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2019-2020学年重庆市南川中学九年级（上）期末数学试卷
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这是一份2019-2020学年重庆市南川中学九年级（上）期末数学试卷，共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2019-2020学年重庆市南川中学九年级（上）期末数学试卷
一、选择题：（每题4分，共计48分）
1．（4分）下列图形是我国国产品牌汽车的标识，在这些汽车标识中，是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（4分）方程x2﹣9＝0的根是（ ）
A．x＝﹣3 B．x1＝3，x2＝﹣3 C．x1＝x2＝3 D．x＝3
3．（4分）下列事件是必然事件的是（ ）
A．抛出一枚硬币，落地后正面朝上
B．NBA球员投篮10次，投中十次
C．10件产品中有2件次品，从中任意抽取3件，至少有一件是正品
D．明天会下雪
4．（4分）将抛物线y＝x2先向左平移3个单位再向下平移2个单位，得到新抛物线的表达式是（ ）
A．y＝（x+3）2+2 B．y＝（x+3）2﹣2 C．y＝（x﹣3）2+2 D．y＝（x﹣3）2﹣2
5．（4分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，以点C为圆心，AC长为半径作圆．则下列结论正确的是（ ）
A．点B在圆内
B．点B在圆上
C．点B在圆外
D．点B和圆的位置关系不确定
6．（4分）对于双曲线y＝，当x＞0时，y随x的增大而减小，则m的取值范围为（ ）
A．m＞0 B．m＞2 C．m＜0 D．m＜2
7．（4分）在一个不透明的口袋中，装有4个红球2个白球，它们除颜色外都相同，从中任意摸出一个球，摸到红球的概率为（ ）
A． B． C． D．
8．（4分）若关于x的一元二次方程kx2﹣4x+2＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＜2 B．k≠0 C．k＜2且k≠0 D．k＞2
9．（4分）某药品经过两次降价，每瓶零售价由200元降为128元，已知两次降价的百分率相同，设每次降价的百分率为x，根据题意列方程得（ ）
A．200（1﹣x）2＝128 B．200（1﹣x2）＝128
C．168（1﹣2x）＝108 D．168（1+x）2＝108
10．（4分）如图，PA、PB切⊙O于点A、B，PA＝8，CD切⊙O于点E，交PA、PB于C、D两点，则△PCD的周长是（ ）
A．8 B．16 C．18 D．20
11．（4分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，且a≠0）的图象如图所示，有下列说法：①abc＞0；②2a+b＝0；③a﹣b+c＞0；④8a+c＞0；⑤b2﹣4ac＞0；其中正确的是（ ）
A．①②③④ B．①②④⑤ C．①②③⑤ D．②③④⑤
12．（4分）如图所示，已知菱形OABC，点C在x轴上，直线y＝x经过点A，菱形OABC的面积是4，若反比例函数的图象经过点B，则此反比例函数表达式为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：（每题4分，共计24分）
13．（4分）反比例函数y＝，当自变量x＝﹣2时，函数值是 ．
14．（4分）如果抛物线y＝（m﹣3）x2的开口向上，那么m的取值范围是 ．
15．（4分）已知方程x2﹣10x+16＝0的两个根是一个等腰三角形的两边长，则这个等腰三角形的周长为 ．
16．（4分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝5，点D是线段AB的中点，分别以点A，B为圆心，AD为半径画弧，分别交AC，BC于点E，F．则阴影部分面积为 （结果保留π）．
17．（4分）在﹣3、﹣2、﹣1、0、1、2、3这七个数中，随机取出一个数记为a，那么使得关于x的二次函数y＝x2+（3﹣a）x+2的图象与x轴有交点，且使得关于x的方程有整数解的概率为 ．
18．（4分）网红重庆迎来了无数中外游客，重庆小火锅自助餐备受青睐．北京的小张、小王、小李来到重庆后，到某单人小火锅就餐，该店有n种配菜可以选择，每种配菜都有大盘菜、中盘菜、小盘菜这三种菜，价格分别为a元、b元、3元，3＜b＜a≤8，a、b都为正整数，每个人都选择了n种配菜，而且对每一种配菜只选择一个盘，三个人在分量上选择都各不相同，结账时，小张、小王都花费了53元，但他们在大盘菜的花费上各不相同，而小李共花费了54元，那么小李在中盘菜上花费了 元．
三、解答题：（每题10分，共计70分）
19．（10分）解方程：
（1）2x2+x﹣5＝0；（公式法）
（2）x2+6x+4＝0；（配方法）
20．（10分）如图，直线y＝ax+b与反比例函数（x＜0）的图象交于点A，B，与x轴交于点C，其中点A的坐标为（﹣2，4），点B的横坐标为﹣4．
（1）试确定反比例函数的关系式；
（2）求一次函数的关系式；
（3）求△AOC的面积．
21．（10分）为庆祝建国70周年，推出许多新影片，全国人民掀起了看电影的热潮．为此，某电影公司派出了若干业务员到几个社区作随机调查，了解市民对电影A《中国机长》、B《我和我的祖国》、C《决胜时刻》、D《烈火英雄》的喜爱程度．业务员小王，将自己的调查结果进行分类并绘制成如下的统计图，请你结合图中所给信息解答下列问题：（说明：A《中国机长》、B《我和我的祖国》、C《决胜时刻》、D《烈火英雄》）
（1）请把条形统计图补充完整；扇形统计图中D类所在的扇形的圆心角度数是 ；
（2）小易打算从喜欢《我和我的祖国》的5位山城人民（两男三女）中，抽取两人分别赠送电影票一张，问抽到一男一女的概率是多少？
22．（10分）阅读下面的例题：
解方程：x2﹣|x|﹣2＝0
当x≥0时，原方程化为x2﹣x﹣2＝0，解得：x1＝2或x2＝﹣1（不合题意舍去）
当x≤0时，原方程化为x2+x﹣2＝0，解得：x1＝﹣2或x2＝1（不合题意舍去）
所以，原方程的根是x1＝2或x2＝﹣2．
请参照例题解方程：
（1）x2﹣|x|﹣6＝0；
（2）x2﹣|x﹣5|﹣5＝0．
23．（10分）已知函数y＝+b（a、b为常数且a≠0）中，当x＝2时，y＝4；当x＝﹣1时，y＝1．请对该函数及其图象进行如下探究：
（1）求该函数的解析式，并直接写出该函数自变量x的取值范围；
（2）请直接在直角坐标系中画出该函数和y＝2x的图象，结合函数的图象，直接写出不等式+b≤2x的解集．
24．（10分）建国七十周年，国庆来临之际，小唐看准商机，从厂家购进A，B两款爱国文化衫进行销售，小唐连续两周，每周都用8000元购进200件A款和100件B款文化衫．
（1）小唐在第一周销售时，每件A款的售价比每件B款的售价的2倍少10元，且两种文化衫在一周之内全部售完，毛利润为5000元．小唐销售A款文化衫每件多少元？
（2）小唐在第二周销售时，受到各种因素的影响，每件A款的售价比第一周A款的售价增加了2.5a%，但A款的销量比第一周A款的销量下降了a%；每件B款的售价比第一周B款的售价下降了a%，B款全部售完，结果第二周的总销售量额为13200元，求a的值．
25．（10分）如图，正方形ABCD中，点E是BC边延长线上的任一点，AE交CD于点G，∠AEB绕点E逆时针旋转后点B的对应点B′落在AE上，另一边EA′交CD的延长线于点F．
（1）如图1，若正方形ABCD的边长为2，∠AEB＝30°，求线段DF的长；
（2）如图2，若点G是CD的中点时，过点G作GH⊥AF于点H，求证：BC＝2DH．
26．（10分）如图，抛物线y＝2x2﹣7x+3与x轴交于A、B两点，交y轴于点C，对称轴L交抛物线于点D，与x轴交于点T．
（1）如图，点P是直线BC下方抛物线上的点，过点P作直线PQ∥L交直线BC于点Q，当PQ的长度取最大值时，在y轴上有动点E，在直线L上有动点F，一只蚂蚁从P点出发，先经过y轴上点E，再到直线L上点F，最后到达点C，求蚂蚁爬行的最短路程，并求出点F的坐标；
