还剩61页未读，
继续阅读
2021年新高一数学专题复习《圆》
展开
这是一份2021年新高一数学专题复习《圆》，共64页。
2021年新高一数学专题复习《圆》
一．选择题（共10小题）
1．（2021•武汉模拟）如图，矩形ABCD中．AB＝3，BC＝6，以点B为圆心、BA为半径画弧，交BC于点E，以点D为圆心、DA为半径画弧，交BC于点F，则阴影部分的面积为（ ）
A． B．6π﹣ C． D．
2．（2020•青山区模拟）如图，点C是半圆O的中点，AB是直径，CF⊥弦AD于点E，交AB于点F，若CE＝1，EF＝，则BF的长为（ ）
A． B．1 C． D．
3．（2020•昆山市一模）已知⊙O的半径为2，A为圆内一定点，AO＝1．P为圆上一动点，以AP为边作等腰△APG，AP＝PG，∠APG＝120°，OG的最大值为（ ）
A．1+ B．1+2 C．2+ D．2﹣1
4．（2019•武汉模拟）如图，⊙O中，弦AB⊥CD，垂足为E，F为的中点，连接AF、BF、AC，AF交CD于M，过F作FH⊥AC，垂足为G，以下结论：①＝；②HC＝BF：③MF＝FC：④+＝+，其中成立的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．（2018秋•镇海区期末）如图，AB是⊙O的直径，AB＝10，P是半径OA上的一动点，PC⊥AB交⊙O于点C，在半径OB上取点Q，使得OQ＝CP，DQ⊥AB交⊙O于点D，点C，D位于AB两侧，连接CD交AB于点F，点P从点A出发沿AO向终点O运动，在整个运动过程中，△CFP与△DFQ的面积和的变化情况是（ ）
A．一直减小 B．一直不变
C．先变大后变小 D．先变小后变大
6．（2017秋•丹徒区期末）如图，AB是半圆O的直径，点D在半圆O上，AB＝2，AD＝10，C是弧BD上的一个动点，连接AC，过D点作DH⊥AC于H，连接BH，在点C移动的过程中，BH的最小值是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
7．（2021•乐山）如图，已知OA＝6，OB＝8，BC＝2，⊙P与OB、AB均相切，点P是线段AC与抛物线y＝ax2的交点，则a的值为（ ）
A．4 B． C． D．5
8．（2021•连云港）如图，正方形ABCD内接于⊙O，线段MN在对角线BD上运动，若⊙O的面积为2π，MN＝1，则△AMN周长的最小值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
9．（2021•湖州）如图，已知在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝，点P是AD边上的一个动点，连结BP，点C关于直线BP的对称点为C1，当点P运动时，点C1也随之运动．若点P从点A运动到点D，则线段CC1扫过的区域的面积是（ ）
A．π B．π+ C． D．2π
10．（2021•武汉模拟）如图，半径为1的⊙O与直线l相切于点A，C为⊙O上的一点，CB⊥l于点B，则AB+BC的最大值是（ ）
A．2 B． C． D．
二．填空题（共10小题）
11．（2021•江岸区校级模拟）已知如图，AB＝4，AC＝2，∠BAC＝60°，所在圆的圆心是点O，∠BOC＝60°，分别在、线段AB和AC上选取点P、E、F，则PE+EF+FP的最小值为 ．
12．（2021•海安市模拟）已知圆锥的侧面积是40π，底面圆直径为2，则圆锥的母线长是 ．
13．（2020秋•开福区校级月考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝10，BC＝8，点D是BC上一点，BC＝3CD，点P是线段AC上一个动点，以PD为直径作⊙O，点M为的中点，连接AM，则AM的最小值为 ．
14．（2020•海宁市一模）如图，等边△ABC中，AB＝2，点D是以A为圆心，半径为1的圆上一动点，连接CD，取CD的中点E，连接BE，则线段BE的最大值与最小值之和为 ．
15．（2020•温州三模）如图，AB是半圆O的直径，点C在半径OA上，过点C做CD⊥AB交半圆O于点D．以CD，CA为边分别向左、下作正方形CDEF，CAGH．过点B作GH的垂线与GH的延长线交于点I，M为HI的中点．记正方形CDEF，CAGH，四边形BCHI的面积分别为S1，S2，S3．
（1）若AC：BC＝2：3，则的值为 ；
（2）若D，O，M在同条直线上，则的值为 ．
16．（2020•龙泉驿区模拟）如图，直线y＝﹣x+m（m＞0）与x轴、y轴分别交于点A，B，C是AB的中点，点D在直线y＝﹣2上，以CD为直径的圆与直线AB的另一交点为E，交y轴于点F，G，已知CE+DE＝6，FG＝2，则CD的长是 ．
17．（2020秋•崇川区期末）如图1，▱ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝6，BC＝2，P为边CD上的一动点，设PB+PD的值为a，如图2，⊙O是正方形ABCD的内切圆，AB＝4，点P是⊙O上一个动点，设AP+DP的值为b，如图3，MN＝4，∠M＝75°，MG＝3．点O是△MNG内一点，设点O到△MNG三个顶点的距离和的值为c，则a2+b2+c2的最小值为 ．
