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2020-2021学年山东省济宁市任城区九年级（上）期末数学试卷（五四学制）
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这是一份2020-2021学年山东省济宁市任城区九年级（上）期末数学试卷（五四学制），共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年山东省济宁市任城区九年级（上）期末数学试卷（五四学制）
一、选择题（各小题的四个选项中，只有一项符合题意，每小题3分，共30分，请把答案写在答题框内）
1．（3分）下列四幅图中，能表示两棵树在同一时刻太阳光下的影子的图是（ ）
A． B．
C． D．
2．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，设∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，则（ ）
A．c＝bsinB B．b＝csinB C．a＝btanB D．b＝ctanB
3．（3分）如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，∠BDC＝20°，则∠AOC的大小为（ ）
A．40° B．140° C．160° D．170°
4．（3分）如图所示的几何体是由四个完全相同的小正方体搭成的，它的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
5．（3分）为了解某地区九年级男生的身高情况，随机抽取了该地区1000名九年级男生的身高数据，统计结果如下：
身高x/cm
x＜160
160≤x＜170
170≤x＜180
x≥180
人数
60
260
550
130
根据以上统计结果，随机抽取该地区一名九年级男生，估计他的身高不低于170cm的概率是（ ）
A．0.32 B．0.55 C．0.68 D．0.87
6．（3分）下列事件中，是必然事件的是（ ）
A．从一个只有白球的盒子里摸出一个球是白球
B．任意买一张电影票，座位号是3的倍数
C．掷一枚质地均匀的硬币，正面向上
D．汽车走过一个红绿灯路口时，前方正好是绿灯
7．（3分）如图所示，过y轴正半轴上的任意一点P作x轴的平行线，分别与反比例函数y＝﹣和y＝的图象交于点A和点B，若点C是x轴上任意一点，连接AC，BC，则△ABC的面积为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．14
8．（3分）如图，正方形ABCD的边长为4，以点A为圆心，AD为半径，画圆弧DE得到扇形DAE（阴影部分，点E在对角线AC上）．若扇形DAE正好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面圆的半径是（ ）
A． B．1 C． D．
9．（3分）如图，抛物线y＝ax2+bx+4交y轴于点A，交过点A且平行于x轴的直线于另一点B，交x轴于C，D两点（点C在点D右边），对称轴为直线x＝，连接AC，AD，BC．若点B关于直线AC的对称点恰好落在线段OC上，下列结论中错误的是（ ）
A．点B坐标为（5，4） B．AB＝AD
C．a＝﹣ D．OC•OD＝16
10．（3分）如图，AB为半圆O的直径，M，C是半圆上的三等分点，AB＝8，BD与半圆O相切于点B．点P为上一动点（不与点A，M重合），直线PC交BD于点D，BE⊥OC于点E，延长BE交PC于点F，则下列结论正确的个数有（ ）
①PB＝PD；②的长为π；③∠DBE＝45°；④△BCF∽△PCB；⑤CF•CP为定值．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在岔路口随机选择一条路径，它获得食物的概率是 ．
12．（3分）如图，工人师傅用扳手拧形状为正六边形的螺帽，现测得扳手的开口宽度b＝3cm，则螺帽边长a＝ cm．
13．（3分）如图是一个几何体的三视图，根据图中所示数据求得这个几何体的侧面积是 （结果保留π）．
14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点P在第一象限，⊙P与x轴、y轴都相切，且经过矩形AOBC的顶点C，与BC相交于点D．若⊙P的半径为5，点A的坐标是（0，8）．则点D的坐标是 ．
15．（3分）二次函数y＝ax2﹣3ax+3的图象过点A（6，0），且与y轴交于点B，点M在该抛物线的对称轴上，若△ABM是以AB为直角边的直角三角形，则点M的坐标为 ．
三、解答题（共55分，解答要求写出计算步骤.）
16．（6分）已知抛物线y＝ax2+bx+1经过点（1，﹣2），（﹣2，13）．
（1）求a，b的值．
（2）若（5，y1），（m，y2）是抛物线上不同的两点，且y2＝12﹣y1，求m的值．
17．（7分）为了学生的安全，某校决定把一段如图所示的步梯路段进行改造．已知四边形ABCD为矩形，DE＝10 m，其坡度为i1＝1：，将步梯DE改造为斜坡AF，其坡度为i2＝1：4，求斜坡AF的长度．（结果精确到0.01 m，参考数据：≈1.732，≈4.123）
18．（7分）如图，在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，∠BAC＝30°，AB＝6．将△ABC以点B为中心，逆时针旋转，使BC边落在AB边延长线上．在图上画出直角边AC扫过的图形（用阴影表示），并求出它的面积．
19．（7分）一个不透明的盒子里装有除颜色外其余均相同的2个黑球和n个白球，搅匀后从盒子里随机摸出一个球，摸到白球的概率为．
（1）求n的值；
（2）所有球放入盒中，搅匀后随机从中摸出1个球，放回搅匀，再随机摸出第2个球，求两次摸球摸到一个白球和一个黑球的概率．请用画树状图或列表的方法进行说明．
20．（8分）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD⊥CE，垂足为D，AC平分∠DAB．
（1）求证：CE是⊙O的切线；
（2）若AD＝4，cos∠CAB＝，求AB的长．
21．（9分）阅读以下材料，并解决相应问题：
小明在课外学习时遇到这样一个问题：
定义：如果二次函数y＝a1x2+b1x+c1（a1≠0，a1，b1，c1是常数）与y＝a2x2+b2x+c2（a2≠0，a2，b2，c2是常数）满足a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，则这两个函数为“旋转函数”．求函数y＝2x2﹣3x+1的旋转函数．小明是这样思考的，由函数y＝2x2﹣3x+1可知，a1＝2，b1＝﹣3，c1＝1，根据a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，求出a2，b2，c2就能确定这个函数的旋转函数．
请思考小明的方法解决下面问题：
（1）写出函数y＝x2﹣4x+3的旋转函数；
（2）若函数y＝5x2+（m﹣1）x+n与y＝﹣5x2﹣nx﹣3互为旋转函数，求（m+n）2021的值．
（3）已知函数y＝2（x﹣1）（x+3）的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A，B，C关于原点的对称点分别是A1，B1，C1，试求证：经过点A1，B1，C1的二次函数与y＝2（x﹣1）（x+3）互为“旋转函数”．
22．（11分）如图，已知∠MON＝90°，OT是∠MON的平分线，A是射线OM上一点，OA＝8cm．动点P从点A出发，以1cm/s的速度沿AO水平向左做匀速运动，与此同时，动点Q从点O出发，也以1cm/s的速度沿ON竖直向上做匀速运动．连接PQ，交OT于点B．经过O，P，Q三点作圆，交OT于点C，连接PC，QC．设运动时间为t（s），其中0＜t＜8．
