解答压轴题2016-2020年成都数学中考真题汇编
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- 在平面直角坐标系 中，已知抛物线 与 轴交于 ， 两点，与 轴交于点 ．
(1) 求抛物线的函数表达式；
(2) 如图 ，点 为第四象限抛物线上一点，连接 ， 交于点 ，连接 ，记 的面积为 ， 的面积为 ，求 的最大值；
(3) 如图 ，连接 ，，过点 作直线 ，点 ， 分别为直线 和抛物线上的点．试探究：在第一象限是否存在这样的点 ，，使 ．若存在，请求出所有符合条件的点 的坐标；若不存在，请说明理由．
- 如图，抛物线 经过点 ，与 轴相交于 ， 两点．
(1) 求抛物线的函数表达式；
(2) 点 在抛物线的对称轴上，且位于 轴的上方，将 沿直线 翻折得到 ，若点 恰好落在抛物线的对称轴上，求点 和点 的坐标；
(3) 设 是抛物线上位于对称轴右侧的一点，点 在抛物线的对称轴上，当 为等边三角形时，求直线 的函数表达式．
- 如图，在平面直角坐标系 中，以直线 为对称轴的抛物线 与直线 交于 ， 两点，与 轴交于 ，直线 与 轴交于 点．
(1) 求抛物线的函数表达式；
(2) 设直线 与抛物线的对称轴的交点为 ， 是抛物线上位于对称轴右侧的一点，若 ，且 与 面积相等，求点 的坐标；
(3) 若在 轴上有且仅有一点 ，使 ，求 的值．
- 如图 ，在平面直角坐标系 中，抛物线 ： 与 轴相交于 ， 两点，顶点为 ，，设点 是 轴的正半轴上一点，将抛物线 绕点 旋转 ，得到新的抛物线 ．
(1) 求抛物线 的函数表达式；
(2) 若抛物线 与抛物线 在 轴的右侧有两个不同的公共点，求 的取值范围．
(3) 如图 ， 是第一象限内抛物线 上一点，它到两坐标轴的距离相等，点 在抛物线 上的对应点 ，设 是 上的动点， 是 上的动点，试探究四边形 能否成为正方形？若能，求出 的值；若不能，请说明理由．
- 如图，在平面直角坐标系 中，抛物线 与 轴交于 ， 两点（点 在点 左侧），与 轴交于点 ，顶点为 ，对称轴与 轴交于点 ．过点 的直线 交抛物线于 ， 两点，点 在 轴右侧．
(1) 求 的值及点 ， 的坐标；
(2) 当直线 将四边形 分为面积比为 的两部分时，求直线 的函数表达式；
(3) 当点 位于第二象限时，设 的中点为 ，点 在抛物线上，则以 为对角线的四边形 能否成为菱形？若能，求出点 的坐标；若不能，请说明理由．
答案
1. 【答案】
(1) 抛物线的函数表达式为 ．
(2) 过点 作 轴于点 ，交 于点 ，过点 作 轴交 的延长线于点 ．
可得 ．
可求得直线 的表达式为 ，
．
设点 ，则可得 ．
从而可得 ．
当 时， 有最大值 ．
（注：也可过点 作 轴垂线或过点 作 垂线将面积比转化为线段比求解．）
(3) 符合条件的点 的坐标为 或 ．
由（）可得直线 的表达式为 ．设点 的坐标为 ．
①当点 在直线 右侧时，如图．
可证得 ．
可得点 的坐标为 ．
此时点 的坐标为 ．
②当点 在直线 左侧时．
由①的方法同理可得点 的坐标为 ．
此时点 的坐标为 ．
2. 【答案】
(1) 由题意得：
解得
抛物线的函数表达式为 ．
(2) 抛物线与 轴交于 ，，
，抛物线的对称轴为直线 ，
如图，设抛物线的对称轴与 轴交于点 ，则 点的坐标为 ，，
由翻折得 ，
在 中，由勾股定理，得 ，
点 的坐标为 ，，
，
由翻折得 ，
在 中，，
点 的坐标为 ．
(3) 取（）中的点 ，，连接 ，
，，
为等边三角形．分类讨论如下：
当点 在 轴的上方时，点 在 轴上方，连接 ，．
， 为等边三角形，
，，，
，
，
．
点 在抛物线的对称轴上，
，
，
又 ，
垂直平分 ，
由翻折可知 垂直平分 ，
点 在直线 上，
设直线 的函数表达式为 ，
则 解得
直线 的函数表达式为 ．
当点 在 轴的下方时，点 在 轴下方．
， 为等边三角形，
，，．
，
，
，
，，
．
，
设 与 轴相交于点 ，
在 中，
点 的坐标为 ．
设直线 的函数表达式为 ，
则 解得
直线 的函数表达式为 ．
综上所述，直线 的函数表达式为 或 ．
3. 【答案】
(1) 由题可得：
解得
二次函数解析式为：．
(2) 作 轴， 轴，垂足分别为 ，，设抛物线对称轴与 轴交于点 ，如图，
则 ，
，
，，
解得
，．
同理，．
，
① （ 在 下方），，
，即 ，
，．
，
，
．
② 在 上方时，直线 与 关于 对称，
，
，
，
，
，
．
综上所述，点 坐标为 ，．
(3) 由题意可得：，
，
，
，即 ．
，，
．
设 的中点为 ，
点有且只有一个，
以 为直径的圆与 轴只有一个交点，且 为切点，
轴，
为 的中点，
．
，
，
，
，
即 ，，
，
．
4. 【答案】
(1) 由题意抛物线的顶点 ，，设抛物线的解析式为 ，把 代入可得 ，
所以抛物线 的函数表达式为 ．
(2) 由题意抛物线 的顶点坐标为 ，设抛物线 的解析式为 ，
由 消去 得到 ，
由题意，抛物线 与抛物线 在 轴的右侧有两个不同的公共点，则有
解得 ，
所以满足条件的 的取值范围为 ．
(3) 结论：四边形 能成为正方形．
理由：情形 ，如图 ，作 轴于 ， 轴于 ．
由题意易知 ，当 是等腰直角三角形时，四边形 是正方形，
所以 ，，易证 ，可得 ，，
所以 ，
因为点 在 上，
所以 ，解得 或 （舍去），
所以 时，四边形 是正方形．
情形 ，如图 ，
四边形 是正方形，同法可得 把 代入 中，，解得 或 （舍去），
所以 时，四边形 是正方形．
所以 或 时，四边形 是正方形．
5. 【答案】
(1) 抛物线 与 轴交于点 ．
，
解得：，
．
当 时，有 ，
，，
，．
(2) ，，，，
从面积分析知，直线 只能与边 或 相交，
所以有两种情况：
① 当直线 边 相交于点 时，则 ，
，
，点 ，过点 和 的直线 的解析式为 ．
②当直线 边 相交于点 时，同理可得点 ，过点 和 的直线 的解析式为 ．
综上：直线 的函数表达式为 或 ．
(3) ，
．
由
，
，，
点 是线段 的中点，
由中点坐标公式的点 ．
假设存在这样的 点如下图，
，设直线 的解析式为 ，
由
解得：．
四边形 是菱形，
，
整理得：，
，
解得，
，
，，，
，
四边形 为菱形，
以 为对角线的四边形 能成为菱形，此时点 的坐标为 ．
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