2021年四川中考数学真题分类汇编之方程与不等式

这是一份2021年四川中考数学真题分类汇编之方程与不等式，共15页。试卷主要包含了解方程组等内容，欢迎下载使用。

2021年四川中考数学真题分类汇编之方程与不等式
一．选择题（共5小题）
1．（2021•南充）满足x≤3的最大整数x是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（2021•南充）端午节买粽子，每个肉粽比素粽多1元，购买10个肉粽和5个素粽共用去70元，设每个肉粽x元，则可列方程为（　　）
A．10x+5（x﹣1）＝70 B．10x+5（x+1）＝70
C．10（x﹣1）+5x＝70 D．10（x+1）+5x＝70
3．（2021•宜宾）若关于x的分式方程有增根，则m的值是（　　）
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2
4．（2021•雅安）若直角三角形的两边长分别是方程x2﹣7x+12＝0的两根，则该直角三角形的面积是（　　）
A．6 B．12 C．12或 D．6或
5．（2021•凉山州）函数y＝kx+b的图象如图所示，则关于x的一元二次方程x2+bx+k﹣1＝0的根的情况是（　　）

A．没有实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．无法确定
二．填空题（共4小题）
6．（2021•宜宾）据统计，2021年第一季度宜宾市实现地区生产总值约652亿元，若使该市第三季度实现地区生产总值960亿元，设该市第二、三季度地区生产总值平均增长率为x，则可列方程 　 　．
7．（2021•凉山州）已知是方程ax+y＝2的解，则a的值为　 　．
8．（2021•雅安）已知一元二次方程x2+x﹣2021＝0的两根分别为m，n，则+的值为 　 　．
9．（2021•凉山州）若关于x的分式方程的解为正数，则m的取值范围是　 　．
三．解答题（共4小题）
10．（2021•眉山）解方程组：．
11．（2021•乐山）当x取何正整数值时，代数式与的值的差大于1．
12．（2021•广元）为增强学生体质，丰富学生课余活动，学校决定添置一批篮球和足球．甲、乙两家商场以相同的价格出售同种品牌的篮球和足球，已知篮球价格为200元/个，足球价格为150元/个．
（1）若学校计划用不超过3550元的总费用购买这款篮球和足球共20个，且购买篮球的数量多于购买足球数量的．学校有哪几种购买方案？
（2）若甲、乙两商场各自推出不同的优惠方案：甲商场累计购物超过500元后，超出500元的部分按90%收费；乙商场累计购物超过2000元后，超出2000元的部分按80%收费．若学校按（1）中的方案购买，学校到哪家商场购买花费少？
13．（2021•南充）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0．
（1）求证：无论k取何值，方程都有两个不相等的实数根．
（2）如果方程的两个实数根为x1，x2，且k与都为整数，求k所有可能的值．

2021年四川中考数学真题分类汇编之方程与不等式
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．（2021•南充）满足x≤3的最大整数x是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】一元一次不等式的整数解．菁优网版权所有
【专题】一元一次不等式(组)及应用；运算能力．
【分析】根据不等式x≤3得出选项即可。
【解答】解：满足x≤3的最大整数x是3，
故选：C．
【点评】本题考查了一元一次不等式的整数解和有理数的大小比较法则，能熟记有理数的大小比较法则是解此题的关键．
2．（2021•南充）端午节买粽子，每个肉粽比素粽多1元，购买10个肉粽和5个素粽共用去70元，设每个肉粽x元，则可列方程为（　　）
A．10x+5（x﹣1）＝70 B．10x+5（x+1）＝70
C．10（x﹣1）+5x＝70 D．10（x+1）+5x＝70
【考点】由实际问题抽象出一元一次方程．菁优网版权所有
【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【分析】设每个肉粽x元，则每个素粽（x﹣1）元，根据总价＝单价×数量，结合购买10个肉粽和5个素粽共用去70元，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．
【解答】解：设每个肉粽x元，则每个素粽（x﹣1）元，
依题意得：10x+5(x﹣1)＝70．
故选：A．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
3．（2021•宜宾）若关于x的分式方程有增根，则m的值是（　　）
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2
