初中数学人教版九年级上册22.3 实际问题与二次函数综合训练题

专题23 利用二次函数解决投球问题

班级_________     姓名_________     学号_________     分数_________

一、单选题(共10小题)

1．一位篮球运动员在距离篮圈中心水平距离4m处起跳投篮，球沿一条抛物线运动，当球运动的水平距离为2.5m时，达到最大高度3.5m，然后准确落入篮框内．已知篮圈中心距离地面高度为3.05m，在如图所示的平面直角坐标系中，下列说法正确的是（　　）

A．此抛物线的解析式是y=﹣x2+3.5

B．篮圈中心的坐标是（4，3.05）

C．此抛物线的顶点坐标是（3.5，0）

D．篮球出手时离地面的高度是2m

【答案】A

【分析】

A、设抛物线的表达式为y=ax2+3.5，依题意可知图象经过的坐标，由此可得a的值；B、根据函数图象判断；C、根据函数图象判断；D、设这次跳投时，球出手处离地面hm，因为（1）中求得y=﹣0.2x2+3.5，当x=﹣2.5时，即可求得结论．

【详解】

解：A、∵抛物线的顶点坐标为（0，3.5），

∴可设抛物线的函数关系式为y=ax2+3.5．

∵篮圈中心（1.5，3.05）在抛物线上，将它的坐标代入上式，得  3.05=a×1.52+3.5，

∴a=﹣，

∴y=﹣x2+3.5．

故本选项正确；

B、由图示知，篮圈中心的坐标是（1.5，3.05），

故本选项错误；

C、由图示知，此抛物线的顶点坐标是（0，3.5），

故本选项错误；

D、设这次跳投时，球出手处离地面hm，

因为（1）中求得y=﹣0.2x2+3.5，

∴当x=﹣2.5时，

h=﹣0.2×（﹣2.5）2+3.5=2.25m．

∴这次跳投时，球出手处离地面2.25m．

故本选项错误．

故选A．

【点睛】

本题考查了二次函数的应用，解题的关键是从实际问题中抽象出二次函数模型，体现了数学建模的数学思想，难度不大，能够结合题意利用二次函数不同的表达形式求得解析式是解答本题的关键．

2．足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线是一条抛物线. 不考虑空气阻力，足球距离地面的高度h（单位：m）与足球被踢出后经过的时间t（单位：s）之间的关系如下表：

下列结论：①足球距离地面的最大高度为20m；②足球飞行路线的对称轴是直线；③足球被踢出9s时落地；④足球被踢出1.5s时，距离地面的高度是11m. 其中正确结论的个数是（     ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】B

【详解】

解：由题意，抛物线的解析式为y=ax（x﹣9），把（1，8）代入可得a=﹣1，

∴y=﹣t2+9t=﹣（t﹣4.5）2+20.25，

∴足球距离地面的最大高度为20.25m，故①错误，

∴抛物线的对称轴t=4.5，故②正确，

∵t=9时，y=0，∴足球被踢出9s时落地，故③正确，

∵t=1.5时，y=11.25，故④错误，∴正确的有②③，

故选B．

3．如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系h＝20t﹣5t2．下列叙述正确的是（　　）

A．小球的飞行高度不能达到15m

B．小球的飞行高度可以达到25m

C．小球从飞出到落地要用时4s

D．小球飞出1s时的飞行高度为10m

【答案】C

【分析】

直接利用h＝15以及结合配方法求出二次函数最值分别分析得出答案．

【详解】

A、当h＝15时，15＝20t﹣5t2，

解得：t1＝1，t2＝3，

故小球的飞行高度能达到15m，故此选项错误；

B、h＝20t﹣5t2＝﹣5（t﹣2）2+20，

故t＝2时，小球的飞行高度最大为：20m，故此选项错误；

C、∵h＝0时，0＝20t﹣5t2，

解得：t1＝0，t2＝4，

∴小球从飞出到落地要用时4s，故此选项正确；

D、当t＝1时，h＝15，

故小球飞出1s时的飞行高度为15m，故此选项错误；

故选C．

【点睛】

此题主要考查了二次函数的应用，灵活运用所学知识是解题关键．

4．如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方2m的A处发出，把球看成点，其运行的高度y（m）与运行的水平距离x（m）满足关系式y＝a（x﹣k）2+h．已知球与D点的水平距离为6m时，达到最高2.6m，球网与D点的水平距离为9m．高度为2.43m，球场的边界距O点的水平距离为18m，则下列判断正确的是（　　）