（1）求OP+OQ的值；
（2）是否存在实数t，使得线段OB的长度最大？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．
（3）在点P，Q运动过程中（0＜t＜8），四边形OPCQ的面积是否变化．如果面积变化，请说出四边形OPCQ面积变化的趋势；如果四边形OPCQ面积不变化，请求出它的面积．
2020-2021学年山东省济宁市任城区九年级（上）期末数学试卷（五四学制）
参考答案与试题解析
一、选择题（各小题的四个选项中，只有一项符合题意，每小题3分，共30分，请把答案写在答题框内）
1．（3分）下列四幅图中，能表示两棵树在同一时刻太阳光下的影子的图是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据平行投影的特点，利用两小树的影子的方向相反可对A、B进行判断；利用在同一时刻阳光下，树高与影子成正比可对C、D进行判断．
【解答】解：A、两棵小树的影子的方向相反，不可能为同一时刻阳光下影子，所以A选项错误；
B、两棵小树的影子的方向相反，不可能为同一时刻阳光下影子，所以B选项错误；
C、在同一时刻阳光下，树高与影子成正比，所以C选项正确．
D、图中树高与影子成反比，而在同一时刻阳光下，树高与影子成正比，所以D选项错误；
故选：C．
2．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，设∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，则（ ）
A．c＝bsinB B．b＝csinB C．a＝btanB D．b＝ctanB
【分析】根据三角函数的定义进行判断，就可以解决问题．
【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，
∴sinB＝，即b＝csinB，故A选项不成立，B选项成立；
tanB＝，即b＝atanB，故C选项不成立，D选项不成立．
故选：B．
3．（3分）如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，∠BDC＝20°，则∠AOC的大小为（ ）
A．40° B．140° C．160° D．170°
【分析】先利用圆周角定理得到∠BOC＝40°，然后根据邻补角的定义计算出∠AOC的度数．
【解答】解：∵∠BOC＝2∠BDC＝2×20°＝40°，
∴∠AOC＝180°﹣40°＝140°．
故选：B．
4．（3分）如图所示的几何体是由四个完全相同的小正方体搭成的，它的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
【分析】找到从上面看所得到的图形即可，所有的看到的棱都应表现在俯视图中．
【解答】解：从上面看易得俯视图：
．
故选：C．
5．（3分）为了解某地区九年级男生的身高情况，随机抽取了该地区1000名九年级男生的身高数据，统计结果如下：
身高x/cm
x＜160
160≤x＜170
170≤x＜180
x≥180
人数
60
260
550
130
根据以上统计结果，随机抽取该地区一名九年级男生，估计他的身高不低于170cm的概率是（ ）
A．0.32 B．0.55 C．0.68 D．0.87
【分析】先计算出样本中身高不低于170cm的频率，然后根据利用频率估计概率求解．
【解答】解：样本中身高不低于170cm的频率＝＝0.68，
所以估计抽查该地区一名九年级男生的身高不低于170cm的概率是0.68．
故选：C．
6．（3分）下列事件中，是必然事件的是（ ）
A．从一个只有白球的盒子里摸出一个球是白球
B．任意买一张电影票，座位号是3的倍数
C．掷一枚质地均匀的硬币，正面向上
D．汽车走过一个红绿灯路口时，前方正好是绿灯
【分析】根据事件发生的可能性大小判断．
【解答】解：A、从一个只有白球的盒子里摸出一个球是白球，是必然事件；
B、任意买一张电影票，座位号是3的倍数，是随机事件；
C、掷一枚质地均匀的硬币，正面向上，是随机事件；
D、汽车走过一个红绿灯路口时，前方正好是绿灯，是随机事件；
故选：A．
7．（3分）如图所示，过y轴正半轴上的任意一点P作x轴的平行线，分别与反比例函数y＝﹣和y＝的图象交于点A和点B，若点C是x轴上任意一点，连接AC，BC，则△ABC的面积为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．14
【分析】根据两平行直线之间共底三角形的面积相等可知，当C点位于O点时，△ABC的面积与△ABO的面积相等，由此即可求解．
【解答】解：∵AB∥x轴，且△ABC与△ABO共底边AB，
∴△ABC的面积等于△ABO的面积，
连接OA、OB，如下图所示：
则＝．
故选：B．
8．（3分）如图，正方形ABCD的边长为4，以点A为圆心，AD为半径，画圆弧DE得到扇形DAE（阴影部分，点E在对角线AC上）．若扇形DAE正好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面圆的半径是（ ）
A． B．1 C． D．
【分析】根据圆锥的底面周长与展开后所得扇形的弧长相等列式计算即可．
【解答】解：设圆锥的底面圆的半径为r，
根据题意可知：
AD＝AE＝4，∠DAE＝45°，
底面圆的周长等于弧长：
∴2πr＝，
解得r＝．
答：该圆锥的底面圆的半径是．
故选：D．
9．（3分）如图，抛物线y＝ax2+bx+4交y轴于点A，交过点A且平行于x轴的直线于另一点B，交x轴于C，D两点（点C在点D右边），对称轴为直线x＝，连接AC，AD，BC．若点B关于直线AC的对称点恰好落在线段OC上，下列结论中错误的是（ ）
A．点B坐标为（5，4） B．AB＝AD
C．a＝﹣ D．OC•OD＝16
【分析】由抛物线y＝ax2+bx+4交y轴于点A，可得点A的坐标，然后由抛物线的对称性可得点B的坐标，由点B关于直线AC的对称点恰好落在线段OC上，可知∠ACO＝∠ACB，再结合平行线的性质可判断∠BAC＝∠ACB，从而可知AB＝AD；过点B作BE⊥x轴于点E，由勾股定理可得EC的长，则点C坐标可得，然后由对称性可得点D的坐标，则OC•OD的值可计算；由勾股定理可得AD的长，由双根式可得抛物线的解析式，根据以上计算或推理，对各个选项作出分析即可．
【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+4交y轴于点A，
∴A（0，4），
∵对称轴为直线x＝，AB∥x轴，
∴B（5，4）．
故A无误；
如图，过点B作BE⊥x轴于点E，
则BE＝4，AB＝5，
∵AB∥x轴，
∴∠BAC＝∠ACO，
∵点B关于直线AC的对称点恰好落在线段OC上，
∴∠ACO＝∠ACB，
∴∠BAC＝∠ACB，
∴BC＝AB＝5，
∴在Rt△BCE中，由勾股定理得：EC＝3，
∴C（8，0），
∵对称轴为直线x＝，
∴D（﹣3，0）
∵在Rt△ADO中，OA＝4，OD＝3，
∴AD＝5，
∴AB＝AD，
故B无误；
设y＝ax2+bx+4＝a（x+3）（x﹣8），
将A（0，4）代入得：4＝a（0+3）（0﹣8），
∴a＝﹣，
故C无误；
∵OC＝8，OD＝3，
∴OC•OD＝24，
故D错误．
综上，错误的只有D．
故选：D．
10．（3分）如图，AB为半圆O的直径，M，C是半圆上的三等分点，AB＝8，BD与半圆O相切于点B．点P为上一动点（不与点A，M重合），直线PC交BD于点D，BE⊥OC于点E，延长BE交PC于点F，则下列结论正确的个数有（ ）
①PB＝PD；②的长为π；③∠DBE＝45°；④△BCF∽△PCB；⑤CF•CP为定值．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】①连接AC，并延长AC，与BD的延长线交于点H，若PD＝PB，得出P为的中点，与实际不符，即可判定正误；
②先求出∠BOC，再由弧长公式求得的长度，进而判断正误；
