2019-2020学年重庆市渝中区巴蜀中学九年级（下）期中数学试卷

这是一份2019-2020学年重庆市渝中区巴蜀中学九年级（下）期中数学试卷，共37页。

2019-2020学年重庆市渝中区巴蜀中学九年级（下）期中数学试卷
一、选择题（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑.
1．（4分）在﹣4，2，﹣1，3这四个数中，比﹣2小的数是（　　）
A．﹣4 B．2 C．﹣1 D．3
2．（4分）新型冠状病毒有包膜，直径在60﹣220纳米之间，平均直径为110纳米左右，颗粒呈圆形或者椭圆形，对紫外线和热敏感，在75%酒精乙醚、甲醛、含氯消毒液等可使其灭活，将110纳米用科学记数法表示为（　　）（1纳米＝10﹣9米）
A．11×10﹣7米 B．1.1×10﹣7米 C．11×10﹣8米 D．1.1×10﹣8米
3．（4分）函数y＝的自变量x的取值范围是（　　）
A．x＞﹣5 B．x≠﹣5 C．x≥﹣5 D．x＞﹣5且x≠0
4．（4分）如图所示的两个几何体都是由若干个相同的小正方体搭成的，在它们的三视图中，相同的视图是（　　）

A．主视图 B．左视图 C．俯视图 D．三视图
5．（4分）下列命题是假命题的是（　　）
A．算术平方根等于它本身的数一定是1和0
B．三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等
C．为了解我校初三学生寒假网课期间平均每天的体锻时间，随机选择了该年级200名学生进行调查，则200名学生是总体的一个样本
D．正八边形的每个内角为135°
6．（4分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，已知∠ACB＝50°，则∠ABO的大小为（　　）

A．30° B．40° C．45° D．50°
7．（4分）估算﹣的值离下列哪个整数较近（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
8．（4分）如图，△ABC与△A′B′C′是位似图形，点O是位似中心，若OA＝2AA′，S△ABC＝5，则S△A′B′C′等于（　　）

A． B． C． D．
9．（4分）按照如图的程序计算：如果输入y的值是正整数，输出结果是94，则满足条件的y值有（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
10．（4分）重庆李子坝轻轨站穿楼而过成网红，小明想要测量轻轨站穿楼时轨道与大楼连接处M距离地面N的高度，他站在点A处测得轨道与大楼连接处顶端M的仰角为45°，向前走了1米到达B处，再沿着坡度为1：2.4，长度为13米台阶到达C处，测得轨道与大楼连接处顶端M的仰角为53°，已知小明的身高为1.6米，则MN的高度约为（　　）米（精确到0.1，参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75）

A．28.0 B．29.6 C．32.0 D．33.6
11．（4分）若数m使关于x的不等式组有解且至多有3个整数解，且使关于y的分式方程的解满足﹣3≤y≤4，则满足条件的所有整数m的个数是（　　）
A．6 B．5 C．4 D．3
12．（4分）如图，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过正方形ABCD的顶点D，反比例函数y＝（x＜0）的图象经过正方形ABCD的顶点A和顶点B，AD边交y轴于点E，若＝，且顶点C的纵坐标为1，则A点坐标为（　　）

A．（﹣1，8） B．（﹣2，12） C．（﹣2，10） D．（﹣1，10）
二、填空题（本大题6个小题，每小题4分，共24分）将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上.
13．（4分）+（﹣）﹣1+（3.14﹣π）0＝　 　．
14．（4分）将一枚六个面点数分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先后投掷两次，记第一次掷出的点数为a，第二次掷出的点数为b，则使得a+b≥10的概率为　 　．
15．（4分）已知矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，以AD为直径的半圆与BC相切于点，则图中阴影部分的面积为　 　（结果保留π）

16．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，∠B＝30°，且BC＝CA，将△ABC沿AC翻折至△AB′C，AB′交CD于点E，连接B′D．若AB＝3，则B′D的长度为　 　．

17．（4分）一天早上小飞和妈妈一起从家出发，小飞向西去学校，妈妈向东去单位上班（学校、家和妈妈单位在一条直线上），当妈妈出发5分钟后发现小飞的备用口罩还留在家里，立即掉头，提速回家取备用口罩，她返回家只用了一分钟，然后以提速后的速度去追小飞，妈妈追上小飞后，立即把口罩交给小飞，然后再以提速前的速度返回单位上班（妈妈取口罩和把口罩交给小飞的时间忽略不计）．已知妈妈和小飞离家的距离之和y（米）与妈妈出发的时间x（分）之间的函数关系如图所示，则小飞到达学校时，妈妈和小飞的距离为　 　米．

18．（4分）三峡之巅•诗橙奉节，奉节脐橙是重庆市奉节县特产，中国地理标志产品，营养丰富，橙香味浓．每年12月是奉节脐橙大批量上市的时候，奉节脐橙品种较多，主要包含纽荷尔脐橙、福本脐橙、奉园72﹣1脐橙．某超市准备购进纽荷尔脐橙、福本脐橙、奉园72﹣1脐橙，三种品种的橙子共1000件（每件均为同一品种的脐橙），其中奉园72﹣1脐橙每件12个，福本脐橙每件8个，纽荷尔脐橙每件6个．为了推广，超市还计划将三个品种的脐橙各取出来，拆开后重新组合包装，制成甲、乙两种套装进行特价销售：甲套装为每件奉园72﹣1脐橙4个、福本脐橙4个；乙套装为每件奉园72﹣1脐橙4个、纽荷尔脐橙2个，取出的件数和套装的件数均为正整数，若纽荷尔脐橙的进货量（件）不低于总进货量（件）的，则福本脐橙最多购进　 　件．
三、解答题（本大题共8个小题，第26题8分，其余每小题0分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤．
19．化简：
（1）（a﹣2b）2﹣2b（b﹣2a）；
（2）（a+2﹣）÷．
20．如图，四边形ABCD为平行四边形，∠BAD的⻆平分线AE交CD于点F，交BC的延长线于点E，且AF＝FE．
（1）求证：BE＝CD；
（2）若∠D＝54°，求∠BFC．
（3）若tan∠BEA＝，AB＝4，求平行四边形ABCD的面积．

