2017_2018学年唐山市路南区八上期末数学试卷

这是一份2017_2018学年唐山市路南区八上期末数学试卷，共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共14小题；共70分）
1. 下列各数使 x+1 有意义的是
A. −1B. −2C. −3D. −4

2. 下列图形中，不是轴对称图形的是
A. B.
C. D.

3. 将 0.000102 用科学记数法表示为
A. 1.02×10−4B. 1.02×10−5C. 1.02×10−6D. 102×10−3

4. a2=−a，则 a 的取值范围是
A. a>0B. a<0C. a≤0D. a≥0

5. 如果把分式 5xx+y 中的 x 和 y 都扩大 10 倍，那么分式的值
A. 扩大 10 倍B. 缩小 10 倍
C. 缩小为原来的 12D. 不变

6. 如图，D，E 分别是 △ABC 的边 AC，BC 的中点，则下列说法不正确的是
A. DE 是 △ABC 的中线B. BD 是 △ABC 的中线
C. AD=DC，BE=ECD. DE 是 △BCD 的中线

7. 计算 −a32 的结果是
A. a5B. −a5C. a6D. −a6

8. 等腰三角形的周长为 13 cm，其中一边长为 3 cm，则该等腰三角形的底边长为
A. 7 cmB. 3 cmC. 7 cm 或 3 cmD. 5 cm

9. 化简 a2b−ab2a−b 结果正确的是
A. abB. −abC. a2−b2D. b2−a2

10. 下列结论错误的是
A. 全等三角形对应边上的中线相等
B. 两个直角三角形中，两个锐角相等，则这两个三角形全等
C. 全等三角形对应边上的高相等
D. 两个直角三角形中，斜边和一个锐角对应相等，则这两个三角形全等

11. 等腰三角形一个角为 50∘，则这个等腰三角形的顶角可能为
A. 50∘B. 65∘C. 80∘D. 50∘ 或 80∘

12. 如图，∠A=∠D，要使得 △AOB≌△DOC，还需补充一个条件，不正确的是
A. OA=ODB. AB=DC
C. OB=OCD. ∠ABO=∠DCO

13. 如图，D 是 AB 的中点，将 △ABC 沿过点 D 的直线折叠，使点 A 落在 BC 边上点 F 处，若 ∠B=50∘，则 ∠EDF 的度数为
A. 40∘B. 50∘C. 60∘D. 80∘

14. 若分式 x2x+1▫xx+1 的运算结果为 xx≠0，则在“▫”中添加的运算符号为
A. +B. −C. + 或 ÷D. − 或 ×

二、填空题（共4小题；共20分）
15. 如果分式 1x+1 有意义，那么 x 的取值范围是 ．

16. 化简：20−5= ．

17. 如果 a+b=2，那么 a−b2a⋅aa−b= ．

18. 如图，△ABC 中，∠C=90∘，AC=3，∠B=30∘，点 P 是 BC 边上的动点，则在① 3.6，② 4，③ 5.5，④ 7，这四个数中 AP 长不可能是 ．（填序号）

三、解答题（共7小题；共91分）
19. 计算：
（1）222；
（2）13×27；
（3）5+25−2．

20. 先化简，再求值：x+2y2−x+yx−y，其中 x=−2，y=12．

21. 解方程：x−2x−3=xx+1．

22. 如图，在 △ABC 中，AB=AC，D 为 BC 上一点，∠B=30∘，连接 AD．
（1）若 ∠BAD=45∘，求证：△ACD 为等腰三角形；
（2）若 △ACD 为直角三角形，求 ∠BAD 的度数．

23. 已知 ∠BAC 的平分线与 BC 的垂直平分线 DG 相交于点 D，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点 E，F．
（1）连接 CD，BD，求证：△CDF≌△BDE；
（2）若 AE=5，AC=3，求 BE 的长．

24. 某中学在商场购买甲、乙两种不同的运动器材，购买甲种器材花费 1500 元，购买乙种器材花费 1000 元，购买甲种器材数量是购买乙种器材数量的 2 倍，且购买一件乙种器材比购买一件甲种器材多花 10 元．
（1）求购买一件甲种器材、一件乙种器材各需多少元?
（2）该中学决定再次购买甲、乙两种运动器材共 50 件，恰逢该商场对两种运动器材的售价进行调整，甲种器材售价比第一次购买时提高了 10%，乙种器材售价比第一次购买时降低了 10%，如果此次购买甲、乙两种器材的总费用不超过 1700 元，那么这所学校最多可购买多少件乙种器材?

