2021年新高一数学专题复习《反比例函数》

这是一份2021年新高一数学专题复习《反比例函数》，共64页。
2021年新高一数学专题复习《反比例函数》
一．选择题（共10小题）
1．（2021•漳平市模拟）如图，点A是双曲线y＝上一点，过A作AB∥x轴，交直线y＝﹣x于点B，点D是x轴上一点，连接BD交双曲线于点C，连接AD，若BC：CD＝3：2，△ABD的面积为，tan∠ABD＝，则k的值为（　　）

A．﹣2 B．﹣3 C．﹣ D．
2．（2020•牡丹江一模）如图，矩形ABCD中，点A在双曲线y＝﹣上，点B，C在x轴上，延长CD至点E，使CD＝2DE，连接BE交y轴于点F，连接CF，则△BFC的面积为 （　　）

A．5 B．6 C．7 D．8
3．（2020秋•福田区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A的坐标为（﹣1，1），点B在x轴正半轴上，点D在第三象限的双曲线y＝上，过点C作CE∥x轴交双曲线于点E，则CE的长为（　　）

A． B． C．3.5 D．5
4．（2019•永春县校级自主招生）如图，点A、B是反比例函数y＝（k≠0）图象上的两点，延长线段AB交y轴于点C，且点B为线段AC中点，过点A作AD⊥x轴于点D，点E为线段OD的三等分点，且OE＜DE．连接AE、BE，若S△ABE＝7，则k的值为（　　）

A．﹣12 B．﹣10 C．﹣9 D．﹣6
5．（2019•广西模拟）如图，O为坐标原点，点C在x轴上．四边形OABC为菱形，D为菱形对角线AC与OB的交点，反比例函数y＝在第一象限内的图象经过点A与点D，若菱形OABC的面积为24，则点A的坐标为（　　）

A．（1，6） B．（，5） C．（2，4） D．（3，3）
6．（2018•宁波模拟）如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD于点E，BD∥x轴，点C在x轴上，点A，D在函数y＝（x＞0）的图象上，若△ABE与△CDE的面积之比为1：3，则△ABC的面积为（　　）

A．2 B． C．3 D．4
7．（2021•渝中区校级二模）如图，已知直线y＝x﹣1与坐标轴交于A点和B点，与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点C，以AB为边向上作平行四边形ABED，D点刚好在反比例图象上，连接CE，CD，若CE∥x轴，四边形BCDE面积为10，则k的值为（　　）

A．10 B． C．9 D．
8．（2020•深圳模拟）如图，过坐标原点O的直线AB与两函数y＝（x＞0），y＝（x＜0）的图象分别交于A，B两点，作AH⊥y轴于H，连接BH交x轴于点C，则下列结论：①S△AOH＝9；②＝3；③＝；④S△BOC＝．其中正确的是（　　）

A．①② B．①②④ C．②③④ D．①③
9．（2020•鄂州）如图，点A1，A2，A3…在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，点B1，B2，B3，…Bn在y轴上，且∠B1OA1＝∠B2B1A2＝∠B3B2A3＝…，直线y＝x与双曲线y＝交于点A1，B1A1⊥OA1，B2A2⊥B1A2，B3A3⊥B2A3…，则Bn（n为正整数）的坐标是（　　）

A．（2，0） B．（0，）
C．（0，） D．（0，2）
10．（2020•重庆）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的对角线AC的中点与坐标原点重合，点E是x轴上一点，连接AE．若AD平分∠OAE，反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象经过AE上的两点A，F，且AF＝EF，△ABE的面积为18，则k的值为（　　）

A．6 B．12 C．18 D．24
二．填空题（共10小题）
11．（2021•宝安区模拟）如图，A、B两点是反比例函数y1＝与一次函数y＝2x的交点，点C在反比例函数y2＝上，连接OC，过点A作AD⊥x轴交OC于点D，连接BD．若AD＝BD，OC＝3OD，则k＝　 　．

12．（2021•龙泉驿区模拟）如图，已知Rt△AOB，∠ABO＝90°，点A（15，0），反比例函数y＝（x＞0）经过点B，交AB于点C．若BC：OB＝3：2．则k的值是　 　．

13．（2021•海曙区模拟）如图，点A，B分别是反比例函数y＝（a＞0，x＞0）和y＝（b＜0，x＜0）图象上的点，且AB∥x轴，点C在x轴的正半轴上，连接AC交反比例函数y＝（a＞0，x＞0）的图象于点D，已知S△BOD＝20，S△COD＝8，AD＝2CD，则a﹣b的值为　 　．

14．（2021•武侯区模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（2，1）在反比例函数y＝（k＞0）的图象上，连接OA，将线段OA绕点O逆时针旋转120°得到对应线段OB，此时点B刚好落在反比例函数y＝（m＜0）的图象上，则m的值为　 　．

15．（2021•鄞州区模拟）如图，直线y＝kx与反比例函数y＝的图象交于A，B两点，与函数y＝（0＜b＜a）在第一象限的图象交于点C，AC＝3BC，过点B分别作x轴，y轴的平行线交函数y＝在第一象限的图象于点E，D，连接AE交x轴于点G，连接AD交y轴于点F，连接FG，若△AFG的面积为1，则的值为　 　，a+b的值为　 　．

16．（2021•泉州模拟）如图，平面直角坐标系xOy中，在反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象上取点A，连接OA，与y＝的图象交于点B，过点B作BC∥x轴交函数y＝的图象于点C，过点C作CE∥y轴交函数y＝的图象于点E，连接AC，OC，BE，OC与BE交于点F，则＝　 　．

17．（2021春•深圳校级月考）如图，点A在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，且点A是线段OB的中点，点D为x轴上一点，连接BD交反比例函数图象于点C，连接AC，着BC：CD＝2：1，S△ADC＝，则k的值为　 　．

18．（2021•海安市模拟）如图，点A（﹣7，8），B（﹣5，4）连接AB并延长交反比例函数y＝（x＜0）的图象于点C，若＝，则k＝　 　．

19．（2020•碑林区校级三模）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，OC在x轴正半轴上，四边形OABC为平行四边形，反比例函数y＝的图象经过点A与边BC相交于点D，若S△ABC＝15，CD＝2BD，则k＝　 　．

20．（2020•宁波）如图，经过原点O的直线与反比例函数y＝（a＞0）的图象交于A，D两点（点A在第一象限），点B，C，E在反比例函数y＝（b＜0）的图象上，AB∥y轴，AE∥CD∥x轴，五边形ABCDE的面积为56，四边形ABCD的面积为32，则a﹣b的值为　 　，的值为　 　．

三．解答题（共10小题）
21．（2020•浙江自主招生）已知直线y＝x上点C，过点C作CD∥y轴交x轴于点D，交双曲线y＝于点B，过点C作NC∥x轴交y轴于点N，交双曲线y＝于点E，若B是CD的中点，且四边形OBCE的面积为．
（1）求k的值；
（2）若A（3，3），M是双曲线y＝第一象限上的任一点，求证：|MC|﹣|MA|为常数6．
（3）现在双曲线y＝上选一处M建一座码头，向A（3，3），P（9，6）两地转运货物，经测算，从M到A，从M到P修建公路的费用都是每单位长度a万元，则码头M应建在何处，才能使修建两条公路的总费用最低？（提示：利用（2）的结论转化）

22．（2019•麻城市校级自主招生）在平面直角坐标系中，我们不妨把横坐标和纵坐标相等的点叫“梦之点”，例如点（1，1），（﹣2，﹣2），，…都是“梦之点”，显然“梦之点”有无数个．
（1）若点P（2，m）是反比例函数y＝（n为常数，n≠0）的图象上的“梦之点”，求这个反比例函数的解析式；
（2）函数y＝3kx+s﹣1（k，s为常数）的图象上存在“梦之点”吗？若存在，请求出“梦之点”的坐标，若不存在，说明理由；
（3）若二次函数y＝ax2+bx+1（a，b是常数，a＞0）的图象上存在两个“梦之点”A（x1，x1），B（x2，x2），且满足﹣2＜x1＜2，|x1﹣x2|＝2，令t＝b2﹣2b+，试求t的取值范围．
23．（2018•锦江区校级自主招生）如图，在平面直角坐标系中，点A的横坐标为8，AB⊥x轴于点B，sin∠OAB＝，反比例函数y＝的图象的一支经过AO的中点C，交AB于点D．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求四边形OCDB的面积．

24．（2017•攀枝花）如图，在平面直角坐标系中，坐标原点O是菱形ABCD的对称中心．边AB与x轴平行，点B（1，﹣2），反比例函数y＝（k≠0）的图象经过A，C两点．
（1）求点C的坐标及反比例函数的解析式．
（2）直线BC与反比例函数图象的另一交点为E，求以O，C，E为顶点的三角形的面积．