A．球不会过网 B．球会过球网但不会出界

C．球会过球网并会出界 D．无法确定

【答案】C

【详解】

分析：（1）将点A(0,2)代入求出a的值；分别求出x=9和x=18时的函数值，再分别与2.43、0比较大小可得．

详解：根据题意,将点A(0,2)代入

得：36a+2.6=2，

解得： 

∴y与x的关系式为

当x=9时, 

∴球能过球网，

当x=18时, 

∴球会出界.

故选C.

点睛：考查二次函数的应用题，求范围的问题，可以利用临界点法求出自变量的值，根据题意确定范围.

5．一位运动员在距篮筐正下方水平距离处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为时，达到最大高度，然后准确落入篮筐．如图所示，建立平面直角坐标系，已知篮筐中心到地面的距离为，该运动员身高，在这次跳投中，球在头顶上方处出手，球出手时，他跳离地面的高度是(　　　)

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】

设抛物线的表达式为y=ax2+3.5，依题意可知图象经过的坐标，由此可得a的值，设球出手时，他跳离地面的高度为hm，则可得h+2.15=-0.2×（-2.5）2+3.5．

【详解】

∵当球运行的水平距离为时，达到最大高度，∴抛物线的顶点坐标为，∴设抛物线的解析式为．由题意知图象过点，∴，解得，抛物线的解析式为．设球出手时，他跳离地面的高度为．

∵抛物线的解析式为，球出手时，球的高度为．

∴，∴．

故选：A．

【点睛】

此题主要考查了二次函数的应用，建立合适的平面直角坐标系是解决本题的突破点，求得二次函数的解析式是解决本题的关键．

6．铅球运动员掷铅球的高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数关系式为y＝－x2＋x＋.则该运动员此次掷铅球的成绩是(　　)

A．6 m B．12 m C．8 m D．10 m

【答案】D

【分析】

依题意，该二次函数与x轴的交点的x值为所求．即在抛物线解析式中．令y=0，求x的正数值．

【详解】

把y=0代入y=-x2+x+得：

-x2+x+=0，

解之得：x1=10，x2=-2．

又x＞0，解得x=10．

故选D．

7．小敏在今年的校运动会跳远比赛中跳出了满意一跳，函数（t的单位：s，h的单位：m）可以描述他跳跃时重心高度的变化，则他起跳后到重心最高时所用的时间是（ ）

A．0．71s B．0．70s C．0．63s D．0．36s

【答案】D

【分析】

找重心最高点，就是要求这个二次函数的顶点，应该把一般式化成顶点式后，直接解答.

【详解】

解：h=3.5t-4.9t2

=-4.9（t-）2+，

∵-4.9＜0

∴当t=≈0.36s时，h最大．

故选D.

【点睛】

此题主要考查了二次函数的应用，根据题意得出顶点式在解题中的作用是解题关键.

8．羽毛球的运动路线可以看作是抛物线y＝－x2+x+1的一部分，如图所示（单位：m），则下列说法不正确的是（    ）

A．出球点A离地面点O的距离是1m

B．该羽毛球横向飞出的最远距离是3m

C．此次羽毛球最高可达到m

D．当羽毛球横向飞出m时，可达到最高点

【答案】B

【分析】

A、当x=0时代入解析式求出y的值即可；
B、当y=0时代入解析式求出x的值即可；
C、将解析式化为顶点式求出顶点坐标即可；
D、由抛物线的顶点式可以得出结论．

【详解】

解：A.当x＝0时，y＝1，

则出球点A离地面点O的距离是1m，故A正确；

B.当y＝0时，﹣x2+x+1＝0，

解得：x1＝﹣1（舍去），x2＝4≠3．故B错误；

C. ∵y＝﹣x2+ x+1，

∴y＝﹣(x﹣)2+，

∴此次羽毛球最高可达到m，故C正确；

D. ∵ ，

∴当羽毛球横向飞出m时，可达到最高点．故D正确．

∴只有B是错误的．

故选B．

【点睛】

本题考查了二次函数的性质的运用，二次函数顶点式的运用，由函数值求自变量的值的运用，解答时将二次函数的解析式的一般式化为顶点式是关键．

9．如图所示的是跳水运动员10跳台跳水的运动轨迹，运动员从10高处的跳台上跳出，运动轨迹成抛物线状（抛物线所在平面与跳台墙面垂直）.若运动员的最高点离墙1，离水面，则运动员落水点离墙的距离是（   ）