21．钟南山院士谈到防护新型冠状病毒肺炎时说：“我们需要重视防护，但也不必恐慌，尽量少去人员密集的场所，出门戴口罩，在室内注意通风，勤洗手，多运动，少熬夜．”某社区为了加强社区居民对新型冠状病毒肺炎防护知识的了解，通过微信群宣传新型冠状病毒肺炎的防护知识，并鼓励社区居民在线参与作答《2020年新型冠状病毒防治全国统一考试（全国卷）》试卷，社区管理员随机从甲、乙两个小区各抽取20名人员的答卷成绩，并对他们的成绩（单位：分）进行统计、分析，过程如下：
收集数据
甲小区：85 80 95 100 90 95 85 65 75 85 90 90 70 90 100 80 80 90 95 75
乙小区：80 60 80 95 65 100 90 85 85 80 95 75 80 90 70 80 95 75 100 90
整理数据
成绩x（分）
60≤x≤70
70＜x≤80
80＜x≤90
90＜x≤100
甲小区
2
5
a
b
乙小区
3
7
5
5
分析数据
统计量
平均数
中位数
众数
甲小区
85.75
87.5
c
乙小区
83.5
d
80
应用数据
（1）填空：a＝　 　，b＝　 　，c＝　 　，d＝　 　；
（2）若甲小区共有800人参与答卷，请估计甲小区成绩大于90分的人数；
（3）社区管理员看完统计数据，认为甲小区对新型冠状病毒肺炎防护知识掌握更好，请你写出社区管理员的理由．
22．有这样一个问题：探究函数y＝的图象与性质．
小东根据学习函数的经验，对函数y＝的图象与性质进行了探究．
下面是小东的探究过程，请补充完成：
（1）化简函数解析式，当x≥﹣1时，y＝　 　，当x＜﹣1时y＝　 　；
（2）根据（1）中的结果，请在所给坐标系中画出函数y＝的图象；
（3）结合函数图象，写出该函数的一条性质：　 　．
（4）结合画出的函数图象，解决问题：若关于x的方程ax+1＝的只有一个实数根，直接写出实数a的取值范围：　 　．

23．阅读材料：规定若一个正整数x能表示成a2﹣b2（a，b是正整数，且a＞b）的形式，则称这个数为“风月同天数”，a与b是x的一个平方差分解．例如：因为5＝32﹣22，所以5是“风月同天数”，3与2是5的平方差分解；再如：M＝x2+2xy＝x2+2xy+y2﹣y2＝（x+y）2﹣y2（x，y是正整数），所以M也是“风月同天数”，（x+y）与y是M的一个平方差分解．
（1）判断：7　 　“风月同天数”（填“是”或“不是”）；
（2）已知N＝x2﹣y2+6x﹣4y+k（x，y是正整数，k是常数，且x+1＞y），要使N是“风月同天数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由；
（3）对于一个三位数，如果满足十位数字是7，且个位数字比百位数字大7，称这个三位数为“岂无衣数”．若m既是“岂无衣数”，又是“风月同天数”，请求出m的所有平方差分解．
24．2019年度双十一在九龙坡区杨家坪的各大知名商场举行“国产家用电器惠民抢购日”优惠促销大行动，许多家用电器经销商都利用这个契机进行打折促销活动．商社电器某国产品牌经销商的某款超高清大屏幕Led液晶电视机每套成本为4000元，在标价6000元的基础上打9折销售．
（1）现在该经销商欲继续降价吸引买主，问最多降价多少元，才能使利润率不低于30%？
（2）据媒体爆料，有一些经销商先提高商品价格后再降价促销，存在欺诈行为．重百电器另一个该品牌的经销商也销售相同的超高清大屏幕Led液晶电视机，其成本、标价与商社电器的经销商一致，以前每周可售出20台，现重百的经销商先将标价提高（2m﹣12）%，再大幅降价150m元，使得这款电视机在2019年11月11日那一天卖出的数量就比原来一周卖出的数量增加了m%，这样一天的利润达到22400元，求m的值．（利润＝售价﹣成本）
25．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+3x+4与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．
（1）求点A的坐标和直线BC的解析式；
（2）点P为抛物线上位于第一象限内的点，当S△PBC＝S△ABC时，求点P的坐标；
（3）当点P满足（2）中的条件，且位于对称轴右侧时，点M为线段CP上一动点，点N为直线OP上的动点，请问在抛物线对称轴右侧的图象上是否存在点Q，使得由M、N、P、Q构成的四边形是以PM为边的菱形？若能，求出菱形的边长；若不能，说明理由．

26．如图1，△ABC与△EDC为等腰直角三角形，AC＝BC＝12，DE＝DC＝4，∠ACB＝∠CDE＝90°，将△EDC绕着点C旋转．
（1）【初步尝试】如图2，在旋转过程中，当A、C、E三点共线（E在AC延长线上）时，连接BE，过D点作AE的垂线交AE于点G，交BE于点F，则BF的长为　 　．
（2）【探究证明】如图3，在旋转过程中，连接AE、BE，过D点作AE的垂线交AE于点G，交BE于点F，猜想EF与BF的数量关系并证明．
（3）【探究拓展】如图4，在（2）的条件下，连接CF、AF，当AF最小时，请直接写出△ACF的面积．