25．（2017•吉林）如图，在平面直角坐标系中，直线AB与函数y＝（x＞0）的图象交于点A（m，2），B（2，n）．过点A作AC平行于x轴交y轴于点C，在y轴负半轴上取一点D，使OD＝OC，且△ACD的面积是6，连接BC．
（1）求m，k，n的值；
（2）求△ABC的面积．

26．（2021春•天心区月考）定义：在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（x，y），当x＞k时，B点坐标为（﹣x，﹣y）；当x≤k时，B点坐标为（﹣x，﹣y+2），则称点B为点A的k一分点（其中k为常数）．例如：（﹣2，4）的0一分点坐标为（2，﹣2）．
（1）点（1，5）的1一分点在反比例函数y＝图象上，则m＝　 　；
若点（a﹣2，6）的2一分点在直线y＝x+3上，则a＝　 　；
（2）若点N在二次函数y＝x2﹣2x﹣3的图象上，点M为点N的3一分点．
①求点M所在函数的解析式；
②求点M所在函数的图象与直线y＝﹣12交点坐标；
③当﹣5≤x≤m时，点M所在函数的函数值﹣12≤y≤6，求出m的取值范围．
27．（2020秋•宁津县期末）如图，一次函数y＝ax+b的图象与反比例函数y＝的图象交于M（﹣3，1），N（1，n）两点．
（1）求这两个函数的表达式．
（2）过动点C（m，0）且垂直于x轴的直线与一次函数及反比例函数的图象分别交于D、E两点，当点E位于点D上方时，直接写出m的取值范围．

28．（2020秋•莘县期末）如图，一次函数y＝kx+b的图象与坐标轴分别交于A、B两点，与反比例函数y＝的图象在第一象限的交点为点C，CD⊥x轴，垂足为点D，若OB＝3，OD＝6，△AOB的面积为3．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）直接写出当x＞0时，kx+b﹣＞0的解集．

29．（2020秋•荔湾区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，正比例函数y＝2x与反比例函数y＝的图象交于A，B两点，A点的横坐标为2，AC⊥x轴于点C，连接BC．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）若点P是反比例函数y＝图象上的一点，且满足△OPC与△ABC的面积相等，请直接写出点P的坐标．

30．（2019秋•大名县期末）如图：反比例函数y1＝的图象与一次函数y2＝x+b的图象交于A、B两点，其中A点坐标为（1，2）．
（1）求反比例函数与一次函数的表达式；
（2）观察图象，直接写出当y1＜y2时，自变量x的取值范围；
（3）一次函数的图象与轴交于点C，点P是反比例函数图象上的一个动点，若S△OCP＝6，求此时P点的坐标．


2021年新高一数学专题复习《反比例函数》
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（2021•漳平市模拟）如图，点A是双曲线y＝上一点，过A作AB∥x轴，交直线y＝﹣x于点B，点D是x轴上一点，连接BD交双曲线于点C，连接AD，若BC：CD＝3：2，△ABD的面积为，tan∠ABD＝，则k的值为（　　）

A．﹣2 B．﹣3 C．﹣ D．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．菁优网版权所有
【专题】反比例函数及其应用．
【分析】如图作BH⊥OD于H．延长BA交y轴于E．由tan∠ABD＝tan∠BDH＝，设DH＝5m，BH＝9m，则BH＝BE＝9m，OD＝4m，推出C（﹣6m，m），推出A（﹣m，9m），由△ABD的面积为，推出×m×9m＝，可得m2＝，推出k＝﹣6m×m＝﹣2；
【解答】解：如图作BH⊥OD于H．延长BA交y轴于E．

∵AB∥DH，
∴∠ABD＝∠BDH，
∴tan∠ABD＝tan∠BDH＝，设DH＝5m，BH＝9m，则BH＝BE＝9m，OD＝4m，
∴C（﹣6m，m），
∴A（﹣m，9m），
∵△ABD的面积为，
∴×m×9m＝，
∴m2＝，
∴k＝﹣6m×m＝﹣2，
故选：A．
【点评】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题、解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
2．（2020•牡丹江一模）如图，矩形ABCD中，点A在双曲线y＝﹣上，点B，C在x轴上，延长CD至点E，使CD＝2DE，连接BE交y轴于点F，连接CF，则△BFC的面积为 （　　）

A．5 B．6 C．7 D．8
【考点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征；矩形的性质．菁优网版权所有
【专题】反比例函数及其应用；应用意识．
【分析】如图，设AD交y轴于J，交BE于K，设AB＝CD＝2m，则DE＝m，设DK＝b．利用平行线分线段成比例定理求出BC，OF即可解决问题．
【解答】解：如图，设AD交y轴于J，交BE于K，设AB＝CD＝2m，则DE＝m，设DK＝b．

∵点A在y＝﹣上，
∴A（﹣，2m），
∴AJ＝，
∵四边形ABCD是矩形，
∴DK∥BC，
∴＝＝，
∴BC＝AD＝3b，AK＝2b，JK＝2b﹣，
∵JF∥DE，
∴＝，
∴＝，
∴JF＝，
∴OF＝OJ﹣JF＝2m﹣＝，
∴S△BFC＝•BC•OF＝×3b•＝6，
故选：B．
【点评】本题考查反比例函数系数的几何意义，矩形的性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
3．（2020秋•福田区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A的坐标为（﹣1，1），点B在x轴正半轴上，点D在第三象限的双曲线y＝上，过点C作CE∥x轴交双曲线于点E，则CE的长为（　　）

A． B． C．3.5 D．5
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；正方形的性质．菁优网版权所有
【专题】反比例函数及其应用；图形的全等．
【分析】证明△DHA≌△CGD（AAS）、△ANB≌△DGC（AAS）得到：AN＝DG＝1＝AH，而AH＝﹣1﹣m＝1，解得：m＝﹣2，即可求解．
【解答】解：设点D（m，），
如图所示，过点D作x轴的垂线交CE于点G，过点A过x轴的平行线交DG于点H，过点A作AN⊥x轴于点N，

∵∠GDC+∠DCG＝90°，∠GDC+∠HDA＝90°，
∴∠HDA＝∠GCD，
又AD＝CD，∠DHA＝∠CGD＝90°，
∴△DHA≌△CGD（AAS），
∴HA＝DG，DH＝CG，
同理△ANB≌△DGC（AAS），
∴AN＝DG＝1＝AH，则点G（m，﹣1），CG＝DH，
AH＝﹣1﹣m＝1，解得：m＝﹣2，
故点G（﹣2，﹣5），D（﹣2，﹣4），H（﹣2，1），
则点E（﹣，﹣5），GE＝，
CE＝CG﹣GE＝DH﹣GE＝5﹣＝，
故选：B．
【点评】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，需要两次证明三角形全等，综合性较强，难度较大．
4．（2019•永春县校级自主招生）如图，点A、B是反比例函数y＝（k≠0）图象上的两点，延长线段AB交y轴于点C，且点B为线段AC中点，过点A作AD⊥x轴于点D，点E为线段OD的三等分点，且OE＜DE．连接AE、BE，若S△ABE＝7，则k的值为（　　）

A．﹣12 B．﹣10 C．﹣9 D．﹣6
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．菁优网版权所有
【专题】反比例函数及其应用．
【分析】设A（m，），C（0，n），则D（m，0），E（m，0），由AB＝BC，推出B（，），根据点B在y＝上，推出•＝k，可得mn＝3k，连接EC，OA．因为AB＝BC，推出S△AEC＝2•S△AEB＝14，根据S△AEC＝S△AEO+S△ACO﹣S△ECO，构建方程即可解决问题；
【解答】解：设A（m，），C（0，n），则D（m，0），E（m，0），
∵AB＝BC，
∴B（，），
∵点B在y＝上，
∴•＝k，
∴k+mn＝4k，
∴mn＝3k，
连接EC，OA．
∵AB＝BC，
∴S△AEC＝2•S△AEB＝14，
∵S△AEC＝S△AEO+S△ACO﹣S△ECO，
∴14＝•（﹣m）•+•n•（﹣m）﹣•（﹣m）•n，
∴14＝﹣k﹣+，
∴k＝﹣12．
解法二：过点B作BM⊥DE于M，设A（a，），则B（，）．

由题意，OE＝﹣a，DE＝﹣a，ME＝﹣a，BM＝，DM＝﹣a，
∵S△ABE＝S梯形ADMB+S△BEM﹣S△ADE＝7，
∴（+）×（﹣a）+×（﹣a）×（）﹣××（﹣a）＝7，
解得k＝﹣12．
故选：A．