A．2 B．3 C．4 D．5

【答案】B

【分析】

由题意可得到抛物线的顶点坐标（1，），因此可设抛物线顶点式，抛物线与y轴的交点为A（0,10），代入顶点式可求出抛物线，再求出抛物线与x轴的交点，即可求出OB.

【详解】

解：由题意，设抛物线解析式为，代入A（0,10）得，

10=，解得，

所以抛物线解析式为，

当y=0时，，

解得，.

因为B点在x轴正半轴，故B点坐标为（3,0）

所以OB=3，选B.

【点睛】

本题考查了待定系数法求二次函数解析式，并运用抛物线的性质解决实际问题，根据题意设出合适的解析式是解题的关键.

10．定点投篮是同学们喜爱的体育项目之一，某位同学投出篮球的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，篮球飞行的竖直高度(单位：)与水平距离(单位：)近似满足函数关系(a≠0)．下表记录了该同学将篮球投出后的与的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出篮球飞行到最高点时，水平距离为（  ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】

用待定系数法可求二次函数的表达式，从而可得出答案.

【详解】

将代入中得

解得

∴

∵

∴当时，

故选C

【点睛】

本题主要考查待定系数法求二次函数的解析式及二次函数的最大值，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键.

二、填空题(共5小题)

11．小明在某次投篮中，球的运动路线是抛物线y＝－x2＋3.5的一部分(如图所示)，若命中篮圈中心，则他与篮底的距离l是_____m.

【答案】4

【分析】

根据题意可以求得当y=3.05时，抛物线y＝－x2＋3.5中对应的x的值，从而可以解答本题．

【详解】

将y=3.05代入y＝－x2＋3.5，得

3.05=－x2+3.5，

解得,x=−1.5(舍去)或x=1.5，

∴若命中篮圈中心,则他与篮底的距离l是：2.5+1.5=4(m)，

故答案为：4.

【点睛】

本题考查二次函数的应用.

12．一男生推铅球，铅球行进高度y与水平距离x之间的关系是，则铅球推出的距离是_____．此时铅球行进高度是_____．

【答案】10    0   

【分析】

铅球落地时，高度，把实际问题理解为当时，求x的值即可．

【详解】

铅球推出的距离就是当高度时x的值

当时，

解得：（不合题意，舍去）

则铅球推出的距离是10．此时铅球行进高度是0

故答案为：10；0．

【点睛】

本题考查了二次函数的应用，理解铅球推出的距离就是当高度时x的值是解题关键．

13．如图，小李推铅球，如果铅球运行时离地面的高度y(米)关于水平距离x(米)的函数表达式为y＝－x2＋x＋，那么铅球运动过程中最高点离地面的距离为________米．

【答案】2

【分析】

直接利用公式法求出函数的最值即可得出最高点离地面的距离.

【详解】

解:∵函数解析式为: y＝－x2＋x＋，

∴y最值===2.
故答案为:2.

【点睛】

此题主要考查了二次函数的应用,属于简单题,正确记忆最值公式是解题关键.

14．飞行中的炮弹经秒后的高度为米，且高度与时间的关系为，若此炮弹在第7秒与第13秒时的高度相等，则炮弹在最高处的时间是第________秒．

【答案】10

【分析】

本题需先根据题意求出抛物线的对称轴，即可得出顶点的横坐标，从而得出炮弹所在高度最高时x的值．

【详解】

∵此炮弹在第7秒与第13秒时的高度相等，

∴抛物线的对称轴是：x==10，

∴炮弹所在高度最高时：时间是第10秒．

故答案为10．

【点睛】

本题主要考查了二次函数的应用，在解题时要能根据题意求出抛物线的对称轴得出答案是本题的关键．

15．从地面竖直向上抛出一小球，小球离地面的高度h（米）与小球运动时间t（秒）之间关系是h=30t﹣5t2（0≤t≤6），则小球从抛出后运动4秒共运动的路径长是________米．