18．（2020秋•海曙区期末）如图，正六边形ABCDEF中，G，H分别是边AF和DE上的点，GF＝AB＝2，∠GCH＝60°，则线段EH长 ．
19．（2017•浦东新区校级自主招生）如图，边长为5的圆内接正方形ABCD中，P为CD的中点，连接AP并延长交圆于点E，则DE的长为 ．
20．（2021•长兴县模拟）已知：如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝9，点E是对角线AC上的一点，经过C，D，E三点的⊙O与AD，BC分别交于点F，G，连接ED，EF，EG，延长GE交AD于点H．若当△HEF是等腰三角形时，CE的长为 ．
三．解答题（共10小题）
21．（2021•武汉模拟）如图，O是△ABC的外心，I是△ABC的内心，连AI并延长交BC和⊙O于D、E两点．
（1）求证：EB＝EI；
（2）若AB＝4，AC＝3，BE＝2，求AI的长．
22．（2020秋•长寿区期末）如图，AB是⊙O的直径，P在AB的延长线上，PD与⊙O相切于点D，C在⊙O上，PC＝PD．
（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）连接AC，若AC＝PC，PB＝1，求⊙O的半径．
23．（2021•商河县二模）如图，钝角△ABC中，AB＝AC，BC＝2，O是边AB上一点，以O为圆心，OB为半径作⊙O，交边AB于点D，交边BC于点E，过E作⊙O的切线交边AC于点F．
（1）求证：EF⊥AC．
（2）连接DF，若∠ABC＝30°，且DF∥BC，求⊙O的半径长．
24．（2021•济南一模）如图，AB与⊙O相切于点C，OA，OB分别交⊙O于点D，E，CD＝CE
（1）求证：OA＝OB；
（2）已知AB＝4 ，OA＝4，求阴影部分的面积．
25．（2021•鼓楼区校级模拟）已知⊙O为△ABC的外接圆，直线l与⊙O相切于点P，且l∥BC．
（1）连接PO，并延长交⊙O于点D，连接AD．证明：AD平分∠BAC；
（2）在（1）的条件下，AD交BC于点E，连接CD．若DE＝2，AE＝6．试求CD的长．
26．（2021•贺兰县校级一模）如图，在⊙O中，直径AB与弦CD相交于点P，∠CAB＝40°，∠APD＝65°
（1）求∠B的大小；
（2）已知圆心O到BD的距离为3，求AD的长．
27．（2020秋•高州市期末）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，且CD＝24，点M在⊙O上，MD经过圆心O，连接MB．
（1）若BE＝8，求⊙O的半径；
（2）若∠DMB＝∠D，求线段OE的长．
28．（2021•凉山州）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AE平分∠BAC交BC于点E，点D在AB上，DE⊥AE，⊙O是Rt△ADE的外接圆，交AC于点F．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为5，AC＝8，求S△BDE．
29．（2021•淮安二模）如图，在△ABC中，BE是∠ABC的平分线，∠C＝90°，点D在AB边上，以DB为直径的半圆O经过点E．
（1）求证：AC是⊙O的切线．
（2）若BC＝3，⊙O的半径为2，求BE的长．
30．（2019•呼和浩特）如图，以Rt△ABC的直角边AB为直径的⊙O交斜边AC于点D，过点D作⊙O的切线与BC交于点E，弦DM与AB垂直，垂足为H．
（1）求证：E为BC的中点；
（2）若⊙O的面积为12π，两个三角形△AHD和△BMH的外接圆面积之比为3，求△DEC的内切圆面积S1和四边形OBED的外接圆面积S2的比．
2021年新高一数学专题复习《圆》
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（2021•武汉模拟）如图，矩形ABCD中．AB＝3，BC＝6，以点B为圆心、BA为半径画弧，交BC于点E，以点D为圆心、DA为半径画弧，交BC于点F，则阴影部分的面积为（ ）
A． B．6π﹣ C． D．
【考点】矩形的性质；扇形面积的计算．菁优网版权所有
【专题】圆的有关概念及性质．
【分析】如图，连接DF．解直角三角形求出CF、BF，∠FDC的度数，再根据S阴＝S扇形ABE﹣（S矩形ABCD﹣S扇形DAF﹣S△DCF）计算即可；
【解答】解：如图，连接DF．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠C＝∠ADC＝90°，AB＝CD＝3，AD＝DF＝BC＝6，
∴CF＝＝3，BF＝BC﹣CF＝3，
∴tan∠FDC＝，
∴∠FDC＝30°，∠ADF＝60°
∴S阴＝S扇形ABE﹣（S矩形ABCD﹣S扇形DAF﹣S△DCF）
＝﹣（18﹣﹣•3•3）
＝π﹣，
故选：A．