③由∠BOC＝60°，得△OBC为等边三角形，再根据三线合一性质得∠OBE，再由角的和差关系得∠DBE，便可判断正误；
④证明∠CPB＝∠CBF＝30°，再利用公共角，可得△BCF∽△PCB，便可判断正误；
⑤由等边△OBC得BC＝OB＝4，再由相似三角形得CF•CP＝BC2，便可判断正误．
【解答】解：①连接AC，并延长AC，与BD的延长线交于点H，如图，
∵M，C是半圆上的三等分点，
∴∠BAH＝30°，
∵BD与半圆O相切于点B．
∴∠ABD＝90°，
∴∠H＝60°，
∵∠ACP＝∠ABP，∠ACP＝∠DCH，
∴∠PDB＝∠H+∠DCH＝∠ABP+60°，
∵∠PBD＝90°﹣∠ABP，
若∠PDB＝∠PBD，则∠ABP+60°＝90°﹣∠ABP，
∴∠ABP＝15°，
∴P点为的中点，这与P为上的一动点不完全吻合，
∴∠PDB不一定等于∠ABD，
∴PB不一定等于PD，故①错误；
②∵M，C是半圆上的三等分点，
∴∠BOC＝180°＝60°，
∵直径AB＝8，
∴OB＝OC＝4，
∴的长度＝＝π，故②正确；
③∵∠BOC＝60°，OB＝OC，
∴∠ABC＝60°，OB＝OC＝BC，
∵BE⊥OC，
∴∠OBE＝∠CBE＝30°，
∵∠ABD＝90°，
∴∠DBE＝60°，故③错误；
④∵M、C是的三等分点，
∴∠BPC＝30°，
∵∠CBF＝30°，
∴∠CBF＝∠BPC，
∵∠BCF＝∠PCB，
∴△BCF∽△PCB，故④正确；
⑤∵△BCF∽△PCB，
∴＝，
∴CF•CP＝CB2，
∵CB＝OB＝OC＝AB＝4，
∴CF•CP＝16，故⑤正确．
综上所述：正确结论有②④⑤，共3个．
故选：B．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在岔路口随机选择一条路径，它获得食物的概率是 ．
【分析】直接利用概率公式求解．
【解答】解：蚂蚁获得食物的概率＝．
故答案为．
12．（3分）如图，工人师傅用扳手拧形状为正六边形的螺帽，现测得扳手的开口宽度b＝3cm，则螺帽边长a＝ cm．
【分析】根据正六边形的性质，可得∠ABC＝120°，AB＝BC＝a，根据等腰三角形的性质，可得CD的长，根据锐角三角函数的余弦，可得答案．
【解答】解：如图，连接AC，过点B作BD⊥AC于D，
由正六边形，得
∠ABC＝120°，AB＝BC＝a，
∠BCD＝∠BAC＝30°．
由AC＝3，得CD＝1.5．
cos∠BCD＝＝，即＝，
解得a＝，
故答案为：．
13．（3分）如图是一个几何体的三视图，根据图中所示数据求得这个几何体的侧面积是 24π （结果保留π）．
【分析】根据三视图确定该几何体是圆柱体，再计算圆柱体的侧面积．
【解答】解：由三视图可知该几何体是圆柱体，其底面半径是4÷2＝2，高是6，
圆柱的侧面展开图是一个长方形，长方形的长是圆柱的底面周长，长方形的宽是圆柱的高，
且底面周长为：2π×2＝4π，
∴这个圆柱的侧面积是4π×6＝24π．
故答案为：24π．
14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点P在第一象限，⊙P与x轴、y轴都相切，且经过矩形AOBC的顶点C，与BC相交于点D．若⊙P的半径为5，点A的坐标是（0，8）．则点D的坐标是 （9，2） ．
【分析】设⊙O与x、y轴相切的切点分别是F、E点，连接PE、PF、PD，延长EP与CD交于点G，证明四边形PEOF为正方形，求得CG，再根据垂径定理求得CD，进而得PG、DB，便可得D点坐标．
【解答】解：设⊙O与x、y轴相切的切点分别是F、E点，连接PE、PF、PD，延长EP与CD交于点G，
则PE⊥y轴，PF⊥x轴，
∵∠EOF＝90°，
∴四边形PEOF是矩形，
∵PE＝PF，PE∥OF，
∴四边形PEOF为正方形，
∴OE＝PF＝PE＝OF＝5，
∵A（0，8），
∴OA＝8，
∴AE＝8﹣5＝3，
∵四边形OACB为矩形，
∴BC＝OA＝8，BC∥OA，AC∥OB，∠EAC＝∠EOB＝90°，
∴EG∥AC，
∴四边形AEGC为矩形，四边形OEGB为矩形，
∴CG＝AE＝3，EG＝OB，
∵PE⊥AO，AO∥CB，
∴PG⊥CD，
∴CD＝2CG＝6，
∴DB＝BC﹣CD＝8﹣6＝2，
∵PD＝5，DG＝CG＝3，
∴PG＝4，
∴OB＝EG＝5+4＝9，
∴D（9，2）．
故答案为：（9，2）．
15．（3分）二次函数y＝ax2﹣3ax+3的图象过点A（6，0），且与y轴交于点B，点M在该抛物线的对称轴上，若△ABM是以AB为直角边的直角三角形，则点M的坐标为 （，﹣9）或（，6） ．
【分析】根据题意得到抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝，设点M的坐标为：（，m），当∠ABM＝90°，过B作BD⊥对称轴MM'于D，当∠M′AB＝90°，根据三角函数的定义即可得到结论．
【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝，
设点M的坐标为：（，m），
当∠ABM＝90°，
过B作BD垂直对称轴于D，
则∠1＝∠2，
∴tan∠2＝tan∠1＝＝2，
∴＝2，
∴DM＝3，
∴M（，6），
当∠M′AB＝90°时，
∴tan∠3＝＝tan∠1＝＝2，
∴M′N＝9，
∴M′（，﹣9），
综上所述，点M的坐标为（，﹣9）或（，6）．
故答案为：（，﹣9）或（，6）．
三、解答题（共55分，解答要求写出计算步骤.）
16．（6分）已知抛物线y＝ax2+bx+1经过点（1，﹣2），（﹣2，13）．
（1）求a，b的值．
（2）若（5，y1），（m，y2）是抛物线上不同的两点，且y2＝12﹣y1，求m的值．
【分析】（1）把点（1，﹣2），（﹣2，13）代入y＝ax2+bx+1解方程组即可得到结论；
（2）把x＝5代入y＝x2﹣4x+1得到y1＝6，于是得到y1＝y2，即可得到结论．
【解答】解：（1）把点（1，﹣2），（﹣2，13）代入y＝ax2+bx+1得，，
解得：；
（2）由（1）得函数解析式为y＝x2﹣4x+1，
把x＝5代入y＝x2﹣4x+1得，y1＝6，
∴y2＝12﹣y1＝6，
∵y1＝y2，且对称轴为直线x＝2，
∴m＝4﹣5＝﹣1．
17．（7分）为了学生的安全，某校决定把一段如图所示的步梯路段进行改造．已知四边形ABCD为矩形，DE＝10 m，其坡度为i1＝1：，将步梯DE改造为斜坡AF，其坡度为i2＝1：4，求斜坡AF的长度．（结果精确到0.01 m，参考数据：≈1.732，≈4.123）
【分析】先由DE的坡度计算DC的长度，根据矩形性质得AB长度，再由AF的坡度得出BF的长度，根据勾股定理计算出AF的长度．
【解答】解：∵DE＝10 m，其坡度为i1＝1：，
∴在Rt△DCE中，＝10，
∴解得DC＝5．
∵四边形ABCD为矩形，
∴AB＝CD＝5．
∵斜坡AF的坡度为i2＝1：4，
∴，
∴BF＝4AB＝20，
∴在Rt△ABF中，≈20.62（m）．
故斜坡AF的长度约为20.62米．
18．（7分）如图，在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，∠BAC＝30°，AB＝6．将△ABC以点B为中心，逆时针旋转，使BC边落在AB边延长线上．在图上画出直角边AC扫过的图形（用阴影表示），并求出它的面积．
【分析】先利用旋转的性质画出图形，再利用含30度的直角三角形三边的关系得到BC＝AB＝3，∠ABC＝60°，则根据旋转的性质得到BC′BC＝3，BA＝BA′＝6，∠ABA′＝∠CBC′＝120°，△ABC≌△A′BC′，然后根据扇形的面积公式，利用直角边AC扫过的图形的面积＝S扇形ABA′﹣S扇形CBC′进行计算．
【解答】解：如图，∵∠BCA＝90°，∠BAC＝30°，
∴BC＝AB＝3，∠ABC＝60°，
∵△ABC以点B为中心，逆时针旋转，使BC边落在AB边延长线上，
