则，
，
即：，
，
由于，
，
，
．
．
故选：．
【点评】本题考查了动点问题的函数图象，根据勾股定理求出的长是解题的关键．
2．（2020•河南）若点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是
A． B． C． D．
【答案】
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征
【专题】反比例函数及其应用；运算能力
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征求出、、的值，比较后即可得出结论．
【解答】解：点、、在反比例函数的图象上，
，，，
又，
．
故选：．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，利用反比例函数图象上点的坐标特征求出、、的值是解题的关键．
3．（2019•河南）已知抛物线经过和两点，则的值为
A． B． C．2 D．4
【答案】
【考点】二次函数图象上点的坐标特征
【专题】二次函数图象及其性质
【分析】根据和可以确定函数的对称轴，再由对称轴的即可求解；
【解答】解：抛物线经过和两点，
可知函数的对称轴，
，
；
，
将点代入函数解析式，可得；
故选：．
【点评】本题考查二次函数图象上点的坐标；熟练掌握二次函数图象上点的对称性是解题的关键．
4．（2018•河南）如图，点、、、是正方形四条边（不含端点）上的点，设线段的长为，四边形的面积为，则能够反映与之间函数关系的图象大致是
A． B．
C． D．
【考点】：动点问题的函数图象
【专题】532：函数及其图象；556：矩形 菱形 正方形
【分析】本题需先设正方形的边长为，然后得出与、是二次函数关系，从而得出函数的图象．
【解答】解：设正方形的边长为，则，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
与的函数图象是．
故选：．
【点评】本题主要考查了二次函数的图象和性质，在解题时要能根据几何图形求出解析式，得出函数的图象．
5．（2018•河南）如图1，点从菱形的顶点出发，沿以的速度匀速运动到点，图2是点运动时，的面积随时间变化的关系图象，则的值为
A． B．2 C． D．
【答案】
【考点】动点问题的函数图象
【专题】一次函数及其应用；代数几何综合题
【分析】通过分析图象，点从点到用，此时，的面积为，依此可求菱形的高，再由图象可知，，应用两次勾股定理分别求和．
【解答】解：过点作于点
由图象可知，点由点到点用时为，的面积为．
当点从到时，用
中，
是菱形
，
中，
解得
故选：．
【点评】本题综合考查了菱形性质和一次函数图象性质，解答过程中要注意函数图象变化与动点位置之间的关系．
6．（2017•河南）如图，抛物线与轴交于点，对称轴为直线，当时，的取值范围是
A． B． C． D．
【考点】：二次函数图象与系数的关系；：二次函数图象上点的坐标特征；：抛物线与轴的交点
【专题】31：数形结合；535：二次函数图象及其性质
【分析】根据抛物线的对称性得到抛物线与轴的另一交点坐标，然后结合函数图象可以直接得到答案．
【解答】解：抛物线与轴交于点，对称轴为直线，
抛物线与轴的另一交点坐标是，
当时，的取值范围是．
故选：．
【点评】本题考查了抛物线的对称性，抛物线与轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征．解题时，利用了“数形结合”的数学思想．
二、填空题（共3小题）
7．（2021•河南）请写出一个图象经过原点的函数的解析式 （答案不唯一） ．
【答案】（答案不唯一）．
【考点】二次函数的性质；正比例函数的性质
【专题】一次函数及其应用；推理能力
【分析】图象经过原点，要求解析式中，当时，，只要是正比例函数解即可．
【解答】解：依题意，正比例函数的图象经过原点，
如（答案不唯一）．
故答案为：（答案不唯一）．
【点评】本题考查了正比例函数的性质和二次函数的性质，正比例函数的图象经过原点，二次函数的图象也可能经过原点，写出一个即可．
8．（2018•河南）已知二次函数顶点在轴上，则 ．
【考点】二次函数的性质
【分析】根据二次函数顶点在轴上得出△，即可得出答案．
【解答】解：二次函数的顶点在轴上，
△，
，
．
故答案为：．
【点评】本题考查了二次函数的性质以及二次函数顶点在轴上的特点，根据题意得出△是解决问题的关键．
9．（2017•河南）已知点，在反比例函数的图象上，则与的大小关系为 ．
【考点】：反比例函数图象上点的坐标特征
【分析】由反比例函数可知函数的图象在第二、第四象限内，可以知道在每个象限内，随的增大而增大，根据这个判定则可．
【解答】解：反比例函数中，
此函数的图象在二、四象限内，在每个象限内，随的增大而增大，
，
、两点均在第四象限，
．
故答案为．
【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，先根据题意判断出反比例函数图象所在的象限是解答此题的关键．
三、解答题（共10小题）
10．（2021•河南）如图，大、小两个正方形的中心均与平面直角坐标系的原点重合，边分别与坐标轴平行，反比例函数的图象与大正方形的一边交于点，且经过小正方形的顶点．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求图中阴影部分的面积．
【答案】（1）反比例函数的解析式为；
（2）8．
【考点】反比例函数系数的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征；待定系数法求反比例函数解析式；正方形的性质
【专题】反比例函数及其应用；矩形 菱形 正方形；运算能力；推理能力
【分析】（1）根据待定系数法求出即可得到反比例函数的解析式；
（2）先根据反比例函数系数的几何意义求出小正方形的面积为，再求出大正方形在第一象限的顶点坐标，得到大正方形的面积为，根据图中阴影部分的面积大正方形的面积小正方形的面积即可求出结果．
【解答】解：（1）反比例函数的图象经过点，
，
，
反比例函数的解析式为；
（2）小正方形的中心与平面直角坐标系的原点重合，边分别与坐标轴平行，
设点的坐标为，
反比例函数的图象经过点，
，
，
小正方形的面积为，
大正方形的中心与平面直角坐标系的原点重合，边分别与坐标轴平行，且，
大正方形在第一象限的顶点坐标为，
大正方形的面积为，
图中阴影部分的面积大正方形的面积小正方形的面积．
【点评】本题主要考查了待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数系数的几何意义，正方形的性质，熟练掌握反比例函数系数的几何意义是解决问题的关键．
11．（2021•河南）猕猴嬉戏是王屋山景区的一大特色，猕猴玩偶非常畅销．小李在某网店选中，两款猕猴玩偶，决定从该网店进货并销售．两款玩偶的进货价和销售价如下表：
类别
价格
款玩偶
款玩偶
进货价（元个）
40
30
销售价（元个）
56
45
（1）第一次小李用1100元购进了，两款玩偶共30个，求两款玩偶各购进多少个．
（2）第二次小李进货时，网店规定款玩偶进货数量不得超过款玩偶进货数量的一半．小李计划购进两款玩偶共30个，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少？
（3）小李第二次进货时采取了（2）中设计的方案，并且两次购进的玩偶全部售出，请从利润率的角度分析，对于小李来说哪一次更合算？
（注：利润率
【答案】（1）款玩偶购进20个，款玩偶购进10个；
（2）按照购进款玩偶购进10个、款玩偶购进20个的方案进货才能获得最大利润，最大利润是460元；
（3）从利润率的角度分析，对于小李来说第二次的进货方案更合算．
【考点】二元一次方程组的应用；一元一次不等式组的应用；一次函数的应用
【专题】一次函数及其应用；应用意识
【分析】（1）设款玩偶购进个，款玩偶购进个，由用1100元购进了，两款玩偶建立方程求出其解即可；
（2）设款玩偶购进个，款玩偶购进个，获利元，根据题意可以得到利润与款玩偶数量的函数关系，然后根据款玩偶进货数量不得超过款玩偶进货数量的一半，可以求得款玩偶数量的取值范围，再根据一次函数的性质，即可求得应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润元；
（3）分别求出两次进货的利润率，比较即可得出结论．
【解答】解：（1）设款玩偶购进个，款玩偶购进个，
由题意，得，
解得：．
（个．
答：款玩偶购进20个，款玩偶购进10个；
（2）设款玩偶购进个，款玩偶购进个，获利元，
由题意，得．
款玩偶进货数量不得超过款玩偶进货数量的一半．
，
，
．
，
随的增大而增大．
时，元．
款玩偶为：（个．
