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2020-2021学年辽宁省沈阳市沈河区八年级（下）期末数学试卷
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这是一份2020-2021学年辽宁省沈阳市沈河区八年级（下）期末数学试卷，共25页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（2分）如果x＜y，那么下列不等式正确的是（ ）
A．2x＜2yB．﹣2x＜﹣2yC．x﹣1＞y﹣1D．x+1＞y+1
2．（2分）若分式的值为零，则a的值是（ ）
A．±2B．2C．﹣2D．0
3．（2分）下列垃圾分类标识中，是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
4．（2分）在平行四边形ABCD中，∠A＝40°，则∠C等于（ ）
A．40°B．80°C．140°D．180°
5．（2分）下列各式从左到右的变形一定正确的是（ ）
A．＝B．＝x﹣y
C．＝D．＝
6．（2分）下列多项式能直接用完全平方公式进行因式分解的是（ ）
A．x2+2x﹣1B．x2﹣x+C．x2+xy+y2D．9+x2﹣3x
7．（2分）下列命题不正确的是（ ）
A．等腰三角形的两底角相等
B．平行四边形的对角线互相平分
C．角平分线上的点到角两边的距离相等
D．三个角分别对应相等的两个三角形全等
8．（2分）下列条件不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．AD＝BC，AB＝CDB．∠A＝∠C，∠B＝∠D
C．AB∥CD，BC＝ADD．AD∥BC，∠B＝∠D
9．（2分）如图，一次函数y1＝kx+b的图象与直线y2＝m相交于点P（﹣1，3），则关于x的不等式kx+b﹣m＞0的解集为（ ）
A．x＞3B．x＜﹣1C．x＞﹣1D．x＜3
10．（2分）如图，已知∠ABC，小彬借助一把没有刻度且等宽的直尺，按如图的方法画出了∠ABC的平分线BP．他这样做的依据是（ ）
A．在一个角的内部，且到角两边的距离相等的点在这个角的平分线上
B．角平分线上的点到这个角两边的距离相等
C．三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等
D．测量垂直平分线上的点到这条线段的距离相等
二.填空题（每小题3分，共18分）
11．（3分）一个多边形的每一个外角为30°，那么这个多边形的边数为 ．
12．（3分）如图，在△ABC中，BC＝8cm，D是BC的中点，将△ABC沿BC向右平移得△A'DC'，则点A平移的距离AA'＝ cm．
13．（3分）计算：﹣＝ ．
14．（3分）实验初中初二（1）班同学参加社会实践活动，几名同学打算包租一辆车前往，该车的租价为180元，出发时，又增加了两名同学，结果每名同学比原来少分摊了3元车费．设参加实践活动的学生原有x人，则可列方程为 ．
15．（3分）如图，四边形ABCD中，∠B+∠D＝180°，AC平分∠DAB，CM⊥AB于点M，若AM＝4cm，BC＝2.5cm，则四边形ABCD的周长为 cm．
16．（3分）如图，▱ABCD中，∠ABC＝45°，EF是BC的垂直平分线，EB＝AB，若BD＝6，则AB＝ ．
三.解答题（每小题8分，共32分）
17．（8分）分解因式：
（1）2x2﹣4x+2；
（2）a2（x﹣y）+9b2（y﹣x）．
18．（8分）利用数轴求出不等式组的解集．．
19．（8分）先化简：（﹣）÷，再从﹣3、﹣2、﹣1、0、1中选一个合适的数作为a的值代入求值．
20．（8分）解分式方程：﹣1＝．
四.（本题8分）
21．（8分）如图，在平面直角坐标系中，已知△BC的三个顶点的坐标分别为A（﹣3，5），B（﹣2，1），C（﹣1，3）．
（1）若△ABC经过平移后得到△A1B1C1，已知点C1的坐标为（4，0），画出△A1B1C1；
（2）将△ABC绕着点O按顺时针方向旋转90°得到△A2B2C2，则点A2的坐标为 ，点C2的坐标为 ．
（3）点D是平面直角坐标系内一点，若以A、B、C、D为顶点的四边形为平行四边形，直接写出满足条件的D点坐标 ．
五.（本题8分）
22．（8分）如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E、F为直线BD上的两个动点（点E、F始终在▱ABCD的外面），且DE＝OD，BF＝OB，连接AE、CE、CF、AF．
（1）求证：四边形AFCE为平行四边形．
（2）若AC＝6，EF＝10，AF＝4，则平行四边形AFCE的周长为 ．
六、解答题（本题10分）
23．（10分）某网店预测一种时尚T恤衫能畅销，用4800元购进这种T恤衫，很快售完，接着又用6600元购进第二批这种T恤衫，第二批T恤衫数量是第一批T恤衫数量的1.5倍，且每件T恤衫的进价第二批比第一批的少5元．
（1）求第一批T恤衫每件的进价是多少元？
（2）若第一批T恤衫的售价是80元/件，老板想让这两批T恤衫售完后的总利润不低于4060元，则第二批T恤衫每件至少要售多少元？（T恤衫的售价为整数元）
七.（本题12分）
24．（12分）如图，在四边形ABCD中，∠B＝60°，AB＝DC＝4，AD＝BC＝8．延长BC到E，使CE＝4，连接DE，动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿BC﹣CD﹣DA向终点A运动，设点P运动的时间为t秒．（t＞0）
（1）当t＝3时，BP＝ ；
（2）当t＝ 时，点P运动到∠B的角平分线上；
（3）当0＜t＜6时，请用含t的代数式表示△ABP的面积S；
（4）当0＜t＜6时，直接写出点P到四边形ABED相邻两边距离相等时t的值．
八.（本题12分）
25．（12分）思维启迪
（1）如图，△ABC中，AB＝4，AC＝2，点在AB上，AD＝AC，AE⊥CD垂足为E，点F是BC中点，则EF的长度为 ．
思维探索
（2）如图2，等边三角形ABC的边长为4，AD⊥BC垂足为D，点E是AC的中点，点M是AD的中点，点N是BE的中点，求MN的长．
（3）将（2）中的△CDE绕C点旋转，其他条件不变，当点D落在直线AC上时，画出图形，并直接写出MN长．
2020-2021学年辽宁省沈阳市沈河区八年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题2分，共20分）
1．（2分）如果x＜y，那么下列不等式正确的是（ ）
A．2x＜2yB．﹣2x＜﹣2yC．x﹣1＞y﹣1D．x+1＞y+1
【分析】根据不等式的性质逐个判断即可．
【解答】解：A、∵x＜y，
∴2x＜2y，故本选项符合题意；
B、∵x＜y，
∴﹣2x＞﹣2y，故本选项不符合题意；
C、∵x＜y，
∴x﹣1＜y﹣1，故本选项不符合题意；
D、∵x＜y，
∴x+1＜y+1，故本选项不符合题意；