（2）点G是BC的中点，将抛物线y＝2x2﹣7x+3沿x轴正方向平移得到新抛物线y′，y′经过点T，y′的顶点为点K．在新抛物线y′的对称轴上，是否存在一点Q，使得△KGQ为等腰三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
2019-2020学年重庆市南川中学九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（每题4分，共计48分）
1．（4分）下列图形是我国国产品牌汽车的标识，在这些汽车标识中，是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据中心对称图形的定义和图形的特点即可求解．
【解答】解：由中心对称图形的定义知，绕一个点旋转180°后能与原图重合，只有选项B是中心对称图形．
故选：B．
2．（4分）方程x2﹣9＝0的根是（ ）
A．x＝﹣3 B．x1＝3，x2＝﹣3 C．x1＝x2＝3 D．x＝3
【分析】首先把常数项9移到方程的右边，再两边直接开平方即可．
【解答】解：移项得：x2＝9，
两边直接开平方得：x＝±3，
即x1＝3，x2＝﹣3．
故选：B．
3．（4分）下列事件是必然事件的是（ ）
A．抛出一枚硬币，落地后正面朝上
B．NBA球员投篮10次，投中十次
C．10件产品中有2件次品，从中任意抽取3件，至少有一件是正品
D．明天会下雪
【分析】根据随机事件的意义进行判断即可．
【解答】解：A．抛出一枚硬币，落地后可能正面朝上，也可能反面朝上，因此“抛出一枚硬币，落地后正面朝上”是随机事件，故A不符合题意；
B．NBA球员投篮10次，也不一定中十次，因此“NBA球员投篮10次，投中十次”不是必然事件，故B不符合题意；
C．根据“抽屉”原理可知，“10件产品中有2件次品，从中任意抽取3件，至少有一件是正品”是必然事件，故C符合题意；
D．明天可能会下雪，也可能不下雪，因此“明天会下雪”是随机事件，不是必然事件，故D不符合题意；
故选：C．
4．（4分）将抛物线y＝x2先向左平移3个单位再向下平移2个单位，得到新抛物线的表达式是（ ）
A．y＝（x+3）2+2 B．y＝（x+3）2﹣2 C．y＝（x﹣3）2+2 D．y＝（x﹣3）2﹣2
【分析】按照“左加右减，上加下减”的规律，即可得出平移后抛物线的解析式．
【解答】解：将抛物线y＝x2先向左平移3个单位再向下平移2个单位，得到新抛物线的表达式是y＝（x+3）2﹣2．
故选：B．
5．（4分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，以点C为圆心，AC长为半径作圆．则下列结论正确的是（ ）
A．点B在圆内
B．点B在圆上
C．点B在圆外
D．点B和圆的位置关系不确定
【分析】欲求圆与B的位置关系，关键是求出点B到圆心的距离d，再与r进行比较．若d＜r，则Bz在圆内；若d＝r，则B在圆内；若d＞r，则B在圆外．
【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，
∴AC＞BC，
∴R＞d，
∴点B在圆内．
故选：A．
6．（4分）对于双曲线y＝，当x＞0时，y随x的增大而减小，则m的取值范围为（ ）
A．m＞0 B．m＞2 C．m＜0 D．m＜2
【分析】根据反比例函数的单调性结合反比例函数的性质，即可得出反比例函数系数的正负，由此即可得出关于m的一元一次不等式，解不等式即可得出结论．
【解答】解：∵双曲线y＝，当x＞0时，y随x的增大而减小，
∴2﹣m＞0，
解得：m＜2．
故选：D．
7．（4分）在一个不透明的口袋中，装有4个红球2个白球，它们除颜色外都相同，从中任意摸出一个球，摸到红球的概率为（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据概率的意义求解即可．
【解答】解：共有6个球，其中红球有4个，因此红球占总数的＝，
所以从中任意摸出一个球，摸到红球的概率为，
故选：D．
8．（4分）若关于x的一元二次方程kx2﹣4x+2＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＜2 B．k≠0 C．k＜2且k≠0 D．k＞2
【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式△的意义得到k≠0且△＞0，即（﹣4）2﹣4×k×2＞0，然后解不等式即可得到k的取值范围．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程kx2﹣4x+2＝0有两个不相等的实数根，
∴k≠0且△＞0，即（﹣4）2﹣4×k×2＞0，
解得k＜2且k≠0．
∴k的取值范围为k＜2且k≠0．
故选：C．
9．（4分）某药品经过两次降价，每瓶零售价由200元降为128元，已知两次降价的百分率相同，设每次降价的百分率为x，根据题意列方程得（ ）
A．200（1﹣x）2＝128 B．200（1﹣x2）＝128
C．168（1﹣2x）＝108 D．168（1+x）2＝108
【分析】根据该药品的原价及经过两次降价后的价格，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：依题意得：200（1﹣x）2＝128．
故选：A．
10．（4分）如图，PA、PB切⊙O于点A、B，PA＝8，CD切⊙O于点E，交PA、PB于C、D两点，则△PCD的周长是（ ）
A．8 B．16 C．18 D．20
【分析】根据切线长定理即可得结论．
【解答】解：∵PA、PB切⊙O于点A、B，
∴PB＝PA＝8，
∵CD切⊙O于点E，交PA、PB于C、D两点，
∴CA＝CE，DB＝DE，
∴PC+CD+PD＝PC+CE+DE+PD＝PC+CA+DB+PD＝PA+PB＝8+8＝16．
则△PCD的周长是16．
故选：B．
11．（4分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，且a≠0）的图象如图所示，有下列说法：①abc＞0；②2a+b＝0；③a﹣b+c＞0；④8a+c＞0；⑤b2﹣4ac＞0；其中正确的是（ ）
A．①②③④ B．①②④⑤ C．①②③⑤ D．②③④⑤
【分析】根据图象的开口可确定a，结合对称轴可确定b，根据图象与y轴的交点位置可确定c，根据图象与x轴的交点个数可确定△；根据当x＝﹣1时，y＜0当x＝﹣2时，y＞0；即可得出结论．
【解答】解：∵开口向上，
∴a＞0，
∵与y轴交于负半轴，
∴c＜0，
∵对称轴在y轴右侧，
∴b＜0，
∴abc＞0，故①正确；
∵二次函数的对称轴是直线x＝1，即二次函数的顶点的横坐标为x＝﹣＝1，
∴2a+b＝0，故②正确；
由函数的图象知：当x＝﹣1时，y＜0；即a﹣b+c＜0，故③错误；
由函数的图象知：当x＝﹣2时，y＞0；即4a﹣（﹣4a）+c＝8a+c＞0，故④正确；
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，故⑤正确；
故选：B．
12．（4分）如图所示，已知菱形OABC，点C在x轴上，直线y＝x经过点A，菱形OABC的面积是4，若反比例函数的图象经过点B，则此反比例函数表达式为（ ）
A． B． C． D．
【分析】由四边形OABC菱形，直线y＝x经过点A，可得∠AOC＝∠BCD＝45°，再作垂线构造等腰直角三角形，设出边长，根据菱形的面积可求出等腰直角三角形的边长，进而确定点B的坐标，进而确定反比例函数的关系式．
【解答】解：过点B作BD⊥x轴，朱为D，
∵四边形OABC菱形，直线y＝x经过点A，
∴∠AOC＝∠BCD＝45°，
∴CD＝BD，
设CD＝BD＝x，则BC＝x＝OC，
∵菱形OABC的面积是4，
∴OC•BD＝4，
即x•x＝4，
解得x1＝2，x2＝﹣2＜0（舍去）
∴BC＝OC＝2，
∴OD＝OC+CD＝2+2，
∴点B（2+2，2），
又∵点B在反比例函数y＝的图象上，
∴k＝2×（2+2）＝4+4，
∴反比例函数的关系式为y＝，
故选：C．
二、填空题：（每题4分，共计24分）
13．（4分）反比例函数y＝，当自变量x＝﹣2时，函数值是 ﹣3 ．
【分析】直接把x＝﹣2代入关系式y＝，求出y的值即可．
【解答】解：∵y＝，
∴当x＝﹣2时，y＝＝﹣3．
故答案为：﹣3．
14．（4分）如果抛物线y＝（m﹣3）x2的开口向上，那么m的取值范围是 m＞3 ．