25. 在 △ABC 中，AB=AC≠BC，点 D 和点 A 在直线 BC 的同侧，BD=BC，∠BAC=α，∠DBC=β，α+β=120∘，连接 AD，求 ∠ADB 的度数．
小聪提供了研究这个问题的过程和思路：先从特殊问题开始研究，当 α=90∘，β=30∘ 时（如图 1），利用轴对称知识，以 AB 为对称轴构造 △ABD 的轴对称图形 △ABDʹ，连接 CDʹ（如图 2），然后利用 α=90∘，β=30∘ 以及等边三角形的相关知识便可解决这个问题．
（1）请结合小聪研究问题的过程和思路，在这种特殊情况下，
① 证明 △DʹBC 是等边三角形；
② 求出 ∠ADB 的度数；
（2）结合小聪研究特殊问题的启发，直接写出 ∠ADB 的度数．
答案
第一部分
1. A【解析】使 x+1 有意义，则 x+1≥0，
解得：x≥−1，
则 −1 符合题意．
2. C
3. A【解析】0.000102=1.02×10−4．
4. C【解析】∵a2=−a，
∴−a≥0，
∴a≤0．
5. D
【解析】根据题意得 5×10x10x+10y=10×5x10x+y=5xx+y，
∴ 分式的值不变．
6. A【解析】∵D，E 分别是 △ABC 的边 AC，BC 的中点，
∴DE 是 △ABC 的中位线，不是中线；
BD 是 △ABC 的中线；
AD=DC，BE=EC；
DE 是 △BCD 的中线．
7. C
8. B
9. A【解析】a2b−ab2a−b=aba−ba−b=ab．
10. B
【解析】
A 、 ∵△ABC≌△DEF，
∴AB=DE，∠B=∠E，BC=EF，
∵AM 是 △ABC 的中线，DN 是 △DEF 中线，
∴BC=2BM，EF=2EN，
∴BM=EN，
在 △ABM 和 △DEN 中，
AB=DE,∠B=∠E,BM=EN,
∴△ABM≌△DEN，
∴AM=DN，正确，故本选项错误；
B 、如教师用得含 30 度的三角板和学生用的含 30 度的三角板就不全等，错误，故本选项正确；
C、 ∵△ABC≌△DEF，
∴AB=DE，∠B=∠E，
∵AM 是 △ABC 的高，DN 是 △DEF 的高，
∴∠AMB=∠DNE=90∘，
在 △ABM 和 △DEN 中，
∠B=∠E,∠AMB=∠DNE,AB=DE,
∴△ABM≌△DEN，
∴AM=DN，正确，故本选项错误；
D 、根据 AAS 即可推出两直角三角形全等，正确，故本选项错误．
11. D【解析】分两种情况：
当 50∘ 角为等腰三角形的顶角时，此时等腰三角形的顶角 50∘；
当 50∘ 角为等腰三角形的底角时，此时等腰三角形的顶角为：180∘−50∘×2=80∘，
综上，等腰三角形的顶角为 50∘ 或 80∘．
12. D【解析】A、 ∵ 在 △AOB 和 △DOC 中，
∠A=∠D,OA=OD,∠AOB=∠DOC.
∴△AOB≌△DOC 正确，故本选项错误；
B、 ∵ 在 △AOB 和 △DOC 中，
∠A=∠D,∠AOB=∠DOC,AB=DC.
∴△AOB≌△DOC 正确，故本选项错误；
C、 ∵ 在 △AOB 和 △DOC 中，
∠A=∠D,∠AOB=∠DOC,OB=OC.
∴△AOB≌△DOC 正确，故本选项错误；
D、根据三个角对应相等的两个三角形不全等，错误，故本选项正确．
13. B【解析】如图所示：连接 AF 交 DE 于 G．
由翻折的性质可知：AG=FG．
∴ 点 G 是 AF 的中点．
又 D 是 AB 的中点，
∴DG 是 △ABF 的中位线．
∴DG∥FB．
∴∠ADE=∠B=∠EDF=50∘．
14. C【解析】∵x2x+1+xx+1=x2+xx+1=xx+1x+1=x，
x2x+1−xx+1=x2−xx+1≠x，
x2x+1×xx+1=x3x+12≠x，
x2x+1÷xx+1=x2x+1×x+1x=x．
第二部分
15. x≠−1
16. 5
【解析】20−5=25−5=5．
17. 2
【解析】当 a+b=2 时，
原式=a2−b2a⋅aa−b=a+ba−ba⋅aa−b=a+b=2.
18. ④
【解析】根据垂线段最短，可知 AP 的长不可小于 3；
∵△ABC 中，∠C=90∘，AC=3，∠B=30∘，
∴AB=6，
∴AP 的长不能大于 6．
第三部分
19. （1） 原式=8．
（2） 原式=13×27=3.
（3） 原式=5−4=1.
20. 原式=x2+4xy+4y2−x2+y2=4xy+5y2.
当 x=−2，y=12 时，代入可得：
原式=4×−2×12+5×122=−114.
21. 去分母得：