答：按照款玩偶购进10个、款玩偶购进20个的方案进货才能获得最大利润，最大利润是460元；
（3）第一次的利润率，
第二次的利润率，
，
对于小李来说第二次的进货方案更合算．
【点评】本题考查了列一元一次方程解实际问题的运用，一次函数的运用，解答时由销售问题的数量关系求出一次函数的解析式是关键．
12．（2020•河南）小亮在学习中遇到这样一个问题：
如图，点是上一动点，线段，点是线段的中点，过点作，交的延长线于点．当为等腰三角形时，求线段的长度．
小亮分析发现，此问题很难通过常规的推理计算彻底解决，于是尝试结合学习函数的经验研究此问题．请将下面的探究过程补充完整：
（1）根据点在上的不同位置，画出相应的图形，测量线段，，的长度，得到下表的几组对应值．
0
1.0
2.0
3.0
4.0
5.0
6.0
7.0
8.0
8.0
7.7
7.2
6.6
5.9
3.9
2.4
0
8.0
7.4
6.9
6.5
6.1
6.0
6.2
6.7
8.0
操作中发现：
①“当点为的中点时，”．则上表中的值是 5.0 ；
②“线段的长度无需测量即可得到”．请简要说明理由．
（2）将线段的长度作为自变量，和的长度都是的函数，分别记为和，并在平面直角坐标系中画出了函数的图象，如图所示．请在同一坐标系中画出函数的图象；
（3）继续在同一坐标系中画出所需的函数图象，并结合图象直接写出：当为等腰三角形时，线段长度的近似值（结果保留一位小数）．
【考点】动点问题的函数图象
【专题】函数及其图象；图形的全等；圆的有关概念及性质；应用意识
【分析】（1）①由可求；
②由“”可证，可得，即可求解；
（2）由题意可画出函数图象；
（3）结合图象可求解．
【解答】解：（1）①点为的中点，
，
，
故答案为：5.0；
②点是线段的中点，
，
，
，
又，
，
，
线段的长度无需测量即可得到；
（2）由题意可得：
（3）由题意画出函数的图象；
由图象可得：或或时，为等腰三角形．（答案不唯一）
【点评】本题考查了动点函数图象问题，考查了圆的有关知识，全等三角形的判定和性质，动点问题的函数图象探究题，也考查了函数图象的画法，解题关键是数形结合．
13．（2020•河南）如图，抛物线与轴正半轴，轴正半轴分别交于点，，且，点为抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式及点的坐标；
（2）点，为抛物线上两点（点在点的左侧），且到对称轴的距离分别为3个单位长度和5个单位长度，点为抛物线上点，之间（含点，的一个动点，求点的纵坐标的取值范围．
【考点】二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；待定系数法求二次函数解析式
【专题】二次函数图象及其性质；应用意识
【分析】（1）先求出点，点坐标，代入解析式可求的值，即可求解；
（2）先求出点，点坐标，即可求解．
【解答】解：（1）抛物线与轴正半轴交于点，
点，
，
点，
，
或0（舍去），
抛物线解析式为：，
，
顶点的坐标为；
（2），
对称轴为直线，
点，为抛物线上两点（点在点的左侧），且到对称轴的距离分别为3个单位长度和5个单位长度，
点的横坐标为或4，点的横坐标为6，
点坐标为或，点坐标为，
点为抛物线上点，之间（含点，的一个动点，
或．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟练运用二次函数的性质解决问题是本题的关键．
14．（2020•河南）暑期将至，某健身俱乐部面向学生推出暑期优惠活动，活动方案如下．
方案一：购买一张学生暑期专享卡，每次健身费用按六折优惠；
方案二：不购买学生暑期专享卡，每次健身费用按八折优惠．
设某学生暑期健身（次，按照方案一所需费用为（元，且；按照方案二所需费用为（元，且．其函数图象如图所示．
（1）求和的值，并说明它们的实际意义；
（2）求打折前的每次健身费用和的值；
（3）八年级学生小华计划暑期前往该俱乐部健身8次，应选择哪种方案所需费用更少？说明理由．
【考点】一次函数的应用
【专题】一次函数及其应用；应用意识
【分析】（1）把点，代入，得到关于和的二元一次方程组，求解即可；
（2）根据方案一每次健身费用按六折优惠，可得打折前的每次健身费用，再根据方案二每次健身费用按八折优惠，求出的值；
（3）将分别代入、关于的函数解析式，比较即可．
【解答】解：（1）过点，，
，解得，
表示的实际意义是：购买一张学生暑期专享卡后每次健身费用为15元，
表示的实际意义是：购买一张学生暑期专享卡的费用为30元；
（2）由题意可得，打折前的每次健身费用为（元，
则；
（3）选择方案一所需费用更少．理由如下：
由题意可知，，．
当健身8次时，
选择方案一所需费用：（元，
选择方案二所需费用：（元，
，
选择方案一所需费用更少．
【点评】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是理解两种优惠活动方案，求出、关于的函数解析式．
15．（2019•河南）模具厂计划生产面积为4，周长为的矩形模具．对于的取值范围，小亮已经能用“代数”的方法解决，现在他又尝试从“图形”的角度进行探究，过程如下：
（1）建立函数模型
设矩形相邻两边的长分别为，，由矩形的面积为4，得，即；由周长为，得，即．满足要求的应是两个函数图象在第 一 象限内交点的坐标．
（2）画出函数图象
函数的图象如图所示，而函数的图象可由直线平移得到．请在同一直角坐标系中直接画出直线．
（3）平移直线，观察函数图象
①当直线平移到与函数的图象有唯一交点时，周长的值为 ；
②在直线平移过程中，交点个数还有哪些情况？请写出交点个数及对应的周长的取值范围．
（4）得出结论
若能生产出面积为4的矩形模具，则周长的取值范围为 ．
【考点】反比例函数综合题
【专题】压轴题；数形结合；一元二次方程及应用；模型思想
【分析】（1），都是边长，因此，都是正数，即可求解；
（2）直接画出图象即可；
（3）①把点代入即可求解；②在直线平移过程中，交点个数有：0个、1个、2个三种情况，联立和并整理得：，即可求解；
（4）由（3）可得．
【解答】解：（1），都是边长，因此，都是正数，
故点在第一象限，
答案为：一；
（2）图象如下所示：
（3）①把点代入得：
，解得：，
②由①知：0个交点时，；2个交点时，个交点时，；
（4）由（3）知，两个函数有交点时，．
【点评】本题为反比例函数综合运用题，涉及到一次函数、一元二次方程、函数平移等知识点，此类探究题，通常按照题设条件逐次求解，一般难度不大．
16．（2018•河南）某校为改善办学条件，计划购进、两种规格的书架，经市场调查发现有线下和线上两种购买方式，具体情况如下表：
规格
线下
线上
单价（元个）
运费（元个）
单价（元个）
运费（元个）
240
0
210
20
300
0
250
30
（1）如果在线下购买、两种书架20个，共花费5520元，求、两种书架各购买了多少个
（2）如果在线上购买、两种书架20个，共花费元，设其中种书架购买个，求关于的函数关系式．
（3）在（2）的条件下，若购买种书架的数量不少于种书架的2倍，请求出花费最少的购买方案，并计算按照这种购买方案线上比线下节约多少钱．
【考点】：一元一次不等式的应用；：一次函数的应用
【专题】533：一次函数及其应用；524：一元一次不等式（组及应用
【分析】（1）设购买种书架个，则购买种书架个，根据买两种书架共花费5520元，列方程求解即可；
（2）买种书架的花费买种书架的花费运费，列式即可；
（3）根据购买种书架的数量不少于种书架的2倍，求出的取值范围，再根据第（2）小题的函数关系式，求出的最小值即线上的花费，在求出线下需要的花费即可．
【解答】解：（1）设购买种书架个，则购买种书架个，
根据题意，得：，
解得：，
，
答：购买种书架8个，种书架12个；
（2）根据题意，得：
，
（3）根据题意，得：，
解得：，
，
随的增大而减小，
当时，最小为，
线下购买时的花费为：，
（元，
线上比线下节约340元．
【点评】本题主要考查一次函数的应用和一元一次不等式的应用，解决第（3）小题的关键是能根据函数的增减性，求出的最小值．
17．（2018•河南）小明在研究矩形面积与矩形的边长，之间的关系时，得到下表数据：
0.5
1
1.5
2
3
4
6
12
12
6
4
3
2
1
0.5
结果发现一个数据被墨水涂黑了
（1）被墨水涂黑的数据为 1.5 ．
（2）与之间的函数关系式为 ，且随的增大而 ．
（3）如图是小明画出的关于的函数图象，点、均在该函数的图象上，其中矩形的面积记为，矩形的面积记为，请判断和的大小关系，并说明理由．
（4）在（3）的条件下，交于点，反比例函数的图象经过点交于点，连接、，则四边形的面积为 ．
【考点】反比例函数的性质；反比例函数系数的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征