【考点】分式方程的增根．菁优网版权所有
【专题】分式方程及应用；运算能力．
【分析】方程两边同时乘（x﹣2），将分式方程转化为整式方程，解这个整式方程得到方程的解，根据方程有增根，得到x＝2，列出方程计算出m的值即可．
【解答】解：方程两边同时乘（x﹣2）得：x﹣3（x﹣2）＝m，
解得：x＝3﹣m，
∵方程有增根，
∴x﹣2＝0，
∴x＝2，
∴3﹣m＝2，
∴m＝2，
故选：C．
【点评】本题考查了分式方程的增根，理解增根产生的原因是解题的关键．
4．（2021•雅安）若直角三角形的两边长分别是方程x2﹣7x+12＝0的两根，则该直角三角形的面积是（　　）
A．6 B．12 C．12或 D．6或
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法；勾股定理．菁优网版权所有
【专题】一元二次方程及应用；等腰三角形与直角三角形；运算能力．
【分析】先解出方程x2﹣7x+12＝0的两个根为3和4，再分长是4的边是直角边和斜边两种情况进行讨论，然后根据直角三角形的面积公式即可求解．
【解答】解：∵x2﹣7x+12＝0，
∴x＝3或x＝4．
①当长是4的边是直角边时，该直角三角形的面积是×3×4＝6；
②当长是4的边是斜边时，第三边是＝，该直角三角形的面积是×3×＝．
故选：D．
【点评】本题考查了一元二次方程的解法，三角形的面积，正确求解方程的两根，能够分两种情况进行讨论是解题的关键．
5．（2021•凉山州）函数y＝kx+b的图象如图所示，则关于x的一元二次方程x2+bx+k﹣1＝0的根的情况是（　　）

A．没有实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．无法确定
【考点】根的判别式；一次函数的图象．菁优网版权所有
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【分析】先利用一次函数的性质得k＜0，b＜0，再计算判别式的值得到Δ＝b2﹣4（k﹣1），于是可判断Δ＞0，然后根据判别式的意义判断方程根的情况．
【解答】解：根据图象可得k＜0，b＜0，
所以b2＞0，﹣4k＞0，
因为Δ＝b2﹣4（k﹣1）＝b2﹣4k+4＞0，
所以Δ＞0，
所以方程有两个不相等的实数根．
故选：C．

【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．也考查了一次函数图象．
二．填空题（共4小题）
6．（2021•宜宾）据统计，2021年第一季度宜宾市实现地区生产总值约652亿元，若使该市第三季度实现地区生产总值960亿元，设该市第二、三季度地区生产总值平均增长率为x，则可列方程 　652（1+x）2＝960　．
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．菁优网版权所有
【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【分析】设该市第二、三季度地区生产总值平均增长率为x，根据该地区第三季度的生产总值＝该地区第一季度的生产总值×（1+增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：设该市第二、三季度地区生产总值平均增长率为x，
依题意得：652（1+x）2＝960．
故答案为：652（1+x）2＝960．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
7．（2021•凉山州）已知是方程ax+y＝2的解，则a的值为　﹣1　．
【考点】二元一次方程的解．菁优网版权所有
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【分析】把方程的解代入方程，得到关于a的一元一次方程，解方程即可．
【解答】解：把代入到方程中得：a+3＝2，
∴a＝﹣1，
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查了二元一次方程的解，把方程的解代入方程，得到关于a的一元一次方程是解题的关键．
8．（2021•雅安）已知一元二次方程x2+x﹣2021＝0的两根分别为m，n，则+的值为 　　．
【考点】根与系数的关系．菁优网版权所有
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【分析】由根与系数的关系可求得m+n和mn的值，代入求值即可．
【解答】解：∵一元二次方程x2+x﹣2021＝0的两根分别为m，n，
∴m+n＝﹣1，mn＝﹣2021，
∴+＝＝＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与系数的关系：若方程的两根为x1，x2，则x1+x2＝﹣，x1•x2＝．