2019-2020学年重庆市渝中区巴蜀中学九年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑.
1．（4分）在﹣4，2，﹣1，3这四个数中，比﹣2小的数是（　　）
A．﹣4 B．2 C．﹣1 D．3
【分析】根据有理数大小比较的法则直接求得结果，再判定正确选项．
【解答】解：∵正数和0大于负数，
∴排除2和3．
∵|﹣2|＝2，|﹣1|＝1，|﹣4|＝4，
∴4＞2＞1，即|﹣4|＞|﹣2|＞|﹣1|，
∴﹣4＜﹣2＜﹣1．
故选：A．
2．（4分）新型冠状病毒有包膜，直径在60﹣220纳米之间，平均直径为110纳米左右，颗粒呈圆形或者椭圆形，对紫外线和热敏感，在75%酒精乙醚、甲醛、含氯消毒液等可使其灭活，将110纳米用科学记数法表示为（　　）（1纳米＝10﹣9米）
A．11×10﹣7米 B．1.1×10﹣7米 C．11×10﹣8米 D．1.1×10﹣8米
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：110纳米×0.000 000 001＝1.1×10﹣7（m）．
故选：B．
3．（4分）函数y＝的自变量x的取值范围是（　　）
A．x＞﹣5 B．x≠﹣5 C．x≥﹣5 D．x＞﹣5且x≠0
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数、分式的分母不为0列出不等式，解不等式得到答案．
【解答】解：由题意得，x+5＞0，
解得，x＞﹣5，
故选：A．
4．（4分）如图所示的两个几何体都是由若干个相同的小正方体搭成的，在它们的三视图中，相同的视图是（　　）

A．主视图 B．左视图 C．俯视图 D．三视图
【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，从左边看得到的图形是左视图，从上面看得到的图形是俯视图，可得答案．
【解答】解：从左边看两个图都是第一层两个小正方形，第二层左边一个小正方形，
故选：B．
5．（4分）下列命题是假命题的是（　　）
A．算术平方根等于它本身的数一定是1和0
B．三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等
C．为了解我校初三学生寒假网课期间平均每天的体锻时间，随机选择了该年级200名学生进行调查，则200名学生是总体的一个样本
D．正八边形的每个内角为135°
【分析】利用算术平方根的定义、三角形的外心的性质、正多边形的性质等知识分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：A、算术平方根等于它本身的数一定是1和0，正确，是真命题，不符合题意；
B、三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等，正确，是真命题，不符合题意；
C、为了解我校初三学生寒假网课期间平均每天的体锻时间，随机选择了该年级200名学生进行调查，则200名学生的锻炼时间是总体的一个样本，故原命题错误，是假命题，符合题意；
D、正八边形的每个内角为135°，正确，是真命题，不符合题意，
故选：C．
6．（4分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，已知∠ACB＝50°，则∠ABO的大小为（　　）

A．30° B．40° C．45° D．50°
【分析】根据圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半可得∠AOB＝120°，再根据三角形内角和定理可得答案．
【解答】解：∵∠ACB＝50°，
∴∠AOB＝100°，
∵AO＝BO，
∴∠ABO＝（180°﹣100°）÷2＝40°，
故选：B．
7．（4分）估算﹣的值离下列哪个整数较近（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
【分析】分别故出与的大小即可．
【解答】解：∵，
，
∴，
∴﹣的值离整数7较近．
故选：C．
8．（4分）如图，△ABC与△A′B′C′是位似图形，点O是位似中心，若OA＝2AA′，S△ABC＝5，则S△A′B′C′等于（　　）

A． B． C． D．
【分析】△ABC与△A′B′C′是位似图形，由OA＝2AA′可得两个图形的位似比，面积的比等于位似比的平方．
【解答】解：△ABC与△A′B′C′是位似图形且由OA＝2AA′．
可得两位似图形的位似比为2：3，所以两位似图形的面积比为4：9，
又∵S△ABC＝5，
∴S△A'B'C'＝5×＝．
故选：D．
9．（4分）按照如图的程序计算：如果输入y的值是正整数，输出结果是94，则满足条件的y值有（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
【分析】当输出结果是94，代入3y+1，求得y，再把求得的这个y 值作为输出结果代入3y+1，求得y，一直下去，即可得出正整数y的值的个数．
【解答】解：当3y+1＝94时，
解得y＝31，
当3y+1＝31时，
解得y＝10，
当3y+1＝10时，
解得y＝3，
当3y+1＝3时，
解得y＝，不是整数，舍去，
故选：B．
10．（4分）重庆李子坝轻轨站穿楼而过成网红，小明想要测量轻轨站穿楼时轨道与大楼连接处M距离地面N的高度，他站在点A处测得轨道与大楼连接处顶端M的仰角为45°，向前走了1米到达B处，再沿着坡度为1：2.4，长度为13米台阶到达C处，测得轨道与大楼连接处顶端M的仰角为53°，已知小明的身高为1.6米，则MN的高度约为（　　）米（精确到0.1，参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75）

A．28.0 B．29.6 C．32.0 D．33.6
【分析】如图，作EG⊥MN于G，FH⊥MN于H，延长MN交AB的延长线于D，延长EC交AD于K．设MH＝HF＝x，想办法构建方程求出x即可解决问题；
【解答】解：如图，作EG⊥MN于G，FH⊥MN于H，延长MN交AB的延长线于D，延长EC交AD于K．