【专题】反比例函数及其应用
【分析】（1）由表格直接可得；
（2）在表格中发现，故得到；
（3）由反比例函数的几何意义可知，；
（4）根据反比例函数的几何意义，得到，，；
【解答】解：（1）从表格可以看出，
墨水盖住的数据是1.5；
故答案为1.5；
（2）由，得到，随的增大而减少；
故答案为；减少；
（3），，
；
（4），，，
；
故答案为4；
【点评】本题考查反比例函数的性质，的几何意义；理解反比例函数与面积的关系是解题的关键．
18．（2017•河南）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点和．
（1）填空：一次函数的解析式为 ，反比例函数的解析式为 ；
（2）点是线段上一点，过点作轴于点，连接，若的面积为，求的取值范围．
【考点】：反比例函数与一次函数的交点问题
【分析】（1）先将代入反比例函数即可求出的值，然后将代入反比例函数即可求出的，再根据两点的坐标即可求出一次函数的解析式．
（2）设的坐标为，由于点在线段上，从而可知，，由题意可知：，从而可求出的范围
【解答】解：（1）将代入，
，
将代入，
，
，
将代入，
，
（2）设，
由（1）可知：，
，，
，
由二次函数的图象可知：
的取值范围为：
故答案为：（1）；．
【点评】本题考查反比例函数与一次函数的综合问题，解题的关键是求出一次函数与反比例函数的解析式，本题属于中等题型．
19．（2017•河南）如图，一次函数的图象与轴交于点，与反比例函数的图象交于点．以为对角线作矩形，使顶点，落在轴上（点在点的右边），与交于点．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）求点的坐标．
【考点】：反比例函数与一次函数的交点问题
【专题】534：反比例函数及其应用
【分析】（1）根据点坐标可以确定的值，作于，由，，推出，推出点即可解决问题；
（2）求出的值，利用矩形的性质，求出即可解决问题；
【解答】解：（1）一次函数的图象与轴交于点，
，
一次函数的解析式为．
，
，
作于．
四边形是矩形，
，
，
，
，
在上，
，
，
点在上，
，
反比例函数的解析式为．
（2）由（1）可知：，
在中，，
在矩形中，，
，
．
【点评】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法，平行线的性质，勾股定理，矩形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
考点卡片
1．二元一次方程组的应用
（一）列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤：
（1）审题：找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系．
（2）设元：找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来．
（3）列方程组：挖掘题目中的关系，找出两个等量关系，列出方程组．
（4）求解．
（5）检验作答：检验所求解是否符合实际意义，并作答．
（二）设元的方法：直接设元与间接设元．
当问题较复杂时，有时设与要求的未知量相关的另一些量为未知数，即为间接设元．无论怎样设元，设几个未知数，就要列几个方程．
2．一元一次不等式的应用
（1）由实际问题中的不等关系列出不等式，建立解决问题的数学模型，通过解不等式可以得到实际问题的答案．
（2）列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系．因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵．
（3）列一元一次不等式解决实际问题的方法和步骤：
①弄清题中数量关系，用字母表示未知数．
②根据题中的不等关系列出不等式．
③解不等式，求出解集．
④写出符合题意的解．
3．一元一次不等式组的应用
对具有多种不等关系的问题，考虑列一元一次不等式组，并求解．
一元一次不等式组的应用主要是列一元一次不等式组解应用题，其一般步骤：
（1）分析题意，找出不等关系；
（2）设未知数，列出不等式组；
（3）解不等式组；
（4）从不等式组解集中找出符合题意的答案；
（5）作答．
4．动点问题的函数图象
函数图象是典型的数形结合，图象应用信息广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力．
用图象解决问题时，要理清图象的含义即会识图．
5．正比例函数的性质
正比例函数的性质．
6．一次函数的应用
1、分段函数问题
分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实际．
2、函数的多变量问题
解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数．
3、概括整合
（1）简单的一次函数问题：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用．
（2）理清题意是采用分段函数解决问题的关键．
7．反比例函数的性质
反比例函数的性质
（1）反比例函数y＝（k≠0）的图象是双曲线；
（2）当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；
（3）当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．
注意：反比例函数的图象与坐标轴没有交点．
8．反比例函数系数k的几何意义
比例系数k的几何意义
在反比例函数y＝图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．
在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是|k|，且保持不变．
9．反比例函数图象上点的坐标特征
反比例函数y＝k/x（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，
①图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k；
②双曲线是关于原点对称的，两个分支上的点也是关于原点对称；
③在y＝k/x图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．
10．待定系数法求反比例函数解析式
用待定系数法求反比例函数的解析式要注意：
（1）设出含有待定系数的反比例函数解析式y＝（k为常数，k≠0）；
（2）把已知条件（自变量与函数的对应值）带入解析式，得到待定系数的方程；
（3）解方程，求出待定系数；
（4）写出解析式．
11．反比例函数与一次函数的交点问题
反比例函数与一次函数的交点问题
（1）求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．
（2）判断正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝在同一直角坐标系中的交点个数可总结为：
①当k1与k2同号时，正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝在同一直角坐标系中有2个交点；
②当k1与k2异号时，正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝在同一直角坐标系中有0个交点．
12．反比例函数综合题
（1）应用类综合题
能够从实际的问题中抽象出反比例函数这一数学模型，是解决实际问题的关键一步，培养了学生的建模能力和从实际问题向数学问题转化的能力．在解决这些问题的时候我们还用到了反比例函数的图象和性质、待定系数法和其他学科中的知识．
（2）数形结合类综合题
利用图象解决问题，从图上获取有用的信息，是解题的关键所在．已知点在图象上，那么点一定满足这个函数解析式，反过来如果这点满足函数的解析式，那么这个点也一定在函数图象上．还能利用图象直接比较函数值或是自变量的大小．将数形结合在一起，是分析解决问题的一种好方法．
13．二次函数的性质
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣，），对称轴直线x＝﹣，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：
①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜﹣时，y随x的增大而减小；x＞﹣时，y随x的增大而增大；x＝﹣时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．