故选：A．
2．（2分）若分式的值为零，则a的值是（ ）
A．±2B．2C．﹣2D．0
【分析】分式的值为0的条件是：（1）分子＝0；（2）分母≠0．两个条件需同时具备，缺一不可．据此可以解答本题．
【解答】解：∵＝0，
∴，
∴a＝2，
故选：B．
3．（2分）下列垃圾分类标识中，是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】利用中心对称图形的定义进行解答即可．
【解答】解：A、不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B、是中心对称图形，故此选项符合题意；
C、不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D、不是中心对称图形，故此选项不合题意；
故选：B．
4．（2分）在平行四边形ABCD中，∠A＝40°，则∠C等于（ ）
A．40°B．80°C．140°D．180°
【分析】由平行四边形的性质：对角相等，得出∠C＝∠A．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠C＝∠A＝40°．
故选：A．
5．（2分）下列各式从左到右的变形一定正确的是（ ）
A．＝B．＝x﹣y
C．＝D．＝
【分析】根据分式的基本性质逐个判断即可．
【解答】解：A．≠，故本选项不符合题意；
B．＝＝x+y，故本选项不符合题意；
C．当b＝﹣2，a＝1时，≠，故本选项不符合题意；
D．＝，故本选项符合题意；
故选：D．
6．（2分）下列多项式能直接用完全平方公式进行因式分解的是（ ）
A．x2+2x﹣1B．x2﹣x+C．x2+xy+y2D．9+x2﹣3x
【分析】根据能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数（或式）的平方和的形式，另一项是这两个数（或式）的积的2倍进行分析即可．
【解答】解：A、x2+2x﹣1不能直接用完全平方公式进行因式分解，故此选项不合题意；
B、x2﹣x+＝（x﹣）2，能直接用完全平方公式进行因式分解，故此选项符合题意；
C、x2+xy+y2不能直接用完全平方公式进行因式分解，故此选项不合题意；
D、9+x2﹣3x不能直接用完全平方公式进行因式分解，故此选项不合题意；
故选：B．
7．（2分）下列命题不正确的是（ ）
A．等腰三角形的两底角相等
B．平行四边形的对角线互相平分
C．角平分线上的点到角两边的距离相等
D．三个角分别对应相等的两个三角形全等
【分析】利用等腰三角形的性、平行四边形的性质、角平分线的性质及全等三角形的判定分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：A、等腰三角形的两底角相等，正确，不符合题意；
B、平行四边形的对角线互相平分，正确，不符合题意；
C、角平分线上的点到角两边的距离相等，正确，不符合题意；
D、三个角分别对应相等的两个三角形相似但不一定全等，故错误，符合题意，
故选：D．
8．（2分）下列条件不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．AD＝BC，AB＝CDB．∠A＝∠C，∠B＝∠D
C．AB∥CD，BC＝ADD．AD∥BC，∠B＝∠D
【分析】根据平行四边形的判定逐一判断即可．
【解答】解：A．由AD＝BC，AB＝CD可根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形知四边形ABCD是平行四边形，此选项不符合题意；
B．由∠A＝∠C，∠B＝∠D可根据两组对角分别相等的四边形是平行四边形知四边形ABCD是平行四边形，此选项不符合题意；
C．由AB∥CD，BC＝AD不能判定四边形ABCD是平行四边形，此选项符合题意；
D．由AD∥BC知∠A+∠B＝180°，结合∠B＝∠D知∠A+∠D＝180°，
所以AB∥CD，
此时可根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形知四边形ABCD是平行四边形，此选项不符合题意；
故选：C．
9．（2分）如图，一次函数y1＝kx+b的图象与直线y2＝m相交于点P（﹣1，3），则关于x的不等式kx+b﹣m＞0的解集为（ ）
A．x＞3B．x＜﹣1C．x＞﹣1D．x＜3
【分析】观察函数图象，根据两函数图象的上下位置关系即可找出不等式kx+b﹣m＞0的解集．
【解答】解：观察函数图象可知：当x＜﹣1时，一次函数y1＝kx+b的图象在y2＝m的图象的上方，
∴关于x的不等式kx+b﹣m＞0的解集是x＜﹣1．
故选：B．
10．（2分）如图，已知∠ABC，小彬借助一把没有刻度且等宽的直尺，按如图的方法画出了∠ABC的平分线BP．他这样做的依据是（ ）
A．在一个角的内部，且到角两边的距离相等的点在这个角的平分线上
B．角平分线上的点到这个角两边的距离相等
C．三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等
D．测量垂直平分线上的点到这条线段的距离相等
【分析】根据角平分线性质得出BP平分∠DPE，根据平行线的性质推出∠DBP＝∠EBP，即可得出答案．
【解答】
解：∵∠M＝∠N＝90°，BM＝BN，
∴BP平分∠DPE，
∴∠DPB＝∠EPB，
∵DP∥BC，PE∥BD，
∴∠DPB＝∠PBE，∠EPB＝∠DBP，
∴∠DBP＝∠EBC，
即在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上，
故选：A．
二.填空题（每小题3分，共18分）
11．（3分）一个多边形的每一个外角为30°，那么这个多边形的边数为 12 ．
【分析】一个正多边形的每个内角都相等，根据内角与外角互为邻补角，因而就可以求出外角的度数．根据任何多边形的外角和都是360°，利用360°除以外角的度数就可以求出外角和中外角的个数，即多边形的边数．
【解答】解：多边形的边数：360°÷30°＝12，
则这个多边形的边数为12．
故答案为：12．
12．（3分）如图，在△ABC中，BC＝8cm，D是BC的中点，将△ABC沿BC向右平移得△A'DC'，则点A平移的距离AA'＝ 4 cm．
【分析】利用平移的性质解决问题即可．
【解答】解：∵D是BC的中点，
∴BD＝BC＝4（cm），
由平移的性质可知，AA′∥BD，AA′＝BD，
∴AA′＝4（cm），
故答案为：4．
13．（3分）计算：﹣＝ ．
【分析】先通分，再进行分式的加减即可得到答案．
【解答】解：原式＝＝．
故答案为：．
14．（3分）实验初中初二（1）班同学参加社会实践活动，几名同学打算包租一辆车前往，该车的租价为180元，出发时，又增加了两名同学，结果每名同学比原来少分摊了3元车费．设参加实践活动的学生原有x人，则可列方程为 ﹣＝3 ．