【点评】本题考查矩形的性质、扇形的面积公式、勾股定理、解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用分割法求阴影部分的面积．
2．（2020•青山区模拟）如图，点C是半圆O的中点，AB是直径，CF⊥弦AD于点E，交AB于点F，若CE＝1，EF＝，则BF的长为（ ）
A． B．1 C． D．
【考点】勾股定理；垂径定理．菁优网版权所有
【专题】圆的有关概念及性质；运算能力．
【分析】如图，连接AC，BC，OC，过点B作BH⊥CF交CF的延长线于H，设OC交AD于J．利用全等三角形的性质证明CJ＝BF，OJ＝OF，设BF＝CJ＝x，OJ＝OF＝y，构建方程组解决问题即可．
【解答】解：如图，连接AC，BC，OC，过点B作BH⊥CF交CF的延长线于H，设OC交AD于J．
∵＝，
∴AC＝BC，OC⊥AB，
∵AB是直径，
∴ACB＝90°，
∴∠ACJ＝∠CBF＝45°，
∵CF⊥AD，
∴∠ACF+∠CAJ＝90°，∠ACF+∠BCF＝90°，
∴∠CAJ＝∠BCF，
∴△CAJ≌△BCF（ASA），
∴CJ＝BF，AJ＝CF＝1+＝，
∵OC＝OB，
∴OJ＝OF，设BF＝CJ＝x．OJ＝OF＝y，
∵∠AEC＝∠H＝90°，∠CAE＝∠BCH，CA＝CB，
∴△ACE≌△CBH（AAS），
∴EC＝BH＝1，
∵∠ECJ＝∠FCO，∠CEJ＝∠COF＝90°，
∴△CEJ∽△COF，
∴＝＝，
∴＝＝，
∴EJ＝，
∵BF＝CJ，∠H＝∠CEJ，∠CJE＝∠BFH，
∴△BHF≌△CEJ（AAS），
∴FH＝EJ＝，
∵AE∥BH，
∴＝，
∴＝，
整理得，10x2+7xy﹣6y2＝0，
解得x＝y或x＝﹣y（舍弃），
∴y＝2x，
∴＝，
解得x＝或﹣（舍弃）．
∴BF＝，
故选：A．
【点评】本题考查垂径定理，圆周角定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形或相似三角形解决问题，学会利用参数构建方程组解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
3．（2020•昆山市一模）已知⊙O的半径为2，A为圆内一定点，AO＝1．P为圆上一动点，以AP为边作等腰△APG，AP＝PG，∠APG＝120°，OG的最大值为（ ）
A．1+ B．1+2 C．2+ D．2﹣1
【考点】等腰三角形的性质；圆周角定理．菁优网版权所有
【专题】动点型；与圆有关的计算．
【分析】如图，将线段OA绕点O顺时针旋转120°得到线段OT，连接AT，GT，OP．则AO＝OT＝1，AT＝，利用相似三角形的性质求出GT，再根据三角形的三边关系解决问题即可，
【解答】解：如图，将线段OA绕点O顺时针旋转120°得到线段OT，连接AT，GT，OP．则AO＝OT＝1，AT＝，
∵△AOT，△APG都是顶角为120°的等腰三角形，
∴∠OAT＝∠PAG＝30°，
∴∠OAP＝∠TAG，＝＝
∴＝，
∴△OAP∽△TAG，
∴＝＝，∵OP＝2，
∴TG＝2，
∵OG≤OT+GT，
∴OG≤1+2，
∴OG的最大值为1+2，
故选：B．
【点评】本题考查圆周角定理，相似三角形的判定和性质，三角形的三边关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
4．（2019•武汉模拟）如图，⊙O中，弦AB⊥CD，垂足为E，F为的中点，连接AF、BF、AC，AF交CD于M，过F作FH⊥AC，垂足为G，以下结论：①＝；②HC＝BF：③MF＝FC：④+＝+，其中成立的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】垂径定理；圆心角、弧、弦的关系．菁优网版权所有
【专题】与圆有关的计算；应用意识．
【分析】根据弧，弦，圆心角之间的关系，圆周角定理以及三角形内角和定理一一判断即可．
【解答】解：∵F为的中点，
∴＝，故①正确，
∴∠FCM＝∠FAC，
∵∠FCG＝∠ACM+∠GCM，∠AME＝∠FMC＝∠ACM+∠FAC，
∴∠AME＝∠FMC＝∠FCG＞∠FCM，
∴FC＞FM，故③错误，
∵AB⊥CD，FH⊥AC，
∴∠AEM＝∠CGF＝90°，
∴∠CFH+∠FCG＝90°，∠BAF+∠AME＝90°，
∴∠CFH＝∠BAF，
∴＝，
∴HC＝BF，故②正确，
∵∠AGF＝90°，
∴∠CAF+∠AFH＝90°，
∴的度数+的度数＝180°，
∴的度数+的度数＝180°，
∴+＝+＝+＝+，故④正确，
故选：C．
【点评】本题考查圆心角，弧，弦之间的关系，三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考选择题中的压轴题．
5．（2018秋•镇海区期末）如图，AB是⊙O的直径，AB＝10，P是半径OA上的一动点，PC⊥AB交⊙O于点C，在半径OB上取点Q，使得OQ＝CP，DQ⊥AB交⊙O于点D，点C，D位于AB两侧，连接CD交AB于点F，点P从点A出发沿AO向终点O运动，在整个运动过程中，△CFP与△DFQ的面积和的变化情况是（ ）