【点评】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
5．（2019•广西模拟）如图，O为坐标原点，点C在x轴上．四边形OABC为菱形，D为菱形对角线AC与OB的交点，反比例函数y＝在第一象限内的图象经过点A与点D，若菱形OABC的面积为24，则点A的坐标为（　　）

A．（1，6） B．（，5） C．（2，4） D．（3，3）
【考点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征；菱形的性质．菁优网版权所有
【专题】反比例函数及其应用．
【分析】作AE⊥OC于E，DF⊥OC于F．设A（a，b）．想办法证明OE＝EF＝CF即可解决问题；
【解答】解：作AE⊥OC于E，DF⊥OC于F．设A（a，b）．

∵四边形ABCO是菱形，
∴AD＝DC，
∵AE∥DF，
∴EF＝FC，
∴DF＝AE＝b
∵反比例函数y＝在第一象限内的图象经过点A与点D，
∴D（2a，b），
∴OE＝EF＝FC＝a，
∴OA＝OC＝3a，
∴AE＝＝2a，
∵OC•AE＝24，
∴3a•2a＝24，
∴a2＝4，
∵a＞0，
∴a＝2，
∴A（2，4），
故选：C．
【点评】本题考查反比例函数系数k的几何意义、反比例函数图象上的点的特征、菱形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
6．（2018•宁波模拟）如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD于点E，BD∥x轴，点C在x轴上，点A，D在函数y＝（x＞0）的图象上，若△ABE与△CDE的面积之比为1：3，则△ABC的面积为（　　）

A．2 B． C．3 D．4
【考点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征；平行线之间的距离．菁优网版权所有
【专题】反比例函数及其应用．
【分析】设A（a，），D（b，），B（c，），由△ABE与△CDE的面积之比为1：3，推出 •（a﹣c）•（﹣）：•（b﹣a）•＝1：3，求出（a﹣c）•的值即可解决问题；
【解答】解：设A（a，），D（b，），B（c，）
∵△ABE与△CDE的面积之比为1：3，
∴•（a﹣c）•（﹣）：•（b﹣a）•＝1：3，
∴（a﹣c）•＝2，
故选：A．

【点评】本题考查反比例函数系数k的几何意义、反比例函数图象上的点的特征等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
7．（2021•渝中区校级二模）如图，已知直线y＝x﹣1与坐标轴交于A点和B点，与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点C，以AB为边向上作平行四边形ABED，D点刚好在反比例图象上，连接CE，CD，若CE∥x轴，四边形BCDE面积为10，则k的值为（　　）

A．10 B． C．9 D．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．菁优网版权所有
【专题】反比例函数及其应用；推理能力．
【分析】设点D坐标为（m，），通过含m，k的代数式分别表示出C，E的坐标，再通过含参代数式表示四边形BCDE面积求解．
【解答】解：由y＝x﹣1可得A（3，0），B（0，﹣1），
设点D坐标为（m，），
由平行四边形ABED可得点E坐标为（m﹣3，﹣1），
∵CE∥x轴，
∴点C纵坐标为﹣1，
将y＝﹣1代入y＝x﹣1可得x＝，
将x＝代入y＝得y＝，
∴﹣1＝，
解得k＝m2+m．
作DH⊥EC于点H，CG⊥y轴于点G，

∴S四边形BCDE＝S△CDE+S△BCE＝EC•DHEC•BG＝EC（DH+BG），
＝（﹣m+3）（﹣+1+﹣1+1），
＝（﹣m+3）（+1），
将k＝m2+m代入（﹣m+3）（+1）得m+6＝10，
∴m＝4，k＝m2+m＝，
故选：B．
【点评】本题考查反比例函数的综合应用，解题关键是通过参数表示点坐标从而求解．
8．（2020•深圳模拟）如图，过坐标原点O的直线AB与两函数y＝（x＞0），y＝（x＜0）的图象分别交于A，B两点，作AH⊥y轴于H，连接BH交x轴于点C，则下列结论：①S△AOH＝9；②＝3；③＝；④S△BOC＝．其中正确的是（　　）

A．①② B．①②④ C．②③④ D．①③
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．菁优网版权所有
【专题】反比例函数及其应用；图形的相似；数据分析观念．
【分析】①由k值得意义即可求解；
②证明△BOM∽△AOH，则S△AOH＝S△BOM＝9＝（3：1）2＝（AO：BO）2，即可求解；
③由CO∥AH，则＝＝，即可求解；
④求出S△ABH＝3+9＝12，则S△BOC＝（）2×S△ABH＝，即可求解．
【解答】解：①由k值得意义知S△AOH＝k＝18＝9，
故①正确，符合题意；

②过点B作BM⊥x轴于点M，则△BOM∽△AOH，
∵S△BOM＝×2＝1，
则S△AOH＝S△BOM＝9＝（3：1）2＝（AO：BO）2，
故＝3正确，符合题意；

③∵AH⊥y轴，
∴CO∥AH，则＝＝，
故③错误，不符合题意；

④∵S△AOH＝9，AO＝3OB，
则S△BOH＝9÷3＝3，
则S△ABH＝3+9＝12，
∵BO＝OA，则S△BOC＝（）2×S△ABH＝，
故④正确，符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点，当有两个函数的时候，着重使用一次函数，体现了方程思想，综合性较强．
9．（2020•鄂州）如图，点A1，A2，A3…在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，点B1，B2，B3，…Bn在y轴上，且∠B1OA1＝∠B2B1A2＝∠B3B2A3＝…，直线y＝x与双曲线y＝交于点A1，B1A1⊥OA1，B2A2⊥B1A2，B3A3⊥B2A3…，则Bn（n为正整数）的坐标是（　　）

A．（2，0） B．（0，）
C．（0，） D．（0，2）
【考点】规律型：点的坐标；反比例函数与一次函数的交点问题．菁优网版权所有
【专题】反比例函数及其应用；应用意识．
【分析】由题意，△OA1B1，△B1A2B2，△B2A3B3，…，都是等腰直角三角形，想办法求出OB1，OB2，OB3，OB4，…，探究规律，利用规律解决问题即可得出结论．
【解答】解：由题意，△OA1B1，△B1A2B2，△B2A3B3，…，都是等腰直角三角形，
∵A1（1，1），
∴OB1＝2，设A2（m，2+m），
则有m（2+m）＝1，
解得m＝﹣1，
∴OB2＝2，
设A3（a，2+a），则有a（2+a）＝1，
解得a＝﹣，
∴OB3＝2，
同法可得，OB4＝2，
∴OBn＝2，
∴Bn（0，2）．
故选：D．
【点评】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，规律型问题，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考选择题中的压轴题．
10．（2020•重庆）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的对角线AC的中点与坐标原点重合，点E是x轴上一点，连接AE．若AD平分∠OAE，反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象经过AE上的两点A，F，且AF＝EF，△ABE的面积为18，则k的值为（　　）

A．6 B．12 C．18 D．24
【考点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征；矩形的性质．菁优网版权所有
【专题】反比例函数及其应用；矩形 菱形 正方形；应用意识．
【分析】如图，连接BD，OF，过点A作AN⊥OE于N，过点F作FM⊥OE于M．证明BD∥AE，推出S△ABE＝S△AOE＝18，推出S△EOF＝S△AOE＝9，可得S△FME＝S△EOF＝3，由此即可解决问题．
【解答】解：如图，连接BD，OF，过点A作AN⊥OE于N，过点F作FM⊥OE于M．

∵AN∥FM，AF＝FE，
∴MN＝ME，
∴FM＝AN，
∵A，F在反比例函数的图象上，
∴S△AON＝S△FOM＝，
∴•ON•AN＝•OM•FM，
∴ON＝OM，
∴ON＝MN＝EM，
∴ME＝OE，
∴S△FME＝S△FOE，
∵AD平分∠OAE，
∴∠OAD＝∠EAD，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA＝∠DAE，
∴AE∥BD，
∴S△ABE＝S△AOE，
∴S△AOE＝18，
∵AF＝EF，
∴S△EOF＝S△AOE＝9，
∴S△FME＝S△EOF＝3，
∴S△FOM＝S△FOE﹣S△FME＝9﹣3＝6＝，
∴k＝12．
故选：B．
【点评】本题考查反比例函数的性质，矩形的性质，平行线的判断和性质，等高模型等知识，解题的关键是证明BD∥AE，利用等高模型解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
二．填空题（共10小题）
11．（2021•宝安区模拟）如图，A、B两点是反比例函数y1＝与一次函数y＝2x的交点，点C在反比例函数y2＝上，连接OC，过点A作AD⊥x轴交OC于点D，连接BD．若AD＝BD，OC＝3OD，则k＝　　．