②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜﹣时，y随x的增大而增大；x＞﹣时，y随x的增大而减小；x＝﹣时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点．
③抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y＝ax2的图象向右或向左平移|﹣|个单位，再向上或向下平移||个单位得到的．
14．二次函数图象与系数的关系
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）
①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．
当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；|a|还可以决定开口大小，|a|越大开口就越小．
②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置．
当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左侧； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右侧．（简称：左同右异）
③．常数项c决定抛物线与y轴交点． 抛物线与y轴交于（0，c）．
④抛物线与x轴交点个数．
△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
15．二次函数图象上点的坐标特征
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，顶点坐标是（﹣，）．
①抛物线是关于对称轴x＝﹣成轴对称，所以抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足函数函数关系式．顶点是抛物线的最高点或最低点．
②抛物线与y轴交点的纵坐标是函数解析中的c值．
③抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（x1，0），（x2，0），则其对称轴为x＝．
16．待定系数法求二次函数解析式
（1）二次函数的解析式有三种常见形式：
①一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）； ②顶点式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标； ③交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0）；
（2）用待定系数法求二次函数的解析式．
在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．
17．抛物线与x轴的交点
求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．
（1）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c＝0根之间的关系．
△＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数．
△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；
△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；
△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
（2）二次函数的交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x1，0），（x2，0）．
18．正方形的性质
（1）正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．
（2）正方形的性质
①正方形的四条边都相等，四个角都是直角；
②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；
③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．
④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴．
9867
2017-2021年河南中考数学真题分类汇编之函数
一、选择题（共6小题）
1．（2021•河南）如图1，矩形中，点为的中点，点沿从点运动到点，设，两点间的距离为，，图2是点运动时随变化的关系图象，则的长为
A．4 B．5 C．6 D．7
2．（2020•河南）若点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是
A． B． C． D．
3．（2019•河南）已知抛物线经过和两点，则的值为
A． B． C．2 D．4
4．（2018•河南）如图，点、、、是正方形四条边（不含端点）上的点，设线段的长为，四边形的面积为，则能够反映与之间函数关系的图象大致是
A． B．
C． D．
5．（2018•河南）如图1，点从菱形的顶点出发，沿以的速度匀速运动到点，图2是点运动时，的面积随时间变化的关系图象，则的值为
A． B．2 C． D．
6．（2017•河南）如图，抛物线与轴交于点，对称轴为直线，当时，的取值范围是
A． B． C． D．
二、填空题（共3小题）
7．（2021•河南）请写出一个图象经过原点的函数的解析式 ．
8．（2018•河南）已知二次函数顶点在轴上，则 ．
9．（2017•河南）已知点，在反比例函数的图象上，则与的大小关系为 ．
三、解答题（共10小题）
10．（2021•河南）如图，大、小两个正方形的中心均与平面直角坐标系的原点重合，边分别与坐标轴平行，反比例函数的图象与大正方形的一边交于点，且经过小正方形的顶点．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求图中阴影部分的面积．
11．（2021•河南）猕猴嬉戏是王屋山景区的一大特色，猕猴玩偶非常畅销．小李在某网店选中，两款猕猴玩偶，决定从该网店进货并销售．两款玩偶的进货价和销售价如下表：
类别
价格
款玩偶
款玩偶
进货价（元个）
40
30
销售价（元个）
56
45
（1）第一次小李用1100元购进了，两款玩偶共30个，求两款玩偶各购进多少个．
（2）第二次小李进货时，网店规定款玩偶进货数量不得超过款玩偶进货数量的一半．小李计划购进两款玩偶共30个，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少？
（3）小李第二次进货时采取了（2）中设计的方案，并且两次购进的玩偶全部售出，请从利润率的角度分析，对于小李来说哪一次更合算？
（注：利润率
12．（2020•河南）小亮在学习中遇到这样一个问题：
如图，点是上一动点，线段，点是线段的中点，过点作，交的延长线于点．当为等腰三角形时，求线段的长度．
小亮分析发现，此问题很难通过常规的推理计算彻底解决，于是尝试结合学习函数的经验研究此问题．请将下面的探究过程补充完整：
（1）根据点在上的不同位置，画出相应的图形，测量线段，，的长度，得到下表的几组对应值．
0
1.0
2.0
3.0
4.0
5.0
6.0
7.0
8.0
8.0
7.7
7.2
6.6
5.9
3.9
2.4
0
8.0
7.4
6.9
6.5
6.1
6.0
6.2
6.7
8.0
操作中发现：
①“当点为的中点时，”．则上表中的值是 ；
②“线段的长度无需测量即可得到”．请简要说明理由．
（2）将线段的长度作为自变量，和的长度都是的函数，分别记为和，并在平面直角坐标系中画出了函数的图象，如图所示．请在同一坐标系中画出函数的图象；
（3）继续在同一坐标系中画出所需的函数图象，并结合图象直接写出：当为等腰三角形时，线段长度的近似值（结果保留一位小数）．
13．（2020•河南）如图，抛物线与轴正半轴，轴正半轴分别交于点，，且，点为抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式及点的坐标；
（2）点，为抛物线上两点（点在点的左侧），且到对称轴的距离分别为3个单位长度和5个单位长度，点为抛物线上点，之间（含点，的一个动点，求点的纵坐标的取值范围．
14．（2020•河南）暑期将至，某健身俱乐部面向学生推出暑期优惠活动，活动方案如下．