【答案】50

【分析】

根据题目中的函数解析式可以求得h的最大值，从而可以求得小球从抛出后运动4秒共运动的路径长．

【详解】

解：∵h＝30t−5t2＝−5（t−3）2＋45（0≤t≤6），

∴当t＝3时，h取得最大值，此时h＝45，

∴小球从抛出后运动4秒共运动的路径长是：45＋[45−（30×4−5×42）]＝50（米），

故答案为50．

【点睛】

本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的路径的长．

三、解答题(共2小题)

16．如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方2m的A处发出，把球看成点，其运行的高度y（m）与运行的水平距离x(m)满足关系式y=a(x-6)2+h.已知球网与O点的水平距离为9m，高度为2.43m，球场的边界距O点的水平距离为18m．

（1）当h=2.6时，求y与x的关系式（不要求写出自变量x的取值范围）

（2）当h=2.6时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由；

（3）若球一定能越过球网，又不出边界，求h的取值范围．

【答案】（1）y= (x－6)2+2.6

（2）球能越过网；球会过界

（3）h≥

【详解】

试题分析：（1）利用h=2.6将点（0，2），代入解析式求出即可；

（2）利用当x=9时，y=﹣（x﹣6）2+2.6=2.45，当y=0时，，分别得出即可；

（3）根据当球正好过点（18，0）时，抛物线y=a（x﹣6）2+h还过点（0，2），以及当球刚能过网，此时函数解析式过（9，2.43），抛物线y=a（x﹣6）2+h还过点（0，2）时分别得出h的取值范围，即可得出答案．

试题解析：解：（1）∵h=2.6，球从O点正上方2m的A处发出，

∴抛物线y=a（x﹣6）2+h过点（0，2），

∴2=a（0﹣6）2+2.6，

解得：a=﹣，

故y与x的关系式为：y=﹣（x﹣6）2+2.6，

（2）当x=9时，y=﹣（x﹣6）2+2.6=2.45＞2.43，

所以球能过球网；

当y=0时，，

解得：x1=6+2＞18，x2=6﹣2（舍去）

故会出界；

（3）当球正好过点（18，0）时，抛物线y=a（x﹣6）2+h还过点（0，2），代入解析式得：

，

解得：，

此时二次函数解析式为：y=﹣（x﹣6）2+，

此时球若不出边界h≥，

当球刚能过网，此时函数解析式过（9，2.43），抛物线y=a（x﹣6）2+h还过点（0，2），代入解析式得：

解得：，

此时球要过网h≥

故若球一定能越过球网，又不出边界，h的取值范围是：h≥．

考点：二次函数的应用

17．如图，某足球运动员站在点O处练习射门，将足球从离地面0.5m的A处正对球门踢出(点A在y轴上)，足球的飞行高度y(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间满足函数关系y＝at2＋5t＋c，已知足球飞行0.8s时，离地面的高度为3.5m.

(1)足球飞行的时间是多少时，足球离地面最高？最大高度是多少？

(2)若足球飞行的水平距离x(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间具有函数关系x＝10t，已知球门的高度为2.44m，如果该运动员正对球门射门时，离球门的水平距离为28m，他能否将球直接射入球门？

【答案】（1）足球飞行的时间是s时，足球离地面最高，最大高度是4.5m；（2）能.

【详解】

试题分析：（1）由题意得：函数y=at2+5t+c的图象经过（0，0.5）（0.8，3.5），于是得到，求得抛物线的解析式为：y=﹣t2+5t+，当t=时，y最大=4.5；

（2）把x=28代入x=10t得t=2.8，当t=2.8时，y=﹣×2.82+5×2.8+=2.25＜2.44，于是得到他能将球直接射入球门．

解：（1）由题意得：函数y=at2+5t+c的图象经过（0，0.5）（0.8，3.5），

∴，

解得：，

∴抛物线的解析式为：y=﹣t2+5t+，

∴当t=时，y最大=4.5；

（2）把x=28代入x=10t得t=2.8，

∴当t=2.8时，y=﹣×2.82+5×2.8+=2.25＜2.44，

∴他能将球直接射入球门．

考点：二次函数的应用．