A．一直减小 B．一直不变
C．先变大后变小 D．先变小后变大
【考点】勾股定理；垂径定理．菁优网版权所有
【专题】圆的有关概念及性质；几何直观；推理能力．
【分析】连接OC，OD，PD，CQ．设PC＝x，OP＝y，OF＝a，利用分割法求出阴影部分的面积，再求出a＝y﹣x即可判断；
【解答】解：连接OC，OD，PD，CQ．设PC＝x，OP＝y，OF＝a，
∵PC⊥AB，QD⊥AB，
∴∠CPO＝∠OQD＝90°，
∵PC＝OQ，OC＝OD，
∴Rt△OPC≌Rt△DQO，
∴OP＝DQ＝y，
∴S阴＝S四边形PCQD﹣S△PFD﹣S△CFQ＝（x+y）2﹣•（y﹣a）y﹣（x+a）x＝xy+a（y﹣x），
∵PC∥DQ，
∴＝，
∴＝，
∴a＝y﹣x，
∴S阴＝xy+（y﹣x）（y﹣x）＝（x2+y2）＝
故选：B．
【点评】本题考查勾股定理、全等三角形的判定和性质、三角形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用分割法求面积，属于中考选择题中的压轴题．
6．（2017秋•丹徒区期末）如图，AB是半圆O的直径，点D在半圆O上，AB＝2，AD＝10，C是弧BD上的一个动点，连接AC，过D点作DH⊥AC于H，连接BH，在点C移动的过程中，BH的最小值是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【考点】勾股定理；圆周角定理；点与圆的位置关系．菁优网版权所有
【专题】圆的有关概念及性质．
【分析】如图，取AD的中点M，连接BD，HM，BM．由题意点H在以M为圆心，MD为半径的⊙M上，推出当M、H、B共线时，BH的值最小；
【解答】解：如图，取AD的中点M，连接BD，HM，BM．
∵DH⊥AC，
∴∠AHD＝90°，
∴点H在以M为圆心，MD为半径的⊙M上，
∴当M、H、B共线时，BH的值最小，
∵AB是直径，
∴∠ADB＝90°，
∴BD＝＝12，
BM＝＝＝13，
∴BH的最小值为BM﹣MH＝13﹣5＝8．
故选：D．
【点评】本题考查点与圆的位置关系、勾股定理、圆周角定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，利用辅助线圆解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
7．（2021•乐山）如图，已知OA＝6，OB＝8，BC＝2，⊙P与OB、AB均相切，点P是线段AC与抛物线y＝ax2的交点，则a的值为（ ）
A．4 B． C． D．5
【考点】二次函数图象上点的坐标特征；切线的性质．菁优网版权所有
【专题】代数几何综合题；与圆有关的位置关系；几何直观；数据分析观念．
【分析】设点P的坐标为（x，﹣x+6），由点P、A的坐标得，PA＝（6﹣x），则AN＝＝，由AB＝10＝BN+AN，得到10＝+2+x，进而求解．
【解答】解：设⊙P与OB、AB分别相切于点M、N，连接PM、PN，
设圆的半径为x，则PN＝PM＝x，
由题意知，OC＝AO＝6，则直线BA与y轴的夹角为45°，则CM＝MP＝x，
由点A、C的坐标得，直线AC的表达式为y＝﹣x+6，
则点P的坐标为（x，﹣x+6），
由点P、A的坐标得，PA＝（6﹣x），
则AN＝＝，
∵⊙P与OB、AB分别相切于点M、N，故BN＝BM＝BC+CM＝2+x，
在Rt△ABO中，OA＝6，OB＝8，则AB＝10＝BN+AN，
即10＝+2+x，解得x＝1，
故点P的坐标为（1，5），
将点P的坐标代入y＝ax2得5＝a，
故选：D．
【点评】本题为几何和函数综合题，涉及一次函数的性质、圆的切线的性质、勾股定理的运用等，综合性强，难度适中．
8．（2021•连云港）如图，正方形ABCD内接于⊙O，线段MN在对角线BD上运动，若⊙O的面积为2π，MN＝1，则△AMN周长的最小值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【考点】勾股定理；正方形的性质；垂径定理；圆周角定理；正多边形和圆；轴对称﹣最短路线问题．菁优网版权所有
【专题】几何综合题；动点型；创新意识．
【分析】由正方形的性质，知点C是点A关于BD的对称点，过点C作CA′∥BD，且使CA′＝1，连接AA′交BD于点N，取NM＝1，连接AM、CM，则点M、N为所求点，进而求解．
【解答】解：⊙O的面积为2π，则圆的半径为，则BD＝2＝AC，
由正方形的性质，知点C是点A关于BD的对称点，
过点C作CA′∥BD，且使CA′＝1，
连接AA′交BD于点N，取NM＝1，连接AM、CM，则点M、N为所求点，
理由：∵A′C∥MN，且A′C＝MN，则四边形MCA′N为平行四边形，
则A′N＝CM＝AM，
故△AMN的周长＝AM+AN+MN＝AA′+1为最小，
则A′A＝＝3，
则△AMN的周长的最小值为3+1＝4，
故选：B．
【点评】本题是为几何综合题，主要考查了圆的性质、点的对称性、平行四边形的性质等，确定点M、N的位置是本题解题的关键．