∴BC′BC＝3，BA＝BA′＝6，∠ABA′＝∠CBC′＝120°，△ABC≌△A′BC′，
∴直角边AC扫过的图形的面积＝S扇形ABA′﹣S扇形CBC′
＝﹣
＝9π．
19．（7分）一个不透明的盒子里装有除颜色外其余均相同的2个黑球和n个白球，搅匀后从盒子里随机摸出一个球，摸到白球的概率为．
（1）求n的值；
（2）所有球放入盒中，搅匀后随机从中摸出1个球，放回搅匀，再随机摸出第2个球，求两次摸球摸到一个白球和一个黑球的概率．请用画树状图或列表的方法进行说明．
【分析】（1）根据摸到白球的概率为，列方程求解即可；
（2）用列表法表示所有可能出现的结果，进而求出两次摸球摸到一个白球和一个黑球的概率．
【解答】解：（1）由概率的意义可得，
＝，解得，n＝1，
检验，n＝1是原方程的根，且符合题意，
答：n的值为1；
（2）用列表法表示所有可能出现的结果情况如下：
共有9种可能出现的结果，其中两次摸球摸到一个白球和一个黑球有4种．
∴P（一白一黑）＝，
20．（8分）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD⊥CE，垂足为D，AC平分∠DAB．
（1）求证：CE是⊙O的切线；
（2）若AD＝4，cos∠CAB＝，求AB的长．
【分析】（1）连接OC．只要证明OC⊥DE即可解决问题；
（2）连接BC，根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，根据角平分线的定义得到∠DAC＝∠CAB，根据三角函数的定义即可得到结论．
【解答】（1）证明：连接OC．
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∵AC平分∠DAB，
∴∠CAD＝∠CAB，
∴∠DAC＝∠ACO，
∴AD∥OC，
∵AD⊥DE，
∴OC⊥DE，
∴直线CE是⊙O的切线；
（2）连接BC，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ADC＝∠ACB，
∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC＝∠CAB，
∴cos∠CAD＝，
∴在Rt△ACD中，AC＝5，
∴在Rt△ABC中，AB＝．
21．（9分）阅读以下材料，并解决相应问题：
小明在课外学习时遇到这样一个问题：
定义：如果二次函数y＝a1x2+b1x+c1（a1≠0，a1，b1，c1是常数）与y＝a2x2+b2x+c2（a2≠0，a2，b2，c2是常数）满足a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，则这两个函数为“旋转函数”．求函数y＝2x2﹣3x+1的旋转函数．小明是这样思考的，由函数y＝2x2﹣3x+1可知，a1＝2，b1＝﹣3，c1＝1，根据a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，求出a2，b2，c2就能确定这个函数的旋转函数．
请思考小明的方法解决下面问题：
（1）写出函数y＝x2﹣4x+3的旋转函数；
（2）若函数y＝5x2+（m﹣1）x+n与y＝﹣5x2﹣nx﹣3互为旋转函数，求（m+n）2021的值．
（3）已知函数y＝2（x﹣1）（x+3）的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A，B，C关于原点的对称点分别是A1，B1，C1，试求证：经过点A1，B1，C1的二次函数与y＝2（x﹣1）（x+3）互为“旋转函数”．
【分析】（1）由二次函数的解析式可得出a1，b1，c1的值，结合“旋转函数”的定义可求出a2，b2，c2的值，此问得解；
（2）由函数y＝5x2+（m+1）x+n与y＝﹣5x2﹣nx﹣3互为“旋转函数”，可求出m，n的值，将其代入（m+n）2021即可求出结论；
（3）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点A，B，C的坐标，结合对称的性质可求出点A1，B1，C1的坐标，由点A1，B1，C1的坐标，利用交点式可求出过点A1，B1，C1的二次函数解析式，由两函数的解析式可找出a1，b1，c1，a2，b2，c2的值，再由a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0可证出经过点A1，B1，C1的二次函数与函数y＝2（x﹣1）（x+3）互为“旋转函数”．
【解答】（1）解：由函数y＝x2﹣4x+3知，a1＝1，b1＝﹣4，c1＝3，
∵a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，
∴a2＝﹣1，b2＝﹣4，c2＝﹣3，
∴y＝﹣x2﹣4x﹣3；
（2）解：根据题意得：，解得，
∴（m+n）2021＝（3﹣2）2021＝1；
（3）证明：化简y＝2（x﹣1）（x+3）得y＝2x2+4x﹣6，
则A、B、C三点的坐标分别为A（1，0），B（﹣3，0），C（0，﹣6），
∴A、B、C三点关于原点对称的点坐标分别为A1（﹣1，0），B1（3，0），C1（0，6），
∴经过A1、B1、C1三点的函数解析式为y＝﹣2x2+4x+6，
∴y＝﹣2x2+4x+6与原函数y＝2（x﹣1）（x+3）是旋转函数．
22．（11分）如图，已知∠MON＝90°，OT是∠MON的平分线，A是射线OM上一点，OA＝8cm．动点P从点A出发，以1cm/s的速度沿AO水平向左做匀速运动，与此同时，动点Q从点O出发，也以1cm/s的速度沿ON竖直向上做匀速运动．连接PQ，交OT于点B．经过O，P，Q三点作圆，交OT于点C，连接PC，QC．设运动时间为t（s），其中0＜t＜8．
（1）求OP+OQ的值；
（2）是否存在实数t，使得线段OB的长度最大？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．
（3）在点P，Q运动过程中（0＜t＜8），四边形OPCQ的面积是否变化．如果面积变化，请说出四边形OPCQ面积变化的趋势；如果四边形OPCQ面积不变化，请求出它的面积．
【分析】（1）由题意得出OP＝（8﹣t）cm，OQ＝tcm，则可得出答案；
（2）如图，过点B作BD⊥OP，垂足为D，则BD∥OQ．设线段BD的长为xcm，则BD＝OD＝xcm，OB＝BD＝x（cm），PD＝（8﹣t﹣x）cm，得＝，则＝，解出x＝，由二次函数的性质可得出答案；
（3）证明△PCQ是等腰直角三角形．则S△PCQ＝＝PC•QC＝×PQ•PQ＝PQ2，在Rt△POQ中，PQ2＝OP2+OQ2＝（8﹣t）2+t2．由四边形OPCQ的面积S＝S△POQ+S△PCQ可得出答案．
【解答】解：（1）由题意可得，OP＝（8﹣t）cm，OQ＝tcm，
∴OP+OQ＝8﹣t+t＝8（cm）．
（2）当t＝4时，线段OB的长度最大．
如图，过点B作BD⊥OP，垂足为D，则BD∥OQ．
∵OT平分∠MON，
∴∠BOD＝45°，
∴∠BOD＝∠OBD＝45°，
∴BD＝OD，OB＝BD，
设线段BD的长为x，则BD＝OD＝xcm，OB＝BD＝xcm，PD＝（8﹣t﹣x）cm，
∵BD∥OQ，
∴＝，
∴＝，
∴x＝，
∴OB＝•＝﹣（t﹣4）2+2（0＜t＜8），
∵﹣＜0．
∴当t＝4时，线段OB的长度最大，最大为2cm．
（3）四边形OPCQ面积不变化，面积为16cm2．
∵∠POQ＝90°，
∴PQ是圆的直径，
∴∠PCQ＝90°，
∵∠PQC＝∠POC＝45°，
∴△PCQ是等腰直角三角形，
∴S△PCQ＝PC•QC＝×PQ•PQ＝PQ2，
在Rt△POQ中，PQ2＝OP2+OQ2＝（8﹣t）2+t2，
∴四边形OPCQ的面积S＝S△POQ+S△PCQ＝OP•OQ+PQ2
＝t（8﹣t）+[（8﹣t）2+t2]
＝4t﹣t2+t2﹣4t+16
＝16．
∴四边形OPCQ的面积为16cm2．