【分析】根据二次函数的性质可知，当抛物线开口向上时，二次项系数m﹣3＞0．
【解答】解：因为抛物线y＝（m﹣3）x2的开口向上，
所以m﹣3＞0，即m＞3，故m的取值范围是m＞3．
故答案为m＞3．
15．（4分）已知方程x2﹣10x+16＝0的两个根是一个等腰三角形的两边长，则这个等腰三角形的周长为 18 ．
【分析】先解方程的两根，再由三角形的三边关系定理确定三角形的周长．
【解答】解：解方程x2﹣10x+16＝0可得x＝2或x＝8，
∴等腰三角形的两边长为2或8，
当底为2时，则等腰三角形的三边长为2、8、8，满足三角形三边关系，此时等腰三角形的周长为18；
当底为8时，则等腰三角形的三边长为8、2、2，2+2＜8，不满足三角形三边关系；
∴等腰三角形的周长为18，
故答案为18．
16．（4分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝5，点D是线段AB的中点，分别以点A，B为圆心，AD为半径画弧，分别交AC，BC于点E，F．则阴影部分面积为 ﹣π （结果保留π）．
【分析】利用等腰直角三角形的性质得出AD，BD的长，再利用扇形面积求法以及直角三角形面积求法得出答案．
【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝BC＝5，点D是线段AB的中点，
∴AD＝BD＝，
∴阴影部分面积为：AC•BC﹣2×＝﹣π．
故答案为：﹣π．
17．（4分）在﹣3、﹣2、﹣1、0、1、2、3这七个数中，随机取出一个数记为a，那么使得关于x的二次函数y＝x2+（3﹣a）x+2的图象与x轴有交点，且使得关于x的方程有整数解的概率为 ．
【分析】首先确定得关于x的二次函数y＝x2+（3﹣a）x+2的图象与x轴有交点，且使得关于x的方程有整数解的a的值，然后利用概率公式求解即可．
【解答】解：∵关于x的二次函数y＝x2+（3﹣a）x+2的图象与x轴有交点，
∴△＝（3﹣a）2﹣4×1×2＝a2﹣6a+1≥0，
解得：a≤3﹣2或a≥3+2，
∴a可取﹣3，﹣2，﹣1，0，
把方程化为整式方程得x+a﹣3（x﹣2）＝﹣1，
解得x＝a+3.5，
∵x﹣2≠0，
则a+3.5≠2，
解得a≠﹣3，
当a＝﹣3、﹣1、1、3时，x＝a+3.5为整数，
∴满足条件的a的值为﹣1、1、3，
∴使得关于x的二次函数y＝x2+（3﹣a）x+2的图象与x轴有交点，且使得关于x的方程有整数解的a的值有﹣1，
∴P（使得关于x的二次函数y＝x2+（3﹣a）x+2的图象与x轴有交点，且使得关于x的方程有整数解）＝．
故答案为：．
18．（4分）网红重庆迎来了无数中外游客，重庆小火锅自助餐备受青睐．北京的小张、小王、小李来到重庆后，到某单人小火锅就餐，该店有n种配菜可以选择，每种配菜都有大盘菜、中盘菜、小盘菜这三种菜，价格分别为a元、b元、3元，3＜b＜a≤8，a、b都为正整数，每个人都选择了n种配菜，而且对每一种配菜只选择一个盘，三个人在分量上选择都各不相同，结账时，小张、小王都花费了53元，但他们在大盘菜的花费上各不相同，而小李共花费了54元，那么小李在中盘菜上花费了 16或32 元．
【分析】由题意，三人各不相同，说明每一种菜的各类都被三人吃了，所以53+53+54＝160应是每一种菜品的总价的整数倍，即（3+a+b）m＝160，根据题意求出整数解，推出a＝8，b＝5，m＝10，设丙在大盘菜上花费x份，中盘菜花费y份，由题意8x+5y+3（10﹣x﹣y）＝54，求出方程的整数解即可解决问题．
【解答】解：由题意，三人各不相同，说明每一种菜的各类都被三人吃了，
所以53+53+54＝160应是每一种菜品的总价的整数倍，
即（3+a+b）m＝160，
∵3＜b＜a≤8，a、b都为正整数，
可知：a＝8，b＝5，m＝10，
设丙在大盘菜上花费x份，中盘菜花费y份，
由题意8x+5y+3（10﹣x﹣y）＝54，
∴5x+2y＝24，
∴x＝2，y＝7或x＝4，y＝2，
2×8＝16，4×8＝32，
故答案为：16或32．
三、解答题：（每题10分，共计70分）
19．（10分）解方程：
（1）2x2+x﹣5＝0；（公式法）
（2）x2+6x+4＝0；（配方法）
【分析】（1）方程利用公式法求出解即可；
（2）方程利用配方法求出解即可．
【解答】解：（1）这里a＝2，b＝1，c＝﹣5，
∴b2﹣4ac＝1+40＝41＞0，
解得：x＝＝，
即x1＝，x2＝；
（2）方程整理得：x2+6x＝﹣4，
配方得：x2+6x+9＝5，即（x+3）2＝5，
开方得：x+3＝±，
解得：x1＝﹣3+，x2＝﹣3﹣．
20．（10分）如图，直线y＝ax+b与反比例函数（x＜0）的图象交于点A，B，与x轴交于点C，其中点A的坐标为（﹣2，4），点B的横坐标为﹣4．
（1）试确定反比例函数的关系式；
（2）求一次函数的关系式；
（3）求△AOC的面积．
【分析】（1）直接把A点坐标（﹣2，4）代入y＝可求出k的值，从而确定反比例函数解析式；
（2）由A（﹣2，4）和B（﹣4，2），利用待定系数法可确定一次函数的解析式；
（3）先利用直线解析式确定C点坐标，然后利用三角形面积公式计算△AOC的面积．
【解答】解：（1）把A（﹣2，4）代入y＝得k＝﹣2×4＝﹣8，
所以反比例函数解析式为y＝﹣；
（2）把x＝﹣4代入y＝﹣得y＝2，
所以B点坐标为（﹣4，2），
把A（﹣2，4）和B（﹣4，2）代入y＝ax+b得，解方程组得，
所以一次函数的解析式为y＝x+6；
（3）对y＝x+6，令y＝0，则x+6＝0，解得x＝﹣6，
所以C点坐标为（﹣6，0），
所以S△AOC＝×6×4＝12．
21．（10分）为庆祝建国70周年，推出许多新影片，全国人民掀起了看电影的热潮．为此，某电影公司派出了若干业务员到几个社区作随机调查，了解市民对电影A《中国机长》、B《我和我的祖国》、C《决胜时刻》、D《烈火英雄》的喜爱程度．业务员小王，将自己的调查结果进行分类并绘制成如下的统计图，请你结合图中所给信息解答下列问题：（说明：A《中国机长》、B《我和我的祖国》、C《决胜时刻》、D《烈火英雄》）
（1）请把条形统计图补充完整；扇形统计图中D类所在的扇形的圆心角度数是 36° ；
（2）小易打算从喜欢《我和我的祖国》的5位山城人民（两男三女）中，抽取两人分别赠送电影票一张，问抽到一男一女的概率是多少？
【分析】（1）先根据A种类人数及其所占百分比求出被调查的总人数，再由四个种类人数之和等于总人数求出D种类的人数，据此可补全图形，最后用360°乘以D种类人数所占比例；
（2）用列表法求出总的事件所发生的数目，再根据概率公式即可求出刚好抽到一男一女的概率．
【解答】解：（1）∵被调查的总人数为10÷20%＝50（人），
∴D种类的人数为50﹣（10+23+12）＝5（人），
补全图形如下：
扇形统计图中D类所在的扇形的圆心角度数是360°×＝36°，
故答案为：36°；
（2）根据题意列表如下：
女1
女2
女3
男1
男2
女1
女1女2
女1女3
男1女1
男2女1
女2
女1女2
女2女3
男1女2
男2女2
女3
女1女3
女3女2
男1女3
男2女3
男1
男1女1
男2女1
男3女1
男1男2
男2
男1女2
男2女2
男3女2
男1男2
由表可知总有20种等可能性结果，其中抽到一男一女的情况有12种，
所以抽到一男一女的概率为＝．
22．（10分）阅读下面的例题：
解方程：x2﹣|x|﹣2＝0
当x≥0时，原方程化为x2﹣x﹣2＝0，解得：x1＝2或x2＝﹣1（不合题意舍去）
当x≤0时，原方程化为x2+x﹣2＝0，解得：x1＝﹣2或x2＝1（不合题意舍去）
所以，原方程的根是x1＝2或x2＝﹣2．
请参照例题解方程：
（1）x2﹣|x|﹣6＝0；
（2）x2﹣|x﹣5|﹣5＝0．
【分析】（1）分类讨论：当x≥0时，原方程化为：x2﹣3x+2＝0；当x＜0时，原方程化为：x23x+2＝0，然后分别利用因式分解法解两一元二次方程即可．
（2）分类讨论：当x≥5，原方程化为x2﹣x＝0，当x＜5时，原方程化为x2+x﹣10＝0，然后分别利用求根公式法解方程，然后确定原方程的解．
【解答】解：（1）当x≥0时，原方程化为：x2﹣x﹣6＝0，解得x1＝3，x2＝﹣2（舍去），
当x＜0时，原方程化为：x2+x﹣6＝0，解得x1＝﹣3，x2＝2（舍去）
所以，原方程的根是x1＝3，x2＝﹣3；
