北师大版九年级上册第一章 特殊平行四边形1 菱形的性质与判定测试题

北师大版2021年九年级上册：1.1《菱形的性质与判定》同步练习卷

一．选择题

1．下列条件中能判断一个四边形是菱形的是（　　）

A．对角线互相平分且相等 

B．对角线互相垂直且相等 

C．对角线互相平分且垂直 

D．对角线互相垂直且一条对角线平分一组对角

2．四边形ABCD中，对角线AC与BD交于O，下列条件不能判定四边形ABCD是菱形的是（　　）

A．∠ABC＝∠ADC，∠BAD＝∠BCD，AC⊥BD 

B．AB∥CD，AB＝CD，AB＝BC 

C．OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD 

D．AB∥CD，AD＝BC，AB＝BC

3．菱形的对角线线长分别为6和8，则菱形的周长是（　　）

A．12 B．24 C．48 D．20

4．在菱形ABCD中，对角线BD＝4，∠ABC＝120°，则菱形ABCD的面积为（　　）

A．16 B．4 C．8 D．16

5．如图，在菱形ABCD中，标出了四条线段的长度，其中有一个长度是标错的，这个长度是（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5

6．如图，若菱形ABCD的顶点A、B的坐标分别为（3，0）、（﹣2，0），点D在y轴上，则点C的坐标是（　　）

A．（﹣5，4） B．（﹣5，5） C．（﹣4，4） D．（﹣4，5）

二．填空题

7．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且AO＝CO，BO＝DO，要使四边形ABCD为菱形，则需添加的条件为 　             　．（填一个即可）

8．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC＝8，DB＝6，DH⊥AB于点H，则DH的长为 　               　．

9．已知菱形的边长为2cm，一个内角为60°，那么该菱形的面积为　            　cm2．

10．如图所示的木制活动衣帽架是由三个全等的菱形构成，根据实际需要可以调节AE间的距离．若AE间的距离调节到60cm，菱形的边长AB＝20cm，则∠DAB的度数是 　     　．

11．如图，点A的坐标为（2，3），点B的坐标为（4，0），点C为第四象限内的一点，若以O，A，B，C为顶点的四边形是菱形，则点C的坐标为 　       　．

12．如图，在边长为10的菱形ABCD中，对角线BD＝16，点O是线段BD上的动点，OE⊥AB于E，OF⊥AD于F．则OE+OF＝　    　．

三．解答题

13．如图，在菱形ABCD中，AC为对角线，∠B＝60°，点E，F分别是BC，CD边上的点，BE＝CF．求证：AE＝AF．

14．如图，E，F两点在菱形ABCD的对角线BD上，且BE＝DF，链接AE，AF，CE，CF．求证：四边形AECF是菱形．

15．如图，在▱ABCD中，边AB的垂直平分线交AD于点E，交CB的延长线于点F，连接AF、BE．求证：四边形AFBE是菱形．

16．如图，已知菱形ABCD的对角线相交于点O，延长AB至点E，使BE＝AB，连接CE．

（1）求证：BD＝EC；

（2）若∠E＝57°，求∠BAO的大小．

17．如图，在△ABC中，AB＝AC，过A、C两点分别作AD∥BC，CD∥AB交于点D，延长DC至点E，使DC＝CE，连接BE．

（1）求证：四边形ACEB是菱形；

（2）若AB＝4，BC＝6，求四边形ACEB的面积．

18．如图所示，在菱形ABCD中，AB＝4，∠BAD＝120°，△AEF为正三角形，点E、F分别在菱形的边BC、CD上滑动，且E、F不与B、C、D重合．

（1）证明：不论E、F在BC、CD上如何滑动，总有BE＝CF；

（2）当点E、F在BC、CD上滑动时，探讨四边形AECF的面积是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最大（或最小）值．

参考答案

一．选择题

1．【解答】解：A、对角线互相平分且相等的四边形是矩形，不符合题意；

B、对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，不符合题意；

C、对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，符合题意；

D、对角线互相垂直且一条对角线平分一组对角，不一定是菱形，如等腰梯形，不符合题意；

故选：C．

2．【解答】解：A、∵∠ABC＝∠ADC，∠BAD＝∠BCD，

∴四边形ABCD是平行四边形，

∵AC⊥BD，

∴平行四边形ABCD是菱形，不符合题意；

B、∵AB∥CD，AB＝CD，

∴四边形ABCD是平行四边形，

∵AB＝BC，

∴平行四边形ABCD是菱形，不符合题意；

C、∵OA＝OC，OB＝OD，

∴四边形ABCD是平行四边形，

∵AC⊥BD，

∴平行四边形ABCD是菱形，不符合题意；

D、∵AB∥CD，AD＝BC，不能判断出四边形ABCD是平行四边形，进而不能得出平行四边形ABCD是菱形，符合题意；

故选：D．

3．【解答】解：如图所示，

∵四边形ABCD是菱形，

∴AO＝×8＝4，BO＝×6＝3，AB＝BC＝CD＝DA，AC⊥BD，

∴△AOB是直角三角形，

∴AB＝＝5，

∴此菱形的周长＝5×4＝20．

故选：D．

4．【解答】解：如图，连接AC、BD，

在菱形ABCD中，AC⊥BD，OB＝BD＝×4＝2，

∵∠BAD＝120°，

∴∠BAO＝60°，

在Rt△AOB中，AB＝2OB＝4，OA＝OB＝2，

∴AC＝2OA＝4，

∴菱形ABCD的面积＝，

故选：C．

5．【解答】解：有一个长度是标错的，这个长度是2，理由如下：

∵四边形ABCD是菱形，

∴OA＝OC，AD＝AB＝5，AC⊥BD，

∴∠AOD＝90°，

∴OA＝＝＝3＝OC，

∴有一个长度是标错的，这个长度是2，

故选：A．

6．【解答】解：∵菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（3，0），（﹣2，0），点D在y轴上，