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日期：2021/8/11 11:59:21；用户：节节高5；邮箱：5jiejg@xyh.com；学号：37675298
2020-2021学年山东省济宁市任城区九年级（上）期末数学试卷（五四学制）
一、选择题（各小题的四个选项中，只有一项符合题意，每小题3分，共30分，请把答案写在答题框内）
1．（3分）下列四幅图中，能表示两棵树在同一时刻太阳光下的影子的图是（ ）
A． B．
C． D．
2．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，设∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，则（ ）
A．c＝bsinB B．b＝csinB C．a＝btanB D．b＝ctanB
3．（3分）如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，∠BDC＝20°，则∠AOC的大小为（ ）
A．40° B．140° C．160° D．170°
4．（3分）如图所示的几何体是由四个完全相同的小正方体搭成的，它的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
5．（3分）为了解某地区九年级男生的身高情况，随机抽取了该地区1000名九年级男生的身高数据，统计结果如下：
身高x/cm
x＜160
160≤x＜170
170≤x＜180
x≥180
人数
60
260
550
130
根据以上统计结果，随机抽取该地区一名九年级男生，估计他的身高不低于170cm的概率是（ ）
A．0.32 B．0.55 C．0.68 D．0.87
6．（3分）下列事件中，是必然事件的是（ ）
A．从一个只有白球的盒子里摸出一个球是白球
B．任意买一张电影票，座位号是3的倍数
C．掷一枚质地均匀的硬币，正面向上
D．汽车走过一个红绿灯路口时，前方正好是绿灯
7．（3分）如图所示，过y轴正半轴上的任意一点P作x轴的平行线，分别与反比例函数y＝﹣和y＝的图象交于点A和点B，若点C是x轴上任意一点，连接AC，BC，则△ABC的面积为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．14
8．（3分）如图，正方形ABCD的边长为4，以点A为圆心，AD为半径，画圆弧DE得到扇形DAE（阴影部分，点E在对角线AC上）．若扇形DAE正好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面圆的半径是（ ）
A． B．1 C． D．
9．（3分）如图，抛物线y＝ax2+bx+4交y轴于点A，交过点A且平行于x轴的直线于另一点B，交x轴于C，D两点（点C在点D右边），对称轴为直线x＝，连接AC，AD，BC．若点B关于直线AC的对称点恰好落在线段OC上，下列结论中错误的是（ ）
A．点B坐标为（5，4） B．AB＝AD
C．a＝﹣ D．OC•OD＝16
10．（3分）如图，AB为半圆O的直径，M，C是半圆上的三等分点，AB＝8，BD与半圆O相切于点B．点P为上一动点（不与点A，M重合），直线PC交BD于点D，BE⊥OC于点E，延长BE交PC于点F，则下列结论正确的个数有（ ）
①PB＝PD；②的长为π；③∠DBE＝45°；④△BCF∽△PCB；⑤CF•CP为定值．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在岔路口随机选择一条路径，它获得食物的概率是 ．
12．（3分）如图，工人师傅用扳手拧形状为正六边形的螺帽，现测得扳手的开口宽度b＝3cm，则螺帽边长a＝ cm．
13．（3分）如图是一个几何体的三视图，根据图中所示数据求得这个几何体的侧面积是 （结果保留π）．
14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点P在第一象限，⊙P与x轴、y轴都相切，且经过矩形AOBC的顶点C，与BC相交于点D．若⊙P的半径为5，点A的坐标是（0，8）．则点D的坐标是 ．
15．（3分）二次函数y＝ax2﹣3ax+3的图象过点A（6，0），且与y轴交于点B，点M在该抛物线的对称轴上，若△ABM是以AB为直角边的直角三角形，则点M的坐标为 ．
三、解答题（共55分，解答要求写出计算步骤.）
16．（6分）已知抛物线y＝ax2+bx+1经过点（1，﹣2），（﹣2，13）．
（1）求a，b的值．
（2）若（5，y1），（m，y2）是抛物线上不同的两点，且y2＝12﹣y1，求m的值．
17．（7分）为了学生的安全，某校决定把一段如图所示的步梯路段进行改造．已知四边形ABCD为矩形，DE＝10 m，其坡度为i1＝1：，将步梯DE改造为斜坡AF，其坡度为i2＝1：4，求斜坡AF的长度．（结果精确到0.01 m，参考数据：≈1.732，≈4.123）
18．（7分）如图，在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，∠BAC＝30°，AB＝6．将△ABC以点B为中心，逆时针旋转，使BC边落在AB边延长线上．在图上画出直角边AC扫过的图形（用阴影表示），并求出它的面积．
19．（7分）一个不透明的盒子里装有除颜色外其余均相同的2个黑球和n个白球，搅匀后从盒子里随机摸出一个球，摸到白球的概率为．
（1）求n的值；
（2）所有球放入盒中，搅匀后随机从中摸出1个球，放回搅匀，再随机摸出第2个球，求两次摸球摸到一个白球和一个黑球的概率．请用画树状图或列表的方法进行说明．
20．（8分）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD⊥CE，垂足为D，AC平分∠DAB．
（1）求证：CE是⊙O的切线；
（2）若AD＝4，cos∠CAB＝，求AB的长．
21．（9分）阅读以下材料，并解决相应问题：
小明在课外学习时遇到这样一个问题：
定义：如果二次函数y＝a1x2+b1x+c1（a1≠0，a1，b1，c1是常数）与y＝a2x2+b2x+c2（a2≠0，a2，b2，c2是常数）满足a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，则这两个函数为“旋转函数”．求函数y＝2x2﹣3x+1的旋转函数．小明是这样思考的，由函数y＝2x2﹣3x+1可知，a1＝2，b1＝﹣3，c1＝1，根据a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，求出a2，b2，c2就能确定这个函数的旋转函数．
请思考小明的方法解决下面问题：
（1）写出函数y＝x2﹣4x+3的旋转函数；
（2）若函数y＝5x2+（m﹣1）x+n与y＝﹣5x2﹣nx﹣3互为旋转函数，求（m+n）2021的值．
（3）已知函数y＝2（x﹣1）（x+3）的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A，B，C关于原点的对称点分别是A1，B1，C1，试求证：经过点A1，B1，C1的二次函数与y＝2（x﹣1）（x+3）互为“旋转函数”．
22．（11分）如图，已知∠MON＝90°，OT是∠MON的平分线，A是射线OM上一点，OA＝8cm．动点P从点A出发，以1cm/s的速度沿AO水平向左做匀速运动，与此同时，动点Q从点O出发，也以1cm/s的速度沿ON竖直向上做匀速运动．连接PQ，交OT于点B．经过O，P，Q三点作圆，交OT于点C，连接PC，QC．设运动时间为t（s），其中0＜t＜8．
（1）求OP+OQ的值；
（2）是否存在实数t，使得线段OB的长度最大？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．
（3）在点P，Q运动过程中（0＜t＜8），四边形OPCQ的面积是否变化．如果面积变化，请说出四边形OPCQ面积变化的趋势；如果四边形OPCQ面积不变化，请求出它的面积．
