初中数学人教版九年级上册22.1.3 二次函数y＝a（x－h）2＋k的图象和性质随堂练习题

专题17 二次函数y=a(x-h)^2+k的图象和性质

班级_________     姓名_________     学号_________     分数_________

二次函数的性质

二次函数的性质

二次函数图象的平移

平移步骤：

         将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标；

         保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下：

平移规律

在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”．

【概括】左加右减，上加下减

一、单选题(共10小题)

1．关于抛物线y=﹣2（x﹣1）2说法正确的是（　　）

A．顶点坐标为（﹣2，1）

B．当x＜1时，y随x的增大而增大

C．当x=0时，y有最大值1

D．抛物线的对称轴为直线x=﹣2

【答案】B

【分析】

抛物线y=-2（x-1） 2，开口方向由a的大小判定，a<0，开口向下，又由于此题给的解析式是顶点坐标式，很容易得出顶点坐标，而对称轴就是顶点横坐标所在的平行于y轴的直线．

【详解】

A，抛物线的顶点坐标是（1，0），故错误．

B，由于开口方向向下，对称轴为x=1，x＜1时y随x的增大而增大，故正确；

C，由于开口方向向下，顶点坐标是（1，0），所以当x=1时，y有最大值0，故错误；

D，抛物线的对称轴是x=1，故错误；

故选B．

【点睛】

本题考查了二次函数图象的性质，对于二次函数y=a(x-h)2+k （a，b，c为常数，a≠0），当a>0时，抛物线开口向上，在对称轴的左侧y随x的增大而减小，在对称轴的右侧y随x的增大而增大，此时函数有最小值；当a<0时，抛物线开口向下，在对称轴的左侧y随x的增大而增大，在对称轴的右侧y随x的增大而减小，此时函数有最大值.其顶点坐标是(h，k)，对称轴为x=h.

2．对于抛物线y＝﹣（x+2）2﹣1，下列说法错误的是（　　）

A．开口向下

B．对称轴是直线x＝﹣2

C．x＞﹣2时，y随x的增大而增大

D．x＝﹣2，函数有最大值y＝﹣1

【答案】C

【分析】

根据二次函数的性质依次判断各个选项后即可解答．

【详解】

∵y＝﹣（x+2）2﹣1，

∴该抛物线的开口向下，顶点坐标是（﹣2，﹣1），对称轴为直线x＝﹣2，

当x＝﹣2时，函数有最大值y＝﹣1，当x＞﹣2时，y随x的增大而减小，故选项C的说法错误.

故选C．

【点睛】

本题考查了二次函数的性质，熟练运用二次函数的性质是解决问题的关键.

3．对于函数y=-2（x-3）2，下列说法不正确的是（　　）

A．开口向下 B．对称轴是 C．最大值为0 D．与y轴不相交

【答案】D

【分析】

根据二次函数的性质即可一一判断．

【详解】

对于函数y=-2(x-3)2的图象，

∵a=-2＜0，

∴开口向下，对称轴x=3，顶点坐标为(3，0)，函数有最大值0，

故选项A、B、C正确， 选项D错误，

故选D．

【点睛】

本题考查二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，属于基础题，中考常考题型．

4．已知函数y＝（x﹣1）2，下列结论正确的是（　　）

A．当x＞0时，y随x的增大而减小 B．当x＜0时，y随x的增大而增大

C．当x＜1时，y随x的增大而减小 D．当x＜﹣1时，y随x的增大而增大

【答案】C

【分析】

直接利用二次函数的增减性进而分析得出答案．

【详解】

函数y＝（x﹣1）2，对称轴为直线x＝1，开口方向上，

故当x＜1时，y随x的增大而减小．

故选C．

【点睛】

此题主要考查了二次函数的性质，正确把握二次函数的增减性是解题关键．

5．顶点为（-2,0），开口方向、形状与函数的图象相同的抛物线的表达式为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】

由开口方向、形状与函数的图象相同，即可得到k的值，然后根据顶点坐标，即可得到正确的解析式.

【详解】

解：由开口方向、形状与函数的图象相同，

∴，

∵顶点为（-2,0），

∴抛物线的表达式为.

故选择：C.

【点睛】

本题考查了二次函数的图像和性质，解题的关键是熟练掌握性质特征.

6．已知二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，下列关于此函数图象的描述中，错误的是（　　）

A．对称轴是直线x＝1 B．当x＜0时，函数y随x增大而增大

C．图象的顶点坐标是（1，4） D．图象与x轴的另一个交点是（4，0）

【答案】D

【分析】

利用二次函数的图像与性质，判断选项的正误即可.