9．（2021•湖州）如图，已知在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝，点P是AD边上的一个动点，连结BP，点C关于直线BP的对称点为C1，当点P运动时，点C1也随之运动．若点P从点A运动到点D，则线段CC1扫过的区域的面积是（ ）
A．π B．π+ C． D．2π
【考点】矩形的性质；扇形面积的计算；轴对称的性质．菁优网版权所有
【专题】矩形 菱形 正方形；推理能力．
【分析】由临界状态确定出C1的运动路径，明确点P从点A运动到点D，则线段CC1扫过的区域为：扇形BC'C''和△BCC''，再分别计算两部分面积即可．
【解答】解：如图，当P与A重合时，点C关于BP的对称点为C′，
当P与D重合时，点C关于BP的对称点为C″，
∴点P从点A运动到点D，则线段CC1扫过的区域为：扇形BC'C''和△BCC''，
在△BCD中，∵∠BCD＝90°，BC＝，CD＝1，
∴tan∠DBC＝，
∴∠DBC＝30°，
∴∠CBC″＝60°，
∵BC＝BC''
∴△BCC''为等边三角形，
∴S扇形BC′C″＝＝π，
作C''F⊥BC于F，
∵△BCC''为等边三角形，
∴BF＝，
∴C''F＝tan60°×＝，
∴S△BCC''＝，
∴线段CC1扫过的区域的面积为：π+．
故选：B．
【点评】本题考查了以矩形为背景的轴对称，扇形的面积计算，等边三角形的判定与性质等知识，解题的关键是画出线段CC1扫过的图形．
10．（2021•武汉模拟）如图，半径为1的⊙O与直线l相切于点A，C为⊙O上的一点，CB⊥l于点B，则AB+BC的最大值是（ ）
A．2 B． C． D．
【考点】切线的性质．菁优网版权所有
【专题】圆的有关概念及性质；运算能力；推理能力．
【分析】延长AB到点D，使BD＝BC，则AB+BC＝AD，当DC与⊙O相切于点C时，AD最大，则此时连接AO并延长交DC延长线于点E，则AE⊥AD，根据∠CDB＝45°，可得OC＝CE＝1，根据勾股定理可得OE的长，进而可得结论．
【解答】解：如图，延长AB到点D，使BD＝BC，
则AB+BC＝AD，
当DC与⊙O相切于点C时，AD最大，
则此时连接AO并延长交DC延长线于点E，
则AE⊥AD，
∵CB⊥l，
∴∠DBC＝90°，
∵BD＝BC，
∴∠CDB＝45°，
∵⊙O与直线l相切于点A，
∴OA⊥l，
∴∠OAD＝90°，
∴∠AED＝45°，
连接OC，则OC⊥DE，
在Rt△OCE中，OC＝CE＝1，根据勾股定理，得
OE＝＝，
∴AD＝AE＝AO+OE＝1+．
则AB+BC的最大值是+1．
故选：C．
【点评】本题考查了切线的性质，解决本题的关键是掌握切线的性质．
二．填空题（共10小题）
11．（2021•江岸区校级模拟）已知如图，AB＝4，AC＝2，∠BAC＝60°，所在圆的圆心是点O，∠BOC＝60°，分别在、线段AB和AC上选取点P、E、F，则PE+EF+FP的最小值为 2﹣6． ．
【考点】垂径定理；圆周角定理；轴对称﹣最短路线问题．菁优网版权所有
【专题】动点型；平移、旋转与对称；与圆有关的计算；应用意识．
【分析】如图，连接BC，AO，作点P关于AB的对称点M，作点P关于AC的对称点N，连接MN交AB于E，交AC于F，此时△PEF的周长＝PE+PF+EF＝EM+EF+FM＝MN，想办法求出MN的最小值即可解决问题．
【解答】解：如图，连接BC，AO，作点P关于AB的对称点M，作点P关于AC的对称点N，连接MN交AB于E，交AC于F，此时△PEF的周长＝PE+PF+EF＝EM+EF+FM＝MN，
∴当MN的值最小时，△PEF的值最小，
∵AP＝AM＝AN，∠BAM＝∠BAP，∠CAP＝∠CAN，∠BAC＝60°，
∴∠MAN＝120°，
∴MN＝AM＝PA，
∴当PA的值最小时，MN的值最小，
取AB的中点J，连接CJ．
∵AB＝4，AC＝2，
∴AJ＝JB＝AC＝2，
∵∠JAC＝60°，
∴△JAC是等边三角形，
∴JC＝JA＝JB，
∴∠ACB＝90°，
∴BC＝＝＝2，
∵∠BOC＝60°，OB＝OC，
∴△OBC是等边三角形，
∴OB＝OC＝BC＝2，∠BCO＝60°，
∴∠ACH＝30°，∵AH⊥OH，
AH＝AC＝1，CH＝AH＝，
∴OH＝3，
∴OA＝＝＝2，
∵当点P在直线OA上时，PA的值最小，最小值为2﹣2，
∴MN的最小值为•（2﹣2）＝2﹣6．
故答案为2﹣6．
【点评】本题考查圆周角定理，垂径定理，轴对称﹣最短问题等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，属于中考填空题中的压轴题．
12．（2021•海安市模拟）已知圆锥的侧面积是40π，底面圆直径为2，则圆锥的母线长是 40 ．
【考点】圆锥的计算．菁优网版权所有
【分析】圆锥的侧面积＝底面周长×母线长÷2，把相应数值代入即可求解．
【解答】解：设母线长为R，底面圆直径为2，则底面周长＝2π，圆锥的侧面积＝×2πR＝40π，∴R＝40．
【点评】本题利用了圆的周长公式和扇形面积公式求解．