（2）当x﹣5≥0即 x≥5时，原方程化为x2﹣（x﹣5）﹣5＝0 即x2﹣x＝0，
解得x1＝0，x2＝1，不合题意舍去；
当x﹣5＜0即x＜5时，原方程化为x2+（x﹣5）﹣5＝0 即x2+x﹣10＝0，
解得x1＝，x2＝，
∴原方程的根为x1＝，x2＝．
23．（10分）已知函数y＝+b（a、b为常数且a≠0）中，当x＝2时，y＝4；当x＝﹣1时，y＝1．请对该函数及其图象进行如下探究：
（1）求该函数的解析式，并直接写出该函数自变量x的取值范围；
（2）请直接在直角坐标系中画出该函数和y＝2x的图象，结合函数的图象，直接写出不等式+b≤2x的解集．
【分析】（1）根据题意解方程组即可得到结论；
（2）利用描点法画出图象，利用图象即可解决问题．
【解答】解：（1）把x＝2时，y＝4；x＝﹣1时，y＝1代入y＝+b得，
解得，
∴该函数的解析式为y＝+2（x≠1）；
（2）列表：
x
…
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
2
3
4
5
6
……
y
…
1
0
﹣2
6
4
3
……
描点、连线画出函数图象如图：
由图象可知y＝+2与y＝2x的交点为（0，0），（2，4），
结合函数图象y＝+2≤2x的解集为0≤x＜1或x≥2．
24．（10分）建国七十周年，国庆来临之际，小唐看准商机，从厂家购进A，B两款爱国文化衫进行销售，小唐连续两周，每周都用8000元购进200件A款和100件B款文化衫．
（1）小唐在第一周销售时，每件A款的售价比每件B款的售价的2倍少10元，且两种文化衫在一周之内全部售完，毛利润为5000元．小唐销售A款文化衫每件多少元？
（2）小唐在第二周销售时，受到各种因素的影响，每件A款的售价比第一周A款的售价增加了2.5a%，但A款的销量比第一周A款的销量下降了a%；每件B款的售价比第一周B款的售价下降了a%，B款全部售完，结果第二周的总销售量额为13200元，求a的值．
【分析】（1）设小唐销售A款的价格为每件x元，则B款的价格为每件（2x﹣10）元，由题意得等量关系：A款的总售价+B款的总售价＝8000+5000，根据等量关系列出方程，再解即可．
（2）A款的原售价×（1+2.5a%）×原销量×（1﹣a%）+B款的原售价×（1﹣a%）×销量＝总销售量额13200元，根据等量关系，列出方程，再解即可．
【解答】解：（1）设小唐销售A款的价格为每件x元，则B款的价格为每件（2x﹣10）元，
100×（2x﹣10）+200x＝8000+5000，
解得：x＝35，
答：小唐销售A款的价格为每件35元；
（2）由题意得：35（1+2.5a%）×200（1﹣a%）+100（1﹣a%）×（2×35﹣10）＝13200，
令a%＝m，整理得：175m2﹣45m+2＝0，
解得，m＝或
∴a＝20或，
答：a的值为20或．
25．（10分）如图，正方形ABCD中，点E是BC边延长线上的任一点，AE交CD于点G，∠AEB绕点E逆时针旋转后点B的对应点B′落在AE上，另一边EA′交CD的延长线于点F．
（1）如图1，若正方形ABCD的边长为2，∠AEB＝30°，求线段DF的长；
（2）如图2，若点G是CD的中点时，过点G作GH⊥AF于点H，求证：BC＝2DH．
【分析】（1）根据DF＝FG﹣DG，求出DG、FG的长即解决问题．
（2）如图2中，作AM⊥EF于M，HN⊥CF于N，HJ⊥AD于J．首先证明∠HAG＝45°，四边形HJDN是正方形，设边长为b，正方形ABC的边长为2a，则DG＝a，AJ＝GN＝a+b＝2a﹣b，推出a＝2b，求出CE、DH用b表示，即可解决问题．
【解答】（1）解：如图1中，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝2，∠B＝∠BCD＝∠DCE＝90°，
∵∠AEB＝∠A′EA＝30°，
∴BE＝AB＝2，EC＝BE﹣BC＝2﹣2，
∴CG＝EC•tan30°＝2﹣，GE＝2GC＝4﹣，DG＝CD﹣CG＝，
∵∠CGE＝∠A′EA+∠GFE＝60°，
∴∠GFE＝∠GEF＝30°，
∴FG＝GE＝4﹣，
∴DF＝GF﹣DG＝4﹣﹣＝4﹣2．
（2）证明：如图2中，作AM⊥EF于M，HN⊥CF于N，HJ⊥AD于J．
∵AD∥BE，
∴∠DAG＝∠BEG＝∠AEF，
∵AB⊥BE，AM⊥EM，
∴AB＝AM＝AD，
在Rt△AFM和Rt△AFD中，
，
∴Rt△AFM≌Rt△AFD（HL），
∴∠MAF＝∠FAD，
∵∠MAE+∠MEA＝90°，
∴2∠FAD+2∠DAG＝90°，
∴∠FAD+∠DAG＝45°，
∴∠HAG＝45°，
∵GH⊥AF，
∴∠HAG＝∠HGA＝45°，
∴AH＝GH，
∵∠FAD+∠AFD＝90°，∠HGF+∠HFG＝90°，
∴∠HAJ＝∠HGN，
∴△AHJ≌△GHN（AAS），
∴JH＝HN，
∵四边形HJDN是矩形，
∴四边形HJDN是正方形，设边长为b，正方形ABCD的边长为2a，则DG＝a，AJ＝GN＝a+b＝2a﹣b，
∴a＝2b，
∵AD∥CE，
∴＝，
∵DG＝GC，
∴AD＝CE＝2a＝4b，
∵DH＝b，
∴b＝DH，
∴CE＝4•DH＝2DH，
∵BC＝AD＝CE，
∴BC＝2DH．
26．（10分）如图，抛物线y＝2x2﹣7x+3与x轴交于A、B两点，交y轴于点C，对称轴L交抛物线于点D，与x轴交于点T．
（1）如图，点P是直线BC下方抛物线上的点，过点P作直线PQ∥L交直线BC于点Q，当PQ的长度取最大值时，在y轴上有动点E，在直线L上有动点F，一只蚂蚁从P点出发，先经过y轴上点E，再到直线L上点F，最后到达点C，求蚂蚁爬行的最短路程，并求出点F的坐标；
（2）点G是BC的中点，将抛物线y＝2x2﹣7x+3沿x轴正方向平移得到新抛物线y′，y′经过点T，y′的顶点为点K．在新抛物线y′的对称轴上，是否存在一点Q，使得△KGQ为等腰三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）设点P的横坐标为t，可表达出点P和点Q的坐标，进而表达PQ的长度，求出当PQ长度取最大值时，t的值；求蚂蚁爬行的最短路程，作点P关于y轴的对称点P′，作点C关于直线L的对称点C′，连接P′C′，线段P′C′的长即为蚂蚁爬行的最短路程；求出直线P′C′的解析式，即可求出点F的坐标；
（2）由抛物线y＝2x2﹣7x+3可知点T的坐标为（，0），可得新抛物线y′向右平移了个单位，进而求出点K的坐标；当△KGQ为等腰三角形时，分别以KG＝KQ，GK＝GQ，QK＝QG进行讨论，求出点Q的坐标即可．
【解答】解：∵抛物线y＝2x2﹣7x+3与x轴交于A、B两点，交y轴于点C，对称轴L交抛物线于点D，与x轴交于点T．
∴A（，0），B（3，0），C（0，3），
∵y＝2x2﹣7x+3＝2（x﹣）2﹣，
∴对称轴L：x＝，顶点D（，﹣），T（，0）；
（1）设点P的横坐标为t，则P（t，2t2﹣7t+3），
∵B（3，0），C（0，3），
∴直线BC的表达式为：y＝﹣x+3，
∴Q（t，﹣t+3），
∴PQ＝﹣t+3﹣（2t2﹣7t+3）＝﹣2t2+6t＝﹣2（t﹣）2+，
∴当t＝时，PQ的长度去最大值，此时P（，﹣3），
如图，作点P关于y轴的对称点P′，作点C关于直线L的对称点C′，
则P′（﹣，﹣3），C′（，3），
∴P′C′＝＝，
直线P′C′的表达式为：y＝x﹣，
∴F（，）；
（2）∵y＝2x2﹣7x+3＝2（x﹣）2﹣，
∴A（，0），T（，0）；
∵B（3，0），C（0，3），点G是BC的中点，
∴G（，），
∵将抛物线y＝2x2﹣7x+3沿x轴正方向平移得到新抛物线y′，y′经过点T，y′的顶点为点K，
∴y′＝2（x﹣﹣）2﹣＝2（x﹣3）2﹣，
∴K（3，﹣），GK＝＝，
①当KG＝KQ时，如图1，
Q1（3，﹣+），Q2（3，﹣﹣）；
②当GK＝GQ时，如图2，过点G作GH⊥BK，则KH＝HQ3＝＝，
∴BQ3＝+＝，
∴Q3（3，）；
③当QK＝QG时，如图3，作GK的垂直平分线交BK于点Q4，过点G作GM⊥BK于点M，
∴GQ42＝MQ42+GM2，即（﹣MQ4）2＝MQ42+（）2，
解得，MQ4＝，
∴Q4（3，﹣）．
综上，当△KGQ为等腰三角形时，Q的坐标为：（3，﹣+）；（3，﹣﹣）；（3，）；（3，﹣）．