∵∠FHN＝90°，∠MFH＝45°，
∴MH＝FH，设FH＝MH＝x．
在Rt△BCK中，∵BC＝13，CK：BK＝1：2.4，
∴CK＝DN＝5，BK＝12，
∴AK＝AB+BK＝13，
∴GE＝DK＝x﹣13，
∵MG＝DM﹣DG＝x+1.6﹣5﹣1.6＝x﹣5，
在Rt△MEG中，tan37°＝＝0.75，
∴＝0.75，
∴x＝37m，
∴MN＝DM﹣DN＝37+1.6﹣5＝33.6m，
故选：D．
11．（4分）若数m使关于x的不等式组有解且至多有3个整数解，且使关于y的分式方程的解满足﹣3≤y≤4，则满足条件的所有整数m的个数是（　　）
A．6 B．5 C．4 D．3
【分析】根据不等式组求出a的范围，然后再根据分式方程求出m的范围，从而确定的m的可能值．
【解答】解：由不等式组可知：x≤5且x≥，
∵有解且至多有3个整数解，
∴2＜≤5，
∴2＜m≤8
由分式方程可知：y＝m﹣3，
将y＝m﹣3代入y﹣2≠0，
∴m≠5，
∵﹣3≤y≤4，
∴﹣3≤m﹣3≤4，
∵m是整数，
∴0≤m≤7，
综上，2＜m≤7，
∴所有满足条件的整数m有：3、4、6、7，4个，
故选：C．
12．（4分）如图，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过正方形ABCD的顶点D，反比例函数y＝（x＜0）的图象经过正方形ABCD的顶点A和顶点B，AD边交y轴于点E，若＝，且顶点C的纵坐标为1，则A点坐标为（　　）

A．（﹣1，8） B．（﹣2，12） C．（﹣2，10） D．（﹣1，10）
【分析】过A作AF⊥x轴于点F，过B作BG⊥AF于点G，过D作DH⊥AF于点H，过点C作CM⊥DH于点M，过E作EN⊥AF于点N，设A点坐标为（m，n），则NE＝﹣m，根据平行线截三角形所得三角形三边与原三角形的三边对应成比例，用m表示D点坐标，进而证明△ADH≌△CDM得DH＝CM，由此等量关系求得m的值，再由△ADH≌△BDG得出B点的坐标，进而将A、B点坐标代入反比例函数y＝中得n的方程求得n的符合题意的值便可．
【解答】解：过A作AF⊥x轴于点F，过B作BG⊥AF于点G，过D作DH⊥AF于点H，过点C作CM⊥DH于点M，过E作EN⊥AF于点N，如图所示，
设A点坐标为（m，n），则NE＝﹣m，
∵，
∴，
∵EN∥DH，
∴，
∴DH＝3EN＝﹣3m，
∴D点的横坐标为﹣3m﹣（﹣m）＝﹣2m，
∵点D在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，
∴D（﹣2m，﹣），
∴HF＝﹣，
∵C点的纵坐标为1，
∴CM＝，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADC＝90°，AD＝DC，
∵CM⊥DH，DH⊥AF，
∴∠AHD＝∠DMC＝90°，
∴∠ADH+∠CDM＝∠CDM+∠DCM＝90°，
∴∠ADH＝∠DCM，
∴△ADH≌△CDM（AAS），
∴DH＝CM，即﹣3m＝，
解得，m＝﹣2，或m＝（∵m＜0，舍），
类似证明△ADH≌△CDM的方法可得，△ADH≌△BDG，
∴AG＝DH＝﹣3m＝6，BG＝AH＝n+＝n﹣7，
∴B点的横坐标为：m﹣（n﹣7）＝﹣2﹣n+7＝5﹣n，
GF＝AF﹣AG＝n﹣6，
∴B（5﹣n，n﹣6），
∵A（﹣2，n）和B（5﹣n，n﹣6）都在反比例函数y＝（x＜0）的图象上，
∴k＝﹣2n＝（5﹣n）（n﹣6），
解得，n＝10或3，

当n＝3时，B点的纵坐标n﹣6＝﹣3＜0，与已知B点在二象限不符，应舍去，
∴n＝10，
∴A（﹣2，10），
故选：C．
二、填空题（本大题6个小题，每小题4分，共24分）将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上.
13．（4分）+（﹣）﹣1+（3.14﹣π）0＝　﹣4　．
【分析】原式利用立方根性质，零指数幂、负整数指数幂法则计算即可求出值．
【解答】解：原式＝﹣3﹣2+1
＝﹣4．
故答案为：﹣4．
14．（4分）将一枚六个面点数分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先后投掷两次，记第一次掷出的点数为a，第二次掷出的点数为b，则使得a+b≥10的概率为　　．
【分析】画树状图得出共有36种等可能的结果数，使得a+b≥10的结果有6个，然后根据概率公式求解．
【解答】解：画树状图如图：

共有36个等可能的结果，使得a+b≥10的结果有6个，
∴使得a+b≥10的概率＝＝；
故答案为：．
15．（4分）已知矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，以AD为直径的半圆与BC相切于点，则图中阴影部分的面积为　π　（结果保留π）

【分析】连接OE，由圆的半径得出OD＝2，由切线的性质得OE⊥BC，易证四边形OECD为正方形，利用S正方形OECD﹣S扇形EOD计算出由弧DE、线段EC、CD所围成的面积，然后利用三角形的面积减去由弧DE、线段EC、CD所围成的面积，即可得到阴影部分的面积．
【解答】解：连接OE，如图所示：
∵以AD为直径的半圆O与BC相切于点E，
∴OD＝2，OE⊥BC，
∵矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，
∴∠C＝∠ADC＝90°，CD＝AB＝2，
∴四边形OECD是矩形，OD＝CD，
∴四边形OECD为正方形，
∴由弧DE、线段EC、CD所围成的面积＝S正方形OECD﹣S扇形EOD＝22﹣＝4﹣π，
∵由弧DE、线段EC、CD所围成的面积＝由弧AE、线段EB、AB所围成的面积，
∴阴影部分的面积＝S△ABC﹣由弧AE、线段EB、AB所围成的面积＝×2×4﹣（4﹣π）＝π，
故答案为π．

16．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，∠B＝30°，且BC＝CA，将△ABC沿AC翻折至△AB′C，AB′交CD于点E，连接B′D．若AB＝3，则B′D的长度为　6　．