【分析】根据人均车费＝该车的租价÷人数结合增加了两名同学后比原来少分摊3元车费，即可得出关于x的分式方程，此题得解．
【解答】解：依题意，得：﹣＝3．
故答案为：﹣＝3．
15．（3分）如图，四边形ABCD中，∠B+∠D＝180°，AC平分∠DAB，CM⊥AB于点M，若AM＝4cm，BC＝2.5cm，则四边形ABCD的周长为 13 cm．
【分析】过C作CE⊥AD的延长线于点E，由条件可证△AEC≌△AMC，得到AE＝AM．证明△ECD≌△MBC，由全等的性质可得DE＝MB，BC＝CD，则问题可得解．
【解答】解：过C作CE⊥AD的延长线于点E，
∵AC平分∠BAD，
∴∠EAC＝∠MAC，
∵CE⊥AD，CM⊥AB，
∴∠AEC＝∠AMC＝90°，CE＝CM，
在Rt△AEC和Rt△AMC中，
，
∴Rt△AEC≌Rt△AMC（HL），
∴AE＝AM＝4cm，
∵∠ADC+∠B＝180°，∠ADC+∠EDC＝180°，
∴∠EDC＝∠MBC，
在△EDC和△MBC中，
，
∴△EDC≌△MBC（AAS），
∴ED＝BM，BC＝CD＝2.5cm，
∴四边形ABCD的周长为AB+AD+BC+CD＝AM+BM+AE﹣DE+2BC＝2AM+2BC＝8+5＝13（cm）．
故答案为：13．
16．（3分）如图，▱ABCD中，∠ABC＝45°，EF是BC的垂直平分线，EB＝AB，若BD＝6，则AB＝ 3﹣3 ．
【分析】连接CE，过C作CG⊥DE于G，由线段垂直平分线的性质得EB＝EC，则∠EBC＝∠ECB，再证EC＝CD，则∠CED＝∠CDE，设∠EBC＝∠ECB＝α，则∠CDE＝∠CED＝∠EBC+∠ECB＝2α，然后由三角形内角和定理求出α＝15°，则∠CDE＝∠CED＝30°，设AB＝EB＝EC＝CD＝x，则DE＝BD﹣EB＝6﹣x，最后由含30°角的直角三角形的性质和等腰三角形的性质得EG＝CG＝x，EG＝DE＝（6﹣x），则x＝（6﹣x），解方程即可．
【解答】解：连接CE，过C作CG⊥DE于G，如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠ABC+∠BCD＝180°，
∴∠BCD＝180°﹣45°＝135°，
∵EF是BC的垂直平分线，
∴EB＝EC，
∴∠EBC＝∠ECB，
∵EB＝AB，
∴EC＝CD，
∴∠CED＝∠CDE，
设∠EBC＝∠ECB＝α，则∠CDE＝∠CED＝∠EBC+∠ECB＝2α，
在△BCD中，∠DBC+∠CDB＝180°﹣135°＝45°，
即α+2α＝45°，
解得：α＝15°，
∴∠CDE＝∠CED＝30°，
设AB＝EB＝EC＝CD＝x，则DE＝BD﹣EB＝6﹣x，
∵CG⊥DE，
∴CG＝EC＝x，EG＝CG＝x，
又∵EC＝DC，CG⊥DE，
∴EG＝DG＝DE＝（6﹣x），
∴x＝（6﹣x），
解得：x＝3﹣3，
即AB＝3﹣3，
故答案为：3﹣3．
三.解答题（每小题8分，共32分）
17．（8分）分解因式：
（1）2x2﹣4x+2；
（2）a2（x﹣y）+9b2（y﹣x）．
【分析】（1）先提取公因式，再按照完全平方公式分解即可；
（2）先提取公因式，再按照平方差公式分解即可．
【解答】解：（1）原式＝2（x2﹣2x+1）
＝2（x﹣1）2；
（2）原式＝（x﹣y）（a2﹣9b2 ）
＝（x﹣y）（a﹣3b）（a+3b）．
18．（8分）利用数轴求出不等式组的解集．．
【分析】先求出不等式组中各个不等式的解集，再利用数轴确定不等式组的解集．
【解答】解：，
解不等式①得：x＜1，
解不等式②得：x＞﹣3
在数轴上表示不等式①、②的解集，得：
，
∴不等式组的解集是：﹣3＜x＜1．
19．（8分）先化简：（﹣）÷，再从﹣3、﹣2、﹣1、0、1中选一个合适的数作为a的值代入求值．
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把a的值代入计算即可求出值．
【解答】解：原式＝•
＝
＝
＝，
当a＝﹣3，﹣1，0，1时，原式没有意义，舍去，
当a＝﹣2时，原式＝﹣．
20．（8分）解分式方程：﹣1＝．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：原方程变形为：﹣1＝，
方程两边同乘以3（x+1），得3x﹣3x﹣3＝2x，
解得：x＝﹣1.5，
经检验，x＝﹣1.5是原方程的根．
四.（本题8分）
21．（8分）如图，在平面直角坐标系中，已知△BC的三个顶点的坐标分别为A（﹣3，5），B（﹣2，1），C（﹣1，3）．
（1）若△ABC经过平移后得到△A1B1C1，已知点C1的坐标为（4，0），画出△A1B1C1；
（2）将△ABC绕着点O按顺时针方向旋转90°得到△A2B2C2，则点A2的坐标为 （5，3） ，点C2的坐标为 （3，1） ．
（3）点D是平面直角坐标系内一点，若以A、B、C、D为顶点的四边形为平行四边形，直接写出满足条件的D点坐标 （﹣4，3），（﹣2，7），（0，1） ．
【分析】（1）利用平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可．
（2）利用旋转变换的性质分别作出A，B，C的对应点A2，B2，C2即可．
（3）根据平行四边形的判定画出图形，可得结论．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求．
（2）如图，△A2B2C2即为所求，点A2的坐标为（5，3），点C2的坐标为（3，1）．
故答案为：（5，3），（3，1）．
（3）满足条件的D点坐标（﹣4，3），（﹣2，7），（0，1）．
故答案为：（﹣4，3），（﹣2，7），（0，1）．
五.（本题8分）
22．（8分）如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E、F为直线BD上的两个动点（点E、F始终在▱ABCD的外面），且DE＝OD，BF＝OB，连接AE、CE、CF、AF．
（1）求证：四边形AFCE为平行四边形．
（2）若AC＝6，EF＝10，AF＝4，则平行四边形AFCE的周长为 8+4 ．
【分析】（1）由平行四边形的性质得OA＝OC，OB＝OD．再证OE＝OF，即可得出结论；
（2）由勾股定理的逆定理证明△AOF是直角三角形，∠OAF＝90°，再由勾股定理得CF＝2，然后由平行四边形的对边相等即可求解．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD．
∵DE＝OD，BF＝OB，
∴DE＝BF，
∴OD+DE＝OB+BF，
即OE＝OF，
∴四边形AFCE为平行四边形；
（2）解：如图所示：
由（1）得：OA＝OC＝AC＝3，OE＝OF＝EF＝5，
∵AF＝4，
∴OA2+AF2＝OF2，
∴△AOF是直角三角形，∠OAF＝90°，
∴CF＝＝＝2，
∵四边形AFCE是平行四边形，
∴CE＝AF＝4，AE＝CF＝2，
∴平行四边形AFCE的周长＝2（AF+CF）＝8+4，