2020-2021学年山东省济宁市任城区九年级（上）期末数学试卷（五四学制）
参考答案与试题解析
一、选择题（各小题的四个选项中，只有一项符合题意，每小题3分，共30分，请把答案写在答题框内）
1．（3分）下列四幅图中，能表示两棵树在同一时刻太阳光下的影子的图是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据平行投影的特点，利用两小树的影子的方向相反可对A、B进行判断；利用在同一时刻阳光下，树高与影子成正比可对C、D进行判断．
【解答】解：A、两棵小树的影子的方向相反，不可能为同一时刻阳光下影子，所以A选项错误；
B、两棵小树的影子的方向相反，不可能为同一时刻阳光下影子，所以B选项错误；
C、在同一时刻阳光下，树高与影子成正比，所以C选项正确．
D、图中树高与影子成反比，而在同一时刻阳光下，树高与影子成正比，所以D选项错误；
故选：C．
2．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，设∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，则（ ）
A．c＝bsinB B．b＝csinB C．a＝btanB D．b＝ctanB
【分析】根据三角函数的定义进行判断，就可以解决问题．
【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，
∴sinB＝，即b＝csinB，故A选项不成立，B选项成立；
tanB＝，即b＝atanB，故C选项不成立，D选项不成立．
故选：B．
3．（3分）如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，∠BDC＝20°，则∠AOC的大小为（ ）
A．40° B．140° C．160° D．170°
【分析】先利用圆周角定理得到∠BOC＝40°，然后根据邻补角的定义计算出∠AOC的度数．
【解答】解：∵∠BOC＝2∠BDC＝2×20°＝40°，
∴∠AOC＝180°﹣40°＝140°．
故选：B．
4．（3分）如图所示的几何体是由四个完全相同的小正方体搭成的，它的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
【分析】找到从上面看所得到的图形即可，所有的看到的棱都应表现在俯视图中．
【解答】解：从上面看易得俯视图：
．
故选：C．
5．（3分）为了解某地区九年级男生的身高情况，随机抽取了该地区1000名九年级男生的身高数据，统计结果如下：
身高x/cm
x＜160
160≤x＜170
170≤x＜180
x≥180
人数
60
260
550
130
根据以上统计结果，随机抽取该地区一名九年级男生，估计他的身高不低于170cm的概率是（ ）
A．0.32 B．0.55 C．0.68 D．0.87
【分析】先计算出样本中身高不低于170cm的频率，然后根据利用频率估计概率求解．
【解答】解：样本中身高不低于170cm的频率＝＝0.68，
所以估计抽查该地区一名九年级男生的身高不低于170cm的概率是0.68．
故选：C．
6．（3分）下列事件中，是必然事件的是（ ）
A．从一个只有白球的盒子里摸出一个球是白球
B．任意买一张电影票，座位号是3的倍数
C．掷一枚质地均匀的硬币，正面向上
D．汽车走过一个红绿灯路口时，前方正好是绿灯
【分析】根据事件发生的可能性大小判断．
【解答】解：A、从一个只有白球的盒子里摸出一个球是白球，是必然事件；
B、任意买一张电影票，座位号是3的倍数，是随机事件；
C、掷一枚质地均匀的硬币，正面向上，是随机事件；
D、汽车走过一个红绿灯路口时，前方正好是绿灯，是随机事件；
故选：A．
7．（3分）如图所示，过y轴正半轴上的任意一点P作x轴的平行线，分别与反比例函数y＝﹣和y＝的图象交于点A和点B，若点C是x轴上任意一点，连接AC，BC，则△ABC的面积为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．14
【分析】根据两平行直线之间共底三角形的面积相等可知，当C点位于O点时，△ABC的面积与△ABO的面积相等，由此即可求解．
【解答】解：∵AB∥x轴，且△ABC与△ABO共底边AB，
∴△ABC的面积等于△ABO的面积，
连接OA、OB，如下图所示：
则＝．
故选：B．
8．（3分）如图，正方形ABCD的边长为4，以点A为圆心，AD为半径，画圆弧DE得到扇形DAE（阴影部分，点E在对角线AC上）．若扇形DAE正好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面圆的半径是（ ）
A． B．1 C． D．
【分析】根据圆锥的底面周长与展开后所得扇形的弧长相等列式计算即可．
【解答】解：设圆锥的底面圆的半径为r，
根据题意可知：
AD＝AE＝4，∠DAE＝45°，
底面圆的周长等于弧长：
∴2πr＝，
解得r＝．
答：该圆锥的底面圆的半径是．
故选：D．
9．（3分）如图，抛物线y＝ax2+bx+4交y轴于点A，交过点A且平行于x轴的直线于另一点B，交x轴于C，D两点（点C在点D右边），对称轴为直线x＝，连接AC，AD，BC．若点B关于直线AC的对称点恰好落在线段OC上，下列结论中错误的是（ ）
A．点B坐标为（5，4） B．AB＝AD
C．a＝﹣ D．OC•OD＝16
【分析】由抛物线y＝ax2+bx+4交y轴于点A，可得点A的坐标，然后由抛物线的对称性可得点B的坐标，由点B关于直线AC的对称点恰好落在线段OC上，可知∠ACO＝∠ACB，再结合平行线的性质可判断∠BAC＝∠ACB，从而可知AB＝AD；过点B作BE⊥x轴于点E，由勾股定理可得EC的长，则点C坐标可得，然后由对称性可得点D的坐标，则OC•OD的值可计算；由勾股定理可得AD的长，由双根式可得抛物线的解析式，根据以上计算或推理，对各个选项作出分析即可．
【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+4交y轴于点A，
∴A（0，4），
∵对称轴为直线x＝，AB∥x轴，
∴B（5，4）．
故A无误；
如图，过点B作BE⊥x轴于点E，
则BE＝4，AB＝5，
∵AB∥x轴，
∴∠BAC＝∠ACO，
∵点B关于直线AC的对称点恰好落在线段OC上，
∴∠ACO＝∠ACB，
∴∠BAC＝∠ACB，
∴BC＝AB＝5，
∴在Rt△BCE中，由勾股定理得：EC＝3，
∴C（8，0），
∵对称轴为直线x＝，
∴D（﹣3，0）
∵在Rt△ADO中，OA＝4，OD＝3，
∴AD＝5，
∴AB＝AD，
故B无误；
设y＝ax2+bx+4＝a（x+3）（x﹣8），
将A（0，4）代入得：4＝a（0+3）（0﹣8），
∴a＝﹣，
故C无误；
∵OC＝8，OD＝3，
∴OC•OD＝24，
故D错误．
综上，错误的只有D．
故选：D．
10．（3分）如图，AB为半圆O的直径，M，C是半圆上的三等分点，AB＝8，BD与半圆O相切于点B．点P为上一动点（不与点A，M重合），直线PC交BD于点D，BE⊥OC于点E，延长BE交PC于点F，则下列结论正确的个数有（ ）
①PB＝PD；②的长为π；③∠DBE＝45°；④△BCF∽△PCB；⑤CF•CP为定值．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】①连接AC，并延长AC，与BD的延长线交于点H，若PD＝PB，得出P为的中点，与实际不符，即可判定正误；
②先求出∠BOC，再由弧长公式求得的长度，进而判断正误；
③由∠BOC＝60°，得△OBC为等边三角形，再根据三线合一性质得∠OBE，再由角的和差关系得∠DBE，便可判断正误；
④证明∠CPB＝∠CBF＝30°，再利用公共角，可得△BCF∽△PCB，便可判断正误；
⑤由等边△OBC得BC＝OB＝4，再由相似三角形得CF•CP＝BC2，便可判断正误．