【分析】作CM⊥AB于M，由折叠的性质得：B'C＝BC＝AC，∠AB'C＝∠B＝∠CAB'＝30°，AB'＝AB＝CD，由平行四边形的性质得出AD＝CB，AB＝CD，∠ADC＝∠B＝30°，求出AD＝AC，AM＝BM＝AB＝，∠BAC＝∠B＝30°，由等腰三角形的性质得出∠ACD＝∠ADC＝30°，由直角三角形的性质得出CM＝，证出AD＝BC＝2CM＝3，再由勾股定理即可得出结果．
【解答】解：作CM⊥AB于M，如图所示：
由折叠的性质得：B'C＝BC＝AC，∠AB'C＝∠B＝∠CAB'＝30°，AB'＝AB＝CD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝CB，AB＝CD，∠ADC＝∠B＝30°，∠BAD＝∠BCD＝180°﹣∠B＝150°，
∴∠B'AD＝150°﹣30°﹣30°＝90°，
∵BC＝AC，
∴AM＝BM＝AB＝，∠BAC＝∠B＝30°，
∴CM＝，
∴AD＝BC＝2CM＝3，
在Rt△AB'D中，由勾股定理得：B'D＝＝＝6；
故答案为：6．

17．（4分）一天早上小飞和妈妈一起从家出发，小飞向西去学校，妈妈向东去单位上班（学校、家和妈妈单位在一条直线上），当妈妈出发5分钟后发现小飞的备用口罩还留在家里，立即掉头，提速回家取备用口罩，她返回家只用了一分钟，然后以提速后的速度去追小飞，妈妈追上小飞后，立即把口罩交给小飞，然后再以提速前的速度返回单位上班（妈妈取口罩和把口罩交给小飞的时间忽略不计）．已知妈妈和小飞离家的距离之和y（米）与妈妈出发的时间x（分）之间的函数关系如图所示，则小飞到达学校时，妈妈和小飞的距离为　840　米．

【分析】设小飞的速度为v1，妈妈出发时速度为v2，妈妈提速后的速度为v3，相遇后t分小飞到达学校，由图象可得x＝5时，y＝600，妈妈提速回家用了一分钟，可得5v2＝v3，x＝6时，妈妈以提速后的速度去追小飞，x＝10时追上小飞，求出v1，v2，可得x＝10时，妈妈和小飞离家的距离，根据题意结合图象中的数据求出t，即可求出小飞到达学校时，妈妈和小飞的距离．
【解答】解：设小飞的速度为v1，妈妈出发时速度为v2，妈妈提速后的速度为v3，相遇后t分小飞到达学校，
由图象可得x＝5时，y＝600，
∴5（v1+v2）＝600，v1+v2＝120，
妈妈提速回家用了一分钟，
∴5v2＝v3，
x＝6时，妈妈以提速后的速度去追小飞，x＝10时追上小飞，
∴（10﹣6）（v3﹣v1）＝（5+1）v1，
∴4（v3﹣v1）＝6v1，
∴4（5v2﹣v1）＝6v1，20v2＝10v1，
∴v1＝2v2，
∴v1+v2＝2v2+v2＝120，
∴v2＝40米/分，v1＝80米/分，
y＝1880时，小飞到达学校，妈妈还没到家，
x＝10时，妈妈和小飞离家的距离均为10v1＝800（米），
∴x＝10时，y＝800×2＝1600（米），
∴v1t﹣v2t＝1880﹣1600＝280，
∴t＝＝7（分钟），
∴（v1+v2）t＝（40+80）×7＝840（米），
∴小飞到达学校时，妈妈和小飞的距离为840米．
故答案为：840．
18．（4分）三峡之巅•诗橙奉节，奉节脐橙是重庆市奉节县特产，中国地理标志产品，营养丰富，橙香味浓．每年12月是奉节脐橙大批量上市的时候，奉节脐橙品种较多，主要包含纽荷尔脐橙、福本脐橙、奉园72﹣1脐橙．某超市准备购进纽荷尔脐橙、福本脐橙、奉园72﹣1脐橙，三种品种的橙子共1000件（每件均为同一品种的脐橙），其中奉园72﹣1脐橙每件12个，福本脐橙每件8个，纽荷尔脐橙每件6个．为了推广，超市还计划将三个品种的脐橙各取出来，拆开后重新组合包装，制成甲、乙两种套装进行特价销售：甲套装为每件奉园72﹣1脐橙4个、福本脐橙4个；乙套装为每件奉园72﹣1脐橙4个、纽荷尔脐橙2个，取出的件数和套装的件数均为正整数，若纽荷尔脐橙的进货量（件）不低于总进货量（件）的，则福本脐橙最多购进　360　件．
【分析】设购进纽荷尔脐橙20x件，福本脐橙20y件，则购进奉园72﹣1脐橙20（x+y）件，根据三种品种的橙子共购进1000件，即可得出关于x，y的二元一次方程，解之可得出x＝25﹣y，结合纽荷尔脐橙的进货量（件）不低于总进货量（件）的，即可得出关于y的一元一次不等式，解之即可得出y的取值范围，由取出的件数和套装的件数均为正整数，可得出y为3的倍数，结合y的取值范围，即可找出y的最大值，进而可得出福本脐橙最多购进的数量．
【解答】解：设购进纽荷尔脐橙20x件，福本脐橙20y件，
∵将三个品种的脐橙各取出来，拆开后重新组合包装，制成甲、乙两种套装进行特价销售：甲套装为每件奉园72﹣1脐橙4个、福本脐橙4个；乙套装为每件奉园72﹣1脐橙4个、纽荷尔脐橙2个，
∴购进奉园72﹣1脐橙20（x+y）件．
依题意得：20x+20y+20（x+y）＝1000，
∴x＝25﹣y．
又∵20x≥×1000，
∴500﹣y≥200，
解得：y≤18．
又∵取出的件数和套装的件数均为正整数，
∴y为3的倍数，
∴y的最大值为18，
∴福本脐橙最多购进18×20＝360（件）．
故答案为：360．
三、解答题（本大题共8个小题，第26题8分，其余每小题0分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤．
19．化简：
（1）（a﹣2b）2﹣2b（b﹣2a）；
（2）（a+2﹣）÷．
【分析】（1）根据整式的运算法则即可求出答案．
（2）根据分式的运算法则即可求出答案．
【解答】解：（1）原式＝a2﹣4ab+4b2﹣2b2+4ab
＝a2+2b2．
（2）原式＝•
＝•
＝2a+6．
20．如图，四边形ABCD为平行四边形，∠BAD的⻆平分线AE交CD于点F，交BC的延长线于点E，且AF＝FE．
（1）求证：BE＝CD；
（2）若∠D＝54°，求∠BFC．
（3）若tan∠BEA＝，AB＝4，求平行四边形ABCD的面积．