故答案为：8+4．
六、解答题（本题10分）
23．（10分）某网店预测一种时尚T恤衫能畅销，用4800元购进这种T恤衫，很快售完，接着又用6600元购进第二批这种T恤衫，第二批T恤衫数量是第一批T恤衫数量的1.5倍，且每件T恤衫的进价第二批比第一批的少5元．
（1）求第一批T恤衫每件的进价是多少元？
（2）若第一批T恤衫的售价是80元/件，老板想让这两批T恤衫售完后的总利润不低于4060元，则第二批T恤衫每件至少要售多少元？（T恤衫的售价为整数元）
【分析】（1）已知金额设出进价，表示出数量，根据数量列出方程；
（2）在（1）的基础上，根据求出的两次进价求出两次进货数量，列出关于总利润的不等式．
【解答】解：（1）设第一批T恤衫每件的进价为x元，根据题意
得：
解得 x＝60
经检验，x＝60是原方程的解
答：第一批T恤衫的进价为60元．
（2）设第二批T恤衫的售价为y元，根据题意，得
（80﹣60）×
解得：y≥75.5
∵T恤衫的售价为整数元
∴第二批T恤的售价至少为76元
答：第二批T恤的售价至少为76元．
七.（本题12分）
24．（12分）如图，在四边形ABCD中，∠B＝60°，AB＝DC＝4，AD＝BC＝8．延长BC到E，使CE＝4，连接DE，动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿BC﹣CD﹣DA向终点A运动，设点P运动的时间为t秒．（t＞0）
（1）当t＝3时，BP＝ 6 ；
（2）当t＝ 8 时，点P运动到∠B的角平分线上；
（3）当0＜t＜6时，请用含t的代数式表示△ABP的面积S；
（4）当0＜t＜6时，直接写出点P到四边形ABED相邻两边距离相等时t的值．
【分析】（1）根据动点P的运动速度，即可表示出BP的长度，再将t＝3代入即可求出BP的长度；
（2）根据两组对边分别相等可先求证四边形ABCD是平行四边形，再根据角平分线的性质得到等腰△ABP，从而可以求解；
（3）根据题意分两种情况讨论：①当点P在BC上运动时，②当点P在CD上运动时，分别用含t的代数式表示△ABP的面积S即可；
（4）当0＜t＜6时，点P在BC、CD边上运动，结合角平分线的性质和等边三角形的判定和性质分析求解．
【解答】解：（1）∵动点P的运动速度为2单位/秒，
∴BP＝2t，
∴当t＝3时，
BP＝2×3＝6，
故答案为：6．
（2）∵AB＝CD，AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠AFB＝∠CBF，
如图1，作∠ABC的角平分线交AD于F，
∴∠ABF＝∠FBC，
∴∠ABF＝∠AFB，
∴AF＝AB＝4，
∴DF＝8﹣4＝4，
∴点P运动到∠ABC的角平分线上时，BC+DC+DF＝8+4+4＝16，
∴t＝16÷2＝8，
∴当t＝8时，点P运动到∠ABC的角平分线上；
故答案为：8；
（3）∵BC+CD＝8+4＝12
∴当0＜t＜6时，点P在BC上和CD上，
分两种情况讨论：
①当点P在BC上运动时，0＜t≤4，
过点A作AM⊥BE，
∵∠B＝60°，
∴在Rt△ABM中，∠BAM＝30°，
∴BM＝AB＝3，AM＝BM＝3，
此时，S＝S△ABP＝×BP×AM＝×2t×2＝2t（0＜t≤4）；
②当点P在CD上运动时，4＜t＜6，
△ABP的面积为定值，且等于平行四边形ABCD面积的一半，
此时，S＝S△ABP＝×BC×AM＝×8×2＝8（4＜t＜6）；
综上，S＝；
（4）①当点P运动到∠BAD的角平分线上时，
连接AP，过点P作PM⊥AB，PN⊥AD，
此时PM＝PN，即点P到四边形ABED相邻两边AB和AD的距离相等，
∵AD∥BC，
∴∠DAP＝∠APB，
又∵AP平分∠BAD，
∴∠BAP＝∠DAP，
∴∠BAP＝∠APB，
∴BP＝2t＝BA＝4，
解得：t＝2，
②当点P与运动到CD边上时，过点P作PM⊥AD，PN⊥DE，
在平行四边形ABCD中，AB∥CD，∠B＝∠ADC＝60°，
∴∠DCE＝∠B＝60°，
又∵CD＝CE＝4，
∴△CDE是等边三角形，
∴∠CDE＝60°，
∴∠ADC＝∠CDE，即CD平分∠ADE，
∴当4≤t＜6时，点P在∠ADC的角平分线上运动，
此时，点P到四边形ABED相邻两边AD和DE的距离相等．
综上：t＝2或4≤t＜6时，点P到四边形ABED相邻两边距离相等．
八.（本题12分）
25．（12分）思维启迪
（1）如图，△ABC中，AB＝4，AC＝2，点在AB上，AD＝AC，AE⊥CD垂足为E，点F是BC中点，则EF的长度为 1 ．
思维探索
（2）如图2，等边三角形ABC的边长为4，AD⊥BC垂足为D，点E是AC的中点，点M是AD的中点，点N是BE的中点，求MN的长．
（3）将（2）中的△CDE绕C点旋转，其他条件不变，当点D落在直线AC上时，画出图形，并直接写出MN长．
【分析】（1）可证出EF是△BCD的中位线，从而有EF＝＝1；
（2）取AB中点F，连接MF，NF，证明出△MNF是等边三角形，从而MN＝MF＝1；
（3）分两种情况：当点D在线段AC上时，取AE的中点F，取BC的中点G，证出△MNF是直角三角形，利用勾股定理即可求出MN，当点D在AC延长线上时，连接AE，取AE的中点F，证出∠MFN﹣120°，再过点N作NG⊥MF于G，解直角三角形即可．
【解答】解：（1）∵AD＝AC，AE⊥CD，
∴DE＝CE，
∴点E是CD的中点，
∵点F是BC中点，
∴EF是△BCD的中位线，
∴EF＝＝1．
故答案为：1；
（2）如图2，取AB中点F，连接MF，NF，
∵点M是AD的中点，点F是AB的中点，
∴MF是△ABD的中位线，
∴MF∥BD，MF＝，
∴∠AFM＝∠ABD＝60°，
∵点N是BE的中点，F是AB的中点，
∴NF是△ABE的中位线，
∴NF∥AE，NF＝，
∴∠BFN＝∠BAC＝60°，
∵BD＝AE，
∴MF＝FN，
∴∠NFM＝180°﹣∠BFN﹣∠AFM＝60°，
∴△MNF是等边三角形，
∴MN＝FN＝，
∴AE＝2，
∴MN＝1；
（3）如图，当点D在线段AC上时，取AE的中点F，取BC的中点G，
连接MF、DF、NG、FN，
∵∠DCE＝∠BAC＝60°，
∴AB∥CE，
∵DF是△ACE的中位线，FN是△ABE的中位线，DG是△ABC的中位线，
∴DF∥CE，FN∥AB，DG∥AB，NG∥CE，
∴点F、D、N、G四点共线，
∴DG＝FN＝2，DF＝1，MF＝1，
∴DM＝DF＝DN＝1，
∴∠DMN＝∠DNM，∠MDF＝∠DFM，
∵∠DMN+∠DNM+∠MDF+∠DFM＝180°，
∴∠NMF＝90°，
在Rt△MNF中，由勾股定理得：
MN＝，
当点D在AC延长线上时，连接AE，取AE的中点F，连接FM，FN，过点N作NG⊥MF于G，
同理FM＝1，FN＝2，
∵∠EFN＝∠BAE，
∴∠NFM＝60°+∠EFM＝∠BAE+∠EAC+60°＝120°，
∴∠NFG＝60°，
∴FG＝，NG＝，
∵GM＝2，