方案一：购买一张学生暑期专享卡，每次健身费用按六折优惠；
方案二：不购买学生暑期专享卡，每次健身费用按八折优惠．
设某学生暑期健身（次，按照方案一所需费用为（元，且；按照方案二所需费用为（元，且．其函数图象如图所示．
（1）求和的值，并说明它们的实际意义；
（2）求打折前的每次健身费用和的值；
（3）八年级学生小华计划暑期前往该俱乐部健身8次，应选择哪种方案所需费用更少？说明理由．
15．（2019•河南）模具厂计划生产面积为4，周长为的矩形模具．对于的取值范围，小亮已经能用“代数”的方法解决，现在他又尝试从“图形”的角度进行探究，过程如下：
（1）建立函数模型
设矩形相邻两边的长分别为，，由矩形的面积为4，得，即；由周长为，得，即．满足要求的应是两个函数图象在第 象限内交点的坐标．
（2）画出函数图象
函数的图象如图所示，而函数的图象可由直线平移得到．请在同一直角坐标系中直接画出直线．
（3）平移直线，观察函数图象
①当直线平移到与函数的图象有唯一交点时，周长的值为 ；
②在直线平移过程中，交点个数还有哪些情况？请写出交点个数及对应的周长的取值范围．
（4）得出结论
若能生产出面积为4的矩形模具，则周长的取值范围为 ．
16．（2018•河南）某校为改善办学条件，计划购进、两种规格的书架，经市场调查发现有线下和线上两种购买方式，具体情况如下表：
规格
线下
线上
单价（元个）
运费（元个）
单价（元个）
运费（元个）
240
0
210
20
300
0
250
30
（1）如果在线下购买、两种书架20个，共花费5520元，求、两种书架各购买了多少个
（2）如果在线上购买、两种书架20个，共花费元，设其中种书架购买个，求关于的函数关系式．
（3）在（2）的条件下，若购买种书架的数量不少于种书架的2倍，请求出花费最少的购买方案，并计算按照这种购买方案线上比线下节约多少钱．
17．（2018•河南）小明在研究矩形面积与矩形的边长，之间的关系时，得到下表数据：
0.5
1
1.5
2
3
4
6
12
12
6
4
3
2
1
0.5
结果发现一个数据被墨水涂黑了
（1）被墨水涂黑的数据为 ．
（2）与之间的函数关系式为 ，且随的增大而 ．
（3）如图是小明画出的关于的函数图象，点、均在该函数的图象上，其中矩形的面积记为，矩形的面积记为，请判断和的大小关系，并说明理由．
（4）在（3）的条件下，交于点，反比例函数的图象经过点交于点，连接、，则四边形的面积为 ．
18．（2017•河南）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点和．
（1）填空：一次函数的解析式为 ，反比例函数的解析式为 ；
（2）点是线段上一点，过点作轴于点，连接，若的面积为，求的取值范围．
19．（2017•河南）如图，一次函数的图象与轴交于点，与反比例函数的图象交于点．以为对角线作矩形，使顶点，落在轴上（点在点的右边），与交于点．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）求点的坐标．
2017-2021年河南中考数学真题分类汇编之函数
参考答案与试题解析
一、选择题（共6小题）
1．（2021•河南）如图1，矩形中，点为的中点，点沿从点运动到点，设，两点间的距离为，，图2是点运动时随变化的关系图象，则的长为
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】
【考点】动点问题的函数图象
【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力
【分析】当，即在点时，；利用两点之间线段最短，得到，得的最大值为；在中，由勾股定理求出的长，再根据求出的长．
【解答】解：由函数图象知：当，即在点时，．
利用两点之间线段最短，得到．
的最大值为，
．
在中，由勾股定理得：，
设的长度为，
则，
，
即：，
，
由于，
，
，
．
．
故选：．
【点评】本题考查了动点问题的函数图象，根据勾股定理求出的长是解题的关键．
2．（2020•河南）若点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是
A． B． C． D．
【答案】
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征
【专题】反比例函数及其应用；运算能力
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征求出、、的值，比较后即可得出结论．
【解答】解：点、、在反比例函数的图象上，
，，，
又，
．
故选：．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，利用反比例函数图象上点的坐标特征求出、、的值是解题的关键．
3．（2019•河南）已知抛物线经过和两点，则的值为
A． B． C．2 D．4
【答案】
【考点】二次函数图象上点的坐标特征
【专题】二次函数图象及其性质
【分析】根据和可以确定函数的对称轴，再由对称轴的即可求解；
【解答】解：抛物线经过和两点，
可知函数的对称轴，
，
；
，
将点代入函数解析式，可得；
故选：．
【点评】本题考查二次函数图象上点的坐标；熟练掌握二次函数图象上点的对称性是解题的关键．
4．（2018•河南）如图，点、、、是正方形四条边（不含端点）上的点，设线段的长为，四边形的面积为，则能够反映与之间函数关系的图象大致是
A． B．
C． D．
【考点】：动点问题的函数图象
【专题】532：函数及其图象；556：矩形 菱形 正方形
【分析】本题需先设正方形的边长为，然后得出与、是二次函数关系，从而得出函数的图象．
【解答】解：设正方形的边长为，则，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
与的函数图象是．
故选：．
【点评】本题主要考查了二次函数的图象和性质，在解题时要能根据几何图形求出解析式，得出函数的图象．
5．（2018•河南）如图1，点从菱形的顶点出发，沿以的速度匀速运动到点，图2是点运动时，的面积随时间变化的关系图象，则的值为
A． B．2 C． D．
【答案】
【考点】动点问题的函数图象
【专题】一次函数及其应用；代数几何综合题
【分析】通过分析图象，点从点到用，此时，的面积为，依此可求菱形的高，再由图象可知，，应用两次勾股定理分别求和．
【解答】解：过点作于点
由图象可知，点由点到点用时为，的面积为．
当点从到时，用
中，
是菱形
，
中，
解得
故选：．
【点评】本题综合考查了菱形性质和一次函数图象性质，解答过程中要注意函数图象变化与动点位置之间的关系．
6．（2017•河南）如图，抛物线与轴交于点，对称轴为直线，当时，的取值范围是
A． B． C． D．
【考点】：二次函数图象与系数的关系；：二次函数图象上点的坐标特征；：抛物线与轴的交点
【专题】31：数形结合；535：二次函数图象及其性质
【分析】根据抛物线的对称性得到抛物线与轴的另一交点坐标，然后结合函数图象可以直接得到答案．
【解答】解：抛物线与轴交于点，对称轴为直线，
抛物线与轴的另一交点坐标是，
当时，的取值范围是．
故选：．
【点评】本题考查了抛物线的对称性，抛物线与轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征．解题时，利用了“数形结合”的数学思想．
二、填空题（共3小题）
7．（2021•河南）请写出一个图象经过原点的函数的解析式 （答案不唯一） ．
【答案】（答案不唯一）．
【考点】二次函数的性质；正比例函数的性质
【专题】一次函数及其应用；推理能力
【分析】图象经过原点，要求解析式中，当时，，只要是正比例函数解即可．
【解答】解：依题意，正比例函数的图象经过原点，
如（答案不唯一）．
故答案为：（答案不唯一）．
【点评】本题考查了正比例函数的性质和二次函数的性质，正比例函数的图象经过原点，二次函数的图象也可能经过原点，写出一个即可．
8．（2018•河南）已知二次函数顶点在轴上，则 ．
【考点】二次函数的性质
【分析】根据二次函数顶点在轴上得出△，即可得出答案．
【解答】解：二次函数的顶点在轴上，
△，
，
．
故答案为：．
【点评】本题考查了二次函数的性质以及二次函数顶点在轴上的特点，根据题意得出△是解决问题的关键．
9．（2017•河南）已知点，在反比例函数的图象上，则与的大小关系为 ．
【考点】：反比例函数图象上点的坐标特征
【分析】由反比例函数可知函数的图象在第二、第四象限内，可以知道在每个象限内，随的增大而增大，根据这个判定则可．
【解答】解：反比例函数中，
此函数的图象在二、四象限内，在每个象限内，随的增大而增大，
，
、两点均在第四象限，
．
故答案为．