【分析】（1）证明∠BAE＝∠BEA即可．
（2）注意到BF是等腰△ABE的角平分线，因此∠BFC＝∠ABF＝∠ABE，而∠ABE＝∠D，于是问题得解．
（3）由于平行四边形的面积为△ABF面积的2倍，因此只需求△ABF的面积即可．BF与EF的比值是确定的，BE＝AB＝4，然后算出BF、AF的长度即可解决问题．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，AB＝CD，AB∥CD，
∴∠BEA＝∠DAE，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAE，
∴∠BAE＝∠BEA，
∴BE＝AB＝CD．
（2）∵AF＝EF，BE＝BA，
∴BF⊥AE，∠EBF＝∠ABF，
∵∠D＝54°，
∴∠ABC＝∠D＝54°，
∴∠ABF＝∠CBF＝27°，
又∵AB∥CD，
∴∠BFC＝∠ABF＝27°．
（3）∵tan∠BEA＝＝，
∴设EF＝3x，BF＝4x，则BE＝5x，
∵BE＝BA＝4，
∴5x＝4，
∴x＝，
∴EF＝，BF＝，BE＝，
∴AF＝EF＝，
∴S△ABF＝AF•BF＝．
∴平行四边形的面积为2S△ABF＝．
21．钟南山院士谈到防护新型冠状病毒肺炎时说：“我们需要重视防护，但也不必恐慌，尽量少去人员密集的场所，出门戴口罩，在室内注意通风，勤洗手，多运动，少熬夜．”某社区为了加强社区居民对新型冠状病毒肺炎防护知识的了解，通过微信群宣传新型冠状病毒肺炎的防护知识，并鼓励社区居民在线参与作答《2020年新型冠状病毒防治全国统一考试（全国卷）》试卷，社区管理员随机从甲、乙两个小区各抽取20名人员的答卷成绩，并对他们的成绩（单位：分）进行统计、分析，过程如下：
收集数据
甲小区：85 80 95 100 90 95 85 65 75 85 90 90 70 90 100 80 80 90 95 75
乙小区：80 60 80 95 65 100 90 85 85 80 95 75 80 90 70 80 95 75 100 90
整理数据
成绩x（分）
60≤x≤70
70＜x≤80
80＜x≤90
90＜x≤100
甲小区
2
5
a
b
乙小区
3
7
5
5
分析数据
统计量
平均数
中位数
众数
甲小区
85.75
87.5
c
乙小区
83.5
d
80
应用数据
（1）填空：a＝　8　，b＝　5　，c＝　90　，d＝　82.5　；
（2）若甲小区共有800人参与答卷，请估计甲小区成绩大于90分的人数；
（3）社区管理员看完统计数据，认为甲小区对新型冠状病毒肺炎防护知识掌握更好，请你写出社区管理员的理由．
【分析】（1）数出甲小区80＜x≤90的数据数可求a；甲小区90＜x≤100的数据数可求b；根据中位数的意义，将乙小区的抽查的20人成绩排序找出处在中间位置的两个数的平均数即可为中位数，从甲小区成绩中找出出现次数最多的数即为众数；
（2）抽查甲小区20人中成绩高于90分的人数有5人，因此甲小区成绩大于90分的人数占抽查人数，求出甲小区成绩大于90分的人数即可；
（3）依据表格中平均数、中位数、众数等比较做出判断即可．
【解答】解：（1）a＝8，b＝5，
甲小区的出现次数最多的是90，因此众数是90，即c＝90．
中位数是从小到大排列后处在第10、11位两个数的平均数，
由乙小区中的数据可得处在第10、11位的两个数的平均数为（80+85）÷2＝82.5，
因此d＝82.5．
（2）800×＝200（人）．
答：估计甲小区成绩大于90分的人数是200人．
（3）根据（1）中数据，甲小区对新型冠状病毒肺炎防护知识掌握得更好，理由是：甲小区的平均数、中位数、众数都比乙小区的大．
故答案为：8，5，90，82.5；甲，甲小区的平均数、中位数、众数都比乙小区的大．
22．有这样一个问题：探究函数y＝的图象与性质．
小东根据学习函数的经验，对函数y＝的图象与性质进行了探究．
下面是小东的探究过程，请补充完成：
（1）化简函数解析式，当x≥﹣1时，y＝　x　，当x＜﹣1时y＝　﹣1　；
（2）根据（1）中的结果，请在所给坐标系中画出函数y＝的图象；
（3）结合函数图象，写出该函数的一条性质：　函数有最小值﹣1，函数无最大值，x≥﹣1时，y随x的增大而增大．　．
（4）结合画出的函数图象，解决问题：若关于x的方程ax+1＝的只有一个实数根，直接写出实数a的取值范围：　a≤0或a≥1　．

【分析】（1）分两种情况讨论：当x≥﹣1时，y＝x，当x＜﹣1时y＝﹣1；
（2）依据函数解析式直接画出函数图象；
（3）根据图象可知：函数有最小值﹣1，函数无最大值，x≥﹣1时，y随x的增大而增大；
（3）由图象可知，当a≤0或a≥1时，函数y＝ax+1与y＝的只有一个交点，即关于x的方程ax+1＝的只有一个实数根．
【解答】解：（1）化简函数y＝，
当x≥﹣1时，y＝＝x，当x＜﹣1时y＝＝﹣1
故答案为x，﹣1；
（2）图象如图所示．
（3）函数有最小值﹣1，函数无最大值，x≥﹣1时，y随x的增大而增大（此题答案不唯一）
故答案为 函数有最小值﹣1，函数无最大值，x≥﹣1时，y随x的增大而增大．
（3）由图象可知，当a≤0或a≥1时，函数y＝ax+1与y＝的只有一个交点，即关于x的方程ax+1＝的只有一个实数根．
故答案为a≤0或a≥1．