在Rt△MNG中，由勾股定理得：
MN＝，
综上所述：MN＝或．
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日期：2021/8/11 12:02:53；用户：节节高5；邮箱：5jiejg@xyh.cm；学号：37675298
1．（2分）如果x＜y，那么下列不等式正确的是（ ）
A．2x＜2yB．﹣2x＜﹣2yC．x﹣1＞y﹣1D．x+1＞y+1
2．（2分）若分式的值为零，则a的值是（ ）
A．±2B．2C．﹣2D．0
3．（2分）下列垃圾分类标识中，是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
4．（2分）在平行四边形ABCD中，∠A＝40°，则∠C等于（ ）
A．40°B．80°C．140°D．180°
5．（2分）下列各式从左到右的变形一定正确的是（ ）
A．＝B．＝x﹣y
C．＝D．＝
6．（2分）下列多项式能直接用完全平方公式进行因式分解的是（ ）
A．x2+2x﹣1B．x2﹣x+C．x2+xy+y2D．9+x2﹣3x
7．（2分）下列命题不正确的是（ ）
A．等腰三角形的两底角相等
B．平行四边形的对角线互相平分
C．角平分线上的点到角两边的距离相等
D．三个角分别对应相等的两个三角形全等
8．（2分）下列条件不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．AD＝BC，AB＝CDB．∠A＝∠C，∠B＝∠D
C．AB∥CD，BC＝ADD．AD∥BC，∠B＝∠D
9．（2分）如图，一次函数y1＝kx+b的图象与直线y2＝m相交于点P（﹣1，3），则关于x的不等式kx+b﹣m＞0的解集为（ ）
A．x＞3B．x＜﹣1C．x＞﹣1D．x＜3
10．（2分）如图，已知∠ABC，小彬借助一把没有刻度且等宽的直尺，按如图的方法画出了∠ABC的平分线BP．他这样做的依据是（ ）
A．在一个角的内部，且到角两边的距离相等的点在这个角的平分线上
B．角平分线上的点到这个角两边的距离相等
C．三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等
D．测量垂直平分线上的点到这条线段的距离相等
二.填空题（每小题3分，共18分）
11．（3分）一个多边形的每一个外角为30°，那么这个多边形的边数为 ．
12．（3分）如图，在△ABC中，BC＝8cm，D是BC的中点，将△ABC沿BC向右平移得△A'DC'，则点A平移的距离AA'＝ cm．
13．（3分）计算：﹣＝ ．
14．（3分）实验初中初二（1）班同学参加社会实践活动，几名同学打算包租一辆车前往，该车的租价为180元，出发时，又增加了两名同学，结果每名同学比原来少分摊了3元车费．设参加实践活动的学生原有x人，则可列方程为 ．
15．（3分）如图，四边形ABCD中，∠B+∠D＝180°，AC平分∠DAB，CM⊥AB于点M，若AM＝4cm，BC＝2.5cm，则四边形ABCD的周长为 cm．
16．（3分）如图，▱ABCD中，∠ABC＝45°，EF是BC的垂直平分线，EB＝AB，若BD＝6，则AB＝ ．
三.解答题（每小题8分，共32分）
17．（8分）分解因式：
（1）2x2﹣4x+2；
（2）a2（x﹣y）+9b2（y﹣x）．
18．（8分）利用数轴求出不等式组的解集．．
19．（8分）先化简：（﹣）÷，再从﹣3、﹣2、﹣1、0、1中选一个合适的数作为a的值代入求值．
20．（8分）解分式方程：﹣1＝．
四.（本题8分）
21．（8分）如图，在平面直角坐标系中，已知△BC的三个顶点的坐标分别为A（﹣3，5），B（﹣2，1），C（﹣1，3）．
（1）若△ABC经过平移后得到△A1B1C1，已知点C1的坐标为（4，0），画出△A1B1C1；
（2）将△ABC绕着点O按顺时针方向旋转90°得到△A2B2C2，则点A2的坐标为 ，点C2的坐标为 ．
（3）点D是平面直角坐标系内一点，若以A、B、C、D为顶点的四边形为平行四边形，直接写出满足条件的D点坐标 ．
五.（本题8分）
22．（8分）如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E、F为直线BD上的两个动点（点E、F始终在▱ABCD的外面），且DE＝OD，BF＝OB，连接AE、CE、CF、AF．
（1）求证：四边形AFCE为平行四边形．
（2）若AC＝6，EF＝10，AF＝4，则平行四边形AFCE的周长为 ．
六、解答题（本题10分）
23．（10分）某网店预测一种时尚T恤衫能畅销，用4800元购进这种T恤衫，很快售完，接着又用6600元购进第二批这种T恤衫，第二批T恤衫数量是第一批T恤衫数量的1.5倍，且每件T恤衫的进价第二批比第一批的少5元．
（1）求第一批T恤衫每件的进价是多少元？
（2）若第一批T恤衫的售价是80元/件，老板想让这两批T恤衫售完后的总利润不低于4060元，则第二批T恤衫每件至少要售多少元？（T恤衫的售价为整数元）
七.（本题12分）
24．（12分）如图，在四边形ABCD中，∠B＝60°，AB＝DC＝4，AD＝BC＝8．延长BC到E，使CE＝4，连接DE，动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿BC﹣CD﹣DA向终点A运动，设点P运动的时间为t秒．（t＞0）
（1）当t＝3时，BP＝ ；
（2）当t＝ 时，点P运动到∠B的角平分线上；
（3）当0＜t＜6时，请用含t的代数式表示△ABP的面积S；
（4）当0＜t＜6时，直接写出点P到四边形ABED相邻两边距离相等时t的值．
八.（本题12分）
25．（12分）思维启迪
（1）如图，△ABC中，AB＝4，AC＝2，点在AB上，AD＝AC，AE⊥CD垂足为E，点F是BC中点，则EF的长度为 ．
思维探索
（2）如图2，等边三角形ABC的边长为4，AD⊥BC垂足为D，点E是AC的中点，点M是AD的中点，点N是BE的中点，求MN的长．
（3）将（2）中的△CDE绕C点旋转，其他条件不变，当点D落在直线AC上时，画出图形，并直接写出MN长．
2020-2021学年辽宁省沈阳市沈河区八年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题2分，共20分）
1．（2分）如果x＜y，那么下列不等式正确的是（ ）
A．2x＜2yB．﹣2x＜﹣2yC．x﹣1＞y﹣1D．x+1＞y+1
【分析】根据不等式的性质逐个判断即可．
【解答】解：A、∵x＜y，
∴2x＜2y，故本选项符合题意；
B、∵x＜y，
∴﹣2x＞﹣2y，故本选项不符合题意；
C、∵x＜y，
∴x﹣1＜y﹣1，故本选项不符合题意；
D、∵x＜y，
∴x+1＜y+1，故本选项不符合题意；
故选：A．
2．（2分）若分式的值为零，则a的值是（ ）
A．±2B．2C．﹣2D．0
【分析】分式的值为0的条件是：（1）分子＝0；（2）分母≠0．两个条件需同时具备，缺一不可．据此可以解答本题．