x+1x−2=xx−3.
去括号得：
x2−x−2=x2−3x.
解得：
x=1.
经检验 x=1 是分式方程的解．
22. （1） ∵AB=AC，∠B=30∘，
∴∠B=∠C=30∘，
∴∠BAC=180∘−30∘−30∘=120∘．
∵∠BAD=45∘，
∴∠CAD=∠BAC−∠BAD=120∘−45∘=75∘，∠ADC=∠B+∠BAD=75∘，
∴∠ADC=∠CAD，
∴AC=CD，
即 △ACD 为等腰三角形．
（2） 有两种情况：
① 当 ∠ADC=90∘ 时，
∵∠B=30∘，
∴∠BAD=∠ADC−∠B=90∘−30∘=60∘；
② 当 ∠CAD=90∘ 时，∠BAD=∠BAC−∠CAD=120∘−90∘=30∘，
即 ∠BAD 的度数是 60∘ 或 30∘．
23. （1） 如图，连接 CD，BD．
∵AD 平分 ∠BAF，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF，
又 ∵DG 垂直平分 BC，
∴CD=BD，
在 Rt△CDF 和 Rt△BDE 中，
∵CD=BDDF=DE,
∴Rt△CDF≌Rt△BDEHL．
（2） 在 Rt△ADF 和 Rt△ADE 中，
∵AD=AD,DF=DE,
∴Rt△ADF≌Rt△ADEHL，
∴AE=AF，
∵Rt△CDF≌Rt△BDE，
∴BE=CF，
∵CF=AF−AC=5−3=2，
∴BE=2．
24. （1） 设购买一件甲种器材需要 x 元，
1500x=2×1000x+10,
解得，
x=30,
经检验，x=30 是原分式方程的解，且符合题意，
∴x+10=40，
即购买一件甲种器材需 30 元，一件乙种器材需 40 元．
（2） 设这所学校再次购买了 y 件乙种器材，
301+10%50−y+401−10%y≤1700,
解得，
y≤503,∴
最多可购买 16 件乙种器材，即这所学校最多可购买 16 件乙种器材．
25. （1） ① 如图 2 中，作 ∠ABDʹ=∠ABD，BDʹ=BD，连接 CDʹ，ADʹ，
∵AB=AC，∠BAC=90∘，
∴∠ABC=45∘，
∵∠DBC=30∘，
∴∠ABD=∠ABC−∠DBC=15∘，
在 △ABD 和 △ABDʹ 中，
AB=AB,∠ABD=∠ABDʹ,BD=BDʹ,
∴△ABD≌△ABDʹ，
∴∠ABD=∠ABDʹ=15∘，∠ADB=∠ADʹB，
∴∠DʹBC=∠ABDʹ+∠ABC=60∘，
∵BD=BDʹ，BD=BC，
∴BDʹ=BC，
∴△DʹBC 是等边三角形；
②∵△DʹBC 是等边三角形，
∴DʹB=DʹC，∠BDʹC=60∘，
在 △ADʹB 和 △ADʹC 中，
ADʹ=ADʹ,DʹB=DʹC,AB=AC,
∴△ADʹB≌△ADʹC，
∴∠ADʹB=∠ADʹC，
∴∠ADʹB=12∠BDʹC=30∘，
∴∠ADB=30∘．
（2） ∠ADB=30∘或150∘．
【解析】第 ① 种情况：当 60∘<α≤120∘ 时，
如图 3 中，作 ∠ABDʹ=∠ABD，BDʹ=BD，连接 CDʹ，ADʹ，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵∠BAC=α，
∴∠ABC=12180∘−α=90∘−12α，
∴∠ABD=∠ABC−∠DBC=90∘−12α−β，
同（1）① 可证 △ABD≌△ABDʹ，
∴∠ABD=∠ABDʹ=90∘−12α−β，BD=BDʹ，∠ADB=∠ADʹB，
∴∠DʹBC=∠ABDʹ+∠ABC=90∘−12α−β+90∘−12α=180∘−α+β，
∵α+β=120∘，
∴∠DʹBC=60∘，
由（1）② 可知，△ADʹB≌△ADʹC，
∴∠ADʹB=∠ADʹC，
∴∠ADʹB=12∠BDʹC=30∘，
∴∠ADB=30∘．
第 ② 种情况：当 0∘<α<60∘ 时，
如图 4 中，作 ∠ABDʹ=∠ABD，BDʹ=BD，连接 CDʹ，ADʹ．
同理可得：∠ABC=12180∘−α=90∘−12α，
∴∠ABD=∠DBC−∠ABC=β−90∘−12α，
同（1）① 可证 △ABD≌△ABDʹ，
∴∠ABD=∠ABDʹ=β−90∘−12α，BD=BDʹ，∠ADB=∠ADʹB，
∴∠DʹBC=∠ABC−∠ABDʹ=90∘−12α−β−90∘−12α=180∘−α+β，
∴DʹB=DʹC，∠BDʹC=60∘．
同（1）② 可证 △ADʹB≌△ADʹC，
∴∠ADʹB=∠ADʹC，
∵∠ADʹB+∠ADʹC+∠BDʹC=360∘，
∴∠ADB=∠ADʹB=150∘．