23．阅读材料：规定若一个正整数x能表示成a2﹣b2（a，b是正整数，且a＞b）的形式，则称这个数为“风月同天数”，a与b是x的一个平方差分解．例如：因为5＝32﹣22，所以5是“风月同天数”，3与2是5的平方差分解；再如：M＝x2+2xy＝x2+2xy+y2﹣y2＝（x+y）2﹣y2（x，y是正整数），所以M也是“风月同天数”，（x+y）与y是M的一个平方差分解．
（1）判断：7　是　“风月同天数”（填“是”或“不是”）；
（2）已知N＝x2﹣y2+6x﹣4y+k（x，y是正整数，k是常数，且x+1＞y），要使N是“风月同天数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由；
（3）对于一个三位数，如果满足十位数字是7，且个位数字比百位数字大7，称这个三位数为“岂无衣数”．若m既是“岂无衣数”，又是“风月同天数”，请求出m的所有平方差分解．
【分析】（1）由题意可得7＝42﹣32，即可得到7是“风月同天数”；
（2）由题意可得N＝x2﹣y2+6x﹣4y+9﹣4＝（x+3）2﹣（y+2）2，即可求k的值；
（3）设百位数字是x，则个位数字是x+7，则符合条件的x为1或2；当x＝1时，这个三位数是178，此时m不是“风月同天数”；当x＝2时，这个三位数是279，m＝482﹣452＝202﹣112，则可得48与45是m的平方差分解；20与11是m的平方差分解；140与139是m的平方差分解．
【解答】解：（1）∵7＝42﹣32，
∴7是“风月同天数”，
故答案为：是；
（2）∵N是“风月同天数”，
∵x+1＞y，
∴x+3＞y+2，
∴N＝x2﹣y2+6x﹣4y+9﹣4＝（x+3）2﹣（y+2）2，
∵N＝x2﹣y2+6x﹣4y+k＝（x+3）2﹣（y+2）2，
∴k＝5；
（3）设百位数字是x，则个位数字是x+7，
∴x＝1或x＝2，
当x＝1时，这个三位数是178，
∴m＝178＝2×89，
此时m不是“风月同天数”；
当x＝2时，这个三位数是279，
∴m＝279＝3×93＝9×31，
∴m＝482﹣452＝202﹣112＝1402﹣1392，
∴48与45是m的平方差分解；20与11是m的平方差分解；140与139是m的平方差分解．
24．2019年度双十一在九龙坡区杨家坪的各大知名商场举行“国产家用电器惠民抢购日”优惠促销大行动，许多家用电器经销商都利用这个契机进行打折促销活动．商社电器某国产品牌经销商的某款超高清大屏幕Led液晶电视机每套成本为4000元，在标价6000元的基础上打9折销售．
（1）现在该经销商欲继续降价吸引买主，问最多降价多少元，才能使利润率不低于30%？
（2）据媒体爆料，有一些经销商先提高商品价格后再降价促销，存在欺诈行为．重百电器另一个该品牌的经销商也销售相同的超高清大屏幕Led液晶电视机，其成本、标价与商社电器的经销商一致，以前每周可售出20台，现重百的经销商先将标价提高（2m﹣12）%，再大幅降价150m元，使得这款电视机在2019年11月11日那一天卖出的数量就比原来一周卖出的数量增加了m%，这样一天的利润达到22400元，求m的值．（利润＝售价﹣成本）
【分析】（1）设降价x元，根据“利润率不低于30%”列出不等式求解即可；
（2）根据“电视机在2019年11月11日那一天卖出的数量就比原来一周卖出的数量增加了m%，这样一天的利润达到22400元”列出方程即可求得m的值．
【解答】解：（1）设降价x元，列不等式（6000×0.9﹣x）≥4000（1+30%）
解得：x≤200
答：最多降价200元，才能使得利润不低于30%；

（2）根据题意得：
整理得：3m2﹣8m﹣640＝0
解得：m1＝16，m2＝﹣（舍去）
∴m＝16
答：m的值为16．
25．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+3x+4与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．
（1）求点A的坐标和直线BC的解析式；
（2）点P为抛物线上位于第一象限内的点，当S△PBC＝S△ABC时，求点P的坐标；
（3）当点P满足（2）中的条件，且位于对称轴右侧时，点M为线段CP上一动点，点N为直线OP上的动点，请问在抛物线对称轴右侧的图象上是否存在点Q，使得由M、N、P、Q构成的四边形是以PM为边的菱形？若能，求出菱形的边长；若不能，说明理由．

【分析】（1）根据解析式求出点A，B，C的坐标，再用待定系数法求求出直线的解析式；
（2）设出点P坐标，先求出△ABC的面积，再得出△BCP的面积，将△BCP的面积用含点P坐标的式子表示出来，即可求出点P的坐标；
（3）先假设M、N、P、Q构成的四边形是以PM为边的菱形，设菱形的边长为t，用t对应的M，N，Q的坐标，根据点Q在抛物线上可建立等式．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+3x+4与x轴交于A，B两点，
令﹣x2+3x+4＝0，
∴x1＝﹣1，x2＝4，
∴A（﹣1，0），B（4，0），
令x＝0，则y＝4，
∴C（0，4），
设直线BC的解析式为y＝kx+b，
将B（4，0），C（0，4）代入y＝kx+b，可得，
解得，
∴直线BC的解析式为：y＝﹣x+4；
（2）如图1，过点P作PD⊥x轴于点D，交直线BC于点E，