【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，先根据题意判断出反比例函数图象所在的象限是解答此题的关键．
三、解答题（共10小题）
10．（2021•河南）如图，大、小两个正方形的中心均与平面直角坐标系的原点重合，边分别与坐标轴平行，反比例函数的图象与大正方形的一边交于点，且经过小正方形的顶点．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求图中阴影部分的面积．
【答案】（1）反比例函数的解析式为；
（2）8．
【考点】反比例函数系数的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征；待定系数法求反比例函数解析式；正方形的性质
【专题】反比例函数及其应用；矩形 菱形 正方形；运算能力；推理能力
【分析】（1）根据待定系数法求出即可得到反比例函数的解析式；
（2）先根据反比例函数系数的几何意义求出小正方形的面积为，再求出大正方形在第一象限的顶点坐标，得到大正方形的面积为，根据图中阴影部分的面积大正方形的面积小正方形的面积即可求出结果．
【解答】解：（1）反比例函数的图象经过点，
，
，
反比例函数的解析式为；
（2）小正方形的中心与平面直角坐标系的原点重合，边分别与坐标轴平行，
设点的坐标为，
反比例函数的图象经过点，
，
，
小正方形的面积为，
大正方形的中心与平面直角坐标系的原点重合，边分别与坐标轴平行，且，
大正方形在第一象限的顶点坐标为，
大正方形的面积为，
图中阴影部分的面积大正方形的面积小正方形的面积．
【点评】本题主要考查了待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数系数的几何意义，正方形的性质，熟练掌握反比例函数系数的几何意义是解决问题的关键．
11．（2021•河南）猕猴嬉戏是王屋山景区的一大特色，猕猴玩偶非常畅销．小李在某网店选中，两款猕猴玩偶，决定从该网店进货并销售．两款玩偶的进货价和销售价如下表：
类别
价格
款玩偶
款玩偶
进货价（元个）
40
30
销售价（元个）
56
45
（1）第一次小李用1100元购进了，两款玩偶共30个，求两款玩偶各购进多少个．
（2）第二次小李进货时，网店规定款玩偶进货数量不得超过款玩偶进货数量的一半．小李计划购进两款玩偶共30个，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少？
（3）小李第二次进货时采取了（2）中设计的方案，并且两次购进的玩偶全部售出，请从利润率的角度分析，对于小李来说哪一次更合算？
（注：利润率
【答案】（1）款玩偶购进20个，款玩偶购进10个；
（2）按照购进款玩偶购进10个、款玩偶购进20个的方案进货才能获得最大利润，最大利润是460元；
（3）从利润率的角度分析，对于小李来说第二次的进货方案更合算．
【考点】二元一次方程组的应用；一元一次不等式组的应用；一次函数的应用
【专题】一次函数及其应用；应用意识
【分析】（1）设款玩偶购进个，款玩偶购进个，由用1100元购进了，两款玩偶建立方程求出其解即可；
（2）设款玩偶购进个，款玩偶购进个，获利元，根据题意可以得到利润与款玩偶数量的函数关系，然后根据款玩偶进货数量不得超过款玩偶进货数量的一半，可以求得款玩偶数量的取值范围，再根据一次函数的性质，即可求得应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润元；
（3）分别求出两次进货的利润率，比较即可得出结论．
【解答】解：（1）设款玩偶购进个，款玩偶购进个，
由题意，得，
解得：．
（个．
答：款玩偶购进20个，款玩偶购进10个；
（2）设款玩偶购进个，款玩偶购进个，获利元，
由题意，得．
款玩偶进货数量不得超过款玩偶进货数量的一半．
，
，
．
，
随的增大而增大．
时，元．
款玩偶为：（个．
答：按照款玩偶购进10个、款玩偶购进20个的方案进货才能获得最大利润，最大利润是460元；
（3）第一次的利润率，
第二次的利润率，
，
对于小李来说第二次的进货方案更合算．
【点评】本题考查了列一元一次方程解实际问题的运用，一次函数的运用，解答时由销售问题的数量关系求出一次函数的解析式是关键．
12．（2020•河南）小亮在学习中遇到这样一个问题：
如图，点是上一动点，线段，点是线段的中点，过点作，交的延长线于点．当为等腰三角形时，求线段的长度．
小亮分析发现，此问题很难通过常规的推理计算彻底解决，于是尝试结合学习函数的经验研究此问题．请将下面的探究过程补充完整：
（1）根据点在上的不同位置，画出相应的图形，测量线段，，的长度，得到下表的几组对应值．
0
1.0
2.0
3.0
4.0
5.0
6.0
7.0
8.0
8.0
7.7
7.2
6.6
5.9
3.9
2.4
0
8.0
7.4
6.9
6.5
6.1
6.0
6.2
6.7
8.0
操作中发现：
①“当点为的中点时，”．则上表中的值是 5.0 ；
②“线段的长度无需测量即可得到”．请简要说明理由．
（2）将线段的长度作为自变量，和的长度都是的函数，分别记为和，并在平面直角坐标系中画出了函数的图象，如图所示．请在同一坐标系中画出函数的图象；
（3）继续在同一坐标系中画出所需的函数图象，并结合图象直接写出：当为等腰三角形时，线段长度的近似值（结果保留一位小数）．
【考点】动点问题的函数图象
【专题】函数及其图象；图形的全等；圆的有关概念及性质；应用意识
【分析】（1）①由可求；
②由“”可证，可得，即可求解；
（2）由题意可画出函数图象；
（3）结合图象可求解．
【解答】解：（1）①点为的中点，
，
，
故答案为：5.0；
②点是线段的中点，
，
，
，
又，
，
，
线段的长度无需测量即可得到；
（2）由题意可得：
（3）由题意画出函数的图象；
由图象可得：或或时，为等腰三角形．（答案不唯一）
【点评】本题考查了动点函数图象问题，考查了圆的有关知识，全等三角形的判定和性质，动点问题的函数图象探究题，也考查了函数图象的画法，解题关键是数形结合．
13．（2020•河南）如图，抛物线与轴正半轴，轴正半轴分别交于点，，且，点为抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式及点的坐标；
（2）点，为抛物线上两点（点在点的左侧），且到对称轴的距离分别为3个单位长度和5个单位长度，点为抛物线上点，之间（含点，的一个动点，求点的纵坐标的取值范围．
【考点】二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；待定系数法求二次函数解析式
【专题】二次函数图象及其性质；应用意识
【分析】（1）先求出点，点坐标，代入解析式可求的值，即可求解；
（2）先求出点，点坐标，即可求解．
【解答】解：（1）抛物线与轴正半轴交于点，
点，
，
点，
，
或0（舍去），
抛物线解析式为：，
，
顶点的坐标为；
（2），
对称轴为直线，
点，为抛物线上两点（点在点的左侧），且到对称轴的距离分别为3个单位长度和5个单位长度，
点的横坐标为或4，点的横坐标为6，
点坐标为或，点坐标为，
点为抛物线上点，之间（含点，的一个动点，
或．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟练运用二次函数的性质解决问题是本题的关键．
14．（2020•河南）暑期将至，某健身俱乐部面向学生推出暑期优惠活动，活动方案如下．
方案一：购买一张学生暑期专享卡，每次健身费用按六折优惠；
方案二：不购买学生暑期专享卡，每次健身费用按八折优惠．
设某学生暑期健身（次，按照方案一所需费用为（元，且；按照方案二所需费用为（元，且．其函数图象如图所示．
（1）求和的值，并说明它们的实际意义；
（2）求打折前的每次健身费用和的值；
（3）八年级学生小华计划暑期前往该俱乐部健身8次，应选择哪种方案所需费用更少？说明理由．
【考点】一次函数的应用
【专题】一次函数及其应用；应用意识
【分析】（1）把点，代入，得到关于和的二元一次方程组，求解即可；
（2）根据方案一每次健身费用按六折优惠，可得打折前的每次健身费用，再根据方案二每次健身费用按八折优惠，求出的值；
（3）将分别代入、关于的函数解析式，比较即可．
【解答】解：（1）过点，，
，解得，
表示的实际意义是：购买一张学生暑期专享卡后每次健身费用为15元，
表示的实际意义是：购买一张学生暑期专享卡的费用为30元；
（2）由题意可得，打折前的每次健身费用为（元，
则；
（3）选择方案一所需费用更少．理由如下：
由题意可知，，．
当健身8次时，
选择方案一所需费用：（元，
选择方案二所需费用：（元，
，
选择方案一所需费用更少．
【点评】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是理解两种优惠活动方案，求出、关于的函数解析式．