【解答】解：∵＝0，
∴，
∴a＝2，
故选：B．
3．（2分）下列垃圾分类标识中，是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】利用中心对称图形的定义进行解答即可．
【解答】解：A、不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B、是中心对称图形，故此选项符合题意；
C、不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D、不是中心对称图形，故此选项不合题意；
故选：B．
4．（2分）在平行四边形ABCD中，∠A＝40°，则∠C等于（ ）
A．40°B．80°C．140°D．180°
【分析】由平行四边形的性质：对角相等，得出∠C＝∠A．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠C＝∠A＝40°．
故选：A．
5．（2分）下列各式从左到右的变形一定正确的是（ ）
A．＝B．＝x﹣y
C．＝D．＝
【分析】根据分式的基本性质逐个判断即可．
【解答】解：A．≠，故本选项不符合题意；
B．＝＝x+y，故本选项不符合题意；
C．当b＝﹣2，a＝1时，≠，故本选项不符合题意；
D．＝，故本选项符合题意；
故选：D．
6．（2分）下列多项式能直接用完全平方公式进行因式分解的是（ ）
A．x2+2x﹣1B．x2﹣x+C．x2+xy+y2D．9+x2﹣3x
【分析】根据能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数（或式）的平方和的形式，另一项是这两个数（或式）的积的2倍进行分析即可．
【解答】解：A、x2+2x﹣1不能直接用完全平方公式进行因式分解，故此选项不合题意；
B、x2﹣x+＝（x﹣）2，能直接用完全平方公式进行因式分解，故此选项符合题意；
C、x2+xy+y2不能直接用完全平方公式进行因式分解，故此选项不合题意；
D、9+x2﹣3x不能直接用完全平方公式进行因式分解，故此选项不合题意；
故选：B．
7．（2分）下列命题不正确的是（ ）
A．等腰三角形的两底角相等
B．平行四边形的对角线互相平分
C．角平分线上的点到角两边的距离相等
D．三个角分别对应相等的两个三角形全等
【分析】利用等腰三角形的性、平行四边形的性质、角平分线的性质及全等三角形的判定分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：A、等腰三角形的两底角相等，正确，不符合题意；
B、平行四边形的对角线互相平分，正确，不符合题意；
C、角平分线上的点到角两边的距离相等，正确，不符合题意；
D、三个角分别对应相等的两个三角形相似但不一定全等，故错误，符合题意，
故选：D．
8．（2分）下列条件不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．AD＝BC，AB＝CDB．∠A＝∠C，∠B＝∠D
C．AB∥CD，BC＝ADD．AD∥BC，∠B＝∠D
【分析】根据平行四边形的判定逐一判断即可．
【解答】解：A．由AD＝BC，AB＝CD可根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形知四边形ABCD是平行四边形，此选项不符合题意；
B．由∠A＝∠C，∠B＝∠D可根据两组对角分别相等的四边形是平行四边形知四边形ABCD是平行四边形，此选项不符合题意；
C．由AB∥CD，BC＝AD不能判定四边形ABCD是平行四边形，此选项符合题意；
D．由AD∥BC知∠A+∠B＝180°，结合∠B＝∠D知∠A+∠D＝180°，
所以AB∥CD，
此时可根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形知四边形ABCD是平行四边形，此选项不符合题意；
故选：C．
9．（2分）如图，一次函数y1＝kx+b的图象与直线y2＝m相交于点P（﹣1，3），则关于x的不等式kx+b﹣m＞0的解集为（ ）
A．x＞3B．x＜﹣1C．x＞﹣1D．x＜3
【分析】观察函数图象，根据两函数图象的上下位置关系即可找出不等式kx+b﹣m＞0的解集．
【解答】解：观察函数图象可知：当x＜﹣1时，一次函数y1＝kx+b的图象在y2＝m的图象的上方，
∴关于x的不等式kx+b﹣m＞0的解集是x＜﹣1．
故选：B．
10．（2分）如图，已知∠ABC，小彬借助一把没有刻度且等宽的直尺，按如图的方法画出了∠ABC的平分线BP．他这样做的依据是（ ）
A．在一个角的内部，且到角两边的距离相等的点在这个角的平分线上
B．角平分线上的点到这个角两边的距离相等
C．三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等
D．测量垂直平分线上的点到这条线段的距离相等
【分析】根据角平分线性质得出BP平分∠DPE，根据平行线的性质推出∠DBP＝∠EBP，即可得出答案．
【解答】
解：∵∠M＝∠N＝90°，BM＝BN，
∴BP平分∠DPE，
∴∠DPB＝∠EPB，
∵DP∥BC，PE∥BD，
∴∠DPB＝∠PBE，∠EPB＝∠DBP，
∴∠DBP＝∠EBC，
即在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上，
故选：A．
二.填空题（每小题3分，共18分）
11．（3分）一个多边形的每一个外角为30°，那么这个多边形的边数为 12 ．
【分析】一个正多边形的每个内角都相等，根据内角与外角互为邻补角，因而就可以求出外角的度数．根据任何多边形的外角和都是360°，利用360°除以外角的度数就可以求出外角和中外角的个数，即多边形的边数．
【解答】解：多边形的边数：360°÷30°＝12，
则这个多边形的边数为12．
故答案为：12．
12．（3分）如图，在△ABC中，BC＝8cm，D是BC的中点，将△ABC沿BC向右平移得△A'DC'，则点A平移的距离AA'＝ 4 cm．
【分析】利用平移的性质解决问题即可．
【解答】解：∵D是BC的中点，
∴BD＝BC＝4（cm），
由平移的性质可知，AA′∥BD，AA′＝BD，
∴AA′＝4（cm），
故答案为：4．
13．（3分）计算：﹣＝ ．
【分析】先通分，再进行分式的加减即可得到答案．
【解答】解：原式＝＝．
故答案为：．
14．（3分）实验初中初二（1）班同学参加社会实践活动，几名同学打算包租一辆车前往，该车的租价为180元，出发时，又增加了两名同学，结果每名同学比原来少分摊了3元车费．设参加实践活动的学生原有x人，则可列方程为 ﹣＝3 ．
【分析】根据人均车费＝该车的租价÷人数结合增加了两名同学后比原来少分摊3元车费，即可得出关于x的分式方程，此题得解．
【解答】解：依题意，得：﹣＝3．
故答案为：﹣＝3．