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【专题】反比例函数及其应用；推理能力．
【分析】先联立方程求出点A坐标，由AD＝BD得CO⊥AB，由OC＝3OD得点C坐标，再通过tan∠OAH＝tan∠COH求出点C坐标而求解．
【解答】解：联立方程，
解得，，
∴点A坐标为（﹣，﹣2），点B坐标为（，2），
∵A，B关于原点对称，
∴O为AB中点，
又∵AD＝BD，
∴点D在线段AB的垂直平分线上，
∴CO⊥AB，
又∵AH⊥x轴，
∴∠AOH+∠OAH＝∠AOH+∠COH＝90°，
∴∠OAH＝∠COH，
作CE⊥x轴于点E，
∵OC＝3OD，点D横坐标为﹣，
∴点C横坐标为﹣3，
∵tan∠OAH＝tan∠COH＝＝＝，
∴CE＝OE＝，
∴点C坐标为（﹣3，），
∴k＝﹣3×＝，
故答案为：．
【点评】本题考查反比例函数的综合应用，解题关键是熟练掌握反比例函数与一次函数的性质，掌握相似三角形的性质及解直角三角形的方法．
12．（2021•龙泉驿区模拟）如图，已知Rt△AOB，∠ABO＝90°，点A（15，0），反比例函数y＝（x＞0）经过点B，交AB于点C．若BC：OB＝3：2．则k的值是　18　．

【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．菁优网版权所有
【专题】反比例函数及其应用；运算能力；推理能力．
【分析】过点B作BD⊥x轴于D，过点C作CE⊥BD于E，CF⊥x轴于点F，易证△BOD∽△CBE，可得，设BE＝3a，EC＝3b，则OD＝2a，BD＝2b．易得四边形EDFC为矩形，则FD＝CE＝3b，FC＝ED＝BD﹣BE＝2b﹣3a，得到B（2a，2b），C（3b+2a，2b﹣3a）．由待定系数法可得：k＝2a×2b＝4ab，k＝（3b+2a）（2b﹣3a），等量代换可得：4ab＝（3b+2a）（2b﹣3a），整理得到：b＝2a．于是得到BD＝4a，EC＝6a，FC＝a；易证△BEC∽△CFA，可得，求出FA＝2a，从而OA＝OD+FD+FA＝10a，由点A（15，0），可得OA＝15，a的值可求，B点坐标可得，用待定系数法k值可求．
【解答】解：过点B作BD⊥x轴于D，过点C作CE⊥BD于E，CF⊥x轴于点F，如图，

∵∠ABO＝90°，
∴∠OBD+∠EBC＝90°．
∵BD⊥OD，
∴∠OBD+∠BOD＝90°．
∴∠BOD＝∠EBC．
∵∠ODB＝∠BEC＝90°，
∴△BOD∽△CBE．
∴．
∴设BE＝3a，EC＝3b，则OD＝2a，BD＝2b．
∵BD⊥DF，CE⊥BD，CF⊥AD，
∴四边形EDFC为矩形．
∴FD＝CE＝3b，FC＝ED＝BD﹣BE＝2b﹣3a．
∴B（2a，2b），C（3b+2a，2b﹣3a）．
将B，C坐标分别代入解析式y＝中得：
k＝2a×2b＝4ab，k＝（3b+2a）（2b﹣3a）．
∴4ab＝（3b+2a）（2b﹣3a）．
整理得到：b＝﹣a（不合题意，舍去）或b＝2a．
∴BD＝4a，EC＝6a，FC＝a．
∵EC∥AD，
∴∠BCE＝∠A．
∵∠BEC＝∠CFA＝90°，
∴△BEC∽△CFA．
∴．
∴FA＝2CF＝2a．
∵点A（15，0），
∴OA＝15．
∴OD+FD+FA＝15．
∴10a＝15．
解得：a＝．
∴OD＝3，BD＝6．
∴B（3，6）．
∴k＝3×6＝18．
故答案为：18．
【点评】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标的特征，三角形相似的判定与性质，矩形的判定与性质，待定系数法确定函数的解析式．利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．
13．（2021•海曙区模拟）如图，点A，B分别是反比例函数y＝（a＞0，x＞0）和y＝（b＜0，x＜0）图象上的点，且AB∥x轴，点C在x轴的正半轴上，连接AC交反比例函数y＝（a＞0，x＞0）的图象于点D，已知S△BOD＝20，S△COD＝8，AD＝2CD，则a﹣b的值为　24　．

【考点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征．菁优网版权所有
【专题】反比例函数及其应用；推理能力．
【分析】延长BD交x轴交于点M，连接OA，根据相似三角形的性质和同高三角形的面积比的关系得出S△ABD＝8，S△AOD＝16，再根据k的几何意义以及面积的和差得出结论．
【解答】解：延长BD交x轴交于点M，连接OA，
∵AB∥x轴，
∴△ABD∽△CMD，
∴，
∵AD＝2CD，
∴BD＝2MD，S△ABD＝4S△DCM．
∴S△BOD：S△ODM＝2：1，
∵S△BOD＝20，
∴S△ODM＝10，
∵S△COD＝8，
∴S△DCM＝2，
∴S△ABD＝8，
∵AD＝2CD，S△COD＝8，
∴S△AOD＝16，
∴S△AOB＝S△ABD+S△BOD﹣S△AOD
＝8+20﹣16
＝12，
∵点A，B分别是反比例函数y＝（a＞0，x＞0）和y＝（b＜0，x＜0）图象上的点，且AB∥x轴，
∴S△AOB＝＝12，
∴a﹣b＝24．

故答案为：24．
【点评】本题考查了反比例k的几何意义，相似三角形的判定与性质，借助三角形之间的面积关系得出a﹣b的值，得出S△ABD＝8是解题的关键．
14．（2021•武侯区模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（2，1）在反比例函数y＝（k＞0）的图象上，连接OA，将线段OA绕点O逆时针旋转120°得到对应线段OB，此时点B刚好落在反比例函数y＝（m＜0）的图象上，则m的值为　﹣　．

【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；坐标与图形变化﹣旋转．菁优网版权所有
【专题】待定系数法；反比例函数及其应用；运算能力．
【分析】延长AO交双曲线y＝在第三象限的分支于点C，连接BC，过A作AD⊥x轴于点D，过点B作BE⊥x轴于点E，BF⊥OC于F，交x轴于点H，利用双曲线是中心对称图形，得到OA＝OC，利用旋转角为120°，可得△OBC为等边三角形，利用勾股定理确定OA＝OB＝OC＝，利用等腰三角形的三线合一可得OF＝；易证△HOF∽△AOD和△BEH∽△OFH，利用比例式求得线段BE，OE，则点B坐标可得，利用待定系数法可求系数m．
【解答】解：延长AO交双曲线y＝在第三象限的分支于点C，连接BC，过A作AD⊥x轴于点D，
过点B作BE⊥x轴于点E，BF⊥OC于F，交x轴于点H，如图，

∵双曲线y＝是中心对称图形，
∴OA＝OC．
∵OA＝OB，
∴OB＝OB．
∵∠AOB＝120°，
∴∠BOC＝60°．
∴△OBC为等边三角形．
∵AD⊥x轴，点A（2，1），
∴OD＝，AD＝1．
∴．
∴OB＝OC＝．
∵△OBC是等边三角形，BF⊥OC，
∴OF＝．
∵∠HOF＝∠AOD，∠HFO＝∠ADO＝90°，
∴△HOF∽△AOD．
∴．
∴．
∴HO＝，HF＝．
在Rt△BFO中，BF＝BO×sin60°＝．
∴HB＝BF﹣HF＝．
∵∠BHE＝∠OHF，∠HEB＝∠HFO＝90°，
∴△BEH∽△OFH．
∴．
∴．
∴BE＝，HE＝．
∴OE＝OH+HE＝．
∴B（﹣，）．
∵点B在反比例函数y＝（m＜0）的图象上，
∴＝．
∴m＝﹣．
故答案为：﹣．
【点评】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，坐标与图形的变化﹣﹣旋转，待定系数法确定函数的解析式，三角形相似的判定与性质，勾股定理，直角三角形的边角关系，特殊角的三角函数值，等边三角形的判定与性质．利用点的坐标表示相应线段的长度和利用线段的长度表示相应的的坐标是解题的关键．
15．（2021•鄞州区模拟）如图，直线y＝kx与反比例函数y＝的图象交于A，B两点，与函数y＝（0＜b＜a）在第一象限的图象交于点C，AC＝3BC，过点B分别作x轴，y轴的平行线交函数y＝在第一象限的图象于点E，D，连接AE交x轴于点G，连接AD交y轴于点F，连接FG，若△AFG的面积为1，则的值为　　，a+b的值为　　．