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日期：2021/8/11 12:02:48；用户：节节高5；邮箱：5jiejg@xyh.com；学号：37675298
2019-2020学年重庆市南川中学九年级（上）期末数学试卷
一、选择题：（每题4分，共计48分）
1．（4分）下列图形是我国国产品牌汽车的标识，在这些汽车标识中，是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（4分）方程x2﹣9＝0的根是（ ）
A．x＝﹣3 B．x1＝3，x2＝﹣3 C．x1＝x2＝3 D．x＝3
3．（4分）下列事件是必然事件的是（ ）
A．抛出一枚硬币，落地后正面朝上
B．NBA球员投篮10次，投中十次
C．10件产品中有2件次品，从中任意抽取3件，至少有一件是正品
D．明天会下雪
4．（4分）将抛物线y＝x2先向左平移3个单位再向下平移2个单位，得到新抛物线的表达式是（ ）
A．y＝（x+3）2+2 B．y＝（x+3）2﹣2 C．y＝（x﹣3）2+2 D．y＝（x﹣3）2﹣2
5．（4分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，以点C为圆心，AC长为半径作圆．则下列结论正确的是（ ）
A．点B在圆内
B．点B在圆上
C．点B在圆外
D．点B和圆的位置关系不确定
6．（4分）对于双曲线y＝，当x＞0时，y随x的增大而减小，则m的取值范围为（ ）
A．m＞0 B．m＞2 C．m＜0 D．m＜2
7．（4分）在一个不透明的口袋中，装有4个红球2个白球，它们除颜色外都相同，从中任意摸出一个球，摸到红球的概率为（ ）
A． B． C． D．
8．（4分）若关于x的一元二次方程kx2﹣4x+2＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＜2 B．k≠0 C．k＜2且k≠0 D．k＞2
9．（4分）某药品经过两次降价，每瓶零售价由200元降为128元，已知两次降价的百分率相同，设每次降价的百分率为x，根据题意列方程得（ ）
A．200（1﹣x）2＝128 B．200（1﹣x2）＝128
C．168（1﹣2x）＝108 D．168（1+x）2＝108
10．（4分）如图，PA、PB切⊙O于点A、B，PA＝8，CD切⊙O于点E，交PA、PB于C、D两点，则△PCD的周长是（ ）
A．8 B．16 C．18 D．20
11．（4分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，且a≠0）的图象如图所示，有下列说法：①abc＞0；②2a+b＝0；③a﹣b+c＞0；④8a+c＞0；⑤b2﹣4ac＞0；其中正确的是（ ）
A．①②③④ B．①②④⑤ C．①②③⑤ D．②③④⑤
12．（4分）如图所示，已知菱形OABC，点C在x轴上，直线y＝x经过点A，菱形OABC的面积是4，若反比例函数的图象经过点B，则此反比例函数表达式为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：（每题4分，共计24分）
13．（4分）反比例函数y＝，当自变量x＝﹣2时，函数值是 ．
14．（4分）如果抛物线y＝（m﹣3）x2的开口向上，那么m的取值范围是 ．
15．（4分）已知方程x2﹣10x+16＝0的两个根是一个等腰三角形的两边长，则这个等腰三角形的周长为 ．
16．（4分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝5，点D是线段AB的中点，分别以点A，B为圆心，AD为半径画弧，分别交AC，BC于点E，F．则阴影部分面积为 （结果保留π）．
17．（4分）在﹣3、﹣2、﹣1、0、1、2、3这七个数中，随机取出一个数记为a，那么使得关于x的二次函数y＝x2+（3﹣a）x+2的图象与x轴有交点，且使得关于x的方程有整数解的概率为 ．
18．（4分）网红重庆迎来了无数中外游客，重庆小火锅自助餐备受青睐．北京的小张、小王、小李来到重庆后，到某单人小火锅就餐，该店有n种配菜可以选择，每种配菜都有大盘菜、中盘菜、小盘菜这三种菜，价格分别为a元、b元、3元，3＜b＜a≤8，a、b都为正整数，每个人都选择了n种配菜，而且对每一种配菜只选择一个盘，三个人在分量上选择都各不相同，结账时，小张、小王都花费了53元，但他们在大盘菜的花费上各不相同，而小李共花费了54元，那么小李在中盘菜上花费了 元．
三、解答题：（每题10分，共计70分）
19．（10分）解方程：
（1）2x2+x﹣5＝0；（公式法）
（2）x2+6x+4＝0；（配方法）
20．（10分）如图，直线y＝ax+b与反比例函数（x＜0）的图象交于点A，B，与x轴交于点C，其中点A的坐标为（﹣2，4），点B的横坐标为﹣4．
（1）试确定反比例函数的关系式；
（2）求一次函数的关系式；
（3）求△AOC的面积．
21．（10分）为庆祝建国70周年，推出许多新影片，全国人民掀起了看电影的热潮．为此，某电影公司派出了若干业务员到几个社区作随机调查，了解市民对电影A《中国机长》、B《我和我的祖国》、C《决胜时刻》、D《烈火英雄》的喜爱程度．业务员小王，将自己的调查结果进行分类并绘制成如下的统计图，请你结合图中所给信息解答下列问题：（说明：A《中国机长》、B《我和我的祖国》、C《决胜时刻》、D《烈火英雄》）
（1）请把条形统计图补充完整；扇形统计图中D类所在的扇形的圆心角度数是 ；
（2）小易打算从喜欢《我和我的祖国》的5位山城人民（两男三女）中，抽取两人分别赠送电影票一张，问抽到一男一女的概率是多少？
22．（10分）阅读下面的例题：
解方程：x2﹣|x|﹣2＝0
当x≥0时，原方程化为x2﹣x﹣2＝0，解得：x1＝2或x2＝﹣1（不合题意舍去）
当x≤0时，原方程化为x2+x﹣2＝0，解得：x1＝﹣2或x2＝1（不合题意舍去）
所以，原方程的根是x1＝2或x2＝﹣2．
请参照例题解方程：
（1）x2﹣|x|﹣6＝0；
（2）x2﹣|x﹣5|﹣5＝0．
23．（10分）已知函数y＝+b（a、b为常数且a≠0）中，当x＝2时，y＝4；当x＝﹣1时，y＝1．请对该函数及其图象进行如下探究：
（1）求该函数的解析式，并直接写出该函数自变量x的取值范围；
（2）请直接在直角坐标系中画出该函数和y＝2x的图象，结合函数的图象，直接写出不等式+b≤2x的解集．
24．（10分）建国七十周年，国庆来临之际，小唐看准商机，从厂家购进A，B两款爱国文化衫进行销售，小唐连续两周，每周都用8000元购进200件A款和100件B款文化衫．
（1）小唐在第一周销售时，每件A款的售价比每件B款的售价的2倍少10元，且两种文化衫在一周之内全部售完，毛利润为5000元．小唐销售A款文化衫每件多少元？
（2）小唐在第二周销售时，受到各种因素的影响，每件A款的售价比第一周A款的售价增加了2.5a%，但A款的销量比第一周A款的销量下降了a%；每件B款的售价比第一周B款的售价下降了a%，B款全部售完，结果第二周的总销售量额为13200元，求a的值．
25．（10分）如图，正方形ABCD中，点E是BC边延长线上的任一点，AE交CD于点G，∠AEB绕点E逆时针旋转后点B的对应点B′落在AE上，另一边EA′交CD的延长线于点F．
（1）如图1，若正方形ABCD的边长为2，∠AEB＝30°，求线段DF的长；
（2）如图2，若点G是CD的中点时，过点G作GH⊥AF于点H，求证：BC＝2DH．
26．（10分）如图，抛物线y＝2x2﹣7x+3与x轴交于A、B两点，交y轴于点C，对称轴L交抛物线于点D，与x轴交于点T．
（1）如图，点P是直线BC下方抛物线上的点，过点P作直线PQ∥L交直线BC于点Q，当PQ的长度取最大值时，在y轴上有动点E，在直线L上有动点F，一只蚂蚁从P点出发，先经过y轴上点E，再到直线L上点F，最后到达点C，求蚂蚁爬行的最短路程，并求出点F的坐标；
（2）点G是BC的中点，将抛物线y＝2x2﹣7x+3沿x轴正方向平移得到新抛物线y′，y′经过点T，y′的顶点为点K．在新抛物线y′的对称轴上，是否存在一点Q，使得△KGQ为等腰三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
2019-2020学年重庆市南川中学九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（每题4分，共计48分）