15．（3分）如图，四边形ABCD中，∠B+∠D＝180°，AC平分∠DAB，CM⊥AB于点M，若AM＝4cm，BC＝2.5cm，则四边形ABCD的周长为 13 cm．
【分析】过C作CE⊥AD的延长线于点E，由条件可证△AEC≌△AMC，得到AE＝AM．证明△ECD≌△MBC，由全等的性质可得DE＝MB，BC＝CD，则问题可得解．
【解答】解：过C作CE⊥AD的延长线于点E，
∵AC平分∠BAD，
∴∠EAC＝∠MAC，
∵CE⊥AD，CM⊥AB，
∴∠AEC＝∠AMC＝90°，CE＝CM，
在Rt△AEC和Rt△AMC中，
，
∴Rt△AEC≌Rt△AMC（HL），
∴AE＝AM＝4cm，
∵∠ADC+∠B＝180°，∠ADC+∠EDC＝180°，
∴∠EDC＝∠MBC，
在△EDC和△MBC中，
，
∴△EDC≌△MBC（AAS），
∴ED＝BM，BC＝CD＝2.5cm，
∴四边形ABCD的周长为AB+AD+BC+CD＝AM+BM+AE﹣DE+2BC＝2AM+2BC＝8+5＝13（cm）．
故答案为：13．
16．（3分）如图，▱ABCD中，∠ABC＝45°，EF是BC的垂直平分线，EB＝AB，若BD＝6，则AB＝ 3﹣3 ．
【分析】连接CE，过C作CG⊥DE于G，由线段垂直平分线的性质得EB＝EC，则∠EBC＝∠ECB，再证EC＝CD，则∠CED＝∠CDE，设∠EBC＝∠ECB＝α，则∠CDE＝∠CED＝∠EBC+∠ECB＝2α，然后由三角形内角和定理求出α＝15°，则∠CDE＝∠CED＝30°，设AB＝EB＝EC＝CD＝x，则DE＝BD﹣EB＝6﹣x，最后由含30°角的直角三角形的性质和等腰三角形的性质得EG＝CG＝x，EG＝DE＝（6﹣x），则x＝（6﹣x），解方程即可．
【解答】解：连接CE，过C作CG⊥DE于G，如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠ABC+∠BCD＝180°，
∴∠BCD＝180°﹣45°＝135°，
∵EF是BC的垂直平分线，
∴EB＝EC，
∴∠EBC＝∠ECB，
∵EB＝AB，
∴EC＝CD，
∴∠CED＝∠CDE，
设∠EBC＝∠ECB＝α，则∠CDE＝∠CED＝∠EBC+∠ECB＝2α，
在△BCD中，∠DBC+∠CDB＝180°﹣135°＝45°，
即α+2α＝45°，
解得：α＝15°，
∴∠CDE＝∠CED＝30°，
设AB＝EB＝EC＝CD＝x，则DE＝BD﹣EB＝6﹣x，
∵CG⊥DE，
∴CG＝EC＝x，EG＝CG＝x，
又∵EC＝DC，CG⊥DE，
∴EG＝DG＝DE＝（6﹣x），
∴x＝（6﹣x），
解得：x＝3﹣3，
即AB＝3﹣3，
故答案为：3﹣3．
三.解答题（每小题8分，共32分）
17．（8分）分解因式：
（1）2x2﹣4x+2；
（2）a2（x﹣y）+9b2（y﹣x）．
【分析】（1）先提取公因式，再按照完全平方公式分解即可；
（2）先提取公因式，再按照平方差公式分解即可．
【解答】解：（1）原式＝2（x2﹣2x+1）
＝2（x﹣1）2；
（2）原式＝（x﹣y）（a2﹣9b2 ）
＝（x﹣y）（a﹣3b）（a+3b）．
18．（8分）利用数轴求出不等式组的解集．．
【分析】先求出不等式组中各个不等式的解集，再利用数轴确定不等式组的解集．
【解答】解：，
解不等式①得：x＜1，
解不等式②得：x＞﹣3
在数轴上表示不等式①、②的解集，得：
，
∴不等式组的解集是：﹣3＜x＜1．
19．（8分）先化简：（﹣）÷，再从﹣3、﹣2、﹣1、0、1中选一个合适的数作为a的值代入求值．
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把a的值代入计算即可求出值．
【解答】解：原式＝•
＝
＝
＝，
当a＝﹣3，﹣1，0，1时，原式没有意义，舍去，
当a＝﹣2时，原式＝﹣．
20．（8分）解分式方程：﹣1＝．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：原方程变形为：﹣1＝，
方程两边同乘以3（x+1），得3x﹣3x﹣3＝2x，
解得：x＝﹣1.5，
经检验，x＝﹣1.5是原方程的根．
四.（本题8分）
21．（8分）如图，在平面直角坐标系中，已知△BC的三个顶点的坐标分别为A（﹣3，5），B（﹣2，1），C（﹣1，3）．
（1）若△ABC经过平移后得到△A1B1C1，已知点C1的坐标为（4，0），画出△A1B1C1；
（2）将△ABC绕着点O按顺时针方向旋转90°得到△A2B2C2，则点A2的坐标为 （5，3） ，点C2的坐标为 （3，1） ．
（3）点D是平面直角坐标系内一点，若以A、B、C、D为顶点的四边形为平行四边形，直接写出满足条件的D点坐标 （﹣4，3），（﹣2，7），（0，1） ．
【分析】（1）利用平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可．
（2）利用旋转变换的性质分别作出A，B，C的对应点A2，B2，C2即可．
（3）根据平行四边形的判定画出图形，可得结论．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求．
（2）如图，△A2B2C2即为所求，点A2的坐标为（5，3），点C2的坐标为（3，1）．
故答案为：（5，3），（3，1）．
（3）满足条件的D点坐标（﹣4，3），（﹣2，7），（0，1）．
故答案为：（﹣4，3），（﹣2，7），（0，1）．
五.（本题8分）
22．（8分）如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E、F为直线BD上的两个动点（点E、F始终在▱ABCD的外面），且DE＝OD，BF＝OB，连接AE、CE、CF、AF．
（1）求证：四边形AFCE为平行四边形．
（2）若AC＝6，EF＝10，AF＝4，则平行四边形AFCE的周长为 8+4 ．
【分析】（1）由平行四边形的性质得OA＝OC，OB＝OD．再证OE＝OF，即可得出结论；
（2）由勾股定理的逆定理证明△AOF是直角三角形，∠OAF＝90°，再由勾股定理得CF＝2，然后由平行四边形的对边相等即可求解．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD．
∵DE＝OD，BF＝OB，
∴DE＝BF，
∴OD+DE＝OB+BF，
即OE＝OF，
∴四边形AFCE为平行四边形；
（2）解：如图所示：
由（1）得：OA＝OC＝AC＝3，OE＝OF＝EF＝5，
∵AF＝4，
∴OA2+AF2＝OF2，
∴△AOF是直角三角形，∠OAF＝90°，
∴CF＝＝＝2，
∵四边形AFCE是平行四边形，
∴CE＝AF＝4，AE＝CF＝2，
∴平行四边形AFCE的周长＝2（AF+CF）＝8+4，
故答案为：8+4．
六、解答题（本题10分）