【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．菁优网版权所有
【专题】代数几何综合题；反比例函数及其应用；数据分析观念．
【分析】由△AFG的面积＝S△HFA﹣S△HFG＝HF×（xG﹣xA）＝×（+﹣）×（﹣m+m）＝1，即可求解．
【解答】解：∵OA＝OB，AC＝3BC，故点C是OB的中点，
设点B的坐标为（m，），则点A（﹣m，﹣），
则点C的坐标为（m，），则b＝m•＝a，即，
则点E、D坐标分别为（m，）、（m，），
由点A、E的坐标得，直线AE的表达式为y＝+，
设直线AE交y轴于点H，令y＝+＝0，解得x＝﹣m，令x＝0，则y＝，

故点G、H的坐标分别为（﹣m，0）、（0，），
同理可得，点F的坐标为（0，﹣），
则△AFG的面积＝S△HFA﹣S△HFG＝HF×（xG﹣xA）＝×（+﹣）×（﹣m+m）＝1，
解得a＝，
而b＝a，
∴a+b＝；
故答案为，
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点，当有两个函数的时候，着重使用一次函数，体现了方程思想，综合性较强．
16．（2021•泉州模拟）如图，平面直角坐标系xOy中，在反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象上取点A，连接OA，与y＝的图象交于点B，过点B作BC∥x轴交函数y＝的图象于点C，过点C作CE∥y轴交函数y＝的图象于点E，连接AC，OC，BE，OC与BE交于点F，则＝　　．

【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．菁优网版权所有
【专题】反比例函数及其应用；推理能力．
【分析】如图，过点A作AN⊥x轴于N，过点B作BM⊥x轴于M．利用相似三角形的性质证明＝＝，设A（m，），则B（，），由BC∥x轴，EC∥y轴，推出C（2m，），E（2m，），求出直线OC，BE的解析式，构建方程组确定点F的坐标，即可解决问题．
【解答】解：如图，过点A作AN⊥x轴于N，过点B作BM⊥x轴于M．

∵AN∥BM，
∴△OBM∽△OAN，
∵S△OBM＝，S△AON＝2k，
∴＝（）2＝，
∴＝＝，
设A（m，），则B（，），
∵BC∥x轴，EC∥y轴，
∴C（2m，），E（2m，），
∴直线OC的解析式为y＝x，直线BE的解析式为y＝﹣x+，
由，解得，
∴F（，），
∴＝＝，
故答案为：．
【点评】本题考查反比例函数与一次函数的交点，相似三角形的判定和性质，一次函数的性质等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，学会构建一次函数确定交点坐标，属于中考填空题中的压轴题．
17．（2021春•深圳校级月考）如图，点A在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，且点A是线段OB的中点，点D为x轴上一点，连接BD交反比例函数图象于点C，连接AC，着BC：CD＝2：1，S△ADC＝，则k的值为　16　．

【考点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征．菁优网版权所有
【专题】反比例函数及其应用．
【分析】作AE⊥OD于E，CF⊥OD于F．首先证明S△AOC＝S△AOE+S梯形AEFC﹣S△OCF＝S梯形AEFC，由此构建方程即可解决问题；
【解答】解：作AE⊥OD于E，CF⊥OD于F．

∵BC：CD＝2：1，S△ADC＝，
∴S△ACB＝，
∵OA＝AB，
∴B（2m，2n），S△AOC＝S△ACB＝，
∵A、C在y＝上，BC＝2CD，
∴C（m，n），
∵S△AOC＝S△AOE+S梯形AEFC﹣S△OCF＝S梯形AEFC，
∴•（n+n）×m＝，
∴mn＝16，
∵A（m，n），
∴k＝16．
故答案为16
【点评】本题考查反比例函数系数k的几何意义，解题的关键是学会利用参数，构建方程解决问题，本题的突破点是证明S△AOC＝S△AOE+S梯形AEFC﹣S△OCF＝S梯形AEFC．
18．（2021•海安市模拟）如图，点A（﹣7，8），B（﹣5，4）连接AB并延长交反比例函数y＝（x＜0）的图象于点C，若＝，则k＝　﹣8　．

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【专题】计算题．
【分析】作AD⊥x轴于D，BE⊥x轴于E，CF⊥x轴于F，根据平行线分线段成比例定理求出点C的坐标，代入反比例函数解析式计算即可．
【解答】解：作AD⊥x轴于D，BE⊥x轴于E，CF⊥x轴于F，
则AD∥BE∥CF，
∴＝，
∵＝，
∴＝，
∴＝，
∵点A（﹣7，8），B（﹣5，4），
∴DE＝2，
∴EF＝1，
∴OF＝4，即点C的横坐标为﹣4，
同理，点C的纵坐标为2，即点C的坐标为（﹣4，2），
∵点C在反比例函数y＝（x＜0）的图象上，
∴k＝﹣4×2＝﹣8，
故答案为：﹣8．

【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特征，掌握平行线分线段成比例定理、反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键．
19．（2020•碑林区校级三模）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，OC在x轴正半轴上，四边形OABC为平行四边形，反比例函数y＝的图象经过点A与边BC相交于点D，若S△ABC＝15，CD＝2BD，则k＝　36　．

【考点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征；平行四边形的性质．菁优网版权所有
【专题】反比例函数及其应用；应用意识．
【分析】如图，过点D作DE⊥x轴于E，过点B作BF⊥x轴于F，连接AD，OD．由DE∥BF，推出＝＝＝，设DE＝2a，则BF＝3a，则D（，2a），A（，3a），想办法用a表示CE，CF，构建方程即可解决问题．
【解答】解：如图，过点D作DE⊥x轴于E，过点B作BF⊥x轴于F，连接AD，OD．

∵CD＝2BD，
∴＝，
∵DE∥BF，
∴＝＝＝，
设DE＝2a，则BF＝3a，则D（，2a），A（，3a），
∵S△ABC＝15，CD＝2BD，
∴S△ADC＝10，
∵OA∥BC，
∴S△ODC＝S△ADC＝10，
∴•OC•DE＝10，
∴OC＝，
∴AB＝OC＝，
∴B（+，3a），
∴CE＝﹣，CF＝+﹣＝，
∴（﹣）：＝2：3，
解得k＝36，
故答案为36．
【点评】本题考查反比例函数系数k的几何意义，平行四边形的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
20．（2020•宁波）如图，经过原点O的直线与反比例函数y＝（a＞0）的图象交于A，D两点（点A在第一象限），点B，C，E在反比例函数y＝（b＜0）的图象上，AB∥y轴，AE∥CD∥x轴，五边形ABCDE的面积为56，四边形ABCD的面积为32，则a﹣b的值为　24　，的值为　﹣　．

【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．菁优网版权所有
【专题】反比例函数及其应用；应用意识．
【分析】如图，连接AC，OE，OC，OB，延长AB交DC的延长线于T，设AB交x轴于K．求出证明四边形ACDE是平行四边形，推出S△ADE＝S△ADC＝S五边形ABCDE﹣S四边形ABCD＝56﹣32＝24，推出S△AOE＝S△DEO＝12，可得a﹣b＝12，推出a﹣b＝24．再证明BC∥AD，证明AD＝3BC，推出AT＝3BT，再证明AK＝3BK即可解决问题．
【解答】解：如图，连接AC，OE，OC，OB，延长AB交DC的延长线于T，设AB交x轴于K．

由题意A，D关于原点对称，
∴A，D的纵坐标的绝对值相等，
∵AE∥CD，
∴E，C的纵坐标的绝对值相等，
∵E，C在反比例函数y＝的图象上，
∴E，C关于原点对称，
∴E，O，C共线，
∵OE＝OC，OA＝OD，
∴四边形ACDE是平行四边形，
∴S△ADE＝S△ADC＝S五边形ABCDE﹣S四边形ABCD＝56﹣32＝24，
∴S△AOE＝S△DEO＝12，
∴a﹣b＝12，
∴a﹣b＝24，
∵S△AOC＝S△AOB＝12，
∴BC∥AD，
∴＝，
∵S△ACB＝32﹣24＝8，
∴S△ADC：S△ABC＝24：8＝3：1，
∴BC：AD＝1：3，
∴TB：TA＝1：3，设BT＝m，则AT＝3m，AK＝TK＝1.5m，BK＝0.5m，
∴AK：BK＝3：1，
∴＝＝3，
∴＝﹣3，即＝﹣，
解法二：设A（m，），B（m，），则E（，），D（﹣m，﹣），C（﹣，﹣），
由题意，a﹣b＝24，2a﹣（m+）（+）×＝32，
化简可得，＝﹣．
故答案为24，﹣．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，平行四边形的判定和性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
三．解答题（共10小题）
21．（2020•浙江自主招生）已知直线y＝x上点C，过点C作CD∥y轴交x轴于点D，交双曲线y＝于点B，过点C作NC∥x轴交y轴于点N，交双曲线y＝于点E，若B是CD的中点，且四边形OBCE的面积为．
（1）求k的值；
（2）若A（3，3），M是双曲线y＝第一象限上的任一点，求证：|MC|﹣|MA|为常数6．
（3）现在双曲线y＝上选一处M建一座码头，向A（3，3），P（9，6）两地转运货物，经测算，从M到A，从M到P修建公路的费用都是每单位长度a万元，则码头M应建在何处，才能使修建两条公路的总费用最低？（提示：利用（2）的结论转化）