9．（2021•凉山州）若关于x的分式方程的解为正数，则m的取值范围是　m＞﹣3且m≠﹣2　．
【考点】分式方程的解；解一元一次不等式．菁优网版权所有
【专题】计算题；运算能力．
【分析】先利用m表示出x的值，再由x为正数求出m的取值范围即可．
【解答】解：方程两边同时乘以(x﹣1)得，2x﹣3（x﹣1）＝﹣m，
解得x＝m+3．
∵x为正数，
∴m+3＞0，解得m＞﹣3．
∵x≠1，
∴m+3≠1，即m≠﹣2．
∴m的取值范围是m＞﹣3且m≠﹣2．
故答案为：m＞﹣3且m≠﹣2．
【点评】本题考查的是分式方程的解，熟知求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫方程的解是解答此题的关键．
三．解答题（共4小题）
10．（2021•眉山）解方程组：．
【考点】解二元一次方程组．菁优网版权所有
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【分析】方程组整理后，利用加减消元法求出解即可．
【解答】解：方程组整理得：，
①×15+②×2得：49x＝﹣294，
解得：x＝﹣6，
把x＝﹣6代入②得：y＝1，
则方程组的解为．
【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
11．（2021•乐山）当x取何正整数值时，代数式与的值的差大于1．
【考点】代数式求值；解一元一次不等式．菁优网版权所有
【专题】一元一次不等式(组)及应用；运算能力．
【分析】根据题意列出关于x的一元一次不等式﹣＞1，先去分母，然后通过移项、合并同类项、化系数为1进行解答即可．
【解答】解：依题意得：﹣＞1，
去分母，得：3（x+3）﹣2（2x﹣1）＞6，
去括号，得：3x+9﹣4x+2＞6，
移项，得：3x﹣4x＞6﹣2﹣9，
合并同类项，得：﹣x＞﹣5，
系数化为1，得：x＜5．
∴x取1，2，3，4．
【点评】本题考查了解一元一次不等式．根据不等式的性质解一元一次不等式，基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1．
12．（2021•广元）为增强学生体质，丰富学生课余活动，学校决定添置一批篮球和足球．甲、乙两家商场以相同的价格出售同种品牌的篮球和足球，已知篮球价格为200元/个，足球价格为150元/个．
（1）若学校计划用不超过3550元的总费用购买这款篮球和足球共20个，且购买篮球的数量多于购买足球数量的．学校有哪几种购买方案？
（2）若甲、乙两商场各自推出不同的优惠方案：甲商场累计购物超过500元后，超出500元的部分按90%收费；乙商场累计购物超过2000元后，超出2000元的部分按80%收费．若学校按（1）中的方案购买，学校到哪家商场购买花费少？
【考点】一元一次不等式组的应用．菁优网版权所有
【专题】方案型；一元一次不等式(组)及应用；运算能力；模型思想．
【分析】（1）设购买篮球x个，购买足球（20﹣x）个，根据用不超过3550元的总费用购买这款篮球和足球共20个，且购买篮球的数量多于购买足球数量的，列出不等式组求解即可；
（2）分别求出三种方案到甲乙两商场的费用比较即可得到．
【解答】解：（1）设购买篮球x个，购买足球（20﹣x）个，由题意得，
，
解得8＜x≤11，
∵x取正整数，
∴x＝9，10，11，
∴20﹣x＝11，10，9，
答：一共有3种方案：
方案一：购买篮球9个，购买足球11个；
方案二：购买篮球10个，购买足球10个；
方案三：购买篮球11个，购买足球9个．
（2）1°当购买篮球9个，购买足球11个时，
甲商场的费用：500+0.9×（200×9+150×11﹣500）＝3155元，
乙商场的费用：2000+0.8×（200×9+150×11﹣2000）＝3160元，
∵3155＜3160，
∴学校到甲商场购买花费少；
2°当购买篮球10个，购买足球10个时，
甲商场的费用：500+0.9×（200×10+150×10﹣500）＝3200元，
乙商场的费用：2000+0.8×（200×10+150×10﹣2000）＝3200元，
∵3200＝3200，
∴学校到甲商场和乙商场购买花费一样；
3°当购买篮球11个，购买足球9个时，
甲商场的费用：500+0.9×（200×11+150×9﹣500）＝3245元，
乙商场的费用：2000+0.8×（200×11+150×9﹣2000）＝3240元，
∵3245＞3240，
∴学校到乙商场购买花费少．
【点评】本题主要考查了一元一次不等式组的应用，找到关键描述语，进而找到所求的量的数量关系，列出不等式组求解．
13．（2021•南充）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0．
（1）求证：无论k取何值，方程都有两个不相等的实数根．
（2）如果方程的两个实数根为x1，x2，且k与都为整数，求k所有可能的值．