15．（2019•河南）模具厂计划生产面积为4，周长为的矩形模具．对于的取值范围，小亮已经能用“代数”的方法解决，现在他又尝试从“图形”的角度进行探究，过程如下：
（1）建立函数模型
设矩形相邻两边的长分别为，，由矩形的面积为4，得，即；由周长为，得，即．满足要求的应是两个函数图象在第 一 象限内交点的坐标．
（2）画出函数图象
函数的图象如图所示，而函数的图象可由直线平移得到．请在同一直角坐标系中直接画出直线．
（3）平移直线，观察函数图象
①当直线平移到与函数的图象有唯一交点时，周长的值为 ；
②在直线平移过程中，交点个数还有哪些情况？请写出交点个数及对应的周长的取值范围．
（4）得出结论
若能生产出面积为4的矩形模具，则周长的取值范围为 ．
【考点】反比例函数综合题
【专题】压轴题；数形结合；一元二次方程及应用；模型思想
【分析】（1），都是边长，因此，都是正数，即可求解；
（2）直接画出图象即可；
（3）①把点代入即可求解；②在直线平移过程中，交点个数有：0个、1个、2个三种情况，联立和并整理得：，即可求解；
（4）由（3）可得．
【解答】解：（1），都是边长，因此，都是正数，
故点在第一象限，
答案为：一；
（2）图象如下所示：
（3）①把点代入得：
，解得：，
②由①知：0个交点时，；2个交点时，个交点时，；
（4）由（3）知，两个函数有交点时，．
【点评】本题为反比例函数综合运用题，涉及到一次函数、一元二次方程、函数平移等知识点，此类探究题，通常按照题设条件逐次求解，一般难度不大．
16．（2018•河南）某校为改善办学条件，计划购进、两种规格的书架，经市场调查发现有线下和线上两种购买方式，具体情况如下表：
规格
线下
线上
单价（元个）
运费（元个）
单价（元个）
运费（元个）
240
0
210
20
300
0
250
30
（1）如果在线下购买、两种书架20个，共花费5520元，求、两种书架各购买了多少个
（2）如果在线上购买、两种书架20个，共花费元，设其中种书架购买个，求关于的函数关系式．
（3）在（2）的条件下，若购买种书架的数量不少于种书架的2倍，请求出花费最少的购买方案，并计算按照这种购买方案线上比线下节约多少钱．
【考点】：一元一次不等式的应用；：一次函数的应用
【专题】533：一次函数及其应用；524：一元一次不等式（组及应用
【分析】（1）设购买种书架个，则购买种书架个，根据买两种书架共花费5520元，列方程求解即可；
（2）买种书架的花费买种书架的花费运费，列式即可；
（3）根据购买种书架的数量不少于种书架的2倍，求出的取值范围，再根据第（2）小题的函数关系式，求出的最小值即线上的花费，在求出线下需要的花费即可．
【解答】解：（1）设购买种书架个，则购买种书架个，
根据题意，得：，
解得：，
，
答：购买种书架8个，种书架12个；
（2）根据题意，得：
，
（3）根据题意，得：，
解得：，
，
随的增大而减小，
当时，最小为，
线下购买时的花费为：，
（元，
线上比线下节约340元．
【点评】本题主要考查一次函数的应用和一元一次不等式的应用，解决第（3）小题的关键是能根据函数的增减性，求出的最小值．
17．（2018•河南）小明在研究矩形面积与矩形的边长，之间的关系时，得到下表数据：
0.5
1
1.5
2
3
4
6
12
12
6
4
3
2
1
0.5
结果发现一个数据被墨水涂黑了
（1）被墨水涂黑的数据为 1.5 ．
（2）与之间的函数关系式为 ，且随的增大而 ．
（3）如图是小明画出的关于的函数图象，点、均在该函数的图象上，其中矩形的面积记为，矩形的面积记为，请判断和的大小关系，并说明理由．
（4）在（3）的条件下，交于点，反比例函数的图象经过点交于点，连接、，则四边形的面积为 ．
【考点】反比例函数的性质；反比例函数系数的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征
【专题】反比例函数及其应用
【分析】（1）由表格直接可得；
（2）在表格中发现，故得到；
（3）由反比例函数的几何意义可知，；
（4）根据反比例函数的几何意义，得到，，；
【解答】解：（1）从表格可以看出，
墨水盖住的数据是1.5；
故答案为1.5；
（2）由，得到，随的增大而减少；
故答案为；减少；
（3），，
；
（4），，，
；
故答案为4；
【点评】本题考查反比例函数的性质，的几何意义；理解反比例函数与面积的关系是解题的关键．
18．（2017•河南）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点和．
（1）填空：一次函数的解析式为 ，反比例函数的解析式为 ；
（2）点是线段上一点，过点作轴于点，连接，若的面积为，求的取值范围．
【考点】：反比例函数与一次函数的交点问题
【分析】（1）先将代入反比例函数即可求出的值，然后将代入反比例函数即可求出的，再根据两点的坐标即可求出一次函数的解析式．
（2）设的坐标为，由于点在线段上，从而可知，，由题意可知：，从而可求出的范围
【解答】解：（1）将代入，
，
将代入，
，
，
将代入，
，
（2）设，
由（1）可知：，
，，
，
由二次函数的图象可知：
的取值范围为：
故答案为：（1）；．
【点评】本题考查反比例函数与一次函数的综合问题，解题的关键是求出一次函数与反比例函数的解析式，本题属于中等题型．
19．（2017•河南）如图，一次函数的图象与轴交于点，与反比例函数的图象交于点．以为对角线作矩形，使顶点，落在轴上（点在点的右边），与交于点．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）求点的坐标．
【考点】：反比例函数与一次函数的交点问题
【专题】534：反比例函数及其应用
【分析】（1）根据点坐标可以确定的值，作于，由，，推出，推出点即可解决问题；
（2）求出的值，利用矩形的性质，求出即可解决问题；
【解答】解：（1）一次函数的图象与轴交于点，
，
一次函数的解析式为．
，
，
作于．
四边形是矩形，
，
，
，
，
在上，
，
，
点在上，
，
反比例函数的解析式为．
（2）由（1）可知：，
在中，，
在矩形中，，
，
．
【点评】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法，平行线的性质，勾股定理，矩形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
考点卡片
1．二元一次方程组的应用
（一）列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤：
（1）审题：找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系．
（2）设元：找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来．
（3）列方程组：挖掘题目中的关系，找出两个等量关系，列出方程组．
（4）求解．
（5）检验作答：检验所求解是否符合实际意义，并作答．
（二）设元的方法：直接设元与间接设元．
当问题较复杂时，有时设与要求的未知量相关的另一些量为未知数，即为间接设元．无论怎样设元，设几个未知数，就要列几个方程．
2．一元一次不等式的应用
（1）由实际问题中的不等关系列出不等式，建立解决问题的数学模型，通过解不等式可以得到实际问题的答案．
（2）列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系．因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵．
（3）列一元一次不等式解决实际问题的方法和步骤：
①弄清题中数量关系，用字母表示未知数．
②根据题中的不等关系列出不等式．
③解不等式，求出解集．
④写出符合题意的解．
3．一元一次不等式组的应用
对具有多种不等关系的问题，考虑列一元一次不等式组，并求解．
一元一次不等式组的应用主要是列一元一次不等式组解应用题，其一般步骤：
（1）分析题意，找出不等关系；
（2）设未知数，列出不等式组；
（3）解不等式组；
（4）从不等式组解集中找出符合题意的答案；
（5）作答．
4．动点问题的函数图象
函数图象是典型的数形结合，图象应用信息广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力．
用图象解决问题时，要理清图象的含义即会识图．
5．正比例函数的性质
正比例函数的性质．
6．一次函数的应用
1、分段函数问题
分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实际．
2、函数的多变量问题