【详解】

由函数图像可知，对称轴是直线x＝1故选项A正确；

当x＜0时，函数y随x增大而增大，故选项B正确；

图象的顶点坐标是（1，4），故选项C正确；

图象与x轴的另一个交点是（3，0），故选项D错误.

故选D

【点睛】

本题考查了二次函数的图像与性质，熟练掌握性质是解题的关键.

7．对于二次函数,下列说法正确的是（ ）

A．当x>0，y随x的增大而增大

B．当x=2时，y有最大值－3

C．图像的顶点坐标为（－2，－7）

D．图像与x轴有两个交点

【答案】B

【详解】

二次函数,

所以二次函数的开口向下，当x＜2，y随x的增大而增大，选项A错误；

当x=2时，取得最大值，最大值为－3,选项B正确；

顶点坐标为（2，-3），选项C错误；

顶点坐标为（2，-3），抛物线开口向下可得抛物线与x轴没有交点，选项D错误，

故答案选B.

考点：二次函数的性质.

8．抛物线y=2(x-1)2+c过(-2，y1)，(0，y2)， (，y3)三点，则大小关系是(    )

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】

由题意可知抛物线开口向上，对称轴是直线x=1，求出(，y3) 直线x=1的对称点，然后根据二次函数的增减性可以判断y1，y2，y3的大小关系，从而可以解答本题．

【详解】

解：∵y=2(x-1)2+c，2>0，
∴抛物线开口向上，对称轴是直线x=1，

∴当x＜1时，y随x的增大而减小；(，y3)关于直线x=1的对称点是(，y3)，
∵-2<<0<1

∴y1＞y3＞y2，
故选：D．

【点睛】

本题考查二次函数的增减性，解答本题的关键是掌握二次函数的增减性，把三个点通过对称性转移到对称轴的同一侧，然后利用二次函数的增减性解答．

9．将抛物线向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，所得到的抛物线为（    ）.

A．； B．；

C．； D．.

【答案】B

【分析】

根据抛物线图像的平移规律“左加右减，上加下减”即可确定平移后的抛物线解析式.

【详解】

解：将抛物线向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式为，

故选B．

【点睛】

本题考查了二次函数的平移规律，熟练掌握其平移规律是解题的关键.

10．抛物线y=（x﹣2）2﹣1可以由抛物线y=x2平移而得到，下列平移正确的是（　　）

A．先向左平移2个单位长度，然后向上平移1个单位长度

B．先向左平移2个单位长度，然后向下平移1个单位长度

C．先向右平移2个单位长度，然后向上平移1个单位长度

D．先向右平移2个单位长度，然后向下平移1个单位长度

【答案】D

【详解】

分析：抛物线平移问题可以以平移前后两个解析式的顶点坐标为基准研究．

详解：抛物线y=x2顶点为（0，0），抛物线y=（x﹣2）2﹣1的顶点为（2，﹣1），则抛物线y=x2向右平移2个单位，向下平移1个单位得到抛物线y=（x﹣2）2﹣1的图象．

故选D．

点睛：本题考查二次函数图象平移问题，解答时最简单方法是确定平移前后的抛物线顶点，从而确定平移方向．

二、填空题(共5小题)

11．已知函数y＝﹣（x﹣1）2图象上两点A（2，y1），B（a，y2），其中a＞2，则y1与y2的大小关系是y1_____y2（填“＜”、“＞”或“＝”）

【答案】＞

【解析】

试题分析：根据函数表达式可以判断抛物线对称轴是x=1,开口向下，所以当x>1时，y随x的增大而减小，a>2,所以y1>y2

12．把二次函数化成的形式，则________，把此函数图象向右平移个单位后，它的顶点坐标是________．

【答案】       

【分析】

根据二次函数的平移规律得到新的解析式即可解题.

【详解】

解：把二次函数化成顶点式得y= ,

把y= 的图像向右平移个单位后得y= ,

∴函数的顶点坐标是.

【点睛】

本题考查了二次函数的图像和性质,一般式与顶点式的转换,属于简单题,熟悉概念是解题关键.

13．已知关于x的二次函数，当1≤x≤3时，函数有最小值2h，则h的值为___________．

【答案】或6

【分析】

依据二次函数的增减性分1≤h≤3、h<1、h>3三种情况，由函数的最小值列出关于h的方程，解之可得．

【详解】

∵中a=1>0，

∴当x<h时，y随x的增大而减小；当x>h时，y随x的增大而增大；

①若1≤h≤3，

则当x=h时，函数取得最小值3，

即2h=3，

解得：h=；

②若h<1，则在1≤x≤3范围内，x=1时，函数取得最小值2h，

即

解得：h=2；(舍去)

③若h>3，则在1≤x≤3范围内，x=3时，函数取得最小值2h，

即

解得：h=6,h=2(舍去)；

故答案为:或6.