∴AB＝3﹣（﹣2）＝5，AB∥CD，AD＝CD＝AB＝5，

即CD∥x轴，

在Rt△AOD中，

由勾股定理得：OD＝＝＝4，

∴点C的坐标是：（﹣5，4）．

故选：A．

二．填空题

7．【解答】解：应添加的条件是：AB＝BC，理由如下：

∵AO＝CO，BO＝DO，

∴四边形ABCD是平行四边形，

∵AB＝BC，

∴平行四边形ABCD是菱形，

故答案为：AB＝BC（答案不唯一）．

8．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，

∴AC⊥BD，OA＝OC＝AC＝4，OB＝OD＝BD＝3，

∴AB＝＝＝5，

∴S菱形ABCD＝AC•BD＝AB•DH，

∴DH＝＝，

故答案为：．

9．【解答】解：连接AC，过点A作AM⊥BC于点M，

∵菱形的边长为2cm，

∴AB＝BC＝2cm，

∵有一个内角是60°，

∴∠ABC＝60°，

∴AM＝ABsin60°＝，

∴此菱形的面积为：2×＝2（cm2）．

故答案为：2．

10．【解答】解：如图，连接AE，

∵AE间的距离调节到60cm，木制活动衣帽架是由三个全等的菱形构成，

∴AC＝20cm，

∵菱形的边长AB＝20cm，

∴AB＝BC＝20cm，

∴AC＝AB＝BC，

∴△ABC是等边三角形，

∴∠B＝60°，

∴∠DAB＝120°．

故选：C．

120°

故答案为：120°．

11．【解答】解：连接AC，如图所示：

∵四边形OABC是菱形，

∴AC与OB互相垂直平分，

∴点C与A关于x轴对称，

∵点A的坐标为（2，3），

∴点C的坐标为（2，﹣3），

故答案为（2，﹣3）．

12．【解答】解：如图，连接AC交BD于点G，连接AO，

∵四边形ABCD是菱形，

∴AC⊥BD，AB＝AD＝10，BG＝BD＝8，

根据勾股定理得：AG＝＝＝6，

∵S△ABD＝S△AOB+S△AOD，

即BD•AG＝AB•OE+AD•OF，

∴16×6＝10OE+10OF，

∴OE+OF＝9.6．

故答案为：9.6．

三．解答题

13．【解答】证明：∵四边形ABCD是菱形，

∴AB＝BC，∠ACB＝∠ACD，AB∥CD，

∴∠BCD+∠B＝180°，

∴∠BCD＝120°，

∴∠ACB＝60°＝∠B，

∴△ABC是等边三角形，

∴AB＝AC，

在△ABE和△ACF中，，

∴△ABE≌△ACF（SAS），

∴AE＝AF．

14．【解答】证明：连接AC，交BD于点O，如图所示：

∵四边形ABCD是菱形，

∴AO＝CO，BO＝DO，AC⊥BD，

∵BE＝DF，

∴BO﹣BE＝DO﹣DF，

即EO＝FO，

∴四边形AECF是平行四边形，

又∵AC⊥BD，

∴平行四边形AECF是菱形．

15．【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，

∴∠AEG＝∠BFG，

∵EF垂直平分AB，

∴AG＝BG，且∠AEG＝∠BFG，∠AGE＝∠BGF

∴△AGE≌△BGF（AAS）；

∴AE＝BF，

∵AD∥BC，

∴四边形AFBE是平行四边形，

又∵EF⊥AB，

∴四边形AFBE是菱形．

16．【解答】证明：（1）∵菱形ABCD，

∴AB＝CD，AB∥CD

又∵BE＝AB，

∴BE＝CD，BE∥CD，

∴四边形BECD是平行四边形

∴BD＝EC

（2）∵平行四边形BECD，

∴BD∥CE，

∴∠ABO＝∠E＝57°

又∵菱形ABCD，

∴AC⊥BD，

∴∠AOB＝90°

∴∠BAO+∠ABO＝90°

∴∠BAO＝90°﹣∠ABO＝33°

17．【解答】证明：（1）∵AD∥BC，CD∥AB，

∴四边形ABCD是平行四边形，

∴AB＝DC，

∵DC＝CE，

∴AB＝CE，

∵AB∥CD，

∴AB∥CE，

∴四边形ACEB是平行四边形，

∵AB＝AC，

∴平行四边形ACEB是菱形；

（2）如图，连接AE，交BC于点O，

∵四边形ACEB是菱形，

∴AE⊥BC，

∵AB＝4，BC＝6，

∴OB＝BC＝3，

∴OA＝，

∴AE＝2OA＝2，

∴．

18．【解答】（1）证明：连接AC，如图所示，

∵菱形ABCD，∠BAD＝120°，

∴∠BAC＝∠DAC＝60°，

∴∠1+∠EAC＝60°，∠3+∠EAC＝60°，

∴∠1＝∠3，

∵∠BAD＝120°，BC∥AD，

∴∠ABC＝∠BAC＝∠ACB＝60°，

∴△ABC、△ACD为等边三角形，

∴∠4＝60°，AC＝AB，

∴在△ABE和△ACF中，

 ，

∴△ABE≌△ACF（ASA）．

∴BE＝CF；

（2）解：四边形AECF的面积不变．

理由：由（1）得△ABE≌△ACF，

则S△ABE＝S△ACF，

故S四边形AECF＝S△AEC+S△ACF＝S△AEC+S△ABE＝S△ABC，是定值，

作AH⊥BC于H点，则BH＝2，

S四边形AECF＝S△ABC＝BC•AH＝BC•＝4．