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【分析】（1）设C（a，a），则B（a，）、E（，a），根据S四边形OBCE＝a2﹣•a•﹣••a＝a2＝可得k＝＝；
（2）由（1）知C（﹣3，﹣3），设|MC|﹣|MA|＝t，M（x，），利用两点间的距离公式知﹣＝t，整理得出（t+2x+）（t﹣6）＝0，据此可得t﹣6＝0，t＝6；
（3）由MC﹣MA＝6知MA＝MC﹣6，从而得MA+MP＝MC+MP﹣6，当点M在PC连线与双曲线的交点上时，MC+MP取得最小值，据此可得．
【解答】解：（1）设C（a，a），则B（a，），E（，a），
∴S四边形OBCE＝a2﹣•a•﹣••a＝a2＝，
∴k＝a•＝＝；

（2）由（1）得a＝±3，
∴C（﹣3，﹣3），
设|MC|﹣|MA|＝t，M（x，）（x＞0），
则﹣＝t，
（x+3）2+（+3）2＝（x﹣3）2+（﹣3）2+t2+2t，
6（2x+）﹣t2＝t＝（2x+﹣6）t，
∴t2+（2x+﹣6）t﹣6（2x+）＝0，
（t+2x+）（t﹣6）＝0，
∵t+2x+＞0，
∴t﹣6＝0，t＝6，
即|MC|﹣|MA|为常数6；

（3）由（2）知MC﹣MA＝6，
∴MA＝MC﹣6，
∴MA+MP＝MC+MP﹣6，
则当点M在PC连线与双曲线的交点上时，MC+MP取得最小值，
∴MC+MP＝PC＝＝15，
∴MA+MP＝15﹣6＝9，
∴最低总费用为9a万元．
【点评】本题主要考查反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握待定系数法求解析式及两点间的距离公式、两点间线段最短是解题的关键．
22．（2019•麻城市校级自主招生）在平面直角坐标系中，我们不妨把横坐标和纵坐标相等的点叫“梦之点”，例如点（1，1），（﹣2，﹣2），，…都是“梦之点”，显然“梦之点”有无数个．
（1）若点P（2，m）是反比例函数y＝（n为常数，n≠0）的图象上的“梦之点”，求这个反比例函数的解析式；
（2）函数y＝3kx+s﹣1（k，s为常数）的图象上存在“梦之点”吗？若存在，请求出“梦之点”的坐标，若不存在，说明理由；
（3）若二次函数y＝ax2+bx+1（a，b是常数，a＞0）的图象上存在两个“梦之点”A（x1，x1），B（x2，x2），且满足﹣2＜x1＜2，|x1﹣x2|＝2，令t＝b2﹣2b+，试求t的取值范围．
【考点】一次函数图象上点的坐标特征；反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征；待定系数法求反比例函数解析式；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征．菁优网版权所有
【专题】反比例函数及其应用．
【分析】（1）根据“梦之点”的定义得出m的值，代入反比例函数的解析式求出n的值即可；
（2）根据梦之点的横坐标与纵坐标相同，可得关于x的方程，根据解方程，可得答案；
（3）由得：ax2+（b﹣1）x+1＝0，则x2，x2为此方程的两个不等实根，由|x1﹣x2|＝2得到﹣2＜x1＜0时，根据0≤x1＜2得到﹣2≤x2＜4；由于抛物线y＝ax2+（b﹣1）x+1的对称轴为x＝，于是得到﹣3＜＜3，根据二次函数的性质即可得到结论．
【解答】解：（1）∵点P（2，m）是反比例函数y＝（n为常数，n≠0）的图象上的“梦之点”，
∴m＝2，
∴P（2，2），
∴n＝2×2＝4，
∴这个反比例函数的解析式为y＝；

（2）由y＝3kx+s﹣1得当y＝x时，（1﹣3k）x＝s﹣1，
当k＝且s＝1时，x有无数个解，此时的“梦之点”存在，有无数个；
当k＝且s≠1时，方程无解，此时的“梦之点”不存在；
当k≠，方程的解为x＝，此时的“梦之点”存在，坐标为（，）；

（3）由得：ax2+（b﹣1）x+1＝0，则x2，x2为此方程的两个不等实根，
由|x1﹣x2|＝2，又﹣2＜x1＜2得：﹣2＜x1＜0时，﹣4＜x2＜2；0≤x1＜2时，﹣2≤x2＜4；
∵抛物线y＝ax2+（b﹣1）x+1的对称轴为x＝，故﹣3＜＜3，
由|x1﹣x2|＝2，得：（b﹣1）2＝4a2+4a，故a＞；t＝b2﹣2b+＝（b﹣1）2+，
y＝4a2+4a+＝4（a+）2+，当a＞﹣时，t随a的增大而增大，当a＝时，t＝，
∴a＞时，t＞．
【点评】本题考查了运用待定系数法求反比例函数的解析式，一次函数的性质，二次函数的性质，一元二次方程根与系数的关系，综合性较强，有一定难度．
23．（2018•锦江区校级自主招生）如图，在平面直角坐标系中，点A的横坐标为8，AB⊥x轴于点B，sin∠OAB＝，反比例函数y＝的图象的一支经过AO的中点C，交AB于点D．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求四边形OCDB的面积．

【考点】反比例函数系数k的几何意义；待定系数法求反比例函数解析式．菁优网版权所有
【专题】运算能力．
【分析】（1）先根据锐角三角函数的定义，求出OA的值，然后根据勾股定理求出AB的值，然后由C点是OA的中点，求出C点的坐标，然后将C的坐标代入反比例函数y＝中，即可确定反比例函数解析式；
（2）作CE⊥x轴于点E，然后根据S四边形OCDB＝S△OCE+S梯形CEBD即可求解．
【解答】解：（1）∵A点的坐标为（8，y），
∴OB＝8，
∵AB⊥x轴于点B，sin∠OAB＝，
∴＝，
∴OA＝10，
由勾股定理得：AB＝＝6，
∵点C是OA的中点，且在第一象限内，
∴C（4，3），
∵点C在反比例函数y＝的图象上，
∴k＝12，
∴反比例函数解析式为：y＝；
（2）作CE⊥x轴于点E．则E的坐标是（4，0）．
OE＝BE＝4，CE＝3．
在y＝中，令x＝8，解得y＝，则BD＝．
则S四边形OCDB＝S△OCE+S梯形CEBD＝OE•CE+（CE+BD）•BE＝×3×4+（3+）×4＝6+9＝15．

【点评】本题考查了待定系数法求函数的解析式以及图形的面积的计算，在计算不规则的图形的面积时常用的方法是转化成规则图形的面积的和或差计算．
24．（2017•攀枝花）如图，在平面直角坐标系中，坐标原点O是菱形ABCD的对称中心．边AB与x轴平行，点B（1，﹣2），反比例函数y＝（k≠0）的图象经过A，C两点．
（1）求点C的坐标及反比例函数的解析式．
（2）直线BC与反比例函数图象的另一交点为E，求以O，C，E为顶点的三角形的面积．