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法；根的判别式．菁优网版权所有
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，可得出△＝1＞0，进而可证出方程有两个不相等的实数根；
（2）解方程求出方程的两根为k，k+1，得出＝1+或＝1﹣，然后利用有理数的整除性确定k的整数值；
【解答】（1）证明：∵△＝[﹣（2k+1）]2﹣4×（k2+k）＝1＞0，
∴无论k取何值，方程有两个不相等的实数根．
（2）解：∵x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0，即（x﹣k）[x﹣（k+1）]＝0，
解得：x＝k或x＝k+1．
∴一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0的两根为k，k+1，
∴或，
如果1+为整数，则k为1的约数，
∴k＝±1，
如果1﹣为整数，则k+1为1的约数，
∴k+1＝±1，
则k为0或﹣2．
∴整数k的所有可能的值为±1，0或﹣2．
【点评】本题考查了根的判别式、解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”；（2）利用解方程求出k的整数值．

考点卡片
1．代数式求值
（1）代数式的值：用数值代替代数式里的字母，计算后所得的结果叫做代数式的值．
（2）代数式的求值：求代数式的值可以直接代入、计算．如果给出的代数式可以化简，要先化简再求值．
题型简单总结以下三种：
①已知条件不化简，所给代数式化简；
②已知条件化简，所给代数式不化简；
③已知条件和所给代数式都要化简．
2．由实际问题抽象出一元一次方程
审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程．
（1）“总量＝各部分量的和”是列方程解应用题中一个基本的关系式，在这一类问题中，表示出各部分的量和总量，然后利用它们之间的等量关系列方程．
（2）“表示同一个量的不同式子相等”是列方程解应用题中的一个基本相等关系，也是列方程的一种基本方法．通过对同一个量从不同的角度用不同的式子表示，进而列出方程．
3．二元一次方程的解
（1）定义：一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解．
（2）在二元一次方程中，任意给出一个未知数的值，总能求出另一个未知数的一个唯一确定的值，所以二元一次方程有无数解．
（3）在求一个二元一次方程的整数解时，往往采用“给一个，求一个”的方法，即先给出其中一个未知数（一般是系数绝对值较大的）的值，再依次求出另一个的对应值．
4．解二元一次方程组
（1）用代入法解二元一次方程组的一般步骤：①从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程组中的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来．②将变形后的关系式代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．③解这个一元一次方程，求出x（或y）的值．④将求得的未知数的值代入变形后的关系式中，求出另一个未知数的值．⑤把求得的x、y的值用“{”联立起来，就是方程组的解．
（2）用加减法解二元一次方程组的一般步骤：①方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不相等又不互为相反数，就用适当的数去乘方程的两边，使某一个未知数的系数相等或互为相反数．②把两个方程的两边分别相减或相加，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．③解这个一元一次方程，求得未知数的值．④将求出的未知数的值代入原方程组的任意一个方程中，求出另一个未知数的值．⑤把所求得的两个未知数的值写在一起，就得到原方程组的解，用的形式表示．
5．解一元二次方程-因式分解法
（1）因式分解法解一元二次方程的意义
因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．
（2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤：
①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解．
6．根的判别式
利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况．
一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：
①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当△＜0时，方程无实数根．