23．（10分）某网店预测一种时尚T恤衫能畅销，用4800元购进这种T恤衫，很快售完，接着又用6600元购进第二批这种T恤衫，第二批T恤衫数量是第一批T恤衫数量的1.5倍，且每件T恤衫的进价第二批比第一批的少5元．
（1）求第一批T恤衫每件的进价是多少元？
（2）若第一批T恤衫的售价是80元/件，老板想让这两批T恤衫售完后的总利润不低于4060元，则第二批T恤衫每件至少要售多少元？（T恤衫的售价为整数元）
【分析】（1）已知金额设出进价，表示出数量，根据数量列出方程；
（2）在（1）的基础上，根据求出的两次进价求出两次进货数量，列出关于总利润的不等式．
【解答】解：（1）设第一批T恤衫每件的进价为x元，根据题意
得：
解得 x＝60
经检验，x＝60是原方程的解
答：第一批T恤衫的进价为60元．
（2）设第二批T恤衫的售价为y元，根据题意，得
（80﹣60）×
解得：y≥75.5
∵T恤衫的售价为整数元
∴第二批T恤的售价至少为76元
答：第二批T恤的售价至少为76元．
七.（本题12分）
24．（12分）如图，在四边形ABCD中，∠B＝60°，AB＝DC＝4，AD＝BC＝8．延长BC到E，使CE＝4，连接DE，动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿BC﹣CD﹣DA向终点A运动，设点P运动的时间为t秒．（t＞0）
（1）当t＝3时，BP＝ 6 ；
（2）当t＝ 8 时，点P运动到∠B的角平分线上；
（3）当0＜t＜6时，请用含t的代数式表示△ABP的面积S；
（4）当0＜t＜6时，直接写出点P到四边形ABED相邻两边距离相等时t的值．
【分析】（1）根据动点P的运动速度，即可表示出BP的长度，再将t＝3代入即可求出BP的长度；
（2）根据两组对边分别相等可先求证四边形ABCD是平行四边形，再根据角平分线的性质得到等腰△ABP，从而可以求解；
（3）根据题意分两种情况讨论：①当点P在BC上运动时，②当点P在CD上运动时，分别用含t的代数式表示△ABP的面积S即可；
（4）当0＜t＜6时，点P在BC、CD边上运动，结合角平分线的性质和等边三角形的判定和性质分析求解．
【解答】解：（1）∵动点P的运动速度为2单位/秒，
∴BP＝2t，
∴当t＝3时，
BP＝2×3＝6，
故答案为：6．
（2）∵AB＝CD，AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠AFB＝∠CBF，
如图1，作∠ABC的角平分线交AD于F，
∴∠ABF＝∠FBC，
∴∠ABF＝∠AFB，
∴AF＝AB＝4，
∴DF＝8﹣4＝4，
∴点P运动到∠ABC的角平分线上时，BC+DC+DF＝8+4+4＝16，
∴t＝16÷2＝8，
∴当t＝8时，点P运动到∠ABC的角平分线上；
故答案为：8；
（3）∵BC+CD＝8+4＝12
∴当0＜t＜6时，点P在BC上和CD上，
分两种情况讨论：
①当点P在BC上运动时，0＜t≤4，
过点A作AM⊥BE，
∵∠B＝60°，
∴在Rt△ABM中，∠BAM＝30°，
∴BM＝AB＝3，AM＝BM＝3，
此时，S＝S△ABP＝×BP×AM＝×2t×2＝2t（0＜t≤4）；
②当点P在CD上运动时，4＜t＜6，
△ABP的面积为定值，且等于平行四边形ABCD面积的一半，
此时，S＝S△ABP＝×BC×AM＝×8×2＝8（4＜t＜6）；
综上，S＝；
（4）①当点P运动到∠BAD的角平分线上时，
连接AP，过点P作PM⊥AB，PN⊥AD，
此时PM＝PN，即点P到四边形ABED相邻两边AB和AD的距离相等，
∵AD∥BC，
∴∠DAP＝∠APB，
又∵AP平分∠BAD，
∴∠BAP＝∠DAP，
∴∠BAP＝∠APB，
∴BP＝2t＝BA＝4，
解得：t＝2，
②当点P与运动到CD边上时，过点P作PM⊥AD，PN⊥DE，
在平行四边形ABCD中，AB∥CD，∠B＝∠ADC＝60°，
∴∠DCE＝∠B＝60°，
又∵CD＝CE＝4，
∴△CDE是等边三角形，
∴∠CDE＝60°，
∴∠ADC＝∠CDE，即CD平分∠ADE，
∴当4≤t＜6时，点P在∠ADC的角平分线上运动，
此时，点P到四边形ABED相邻两边AD和DE的距离相等．
综上：t＝2或4≤t＜6时，点P到四边形ABED相邻两边距离相等．
八.（本题12分）
25．（12分）思维启迪
（1）如图，△ABC中，AB＝4，AC＝2，点在AB上，AD＝AC，AE⊥CD垂足为E，点F是BC中点，则EF的长度为 1 ．
思维探索
（2）如图2，等边三角形ABC的边长为4，AD⊥BC垂足为D，点E是AC的中点，点M是AD的中点，点N是BE的中点，求MN的长．
（3）将（2）中的△CDE绕C点旋转，其他条件不变，当点D落在直线AC上时，画出图形，并直接写出MN长．
【分析】（1）可证出EF是△BCD的中位线，从而有EF＝＝1；
（2）取AB中点F，连接MF，NF，证明出△MNF是等边三角形，从而MN＝MF＝1；
（3）分两种情况：当点D在线段AC上时，取AE的中点F，取BC的中点G，证出△MNF是直角三角形，利用勾股定理即可求出MN，当点D在AC延长线上时，连接AE，取AE的中点F，证出∠MFN﹣120°，再过点N作NG⊥MF于G，解直角三角形即可．
【解答】解：（1）∵AD＝AC，AE⊥CD，
∴DE＝CE，
∴点E是CD的中点，
∵点F是BC中点，
∴EF是△BCD的中位线，
∴EF＝＝1．
故答案为：1；
（2）如图2，取AB中点F，连接MF，NF，
∵点M是AD的中点，点F是AB的中点，
∴MF是△ABD的中位线，
∴MF∥BD，MF＝，
∴∠AFM＝∠ABD＝60°，
∵点N是BE的中点，F是AB的中点，
∴NF是△ABE的中位线，
∴NF∥AE，NF＝，
∴∠BFN＝∠BAC＝60°，
∵BD＝AE，
∴MF＝FN，
∴∠NFM＝180°﹣∠BFN﹣∠AFM＝60°，
∴△MNF是等边三角形，
∴MN＝FN＝，
∴AE＝2，
∴MN＝1；
（3）如图，当点D在线段AC上时，取AE的中点F，取BC的中点G，
连接MF、DF、NG、FN，
∵∠DCE＝∠BAC＝60°，
∴AB∥CE，
∵DF是△ACE的中位线，FN是△ABE的中位线，DG是△ABC的中位线，
∴DF∥CE，FN∥AB，DG∥AB，NG∥CE，
∴点F、D、N、G四点共线，
∴DG＝FN＝2，DF＝1，MF＝1，
∴DM＝DF＝DN＝1，
∴∠DMN＝∠DNM，∠MDF＝∠DFM，
∵∠DMN+∠DNM+∠MDF+∠DFM＝180°，
∴∠NMF＝90°，
在Rt△MNF中，由勾股定理得：
MN＝，
当点D在AC延长线上时，连接AE，取AE的中点F，连接FM，FN，过点N作NG⊥MF于G，
同理FM＝1，FN＝2，
∵∠EFN＝∠BAE，
∴∠NFM＝60°+∠EFM＝∠BAE+∠EAC+60°＝120°，
∴∠NFG＝60°，
∴FG＝，NG＝，
∵GM＝2，
在Rt△MNG中，由勾股定理得：
MN＝，
综上所述：MN＝或．
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