1．（4分）下列图形是我国国产品牌汽车的标识，在这些汽车标识中，是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据中心对称图形的定义和图形的特点即可求解．
【解答】解：由中心对称图形的定义知，绕一个点旋转180°后能与原图重合，只有选项B是中心对称图形．
故选：B．
2．（4分）方程x2﹣9＝0的根是（ ）
A．x＝﹣3 B．x1＝3，x2＝﹣3 C．x1＝x2＝3 D．x＝3
【分析】首先把常数项9移到方程的右边，再两边直接开平方即可．
【解答】解：移项得：x2＝9，
两边直接开平方得：x＝±3，
即x1＝3，x2＝﹣3．
故选：B．
3．（4分）下列事件是必然事件的是（ ）
A．抛出一枚硬币，落地后正面朝上
B．NBA球员投篮10次，投中十次
C．10件产品中有2件次品，从中任意抽取3件，至少有一件是正品
D．明天会下雪
【分析】根据随机事件的意义进行判断即可．
【解答】解：A．抛出一枚硬币，落地后可能正面朝上，也可能反面朝上，因此“抛出一枚硬币，落地后正面朝上”是随机事件，故A不符合题意；
B．NBA球员投篮10次，也不一定中十次，因此“NBA球员投篮10次，投中十次”不是必然事件，故B不符合题意；
C．根据“抽屉”原理可知，“10件产品中有2件次品，从中任意抽取3件，至少有一件是正品”是必然事件，故C符合题意；
D．明天可能会下雪，也可能不下雪，因此“明天会下雪”是随机事件，不是必然事件，故D不符合题意；
故选：C．
4．（4分）将抛物线y＝x2先向左平移3个单位再向下平移2个单位，得到新抛物线的表达式是（ ）
A．y＝（x+3）2+2 B．y＝（x+3）2﹣2 C．y＝（x﹣3）2+2 D．y＝（x﹣3）2﹣2
【分析】按照“左加右减，上加下减”的规律，即可得出平移后抛物线的解析式．
【解答】解：将抛物线y＝x2先向左平移3个单位再向下平移2个单位，得到新抛物线的表达式是y＝（x+3）2﹣2．
故选：B．
5．（4分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，以点C为圆心，AC长为半径作圆．则下列结论正确的是（ ）
A．点B在圆内
B．点B在圆上
C．点B在圆外
D．点B和圆的位置关系不确定
【分析】欲求圆与B的位置关系，关键是求出点B到圆心的距离d，再与r进行比较．若d＜r，则Bz在圆内；若d＝r，则B在圆内；若d＞r，则B在圆外．
【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，
∴AC＞BC，
∴R＞d，
∴点B在圆内．
故选：A．
6．（4分）对于双曲线y＝，当x＞0时，y随x的增大而减小，则m的取值范围为（ ）
A．m＞0 B．m＞2 C．m＜0 D．m＜2
【分析】根据反比例函数的单调性结合反比例函数的性质，即可得出反比例函数系数的正负，由此即可得出关于m的一元一次不等式，解不等式即可得出结论．
【解答】解：∵双曲线y＝，当x＞0时，y随x的增大而减小，
∴2﹣m＞0，
解得：m＜2．
故选：D．
7．（4分）在一个不透明的口袋中，装有4个红球2个白球，它们除颜色外都相同，从中任意摸出一个球，摸到红球的概率为（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据概率的意义求解即可．
【解答】解：共有6个球，其中红球有4个，因此红球占总数的＝，
所以从中任意摸出一个球，摸到红球的概率为，
故选：D．
8．（4分）若关于x的一元二次方程kx2﹣4x+2＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＜2 B．k≠0 C．k＜2且k≠0 D．k＞2
【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式△的意义得到k≠0且△＞0，即（﹣4）2﹣4×k×2＞0，然后解不等式即可得到k的取值范围．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程kx2﹣4x+2＝0有两个不相等的实数根，
∴k≠0且△＞0，即（﹣4）2﹣4×k×2＞0，
解得k＜2且k≠0．
∴k的取值范围为k＜2且k≠0．
故选：C．
9．（4分）某药品经过两次降价，每瓶零售价由200元降为128元，已知两次降价的百分率相同，设每次降价的百分率为x，根据题意列方程得（ ）
A．200（1﹣x）2＝128 B．200（1﹣x2）＝128
C．168（1﹣2x）＝108 D．168（1+x）2＝108
【分析】根据该药品的原价及经过两次降价后的价格，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：依题意得：200（1﹣x）2＝128．
故选：A．
10．（4分）如图，PA、PB切⊙O于点A、B，PA＝8，CD切⊙O于点E，交PA、PB于C、D两点，则△PCD的周长是（ ）
A．8 B．16 C．18 D．20
【分析】根据切线长定理即可得结论．
【解答】解：∵PA、PB切⊙O于点A、B，
∴PB＝PA＝8，
∵CD切⊙O于点E，交PA、PB于C、D两点，
∴CA＝CE，DB＝DE，
∴PC+CD+PD＝PC+CE+DE+PD＝PC+CA+DB+PD＝PA+PB＝8+8＝16．
则△PCD的周长是16．
故选：B．
11．（4分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，且a≠0）的图象如图所示，有下列说法：①abc＞0；②2a+b＝0；③a﹣b+c＞0；④8a+c＞0；⑤b2﹣4ac＞0；其中正确的是（ ）
A．①②③④ B．①②④⑤ C．①②③⑤ D．②③④⑤
【分析】根据图象的开口可确定a，结合对称轴可确定b，根据图象与y轴的交点位置可确定c，根据图象与x轴的交点个数可确定△；根据当x＝﹣1时，y＜0当x＝﹣2时，y＞0；即可得出结论．
【解答】解：∵开口向上，
∴a＞0，
∵与y轴交于负半轴，
∴c＜0，
∵对称轴在y轴右侧，
∴b＜0，
∴abc＞0，故①正确；
∵二次函数的对称轴是直线x＝1，即二次函数的顶点的横坐标为x＝﹣＝1，
∴2a+b＝0，故②正确；
由函数的图象知：当x＝﹣1时，y＜0；即a﹣b+c＜0，故③错误；
由函数的图象知：当x＝﹣2时，y＞0；即4a﹣（﹣4a）+c＝8a+c＞0，故④正确；
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，故⑤正确；
故选：B．
12．（4分）如图所示，已知菱形OABC，点C在x轴上，直线y＝x经过点A，菱形OABC的面积是4，若反比例函数的图象经过点B，则此反比例函数表达式为（ ）
A． B． C． D．
【分析】由四边形OABC菱形，直线y＝x经过点A，可得∠AOC＝∠BCD＝45°，再作垂线构造等腰直角三角形，设出边长，根据菱形的面积可求出等腰直角三角形的边长，进而确定点B的坐标，进而确定反比例函数的关系式．
【解答】解：过点B作BD⊥x轴，朱为D，
∵四边形OABC菱形，直线y＝x经过点A，
∴∠AOC＝∠BCD＝45°，
∴CD＝BD，
设CD＝BD＝x，则BC＝x＝OC，
∵菱形OABC的面积是4，
∴OC•BD＝4，
即x•x＝4，
解得x1＝2，x2＝﹣2＜0（舍去）
∴BC＝OC＝2，
∴OD＝OC+CD＝2+2，
∴点B（2+2，2），
又∵点B在反比例函数y＝的图象上，
∴k＝2×（2+2）＝4+4，
∴反比例函数的关系式为y＝，
故选：C．
二、填空题：（每题4分，共计24分）
13．（4分）反比例函数y＝，当自变量x＝﹣2时，函数值是 ﹣3 ．
【分析】直接把x＝﹣2代入关系式y＝，求出y的值即可．
【解答】解：∵y＝，
∴当x＝﹣2时，y＝＝﹣3．
故答案为：﹣3．
14．（4分）如果抛物线y＝（m﹣3）x2的开口向上，那么m的取值范围是 m＞3 ．
【分析】根据二次函数的性质可知，当抛物线开口向上时，二次项系数m﹣3＞0．
【解答】解：因为抛物线y＝（m﹣3）x2的开口向上，
所以m﹣3＞0，即m＞3，故m的取值范围是m＞3．
故答案为m＞3．
15．（4分）已知方程x2﹣10x+16＝0的两个根是一个等腰三角形的两边长，则这个等腰三角形的周长为 18 ．