【点睛】

本题考查二次函数的图像和性质，因为对称轴的位置不确定，所以分类讨论.

14．二次函数y＝3x2+1和y＝3（x﹣1）2，以下说法：

①它们的图象开口方向、大小相同；

②它们的对称轴都是y轴，顶点坐标都是原点（0，1）；

③当x＞0时，它们的函数值y都是随着x的增大而增大；

④它们与坐标轴都有一个交点；

其中正确的说法有_____．

【答案】①

【分析】

根据二次函数图像的特点得出答案

【详解】

①因为y=3（x﹣1）2打开括号可知二次项系数为3与y=3x2+1的二次项系数相同，所以开口向上且大小相同①正确.②y=3（x﹣1）2的对称轴是x=1所以错误.③y=3（x﹣1）2的开口向上且对称轴是x=1，所以当0＜x＜1时函数值y随x的增大而减小，所以错误.④y=3（x﹣1）2与坐标轴有两个交点，所以错误.

【点睛】

熟练掌握二次函数图像的特点是解该题的关键.

15．抛物线y＝3(x－2)2的开口方向是______，顶点坐标为______，对称轴是______．当x______时，y随x的增大而增大；当x＝______时，y有最______值是______，它可以由抛物线y＝3x2向______平移______个单位得到．

【答案】  向上  (2，0)  直线x＝ 2  ≥2  2  小  0  右  2．

【解析】解：抛物线y＝3（x－2）2的开口方向是向上，顶点坐标为（2，0），对称轴是直线x＝ 2．当x≥2时，y随x的增大而增大；当x＝2时，y有最小值是0，它可以由抛物线y＝3x2向右平移2个单位得到．

故答案为：向上； （2，0）； 直线x＝ 2；≥2 ；2；小； 0； 右；2．

三、解答题(共2小题)

16．已知：二次函数

（1）通过配方将它写成的形式.

（2）当      时，函数有最      值，是        .

（3）当      时，随的增大而增大；）当      时，随的增大而减小.

（4）该函数图象由的图象经过怎样的平移得到？

【答案】（1）；（2），大，；（3），；（4）该函数图象可由的图象先向右平移个单位，再向上平移个单位得到.

【分析】

（1）利用配方法先提出二次项系数，再加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式；（2）根据二次函数的性质解决问题；（3）根据二次函数的性质解决问题；（4）根据抛物线的平移规律进行答题

【详解】

（1）=；

（2）由（1）得顶点坐标为（3,5），且图象开口向下，所以当x=3时有最大值为5

（3）由，得对称轴x=3，已知图象开口向下，所以当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小；

（4）函数先向右平移个单位，再向上平移个单位得到函数.

【点睛】

本题考查了二次函数的顶点式，二次函数的性质和图象．根据抛物线得出对称轴、顶点坐标以及抛物线的开口方向．

17．把二次函数y=a(x-h)2+k的图象先向左平移2个单位，再向上平移4个单位，得到二次函数y=(x+1)2-1的图象.

（1）试确定a，h，k的值；

（2）指出二次函数y=a(x-h)2+k的开口方向，对称轴和顶点坐标.

【答案】（1） （2）开口向下，对称轴是x=1的直线，顶点（1，-5）

【详解】

试题分析：（1）二次函数的平移，可以看作是将二次函数y= (x+1)2-1先向右平移2个单位，再向下平移4个单位得到二次函数y=a(x-h)2+k，然后再按二次函数图象的平移法则，确定函数解析式，即可得到结论；

（2），直接根据函数解析式，结合二次函数的性质，进行回答即可.

试题分析：（1）∵二次函数y=a(x-h)2+k的图象先向左平移2个单位，再向上平移4个单位，得到二次函数y= (x+1)2-1，

∴可以看作是将二次函数y= (x+1)2-1先向右平移2个单位，再向下平移4个单位得到二次函数y=a(x-h)2+k，

而将二次函数y= (x+1)2-1先向右平移2个单位，再向下平移4个单位得到二次函数为：y= (x-1)2-5，

∴a=，b=1，k=-5；

（2）二次函数y= (x-1)2-5，

开口向上，对称轴为x=1，顶点坐标为（1，-5）.