【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．菁优网版权所有
【分析】（1）连接AC，BD，根据坐标原点O是菱形ABCD的对称中心，可得AC，BD相交于点O，且∠AOB＝90°，根据B（1，﹣2），且AB∥x轴，可设A（a，﹣2），则AO2＝a2+4，BO2＝5，AB2＝（1﹣a）2，在Rt△AOB中，由勾股定理可得A（﹣4，﹣2），C（4，2），再根据待定系数法可求反比例函数解析式为y＝；
（2）连接OE，则△OCE是以O，C，E为顶点的三角形，根据待定系数法可求直线BC的解析式为y＝x﹣，设其与y轴交于点F（0，﹣），解方程可求点E的横坐标为﹣，再根据三角形面积公式即可求解．
【解答】解：（1）连接AC，BD，
∵坐标原点O是菱形ABCD的对称中心，
∴AC，BD相交于点O，且∠AOB＝90°，
∵B（1，﹣2），且AB∥x轴，
∴设A（a，﹣2），则AO2＝a2+4，BO2＝5，AB2＝（1﹣a）2，
在Rt△AOB中，由勾股定理得（1﹣a）2＝a2+4+5，
解得a＝﹣4，
∴A（﹣4，﹣2），
∴C（4，2），
∵反比例函数y＝（k≠0）的图象经过A，C两点，
∴反比例函数解析式为y＝；
（2）连接OE，则△OCE是以O，C，E为顶点的三角形，
设直线BC的解析式为y＝kx+b，
∵点B（1，﹣2），C（4，2）在该直线上，
∴，
解得．
∴直线BC的解析式为y＝x﹣，
设其与y轴交于点F（0，﹣），
∵反比例函数为y＝，
∴＝x﹣，
解得x1＝4，x2＝﹣，
∴点E的横坐标为﹣，
∴以O，C，E为顶点的三角形的面积＝××（4+）＝．

【点评】考查了反比例函数与一次函数的交点问题，对称中心的性质，勾股定理，待定系数法求反比例函数与一次函数解析式，三角形面积计算，关键是根据待定系数法求反比例函数与一次函数解析式．
25．（2017•吉林）如图，在平面直角坐标系中，直线AB与函数y＝（x＞0）的图象交于点A（m，2），B（2，n）．过点A作AC平行于x轴交y轴于点C，在y轴负半轴上取一点D，使OD＝OC，且△ACD的面积是6，连接BC．
（1）求m，k，n的值；
（2）求△ABC的面积．

【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．菁优网版权所有
【分析】（1）由点A的纵坐标为2知OC＝2，由OD＝OC知OD＝1、CD＝3，根据△ACD的面积为6求得m＝4，将A的坐标代入函数解析式求得k，将点B坐标代入函数解析式求得n；
（2）作BE⊥AC，得BE＝2，根据三角形面积公式求解可得．
【解答】解：（1）∵点A的坐标为（m，2），AC平行于x轴，
∴OC＝2，AC⊥y轴，
∵OD＝OC，
∴OD＝1，
∴CD＝3，
∵△ACD的面积为6，
∴CD•AC＝6，
∴AC＝4，即m＝4，
则点A的坐标为（4，2），将其代入y＝可得k＝8，
∵点B（2，n）在y＝的图象上，
∴n＝4；

（2）如图，过点B作BE⊥AC于点E，则BE＝2，

∴S△ABC＝AC•BE＝×4×2＝4，
即△ABC的面积为4．
【点评】本题主要考查反比例函数与一次函数的交点问题，根据三角形的面积求得点A的坐标及待定系数法求函数解析式是解题的关键．
26．（2021春•天心区月考）定义：在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（x，y），当x＞k时，B点坐标为（﹣x，﹣y）；当x≤k时，B点坐标为（﹣x，﹣y+2），则称点B为点A的k一分点（其中k为常数）．例如：（﹣2，4）的0一分点坐标为（2，﹣2）．
（1）点（1，5）的1一分点在反比例函数y＝图象上，则m＝　3　；
若点（a﹣2，6）的2一分点在直线y＝x+3上，则a＝　11　；
（2）若点N在二次函数y＝x2﹣2x﹣3的图象上，点M为点N的3一分点．
①求点M所在函数的解析式；
②求点M所在函数的图象与直线y＝﹣12交点坐标；
③当﹣5≤x≤m时，点M所在函数的函数值﹣12≤y≤6，求出m的取值范围．
【考点】一次函数的性质；一次函数图象上点的坐标特征；待定系数法求一次函数解析式；反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征；待定系数法求反比例函数解析式；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；待定系数法求二次函数解析式．菁优网版权所有
【专题】函数及其图象；推理能力．
【分析】（1）根据新定义计算即可，第二小问注意分类讨论，
（2）①分x＜﹣3，x≥﹣3两种情况，根据变化定义，找到点M坐标，进而找到M点所在解析式，
②把y＝﹣12代入M点所在解析式，即可求得交点坐标，
③根据函数性质即可解答．
【解答】解：（1）∵1≤1，
∴点（1，5）的1一分点坐标为（﹣1，﹣3）；
∵点（1，5）的1一分点在反比例函数y＝图象上，
∴m＝﹣1×（﹣3）＝3；
分情况讨论：①当a﹣2＞2，即a＞4时，点（a﹣2，6）的2一分点为（2﹣a，﹣6），
∵点（a﹣2，6）的2一分点在直线y＝x+3上，
∴﹣6＝2﹣a+3，
∴a＝11，
②当a﹣2≤2，即a≤4时，点（a﹣2，6）的2一分点为（2﹣a，﹣4），
∵点（a﹣2，6）的2一分点在直线y＝x+3上，
∴﹣4＝2﹣a+3，
∴a＝9（舍去），
故答案为：3，11，
（2）①设N（m，m2﹣2m﹣3），
∵点M为点N的3一分点，
∴当m＞3，M（﹣m，﹣m2+2m+3），其中，
∴点M所在函数的解析式为：y＝﹣x2﹣2x+3（x＜﹣3），
当m≤3，M（﹣m，﹣m2+2m+5），其中，
∴点M所在函数的解析式为：y＝﹣x2﹣2x+5（x≥﹣3），
故点M所在函数的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3（x＜﹣3）或y＝﹣x2﹣2x+5（x≥﹣3），
②把y＝﹣12代入y＝﹣x2﹣2x+3（x＜﹣3）得﹣x2﹣2x+3＝﹣12，
解得x1＝﹣5，x2＝3（舍去），
把y＝﹣12代入y＝﹣x2﹣2x+5（x≥﹣3）得﹣x2﹣2x+5＝﹣12，
解得x1＝﹣1+3，x2＝﹣1﹣3（舍去），
综上所述，点M所在函数的图象与直线y＝﹣12交点坐标为（﹣5，﹣12）或（﹣1+3，﹣12），
③由点M所在函数的图象可知：
把y＝﹣12代入y＝﹣x2﹣2x+3（x＜﹣3）得﹣x2﹣2x+3＝﹣12，
解得x1＝﹣5，x2＝3（舍去），
把y＝﹣12代入y＝﹣x2﹣2x+5（x≥﹣3）得﹣x2﹣2x+5＝﹣12，
解得x1＝﹣1+3，x2＝﹣1﹣3（舍去），
当y＝6，代入y＝﹣x2﹣2x+3（x＜﹣3）得﹣x2﹣2x+3＝6，此时方程无解，
当y＝6，代入y＝﹣x2﹣2x+5（x≥﹣3）得﹣x2﹣2x+5＝6，
解得：x＝﹣1，
∴当﹣1≤m≤﹣1+3时，点M所在函数的函数值﹣12≤y≤6；
综上，当﹣5≤x≤m时，点M所在函数的函数值﹣12≤y≤6，其中m的取值范围为﹣1≤m≤﹣1+3．
【点评】本题采取新定义的方式考查坐标变化、一次函数性质、二次函数性质，把握变化规律，结合图象特点，注意分类讨论是解题关键．
27．（2020秋•宁津县期末）如图，一次函数y＝ax+b的图象与反比例函数y＝的图象交于M（﹣3，1），N（1，n）两点．
（1）求这两个函数的表达式．
（2）过动点C（m，0）且垂直于x轴的直线与一次函数及反比例函数的图象分别交于D、E两点，当点E位于点D上方时，直接写出m的取值范围．

【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．菁优网版权所有
【专题】一次函数及其应用；反比例函数及其应用；几何直观；运算能力．
【分析】（1）先根据点M的坐标求出反比例函数的解析式，再根据反比例函数解析式求出点N的坐标，利用待定系数法求一次函数的解析式；
（2）根据函数的图象即可求得m的取值范围．
【解答】解；（1）反比例函数y＝的图象过点M（﹣3，1），
∴k＝﹣3，
反比例函数的解析式为y＝﹣，
反比例函数y＝﹣的图象过点N（1，n），
∴n＝﹣＝﹣3，
∴N（1，﹣3），
一次函数y＝ax+b的图象过点M（﹣3，1）、N（1，﹣3），
，
解得，
故一次函数的解析式为y＝﹣x﹣2；