【解答】解：①连接AC，并延长AC，与BD的延长线交于点H，如图，
∵M，C是半圆上的三等分点，
∴∠BAH＝30°，
∵BD与半圆O相切于点B．
∴∠ABD＝90°，
∴∠H＝60°，
∵∠ACP＝∠ABP，∠ACP＝∠DCH，
∴∠PDB＝∠H+∠DCH＝∠ABP+60°，
∵∠PBD＝90°﹣∠ABP，
若∠PDB＝∠PBD，则∠ABP+60°＝90°﹣∠ABP，
∴∠ABP＝15°，
∴P点为的中点，这与P为上的一动点不完全吻合，
∴∠PDB不一定等于∠ABD，
∴PB不一定等于PD，故①错误；
②∵M，C是半圆上的三等分点，
∴∠BOC＝180°＝60°，
∵直径AB＝8，
∴OB＝OC＝4，
∴的长度＝＝π，故②正确；
③∵∠BOC＝60°，OB＝OC，
∴∠ABC＝60°，OB＝OC＝BC，
∵BE⊥OC，
∴∠OBE＝∠CBE＝30°，
∵∠ABD＝90°，
∴∠DBE＝60°，故③错误；
④∵M、C是的三等分点，
∴∠BPC＝30°，
∵∠CBF＝30°，
∴∠CBF＝∠BPC，
∵∠BCF＝∠PCB，
∴△BCF∽△PCB，故④正确；
⑤∵△BCF∽△PCB，
∴＝，
∴CF•CP＝CB2，
∵CB＝OB＝OC＝AB＝4，
∴CF•CP＝16，故⑤正确．
综上所述：正确结论有②④⑤，共3个．
故选：B．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在岔路口随机选择一条路径，它获得食物的概率是 ．
【分析】直接利用概率公式求解．
【解答】解：蚂蚁获得食物的概率＝．
故答案为．
12．（3分）如图，工人师傅用扳手拧形状为正六边形的螺帽，现测得扳手的开口宽度b＝3cm，则螺帽边长a＝ cm．
【分析】根据正六边形的性质，可得∠ABC＝120°，AB＝BC＝a，根据等腰三角形的性质，可得CD的长，根据锐角三角函数的余弦，可得答案．
【解答】解：如图，连接AC，过点B作BD⊥AC于D，
由正六边形，得
∠ABC＝120°，AB＝BC＝a，
∠BCD＝∠BAC＝30°．
由AC＝3，得CD＝1.5．
cos∠BCD＝＝，即＝，
解得a＝，
故答案为：．
13．（3分）如图是一个几何体的三视图，根据图中所示数据求得这个几何体的侧面积是 24π （结果保留π）．
【分析】根据三视图确定该几何体是圆柱体，再计算圆柱体的侧面积．
【解答】解：由三视图可知该几何体是圆柱体，其底面半径是4÷2＝2，高是6，
圆柱的侧面展开图是一个长方形，长方形的长是圆柱的底面周长，长方形的宽是圆柱的高，
且底面周长为：2π×2＝4π，
∴这个圆柱的侧面积是4π×6＝24π．
故答案为：24π．
14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点P在第一象限，⊙P与x轴、y轴都相切，且经过矩形AOBC的顶点C，与BC相交于点D．若⊙P的半径为5，点A的坐标是（0，8）．则点D的坐标是 （9，2） ．
【分析】设⊙O与x、y轴相切的切点分别是F、E点，连接PE、PF、PD，延长EP与CD交于点G，证明四边形PEOF为正方形，求得CG，再根据垂径定理求得CD，进而得PG、DB，便可得D点坐标．
【解答】解：设⊙O与x、y轴相切的切点分别是F、E点，连接PE、PF、PD，延长EP与CD交于点G，
则PE⊥y轴，PF⊥x轴，
∵∠EOF＝90°，
∴四边形PEOF是矩形，
∵PE＝PF，PE∥OF，
∴四边形PEOF为正方形，
∴OE＝PF＝PE＝OF＝5，
∵A（0，8），
∴OA＝8，
∴AE＝8﹣5＝3，
∵四边形OACB为矩形，
∴BC＝OA＝8，BC∥OA，AC∥OB，∠EAC＝∠EOB＝90°，
∴EG∥AC，
∴四边形AEGC为矩形，四边形OEGB为矩形，
∴CG＝AE＝3，EG＝OB，
∵PE⊥AO，AO∥CB，
∴PG⊥CD，
∴CD＝2CG＝6，
∴DB＝BC﹣CD＝8﹣6＝2，
∵PD＝5，DG＝CG＝3，
∴PG＝4，
∴OB＝EG＝5+4＝9，
∴D（9，2）．
故答案为：（9，2）．
15．（3分）二次函数y＝ax2﹣3ax+3的图象过点A（6，0），且与y轴交于点B，点M在该抛物线的对称轴上，若△ABM是以AB为直角边的直角三角形，则点M的坐标为 （，﹣9）或（，6） ．
【分析】根据题意得到抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝，设点M的坐标为：（，m），当∠ABM＝90°，过B作BD⊥对称轴MM'于D，当∠M′AB＝90°，根据三角函数的定义即可得到结论．
【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝，
设点M的坐标为：（，m），
当∠ABM＝90°，
过B作BD垂直对称轴于D，
则∠1＝∠2，
∴tan∠2＝tan∠1＝＝2，
∴＝2，
∴DM＝3，
∴M（，6），
当∠M′AB＝90°时，
∴tan∠3＝＝tan∠1＝＝2，
∴M′N＝9，
∴M′（，﹣9），
综上所述，点M的坐标为（，﹣9）或（，6）．
故答案为：（，﹣9）或（，6）．
三、解答题（共55分，解答要求写出计算步骤.）
16．（6分）已知抛物线y＝ax2+bx+1经过点（1，﹣2），（﹣2，13）．
（1）求a，b的值．
（2）若（5，y1），（m，y2）是抛物线上不同的两点，且y2＝12﹣y1，求m的值．
【分析】（1）把点（1，﹣2），（﹣2，13）代入y＝ax2+bx+1解方程组即可得到结论；
（2）把x＝5代入y＝x2﹣4x+1得到y1＝6，于是得到y1＝y2，即可得到结论．
【解答】解：（1）把点（1，﹣2），（﹣2，13）代入y＝ax2+bx+1得，，
解得：；
（2）由（1）得函数解析式为y＝x2﹣4x+1，
把x＝5代入y＝x2﹣4x+1得，y1＝6，
∴y2＝12﹣y1＝6，
∵y1＝y2，且对称轴为直线x＝2，
∴m＝4﹣5＝﹣1．
17．（7分）为了学生的安全，某校决定把一段如图所示的步梯路段进行改造．已知四边形ABCD为矩形，DE＝10 m，其坡度为i1＝1：，将步梯DE改造为斜坡AF，其坡度为i2＝1：4，求斜坡AF的长度．（结果精确到0.01 m，参考数据：≈1.732，≈4.123）
【分析】先由DE的坡度计算DC的长度，根据矩形性质得AB长度，再由AF的坡度得出BF的长度，根据勾股定理计算出AF的长度．
【解答】解：∵DE＝10 m，其坡度为i1＝1：，
∴在Rt△DCE中，＝10，
∴解得DC＝5．
∵四边形ABCD为矩形，
∴AB＝CD＝5．
∵斜坡AF的坡度为i2＝1：4，
∴，
∴BF＝4AB＝20，
∴在Rt△ABF中，≈20.62（m）．
故斜坡AF的长度约为20.62米．
18．（7分）如图，在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，∠BAC＝30°，AB＝6．将△ABC以点B为中心，逆时针旋转，使BC边落在AB边延长线上．在图上画出直角边AC扫过的图形（用阴影表示），并求出它的面积．
【分析】先利用旋转的性质画出图形，再利用含30度的直角三角形三边的关系得到BC＝AB＝3，∠ABC＝60°，则根据旋转的性质得到BC′BC＝3，BA＝BA′＝6，∠ABA′＝∠CBC′＝120°，△ABC≌△A′BC′，然后根据扇形的面积公式，利用直角边AC扫过的图形的面积＝S扇形ABA′﹣S扇形CBC′进行计算．
【解答】解：如图，∵∠BCA＝90°，∠BAC＝30°，
∴BC＝AB＝3，∠ABC＝60°，
∵△ABC以点B为中心，逆时针旋转，使BC边落在AB边延长线上，
∴BC′BC＝3，BA＝BA′＝6，∠ABA′＝∠CBC′＝120°，△ABC≌△A′BC′，
∴直角边AC扫过的图形的面积＝S扇形ABA′﹣S扇形CBC′
＝﹣
＝9π．
19．（7分）一个不透明的盒子里装有除颜色外其余均相同的2个黑球和n个白球，搅匀后从盒子里随机摸出一个球，摸到白球的概率为．
（1）求n的值；