设P（m，﹣m2+3m+4），则E（m，﹣m+4），
∴PE＝（﹣m2+3m+4）﹣（﹣m+4）＝﹣m2+4m，
∴S△PBC＝S△PEC+S△PEB
＝•PE•（xP﹣xC）+•PE•（xB﹣xP）
＝•PE•（xB﹣xC）
＝×（﹣m2+4m）×（4﹣0）
＝﹣2m2+8m，
∵S△ABC＝•AB•OC＝×（4+1）×4＝10；
∴S△PBC＝S△ABC＝×10＝6，
∴﹣2m2+8m＝6，解得m＝1或m＝3，
∴P（1，6）或P（3，4）；
（3）存在，理由如下：
∵点P在对称轴x＝右侧，
∴P（3，4），
∵C（0，4），P（3，4），
∴PC∥x轴，
∵四边形是以PM为边的菱形，
∴PM∥NQ，NQ∥x轴，
∴∠PNH＝∠POD，
设直线OP的解析式为y＝kx，
将P（3，4）代入可得4＝3k，解得得k＝，
∴直线OP的解析式为y＝x；
如图2，当四边形PMNQ是菱形时，设菱形的边长为t，
则NQ＝PQ＝t，
过点Q作QF⊥PN于点F，过点P作PD⊥x轴交NQ于点H，

∴∠PDO＝∠PHN＝∠QFN＝90°，
∴△POD∽△PNH∽△QNF，
∴OD：PD：OP＝NH：PH：NP＝NF：FQ：NQ＝3：4：5，
∵PQ＝NQ＝t，
∴NF＝PN＝，NP＝t，
∴FH＝NP＝t，PH＝NP＝t，
∴HQ＝NQ﹣NH＝t﹣t＝t，
∴Q（3+t，4﹣t），
∵点Q在抛物线y＝﹣x2+3x+4，
∴﹣（3+t）2+3（3+t）+4＝4﹣t，
解得t＝（t＝0舍去）；
此时Q（，）符合题意，
如图3，过点P作PD⊥x轴于点D，过点Q作QK⊥MP于点K，
∴∠PDO＝∠QKM＝90°，

∵PC∥x轴，
∴∠POD＝∠PNQ＝∠QMP，
∴△POD∽△QMK，
∴OD：PD：OP＝MK：QK：QM＝3：4：5，
当四边形PNQM是菱形时，设菱形的边长为m，
则NQ＝MQ＝m，
∴MK＝m，QK＝m，
∴PK＝MP﹣MK＝m﹣m＝m，
∴Q（3﹣m，4+m），
∵点Q在抛物线y＝﹣x2+3x+4，
∴﹣（3﹣m）2+3（3﹣m）+4＝4+m，
解得m＝（m＝0舍去），
此时Q（2，6），符合题意．
综上，符合题意的菱形的边长为：或．
26．如图1，△ABC与△EDC为等腰直角三角形，AC＝BC＝12，DE＝DC＝4，∠ACB＝∠CDE＝90°，将△EDC绕着点C旋转．
（1）【初步尝试】如图2，在旋转过程中，当A、C、E三点共线（E在AC延长线上）时，连接BE，过D点作AE的垂线交AE于点G，交BE于点F，则BF的长为　2　．
（2）【探究证明】如图3，在旋转过程中，连接AE、BE，过D点作AE的垂线交AE于点G，交BE于点F，猜想EF与BF的数量关系并证明．
（3）【探究拓展】如图4，在（2）的条件下，连接CF、AF，当AF最小时，请直接写出△ACF的面积．

【分析】（1）根据平行线等分线段定理解决问题即可．
（2）结论：EF＝FB．如图3中，过点C作CT⊥CE交ED的延长线于T，连接BT交AE于J，设AE交BC于点O．证明△ACE≌△BCT（SAS），推出∠CAE＝∠CBT，推出∠AJB＝90°，即BT⊥AE，证明BT∥DF即可．
（3）如图4中，取BC的中点T，连接AT，FT．求出AT，FT即可解决问题．
【解答】解：（1）如图2中，

∵DC＝DE，DF⊥EC，
∴CG＝EG，∠CGF＝∠ACB＝90°，
∴GF∥BC，
∴EF＝FB，
∵DC＝DE＝4，∠CDE＝90°，
∴EC＝＝＝4，
∵BC＝12，∠ECB＝90°，
∴BE＝＝＝4，
∴BF＝BE＝2．
故答案为2．

（2）结论：EF＝FB．
理由：如图3中，过点C作CT⊥CE交ED的延长线于T，连接BT交AE于J，设AE交BC于点O．

∵∠TCE＝90°，∠CET＝45°，
∴∠CTE＝∠CET＝45°，
∴CE＝CT，
∵CD⊥ET，
∴DT＝DE，
∵∠ACB＝∠TCE＝90°，
∴∠ACE＝∠BCT，
∵CA＝CB，CE＝CT，
∴△ACE≌△BCT（SAS），
∴∠CAE＝∠CBT，
∵∠AOC＝∠BOJ，
∴∠ACO＝∠BJO＝90°，
∴∠AJB＝90°，即BT⊥AE，
∵DF⊥AE，
∴DF∥BT，
∵ED＝DT，
∴EF＝BF．

（3）如图4中，取BC的中点T，连接AT，FT．

∵AC＝12，CT＝TB＝6，∠ACT＝90°，
∴AT＝＝＝6，
∵CT＝BT，EF＝FB，
∴FT＝EC＝2，
∵AF≥AT﹣FT，
∴AF≥6﹣2，
∴AF的最小值为6﹣2，此时A，F，T共线，如图5中，

∴S△ACF＝•S△ACT＝××6×12＝36﹣．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布
日期：2021/8/11 12:02:08；用户：节节高5；邮箱：5jiejg@xyh.com；学号：37675298