（2）由图象可知，m的取值范围是m＞1或﹣3＜m＜0．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用了待定系数法求函数解析式，数形结合法求不等式的解集．
28．（2020秋•莘县期末）如图，一次函数y＝kx+b的图象与坐标轴分别交于A、B两点，与反比例函数y＝的图象在第一象限的交点为点C，CD⊥x轴，垂足为点D，若OB＝3，OD＝6，△AOB的面积为3．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）直接写出当x＞0时，kx+b﹣＞0的解集．

【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．菁优网版权所有
【专题】反比例函数及其应用．
【分析】（1）根据三角形面积求出OA，得出A、B的坐标，代入一次函数的解析式即可求出解析式，把x＝6代入求出C的坐标，把C的坐标代入反比例函数的解析式求出即可；
（2）根据图象即可得出kx+b﹣＞0的解集．
【解答】解：（1）∵S△AOB＝3，OB＝3，
∴OA＝2，
∴B（3，0），A（0，﹣2），
代入y＝kx+b得：，
解得：k＝，b＝﹣2，
∴一次函数y＝x﹣2，
∵OD＝6，
∴D（6，0），CD⊥x轴，
当x＝6时，y＝×6﹣2＝2，
∴C（6，2），
∴n＝6×2＝12，
∴反比例函数的解析式是y＝；
（2）当x＞0时，kx+b﹣＞0的解集是x＞6．

【点评】本题考查了用待定系数法求出函数的解析式，一次函数和反比例函数的交点问题，函数的图象的应用，主要考查学生的观察图形的能力和计算能力．
29．（2020秋•荔湾区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，正比例函数y＝2x与反比例函数y＝的图象交于A，B两点，A点的横坐标为2，AC⊥x轴于点C，连接BC．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）若点P是反比例函数y＝图象上的一点，且满足△OPC与△ABC的面积相等，请直接写出点P的坐标．

【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．菁优网版权所有
【分析】（1）把A点横坐标代入正比例函数，可求得A点坐标，代入反比例函数解析式，可求得反比例函数解析式；
（2）由条件可求得B、C的坐标，可先求得△ABC的面积，再结合△OPC与△ABC的面积相等，求得P点坐标．
【解答】解：（1）∵A点的横坐标为2，AC⊥x轴于点C，
∴在正比例函数y＝2x中，当x＝2时，y＝4
∴A（2，4）
将A（2，4）代入反比例函数y＝，可得
4＝，即k＝8
∴反比例函数的解析式为y＝；

（2）∵AC⊥OC，
∴OC＝2，
∵A、B关于原点对称，
∴B点坐标为（﹣2，﹣4），
∴B到OC的距离为4，
∴S△ABC＝2S△ACO＝2××2×4＝8，
∴S△OPC＝8，
设P点坐标为（x，），则P到OC的距离为||，
∴×||×2＝8，
解得x＝1或﹣1，
∴P点坐标为（1，8）或（﹣1，﹣8）．

【点评】本题属于反比例函数与一次函数的交点问题，主要考查了待定系数法求函数解析式，在解题时注意：选择OC作为△OCP的底，并根据面积的大小求得P点到OC的距离是解题的关键．
30．（2019秋•大名县期末）如图：反比例函数y1＝的图象与一次函数y2＝x+b的图象交于A、B两点，其中A点坐标为（1，2）．
（1）求反比例函数与一次函数的表达式；
（2）观察图象，直接写出当y1＜y2时，自变量x的取值范围；
（3）一次函数的图象与轴交于点C，点P是反比例函数图象上的一个动点，若S△OCP＝6，求此时P点的坐标．

【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．菁优网版权所有
【专题】计算题．
【分析】（1）把A点坐标代入y1＝中求出k得到反比例函数解析式，把A点坐标代入y2＝x+b中求出b得到一次函数解析式；
（2）由函数图象，写出一次函数图象在反比例函数图象上方所对应的自变量的范围即可；
（3）设P（x，），先利用一次解析式解析式确定C（0，1），再根据三角形面积公式得到×1×|x|＝6，然后解绝对值方程得到x的值，从而得到P点坐标．
【解答】解：（1）把A（1，2）代入y1＝得k＝2，
∴反比例函数解析式为y1＝，
把A（1，2）代入y2＝x+b得2＝1+b，解得b＝1，
∴一次函数解析式为y2＝x+1；
（2）∵B点和A点关于原点对称，
∴B（﹣1，﹣2），
由函数图象可得：当y1＜y2时，﹣2＜x＜0或x＞1；
（3）设P（x，），
当x＝0时，y＝x+1＝1，
∴C（0，1），
∵S△OCP＝6，
∴×1×|x|＝6，解得x＝±12，
∴P（12，）或（﹣12，﹣）．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．也考查了待定系数法求函数解析式．

考点卡片
1．规律型：点的坐标
规律型：点的坐标．
2．一次函数的性质
一次函数的性质：
k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降．
由于y＝kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．
3．一次函数图象上点的坐标特征
一次函数y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数）的图象是一条直线．它与x轴的交点坐标是（﹣，0）；与y轴的交点坐标是（0，b）．
直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx+b．
4．待定系数法求一次函数解析式
待定系数法求一次函数解析式一般步骤是：
（1）先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设y＝kx+b；
（2）将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组；
（3）解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式．
注意：求正比例函数，只要一对x，y的值就可以，因为它只有一个待定系数；而求一次函数y＝kx+b，则需要两组x，y的值．
5．反比例函数的性质
反比例函数的性质
（1）反比例函数y＝（k≠0）的图象是双曲线；
（2）当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；
（3）当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．
注意：反比例函数的图象与坐标轴没有交点．
6．反比例函数系数k的几何意义
比例系数k的几何意义
在反比例函数y＝图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．
在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是|k|，且保持不变．
7．反比例函数图象上点的坐标特征
反比例函数y＝k/x（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，
①图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k；
②双曲线是关于原点对称的，两个分支上的点也是关于原点对称；
③在y＝k/x图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．
8．待定系数法求反比例函数解析式
用待定系数法求反比例函数的解析式要注意：
（1）设出含有待定系数的反比例函数解析式y＝（k为常数，k≠0）；
（2）把已知条件（自变量与函数的对应值）带入解析式，得到待定系数的方程；
（3）解方程，求出待定系数；
（4）写出解析式．
9．反比例函数与一次函数的交点问题
反比例函数与一次函数的交点问题
（1）求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．
（2）判断正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝在同一直角坐标系中的交点个数可总结为：
①当k1与k2同号时，正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝在同一直角坐标系中有2个交点；
②当k1与k2异号时，正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝在同一直角坐标系中有0个交点．
10．二次函数的性质
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣，），对称轴直线x＝﹣，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：
①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜﹣时，y随x的增大而减小；x＞﹣时，y随x的增大而增大；x＝﹣时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．
②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜﹣时，y随x的增大而增大；x＞﹣时，y随x的增大而减小；x＝﹣时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点．
③抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y＝ax2的图象向右或向左平移|﹣|个单位，再向上或向下平移||个单位得到的．
11．二次函数图象上点的坐标特征
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，顶点坐标是（﹣，）．
①抛物线是关于对称轴x＝﹣成轴对称，所以抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足函数函数关系式．顶点是抛物线的最高点或最低点．
②抛物线与y轴交点的纵坐标是函数解析中的c值．
③抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（x1，0），（x2，0），则其对称轴为x＝．
12．待定系数法求二次函数解析式
（1）二次函数的解析式有三种常见形式：
①一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）； ②顶点式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标； ③交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0）；
（2）用待定系数法求二次函数的解析式．
在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．
13．平行线之间的距离
（1）平行线之间的距离
从一条平行线上的任意一点到另一条直线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离．
（2）平行线间的距离处处相等．
14．平行四边形的性质
（1）平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．
（2）平行四边形的性质：
①边：平行四边形的对边相等．
②角：平行四边形的对角相等．
③对角线：平行四边形的对角线互相平分．
（3）平行线间的距离处处相等．
（4）平行四边形的面积：
①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积．
②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等．
15．菱形的性质
（1）菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．
（2）菱形的性质
①菱形具有平行四边形的一切性质；
②菱形的四条边都相等；
③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；
④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线．
（3）菱形的面积计算
①利用平行四边形的面积公式．
②菱形面积＝ab．（a、b是两条对角线的长度）
16．矩形的性质
（1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．
（2）矩形的性质
①平行四边形的性质矩形都具有；
②角：矩形的四个角都是直角；
③边：邻边垂直；
④对角线：矩形的对角线相等；
⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点．
（3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
17．正方形的性质
（1）正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．
（2）正方形的性质
①正方形的四条边都相等，四个角都是直角；
②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；
③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．
④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴．
18．坐标与图形变化-旋转
（1）关于原点对称的点的坐标
P（x，y）⇒P（﹣x，﹣y）
（2）旋转图形的坐标
图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．
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