13．（2020秋•开福区校级月考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝10，BC＝8，点D是BC上一点，BC＝3CD，点P是线段AC上一个动点，以PD为直径作⊙O，点M为的中点，连接AM，则AM的最小值为 5 ．
【考点】垂线段最短；三角形中位线定理；圆周角定理．菁优网版权所有
【专题】动点型；三角形；与圆有关的计算；模型思想；应用意识．
【分析】如图，连接OM，CM，过点A作AT⊥CM交CM的延长线于T．证明∠ACT＝45°，求出AT即可解决问题．
【解答】解：如图，连接OM，CM，过点A作AT⊥CM交CM的延长线于T．
∵＝，
∴OM⊥PD，
∴∠MOD＝90°，
∴∠MCD＝∠MOD＝45°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACT＝45°，
∵AT⊥CT，
∴∠ATC＝90°，
∵AC＝10，
∴AT＝AC•sin45°＝5，
∵AM≥AT，
∴AM≥5，
∴AM的最小值为5，
故答案为5．
【点评】本题考查圆周角定理，垂线段最短，圆周角定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
14．（2020•海宁市一模）如图，等边△ABC中，AB＝2，点D是以A为圆心，半径为1的圆上一动点，连接CD，取CD的中点E，连接BE，则线段BE的最大值与最小值之和为 ．
【考点】三角形三边关系；等边三角形的性质；三角形中位线定理；点与圆的位置关系．菁优网版权所有
【专题】动点型；等腰三角形与直角三角形；应用意识．
【分析】延长CB到T，使得BT＝BC，连接AT，DT，AD．首先确定DT的取值范围，再利用三角形的中位线定理解决问题即可．
【解答】解：延长CB到T，使得BT＝BC，连接AT，DT，AD．
∵△ABC是等边三角形，
∴BA＝BC＝AC＝BT＝2，∠ACB＝60°，
∴∠CAT＝90°，
∴AT＝CT•sin60°＝2，
∵AD＝1，
∴2﹣1≤DT≤2+1，
∵CB＝BT，CE＝DE，
∴BE＝DT，
∴≤BE≤，
∴线段BE的最大值与最小值之和为2，
故答案为2．
【点评】本题考查点与圆的位置关系，三角形中位线定理，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造三角形中位线解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
15．（2020•温州三模）如图，AB是半圆O的直径，点C在半径OA上，过点C做CD⊥AB交半圆O于点D．以CD，CA为边分别向左、下作正方形CDEF，CAGH．过点B作GH的垂线与GH的延长线交于点I，M为HI的中点．记正方形CDEF，CAGH，四边形BCHI的面积分别为S1，S2，S3．
（1）若AC：BC＝2：3，则的值为 ；
（2）若D，O，M在同条直线上，则的值为 ．
【考点】正方形的性质；垂径定理；圆周角定理．菁优网版权所有
【专题】矩形 菱形 正方形；与圆有关的计算；应用意识．
【分析】（1）设AC＝2k，BC＝3k，利用相似三角形的性质求出CD2即可解决问题．
（2）当D．O．M共线时，设CD＝a，AC＝b，由CD2＝AC•BC，推出BC＝，推出AB＝b+＝，CO＝OA﹣AC＝，HM＝MI＝HL＝CB＝，由CO∥HM，推出＝，推出＝，整理得：（）[（）2+﹣1]＝0，求出的值即可解决问题．
【解答】解：（1）如图，利用AD，BD．
∵AB是直径，
∴∠ADB＝90°，
∵DC⊥AB，
∴∠ACD＝∠DCB＝90°，
∴∠ADC+∠CAD＝90°，∠ADC+∠BDC＝90°，
∴∠BDC＝∠DAC，
∴△ACD∽△DCB，
∴CD：CB＝AC：CD，
∵AC：CB＝2：3，
∴可以假设AC＝2k，BC＝3k，
∴CD2＝6k2，
∴＝＝＝，
故答案为．
（2）当D．O．M共线时，设CD＝a，AC＝b，
∵CD2＝AC•BC，
∴BC＝，
∴AB＝b+＝，CO＝OA﹣AC＝，HM＝MI＝HL＝CB＝，
∵CO∥HM，
∴＝，
∴＝，
整理得：（）[（）2+﹣1]＝0
∵≠0，
∴＝或（舍弃），
∵＝＝1+（）2，
∴＝．
故答案为．
【点评】本题考查圆周角定理，正方形的性质，相似三角形的判定和性质，一元二次方程等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
16．（2020•龙泉驿区模拟）如图，直线y＝﹣x+m（m＞0）与x轴、y轴分别交于点A，B，C是AB的中点，点D在直线y＝﹣2上，以CD为直径的圆与直线AB的另一交点为E，交y轴于点F，G，已知CE+DE＝6，FG＝2，则CD的长是 3 ．
【考点】一次函数图象上点的坐标特征；垂径定理．菁优网版权所有
【专题】圆的有关概念及性质；与圆有关的计算．
【分析】如图，设CD的中点为O′，延长BA交直线y＝﹣2于M，直线y＝﹣2交y轴于P，作CH⊥OB于H，连接O′F，作AJ⊥DM于J，O′N⊥FG于N．首先确定A，B，C的坐标，可得A（8，0）．B（0，8），C（4，4），设D（m，﹣2），则O′N＝（m+4），O′F＝CD＝•，在Rt△O′FN中利用勾股定理构建方程求出m即可解决问题．