（2）所有球放入盒中，搅匀后随机从中摸出1个球，放回搅匀，再随机摸出第2个球，求两次摸球摸到一个白球和一个黑球的概率．请用画树状图或列表的方法进行说明．
【分析】（1）根据摸到白球的概率为，列方程求解即可；
（2）用列表法表示所有可能出现的结果，进而求出两次摸球摸到一个白球和一个黑球的概率．
【解答】解：（1）由概率的意义可得，
＝，解得，n＝1，
检验，n＝1是原方程的根，且符合题意，
答：n的值为1；
（2）用列表法表示所有可能出现的结果情况如下：
共有9种可能出现的结果，其中两次摸球摸到一个白球和一个黑球有4种．
∴P（一白一黑）＝，
20．（8分）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD⊥CE，垂足为D，AC平分∠DAB．
（1）求证：CE是⊙O的切线；
（2）若AD＝4，cos∠CAB＝，求AB的长．
【分析】（1）连接OC．只要证明OC⊥DE即可解决问题；
（2）连接BC，根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，根据角平分线的定义得到∠DAC＝∠CAB，根据三角函数的定义即可得到结论．
【解答】（1）证明：连接OC．
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∵AC平分∠DAB，
∴∠CAD＝∠CAB，
∴∠DAC＝∠ACO，
∴AD∥OC，
∵AD⊥DE，
∴OC⊥DE，
∴直线CE是⊙O的切线；
（2）连接BC，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ADC＝∠ACB，
∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC＝∠CAB，
∴cos∠CAD＝，
∴在Rt△ACD中，AC＝5，
∴在Rt△ABC中，AB＝．
21．（9分）阅读以下材料，并解决相应问题：
小明在课外学习时遇到这样一个问题：
定义：如果二次函数y＝a1x2+b1x+c1（a1≠0，a1，b1，c1是常数）与y＝a2x2+b2x+c2（a2≠0，a2，b2，c2是常数）满足a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，则这两个函数为“旋转函数”．求函数y＝2x2﹣3x+1的旋转函数．小明是这样思考的，由函数y＝2x2﹣3x+1可知，a1＝2，b1＝﹣3，c1＝1，根据a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，求出a2，b2，c2就能确定这个函数的旋转函数．
请思考小明的方法解决下面问题：
（1）写出函数y＝x2﹣4x+3的旋转函数；
（2）若函数y＝5x2+（m﹣1）x+n与y＝﹣5x2﹣nx﹣3互为旋转函数，求（m+n）2021的值．
（3）已知函数y＝2（x﹣1）（x+3）的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A，B，C关于原点的对称点分别是A1，B1，C1，试求证：经过点A1，B1，C1的二次函数与y＝2（x﹣1）（x+3）互为“旋转函数”．
【分析】（1）由二次函数的解析式可得出a1，b1，c1的值，结合“旋转函数”的定义可求出a2，b2，c2的值，此问得解；
（2）由函数y＝5x2+（m+1）x+n与y＝﹣5x2﹣nx﹣3互为“旋转函数”，可求出m，n的值，将其代入（m+n）2021即可求出结论；
（3）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点A，B，C的坐标，结合对称的性质可求出点A1，B1，C1的坐标，由点A1，B1，C1的坐标，利用交点式可求出过点A1，B1，C1的二次函数解析式，由两函数的解析式可找出a1，b1，c1，a2，b2，c2的值，再由a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0可证出经过点A1，B1，C1的二次函数与函数y＝2（x﹣1）（x+3）互为“旋转函数”．
【解答】（1）解：由函数y＝x2﹣4x+3知，a1＝1，b1＝﹣4，c1＝3，
∵a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，
∴a2＝﹣1，b2＝﹣4，c2＝﹣3，
∴y＝﹣x2﹣4x﹣3；
（2）解：根据题意得：，解得，
∴（m+n）2021＝（3﹣2）2021＝1；
（3）证明：化简y＝2（x﹣1）（x+3）得y＝2x2+4x﹣6，
则A、B、C三点的坐标分别为A（1，0），B（﹣3，0），C（0，﹣6），
∴A、B、C三点关于原点对称的点坐标分别为A1（﹣1，0），B1（3，0），C1（0，6），
∴经过A1、B1、C1三点的函数解析式为y＝﹣2x2+4x+6，
∴y＝﹣2x2+4x+6与原函数y＝2（x﹣1）（x+3）是旋转函数．
22．（11分）如图，已知∠MON＝90°，OT是∠MON的平分线，A是射线OM上一点，OA＝8cm．动点P从点A出发，以1cm/s的速度沿AO水平向左做匀速运动，与此同时，动点Q从点O出发，也以1cm/s的速度沿ON竖直向上做匀速运动．连接PQ，交OT于点B．经过O，P，Q三点作圆，交OT于点C，连接PC，QC．设运动时间为t（s），其中0＜t＜8．
（1）求OP+OQ的值；
（2）是否存在实数t，使得线段OB的长度最大？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．
（3）在点P，Q运动过程中（0＜t＜8），四边形OPCQ的面积是否变化．如果面积变化，请说出四边形OPCQ面积变化的趋势；如果四边形OPCQ面积不变化，请求出它的面积．
【分析】（1）由题意得出OP＝（8﹣t）cm，OQ＝tcm，则可得出答案；
（2）如图，过点B作BD⊥OP，垂足为D，则BD∥OQ．设线段BD的长为xcm，则BD＝OD＝xcm，OB＝BD＝x（cm），PD＝（8﹣t﹣x）cm，得＝，则＝，解出x＝，由二次函数的性质可得出答案；
（3）证明△PCQ是等腰直角三角形．则S△PCQ＝＝PC•QC＝×PQ•PQ＝PQ2，在Rt△POQ中，PQ2＝OP2+OQ2＝（8﹣t）2+t2．由四边形OPCQ的面积S＝S△POQ+S△PCQ可得出答案．
【解答】解：（1）由题意可得，OP＝（8﹣t）cm，OQ＝tcm，
∴OP+OQ＝8﹣t+t＝8（cm）．
（2）当t＝4时，线段OB的长度最大．
如图，过点B作BD⊥OP，垂足为D，则BD∥OQ．
∵OT平分∠MON，
∴∠BOD＝45°，
∴∠BOD＝∠OBD＝45°，
∴BD＝OD，OB＝BD，
设线段BD的长为x，则BD＝OD＝xcm，OB＝BD＝xcm，PD＝（8﹣t﹣x）cm，
∵BD∥OQ，
∴＝，
∴＝，
∴x＝，
∴OB＝•＝﹣（t﹣4）2+2（0＜t＜8），
∵﹣＜0．
∴当t＝4时，线段OB的长度最大，最大为2cm．
（3）四边形OPCQ面积不变化，面积为16cm2．
∵∠POQ＝90°，
∴PQ是圆的直径，
∴∠PCQ＝90°，
∵∠PQC＝∠POC＝45°，
∴△PCQ是等腰直角三角形，
∴S△PCQ＝PC•QC＝×PQ•PQ＝PQ2，
在Rt△POQ中，PQ2＝OP2+OQ2＝（8﹣t）2+t2，
∴四边形OPCQ的面积S＝S△POQ+S△PCQ＝OP•OQ+PQ2
＝t（8﹣t）+[（8﹣t）2+t2]
＝4t﹣t2+t2﹣4t+16
＝16．
∴四边形OPCQ的面积为16cm2．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布
日期：2021/8/11 11:59:21；用户：节节高5；邮箱：5jiejg@xyh.com；学号：37675298
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