上面的结论反过来也成立．
7．根与系数的关系
（1）若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反过来可得p＝﹣（x1+x2），q＝x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数．
（2）若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝，x1x2＝，反过来也成立，即＝﹣（x1+x2），＝x1x2．
（3）常用根与系数的关系解决以下问题：
①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数．③不解方程求关于根的式子的值，如求，x12+x22等等．④判断两根的符号．⑤求作新方程．⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，△≥0这两个前提条件．
8．由实际问题抽象出一元二次方程
在解决实际问题时，要全面、系统地申清问题的已知和未知，以及它们之间的数量关系，找出并全面表示问题的相等关系，设出未知数，用方程表示出已知量与未知量之间的等量关系，即列出一元二次方程．
9．分式方程的解
求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫方程的解．
注意：在解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解．
10．分式方程的增根
（1）增根的定义：在分式方程变形时，有可能产生不适合原方程的根，即代入分式方程后分母的值为0或是转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值的根，叫做原方程的增根．
（2）增根的产生的原因：对于分式方程，当分式中，分母的值为零时，无意义，所以分式方程，不允许未知数取哪些使分母的值为零的值，即分式方程本身就隐含着分母不为零的条件．当把分式方程转化为整式方程以后，这种限制取消了，换言之，方程中未知数的值范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值，那么就会出现增根．
（3）检验增根的方法：把由分式方程化成的整式方程的解代入最简公分母，看最简公分母是否为0，如果为0，则是增根；如果不是0，则是原分式方程的根．
11．解一元一次不等式
根据不等式的性质解一元一次不等式
基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1．
以上步骤中，只有①去分母和⑤化系数为1可能用到性质3，即可能变不等号方向，其他都不会改变不等号方向．
注意：符号“≥”和“≤”分别比“＞”和“＜”各多了一层相等的含义，它们是不等号与等号合写形式．
12．一元一次不等式的整数解
解决此类问题的关键在于正确解得不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式的整数解．可以借助数轴进行数形结合，得到需要的值，进而非常容易的解决问题．
13．一元一次不等式组的应用
对具有多种不等关系的问题，考虑列一元一次不等式组，并求解．
一元一次不等式组的应用主要是列一元一次不等式组解应用题，其一般步骤：
（1）分析题意，找出不等关系；
（2）设未知数，列出不等式组；
（3）解不等式组；
（4）从不等式组解集中找出符合题意的答案；
（5）作答．
14．一次函数的图象
（1）一次函数的图象的画法：经过两点（0，b）、（﹣，0）或（1，k+b）作直线y＝kx+b．
注意：①使用两点法画一次函数的图象，不一定就选择上面的两点，而要根据具体情况，所选取的点的横、纵坐标尽量取整数，以便于描点准确．②一次函数的图象是与坐标轴不平行的一条直线（正比例函数是过原点的直线），但直线不一定是一次函数的图象．如x＝a，y＝b分别是与y轴，x轴平行的直线，就不是一次函数的图象．
（2）一次函数图象之间的位置关系：直线y＝kx+b，可以看做由直线y＝kx平移|b|个单位而得到．
当b＞0时，向上平移；b＜0时，向下平移．
注意：①如果两条直线平行，则其比例系数相等；反之亦然；
②将直线平移，其规律是：上加下减，左加右减；
③两条直线相交，其交点都适合这两条直线．
15．勾股定理
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a＝，b＝及c＝．
（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．
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日期：2021/8/3 14:59:02；用户：招远2；邮箱：zybzy2@xyh.com；学号：4029210