【解答】解：如图，设CD的中点为O′，延长BA交直线y＝﹣2于M，直线y＝﹣2交y轴于P，作CH⊥OB于H，连接O′F，作AJ⊥DM于J，O′N⊥FG于N．
∵CD是⊙O′的直径，
∴∠CED＝90°，
∵直线y＝﹣x+m（m＞0）与x轴、y轴分别交于点A，B，
∴A（m，0），B（0，m），
∴OA＝OB，
∴∠OAB＝45°，
∵OA∥DM，
∴∠EMD＝∠OAB＝45°，
∵∠DEM＝90°，
∴ED＝EM，
∴EC+ED＝EC+EM＝CM＝6，
∵JA⊥DM，
∴∠AJM＝90°，
∴AJ＝JM＝2，AM＝2，
∴BC＝CA＝4，
∴A（8，0）．B（0，8），C（4，4），设D（n，﹣2），则O′N＝（n+4），O′F＝CD＝•，
∵O′N⊥FG，
∴FN＝，
在Rt△O′FN中，（）2+（n+4）2＝[（n﹣4）2+62]，
解得n＝1，
∴CD＝＝3．
故答案为3．
【点评】本题考查圆周角定理，等腰直角三角形的判定和性质，平行线等分线段定理，勾股定理，垂径定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线面构造特殊三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
17．（2020秋•崇川区期末）如图1，▱ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝6，BC＝2，P为边CD上的一动点，设PB+PD的值为a，如图2，⊙O是正方形ABCD的内切圆，AB＝4，点P是⊙O上一个动点，设AP+DP的值为b，如图3，MN＝4，∠M＝75°，MG＝3．点O是△MNG内一点，设点O到△MNG三个顶点的距离和的值为c，则a2+b2+c2的最小值为 62+12 ．
【考点】三角形三边关系；勾股定理；平行四边形的性质；正方形的性质；圆周角定理；切线长定理；三角形的内切圆与内心；正多边形和圆．菁优网版权所有
【专题】矩形 菱形 正方形；解直角三角形及其应用；推理能力．
【分析】①如图1中，过点P作PE⊥AD，交AD的延长线于点E，当点B，点P，点E三点共线且BE⊥AD时，PB+PE有最小值，即最小值为BE．②如图2中，连OA，OP，OD，在OD上取一点E，使OE＝，连PE，AE．由题意AP+PD＝AP+PE≤AE，求出AE即可．③如图3中：以MG为边作等边三角形△MGD，以OM为边作等边△OME．连接ND，作DF⊥NM，交NM的延长线于F．当D、E、O、N四点共线时，NO+GO+MO值最小，求出DN，分别求出a2，b2，c2的最小值可知结论．
【解答】解：①如图1中，过点P作PE⊥AD，交AD的延长线于点E，
∵AB∥CD，
∴∠EDP＝∠DAB＝60°，
∴sin∠EDP＝＝，
∴EP＝PD
∴PB+PD＝PB+PE
∴当点B，点P，点E三点共线且BE⊥AD时，PB+PE有最小值，即最小值为BE，
∵sin∠A＝＝，
∴BE＝3，
∴a2的最小值为27，
②如图2中，连OA，OP，OD，在OD上取一点E，使OE＝，连PE，AE．
∵OP2＝22＝4，OE•OD＝×2＝4，
∴OP2＝OE•OD，
∠POE＝∠DOP，
∴△POE∽△DOP，
∴＝＝，
∴PE＝PD，
∴AP+PD＝AP+PE≤AE，
AE＝＝，
即AP+DP的最小值为，
∴b2的最小值为10，
如图3中：以MG为边作等边三角形△MGD，以OM为边作等边△OME．连接ND，作DF⊥NM，交NM的延长线于F．
∵△MGD和△OME是等边三角形
∴OE＝OM＝ME，∠DMG＝∠OME＝60°，MG＝MD，
∴∠GMO＝∠DME
在△GMO和△DME中，
，
∴△GMO≌△DME（SAS），
∴OG＝DE
∴NO+GO+MO＝DE+OE+NO
∴当D、E、O、N四点共线时，NO+GO+MO值最小，
∵∠NMG＝75°，∠GMD＝60°，
∴∠NMD＝135°，
∴∠DMF＝45°，
∵MG＝3．
∴MF＝DF＝，
∴NF＝MN+MF＝4+，
∴ND2＝DF2+FN2＝（）2+（4+）2＝25+12
∴c2的最小值为25+12，
∴a2+b2+c2的最小值为62+12．
故答案为：62+12．
【点评】本题考查平行四边形的性质，正方形的性质，解直角三角形，两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题．
18．（2020秋•海曙区期末）如图，正六边形ABCDEF中，G，H分别是边AF和DE上的点，GF＝AB＝2，∠GCH＝60°，则线段EH长 ．
【考点】正多边形和圆．菁优网版权所有
【专题】推理填空题；正多边形与圆；运算能力；推理能力．
【分析】作GP∥AB，交BC于点P，AN∥BC交GP于点N，可得四边形ABPN是平行四边形，根据六边形ABCDEF是正六边形，可得△ANG是等边三角形，然后证明△CPG∽△HDC，对应边成比例即可解决问题．
【解答】解：如图，作GP∥AB，交BC于点P，AN∥BC交GP于点N，
∴四边形ABPN是平行四边形，