【分析】先解方程的两根，再由三角形的三边关系定理确定三角形的周长．
【解答】解：解方程x2﹣10x+16＝0可得x＝2或x＝8，
∴等腰三角形的两边长为2或8，
当底为2时，则等腰三角形的三边长为2、8、8，满足三角形三边关系，此时等腰三角形的周长为18；
当底为8时，则等腰三角形的三边长为8、2、2，2+2＜8，不满足三角形三边关系；
∴等腰三角形的周长为18，
故答案为18．
16．（4分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝5，点D是线段AB的中点，分别以点A，B为圆心，AD为半径画弧，分别交AC，BC于点E，F．则阴影部分面积为 ﹣π （结果保留π）．
【分析】利用等腰直角三角形的性质得出AD，BD的长，再利用扇形面积求法以及直角三角形面积求法得出答案．
【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝BC＝5，点D是线段AB的中点，
∴AD＝BD＝，
∴阴影部分面积为：AC•BC﹣2×＝﹣π．
故答案为：﹣π．
17．（4分）在﹣3、﹣2、﹣1、0、1、2、3这七个数中，随机取出一个数记为a，那么使得关于x的二次函数y＝x2+（3﹣a）x+2的图象与x轴有交点，且使得关于x的方程有整数解的概率为 ．
【分析】首先确定得关于x的二次函数y＝x2+（3﹣a）x+2的图象与x轴有交点，且使得关于x的方程有整数解的a的值，然后利用概率公式求解即可．
【解答】解：∵关于x的二次函数y＝x2+（3﹣a）x+2的图象与x轴有交点，
∴△＝（3﹣a）2﹣4×1×2＝a2﹣6a+1≥0，
解得：a≤3﹣2或a≥3+2，
∴a可取﹣3，﹣2，﹣1，0，
把方程化为整式方程得x+a﹣3（x﹣2）＝﹣1，
解得x＝a+3.5，
∵x﹣2≠0，
则a+3.5≠2，
解得a≠﹣3，
当a＝﹣3、﹣1、1、3时，x＝a+3.5为整数，
∴满足条件的a的值为﹣1、1、3，
∴使得关于x的二次函数y＝x2+（3﹣a）x+2的图象与x轴有交点，且使得关于x的方程有整数解的a的值有﹣1，
∴P（使得关于x的二次函数y＝x2+（3﹣a）x+2的图象与x轴有交点，且使得关于x的方程有整数解）＝．
故答案为：．
18．（4分）网红重庆迎来了无数中外游客，重庆小火锅自助餐备受青睐．北京的小张、小王、小李来到重庆后，到某单人小火锅就餐，该店有n种配菜可以选择，每种配菜都有大盘菜、中盘菜、小盘菜这三种菜，价格分别为a元、b元、3元，3＜b＜a≤8，a、b都为正整数，每个人都选择了n种配菜，而且对每一种配菜只选择一个盘，三个人在分量上选择都各不相同，结账时，小张、小王都花费了53元，但他们在大盘菜的花费上各不相同，而小李共花费了54元，那么小李在中盘菜上花费了 16或32 元．
【分析】由题意，三人各不相同，说明每一种菜的各类都被三人吃了，所以53+53+54＝160应是每一种菜品的总价的整数倍，即（3+a+b）m＝160，根据题意求出整数解，推出a＝8，b＝5，m＝10，设丙在大盘菜上花费x份，中盘菜花费y份，由题意8x+5y+3（10﹣x﹣y）＝54，求出方程的整数解即可解决问题．
【解答】解：由题意，三人各不相同，说明每一种菜的各类都被三人吃了，
所以53+53+54＝160应是每一种菜品的总价的整数倍，
即（3+a+b）m＝160，
∵3＜b＜a≤8，a、b都为正整数，
可知：a＝8，b＝5，m＝10，
设丙在大盘菜上花费x份，中盘菜花费y份，
由题意8x+5y+3（10﹣x﹣y）＝54，
∴5x+2y＝24，
∴x＝2，y＝7或x＝4，y＝2，
2×8＝16，4×8＝32，
故答案为：16或32．
三、解答题：（每题10分，共计70分）
19．（10分）解方程：
（1）2x2+x﹣5＝0；（公式法）
（2）x2+6x+4＝0；（配方法）
【分析】（1）方程利用公式法求出解即可；
（2）方程利用配方法求出解即可．
【解答】解：（1）这里a＝2，b＝1，c＝﹣5，
∴b2﹣4ac＝1+40＝41＞0，
解得：x＝＝，
即x1＝，x2＝；
（2）方程整理得：x2+6x＝﹣4，
配方得：x2+6x+9＝5，即（x+3）2＝5，
开方得：x+3＝±，
解得：x1＝﹣3+，x2＝﹣3﹣．
20．（10分）如图，直线y＝ax+b与反比例函数（x＜0）的图象交于点A，B，与x轴交于点C，其中点A的坐标为（﹣2，4），点B的横坐标为﹣4．
（1）试确定反比例函数的关系式；
（2）求一次函数的关系式；
（3）求△AOC的面积．
【分析】（1）直接把A点坐标（﹣2，4）代入y＝可求出k的值，从而确定反比例函数解析式；
（2）由A（﹣2，4）和B（﹣4，2），利用待定系数法可确定一次函数的解析式；
（3）先利用直线解析式确定C点坐标，然后利用三角形面积公式计算△AOC的面积．
【解答】解：（1）把A（﹣2，4）代入y＝得k＝﹣2×4＝﹣8，
所以反比例函数解析式为y＝﹣；
（2）把x＝﹣4代入y＝﹣得y＝2，
所以B点坐标为（﹣4，2），
把A（﹣2，4）和B（﹣4，2）代入y＝ax+b得，解方程组得，
所以一次函数的解析式为y＝x+6；
（3）对y＝x+6，令y＝0，则x+6＝0，解得x＝﹣6，
所以C点坐标为（﹣6，0），
所以S△AOC＝×6×4＝12．
21．（10分）为庆祝建国70周年，推出许多新影片，全国人民掀起了看电影的热潮．为此，某电影公司派出了若干业务员到几个社区作随机调查，了解市民对电影A《中国机长》、B《我和我的祖国》、C《决胜时刻》、D《烈火英雄》的喜爱程度．业务员小王，将自己的调查结果进行分类并绘制成如下的统计图，请你结合图中所给信息解答下列问题：（说明：A《中国机长》、B《我和我的祖国》、C《决胜时刻》、D《烈火英雄》）
（1）请把条形统计图补充完整；扇形统计图中D类所在的扇形的圆心角度数是 36° ；
（2）小易打算从喜欢《我和我的祖国》的5位山城人民（两男三女）中，抽取两人分别赠送电影票一张，问抽到一男一女的概率是多少？
【分析】（1）先根据A种类人数及其所占百分比求出被调查的总人数，再由四个种类人数之和等于总人数求出D种类的人数，据此可补全图形，最后用360°乘以D种类人数所占比例；
（2）用列表法求出总的事件所发生的数目，再根据概率公式即可求出刚好抽到一男一女的概率．
【解答】解：（1）∵被调查的总人数为10÷20%＝50（人），
∴D种类的人数为50﹣（10+23+12）＝5（人），
补全图形如下：
扇形统计图中D类所在的扇形的圆心角度数是360°×＝36°，
故答案为：36°；
（2）根据题意列表如下：
女1
女2
女3
男1
男2
女1
女1女2
女1女3
男1女1
男2女1
女2
女1女2
女2女3
男1女2
男2女2
女3
女1女3
女3女2
男1女3
男2女3
男1
男1女1
男2女1
男3女1
男1男2
男2
男1女2
男2女2
男3女2
男1男2
由表可知总有20种等可能性结果，其中抽到一男一女的情况有12种，
所以抽到一男一女的概率为＝．
22．（10分）阅读下面的例题：
解方程：x2﹣|x|﹣2＝0
当x≥0时，原方程化为x2﹣x﹣2＝0，解得：x1＝2或x2＝﹣1（不合题意舍去）
当x≤0时，原方程化为x2+x﹣2＝0，解得：x1＝﹣2或x2＝1（不合题意舍去）
所以，原方程的根是x1＝2或x2＝﹣2．
请参照例题解方程：
（1）x2﹣|x|﹣6＝0；
（2）x2﹣|x﹣5|﹣5＝0．
【分析】（1）分类讨论：当x≥0时，原方程化为：x2﹣3x+2＝0；当x＜0时，原方程化为：x23x+2＝0，然后分别利用因式分解法解两一元二次方程即可．
（2）分类讨论：当x≥5，原方程化为x2﹣x＝0，当x＜5时，原方程化为x2+x﹣10＝0，然后分别利用求根公式法解方程，然后确定原方程的解．
【解答】解：（1）当x≥0时，原方程化为：x2﹣x﹣6＝0，解得x1＝3，x2＝﹣2（舍去），
当x＜0时，原方程化为：x2+x﹣6＝0，解得x1＝﹣3，x2＝2（舍去）
所以，原方程的根是x1＝3，x2＝﹣3；
（2）当x﹣5≥0即 x≥5时，原方程化为x2﹣（x﹣5）﹣5＝0 即x2﹣x＝0，
解得x1＝0，x2＝1，不合题意舍去；
当x﹣5＜0即x＜5时，原方程化为x2+（x﹣5）﹣5＝0 即x2+x﹣10＝0，
解得x1＝，x2＝，
∴原方程的根为x1＝，x2＝．