解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数．
3、概括整合
（1）简单的一次函数问题：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用．
（2）理清题意是采用分段函数解决问题的关键．
7．反比例函数的性质
反比例函数的性质
（1）反比例函数y＝（k≠0）的图象是双曲线；
（2）当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；
（3）当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．
注意：反比例函数的图象与坐标轴没有交点．
8．反比例函数系数k的几何意义
比例系数k的几何意义
在反比例函数y＝图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．
在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是|k|，且保持不变．
9．反比例函数图象上点的坐标特征
反比例函数y＝k/x（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，
①图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k；
②双曲线是关于原点对称的，两个分支上的点也是关于原点对称；
③在y＝k/x图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．
10．待定系数法求反比例函数解析式
用待定系数法求反比例函数的解析式要注意：
（1）设出含有待定系数的反比例函数解析式y＝（k为常数，k≠0）；
（2）把已知条件（自变量与函数的对应值）带入解析式，得到待定系数的方程；
（3）解方程，求出待定系数；
（4）写出解析式．
11．反比例函数与一次函数的交点问题
反比例函数与一次函数的交点问题
（1）求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．
（2）判断正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝在同一直角坐标系中的交点个数可总结为：
①当k1与k2同号时，正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝在同一直角坐标系中有2个交点；
②当k1与k2异号时，正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝在同一直角坐标系中有0个交点．
12．反比例函数综合题
（1）应用类综合题
能够从实际的问题中抽象出反比例函数这一数学模型，是解决实际问题的关键一步，培养了学生的建模能力和从实际问题向数学问题转化的能力．在解决这些问题的时候我们还用到了反比例函数的图象和性质、待定系数法和其他学科中的知识．
（2）数形结合类综合题
利用图象解决问题，从图上获取有用的信息，是解题的关键所在．已知点在图象上，那么点一定满足这个函数解析式，反过来如果这点满足函数的解析式，那么这个点也一定在函数图象上．还能利用图象直接比较函数值或是自变量的大小．将数形结合在一起，是分析解决问题的一种好方法．
13．二次函数的性质
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣，），对称轴直线x＝﹣，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：
①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜﹣时，y随x的增大而减小；x＞﹣时，y随x的增大而增大；x＝﹣时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．
②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜﹣时，y随x的增大而增大；x＞﹣时，y随x的增大而减小；x＝﹣时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点．
③抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y＝ax2的图象向右或向左平移|﹣|个单位，再向上或向下平移||个单位得到的．
14．二次函数图象与系数的关系
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）
①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．
当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；|a|还可以决定开口大小，|a|越大开口就越小．
②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置．
当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左侧； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右侧．（简称：左同右异）
③．常数项c决定抛物线与y轴交点． 抛物线与y轴交于（0，c）．
④抛物线与x轴交点个数．
△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
15．二次函数图象上点的坐标特征
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，顶点坐标是（﹣，）．
①抛物线是关于对称轴x＝﹣成轴对称，所以抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足函数函数关系式．顶点是抛物线的最高点或最低点．
②抛物线与y轴交点的纵坐标是函数解析中的c值．
③抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（x1，0），（x2，0），则其对称轴为x＝．
16．待定系数法求二次函数解析式
（1）二次函数的解析式有三种常见形式：
①一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）； ②顶点式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标； ③交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0）；
（2）用待定系数法求二次函数的解析式．
在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．
17．抛物线与x轴的交点
求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．
（1）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c＝0根之间的关系．
△＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数．
△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；
△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；
△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
（2）二次函数的交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x1，0），（x2，0）．
18．正方形的性质
（1）正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．
（2）正方形的性质
①正方形的四条边都相等，四个角都是直角；
②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；
③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．
④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴．
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