23．（10分）已知函数y＝+b（a、b为常数且a≠0）中，当x＝2时，y＝4；当x＝﹣1时，y＝1．请对该函数及其图象进行如下探究：
（1）求该函数的解析式，并直接写出该函数自变量x的取值范围；
（2）请直接在直角坐标系中画出该函数和y＝2x的图象，结合函数的图象，直接写出不等式+b≤2x的解集．
【分析】（1）根据题意解方程组即可得到结论；
（2）利用描点法画出图象，利用图象即可解决问题．
【解答】解：（1）把x＝2时，y＝4；x＝﹣1时，y＝1代入y＝+b得，
解得，
∴该函数的解析式为y＝+2（x≠1）；
（2）列表：
x
…
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
2
3
4
5
6
……
y
…
1
0
﹣2
6
4
3
……
描点、连线画出函数图象如图：
由图象可知y＝+2与y＝2x的交点为（0，0），（2，4），
结合函数图象y＝+2≤2x的解集为0≤x＜1或x≥2．
24．（10分）建国七十周年，国庆来临之际，小唐看准商机，从厂家购进A，B两款爱国文化衫进行销售，小唐连续两周，每周都用8000元购进200件A款和100件B款文化衫．
（1）小唐在第一周销售时，每件A款的售价比每件B款的售价的2倍少10元，且两种文化衫在一周之内全部售完，毛利润为5000元．小唐销售A款文化衫每件多少元？
（2）小唐在第二周销售时，受到各种因素的影响，每件A款的售价比第一周A款的售价增加了2.5a%，但A款的销量比第一周A款的销量下降了a%；每件B款的售价比第一周B款的售价下降了a%，B款全部售完，结果第二周的总销售量额为13200元，求a的值．
【分析】（1）设小唐销售A款的价格为每件x元，则B款的价格为每件（2x﹣10）元，由题意得等量关系：A款的总售价+B款的总售价＝8000+5000，根据等量关系列出方程，再解即可．
（2）A款的原售价×（1+2.5a%）×原销量×（1﹣a%）+B款的原售价×（1﹣a%）×销量＝总销售量额13200元，根据等量关系，列出方程，再解即可．
【解答】解：（1）设小唐销售A款的价格为每件x元，则B款的价格为每件（2x﹣10）元，
100×（2x﹣10）+200x＝8000+5000，
解得：x＝35，
答：小唐销售A款的价格为每件35元；
（2）由题意得：35（1+2.5a%）×200（1﹣a%）+100（1﹣a%）×（2×35﹣10）＝13200，
令a%＝m，整理得：175m2﹣45m+2＝0，
解得，m＝或
∴a＝20或，
答：a的值为20或．
25．（10分）如图，正方形ABCD中，点E是BC边延长线上的任一点，AE交CD于点G，∠AEB绕点E逆时针旋转后点B的对应点B′落在AE上，另一边EA′交CD的延长线于点F．
（1）如图1，若正方形ABCD的边长为2，∠AEB＝30°，求线段DF的长；
（2）如图2，若点G是CD的中点时，过点G作GH⊥AF于点H，求证：BC＝2DH．
【分析】（1）根据DF＝FG﹣DG，求出DG、FG的长即解决问题．
（2）如图2中，作AM⊥EF于M，HN⊥CF于N，HJ⊥AD于J．首先证明∠HAG＝45°，四边形HJDN是正方形，设边长为b，正方形ABC的边长为2a，则DG＝a，AJ＝GN＝a+b＝2a﹣b，推出a＝2b，求出CE、DH用b表示，即可解决问题．
【解答】（1）解：如图1中，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝2，∠B＝∠BCD＝∠DCE＝90°，
∵∠AEB＝∠A′EA＝30°，
∴BE＝AB＝2，EC＝BE﹣BC＝2﹣2，
∴CG＝EC•tan30°＝2﹣，GE＝2GC＝4﹣，DG＝CD﹣CG＝，
∵∠CGE＝∠A′EA+∠GFE＝60°，
∴∠GFE＝∠GEF＝30°，
∴FG＝GE＝4﹣，
∴DF＝GF﹣DG＝4﹣﹣＝4﹣2．
（2）证明：如图2中，作AM⊥EF于M，HN⊥CF于N，HJ⊥AD于J．
∵AD∥BE，
∴∠DAG＝∠BEG＝∠AEF，
∵AB⊥BE，AM⊥EM，
∴AB＝AM＝AD，
在Rt△AFM和Rt△AFD中，
，
∴Rt△AFM≌Rt△AFD（HL），
∴∠MAF＝∠FAD，
∵∠MAE+∠MEA＝90°，
∴2∠FAD+2∠DAG＝90°，
∴∠FAD+∠DAG＝45°，
∴∠HAG＝45°，
∵GH⊥AF，
∴∠HAG＝∠HGA＝45°，
∴AH＝GH，
∵∠FAD+∠AFD＝90°，∠HGF+∠HFG＝90°，
∴∠HAJ＝∠HGN，
∴△AHJ≌△GHN（AAS），
∴JH＝HN，
∵四边形HJDN是矩形，
∴四边形HJDN是正方形，设边长为b，正方形ABCD的边长为2a，则DG＝a，AJ＝GN＝a+b＝2a﹣b，
∴a＝2b，
∵AD∥CE，
∴＝，
∵DG＝GC，
∴AD＝CE＝2a＝4b，
∵DH＝b，
∴b＝DH，
∴CE＝4•DH＝2DH，
∵BC＝AD＝CE，
∴BC＝2DH．
26．（10分）如图，抛物线y＝2x2﹣7x+3与x轴交于A、B两点，交y轴于点C，对称轴L交抛物线于点D，与x轴交于点T．
（1）如图，点P是直线BC下方抛物线上的点，过点P作直线PQ∥L交直线BC于点Q，当PQ的长度取最大值时，在y轴上有动点E，在直线L上有动点F，一只蚂蚁从P点出发，先经过y轴上点E，再到直线L上点F，最后到达点C，求蚂蚁爬行的最短路程，并求出点F的坐标；
（2）点G是BC的中点，将抛物线y＝2x2﹣7x+3沿x轴正方向平移得到新抛物线y′，y′经过点T，y′的顶点为点K．在新抛物线y′的对称轴上，是否存在一点Q，使得△KGQ为等腰三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）设点P的横坐标为t，可表达出点P和点Q的坐标，进而表达PQ的长度，求出当PQ长度取最大值时，t的值；求蚂蚁爬行的最短路程，作点P关于y轴的对称点P′，作点C关于直线L的对称点C′，连接P′C′，线段P′C′的长即为蚂蚁爬行的最短路程；求出直线P′C′的解析式，即可求出点F的坐标；
（2）由抛物线y＝2x2﹣7x+3可知点T的坐标为（，0），可得新抛物线y′向右平移了个单位，进而求出点K的坐标；当△KGQ为等腰三角形时，分别以KG＝KQ，GK＝GQ，QK＝QG进行讨论，求出点Q的坐标即可．
【解答】解：∵抛物线y＝2x2﹣7x+3与x轴交于A、B两点，交y轴于点C，对称轴L交抛物线于点D，与x轴交于点T．
∴A（，0），B（3，0），C（0，3），
∵y＝2x2﹣7x+3＝2（x﹣）2﹣，
∴对称轴L：x＝，顶点D（，﹣），T（，0）；
（1）设点P的横坐标为t，则P（t，2t2﹣7t+3），
∵B（3，0），C（0，3），
∴直线BC的表达式为：y＝﹣x+3，
∴Q（t，﹣t+3），
∴PQ＝﹣t+3﹣（2t2﹣7t+3）＝﹣2t2+6t＝﹣2（t﹣）2+，
∴当t＝时，PQ的长度去最大值，此时P（，﹣3），
如图，作点P关于y轴的对称点P′，作点C关于直线L的对称点C′，
则P′（﹣，﹣3），C′（，3），
∴P′C′＝＝，
直线P′C′的表达式为：y＝x﹣，
∴F（，）；
（2）∵y＝2x2﹣7x+3＝2（x﹣）2﹣，
∴A（，0），T（，0）；
∵B（3，0），C（0，3），点G是BC的中点，
∴G（，），
∵将抛物线y＝2x2﹣7x+3沿x轴正方向平移得到新抛物线y′，y′经过点T，y′的顶点为点K，
∴y′＝2（x﹣﹣）2﹣＝2（x﹣3）2﹣，
∴K（3，﹣），GK＝＝，
①当KG＝KQ时，如图1，
Q1（3，﹣+），Q2（3，﹣﹣）；
②当GK＝GQ时，如图2，过点G作GH⊥BK，则KH＝HQ3＝＝，
∴BQ3＝+＝，
∴Q3（3，）；
③当QK＝QG时，如图3，作GK的垂直平分线交BK于点Q4，过点G作GM⊥BK于点M，
∴GQ42＝MQ42+GM2，即（﹣MQ4）2＝MQ42+（）2，
解得，MQ4＝，
∴Q4（3，﹣）．
综上，当△KGQ为等腰三角形时，Q的坐标为：（3，﹣+）；（3，﹣﹣）；（3，）；（3，﹣）．
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日期：2021/8/11 12:02:48；用户：节节高5；邮箱：5jiejg@xyh.com；学号：37675298
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