∴PN＝AB＝6，
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠BAF＝∠B＝∠BCD＝∠D＝120°，AF＝AB＝BC＝CD＝6，
∴∠BAN＝∠NAG＝∠AGN＝60°，∠CPG＝∠D＝120°，
∴△ANG是等边三角形，
∴NG＝AN＝AG＝6﹣2＝4，
∴PG＝NG+PN＝4+6＝10，
∵∠PCG+∠DCH＝∠BCD﹣∠GCH＝120°﹣60°＝60°，
∠DHC+∠DCH＝180°﹣∠D＝180°﹣120°＝60°，
∴∠PCG＝∠DHC，
∵∠CPG＝∠D，
∴△CPG∽△HDC，
∴＝，
∵PC＝BC﹣BP＝6﹣4＝2，PG＝10，CD＝6，
∴DH＝，
∴EH＝ED﹣DH＝6﹣＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了正多边形和圆，解决本题的关键是综合运用正多边形和圆，平行四边形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质．
19．（2017•浦东新区校级自主招生）如图，边长为5的圆内接正方形ABCD中，P为CD的中点，连接AP并延长交圆于点E，则DE的长为 ．
【考点】正方形的性质；圆周角定理；正多边形和圆．菁优网版权所有
【专题】正多边形与圆；解直角三角形及其应用；推理能力．
【分析】连接CE，作出EF⊥CD，运用相似三角形的性质，得出EF，PF的长，再根据勾股定理即可得出结论．
【解答】解：连接CE，作EF⊥PF．
∵∠DAP＝∠PCE，∠APD＝∠CPE，
∴△APD∽△CPE，
∴＝，
∵P为边CD的中点
∴PD＝PC＝，PA＝＝，
＝，
∴PE＝，
∵FE∥AD
∴△APD∽△EPF，
∴＝，
∴＝，
∴PF＝，
∴EF＝＝1，
∴DE＝＝＝，
故答案为：．
【点评】本题考查的是正多边形的圆及相似三角形的判定与性质，根据题意作出辅助线，构造出相似三角形是解答此题的关键．
20．（2021•长兴县模拟）已知：如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝9，点E是对角线AC上的一点，经过C，D，E三点的⊙O与AD，BC分别交于点F，G，连接ED，EF，EG，延长GE交AD于点H．若当△HEF是等腰三角形时，CE的长为 6或或 ．
【考点】等腰三角形的性质；勾股定理；矩形的性质；垂径定理；三角形的外接圆与外心．菁优网版权所有
【专题】几何综合题；推理能力．
【分析】由平行线的性质和圆的内接四边形的性质可得∠EFH＝∠DCE，∠CDE＝∠DHE，从而得△HEF∽△DEC，列比例式＝＝，分三种情况：1°当HF＝EF时，2°当HE＝EF时，3°当HE＝HF时，根据比例式和等腰三角形的性质分别计算CE的长即可；
【解答】解：∵四边形CDFE是⊙O的内接四边形，
∴∠DFE+∠DCE＝180°，
∵∠DFE+∠EFH＝180°，
∴∠EFH＝∠DCE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠DHE＝∠BGE，
∵四边形DEGC是⊙O的内接四边形，
∴∠BGE＝∠CDE，
∴∠CDE＝∠DHE，
∴△HEF∽△DEC，
∴＝＝，
1°当HF＝EF时，
∵＝，
∴EC＝DC，
∵四边形ABCD是矩形，
∴CD＝AB＝6，
∴CE＝DC＝6；
2°当HE＝EF时，
∵＝，
∴DE＝EC，
∴∠EDC＝∠ECD，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC＝90°，
∴∠ADE+∠CDE＝∠ECD+∠CAD＝90°，
∴∠ADE＝∠EAD，
∴AE＝ED＝EC，
Rt△ADC中，AD＝BC＝9，DC＝6，
AC＝＝3，
∴CE＝AC＝，
3°当HE＝HF时，
∵＝，
∴DE＝DC＝6，
连接DG，交AC于M，如图，
∵∠DCG＝90°，
∴DG是⊙O的直径，
∵DE＝DC，
∴DG是EC的垂直平分线，即EC⊥DM，EC＝2CM，
cos∠DCM＝＝，
即，
∴CM＝，
∴CE＝2CM＝，
综上，CE的长为6或或，
故答案为：6或或．
【点评】本题是一道有关圆的几何综合题，难度较大，主要考查了圆内接四边形的性质，平行线分线段成比例定理，垂径定理，相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，解直角三角形等知识点；解题关键是添加辅助线构造直角三角形解决问题．
三．解答题（共10小题）
21．（2021•武汉模拟）如图，O是△ABC的外心，I是△ABC的内心，连AI并延长交BC和⊙O于D、E两点．
（1）求证：EB＝EI；
（2）若AB＝4，AC＝3，BE＝2，求AI的长．
【考点】三角形的外接圆与外心；三角形的内切圆与内心．菁优网版权所有
【专题】圆的有关概念及性质．
【分析】（1）欲证明EB＝EI，只要证明∠EBI＝∠EIB；
（2）连接EC．由△ADB∽△CDE，可得＝＝＝＝2，设DE＝m，CD＝n，则BD＝2m，AD＝2n，同法可证：△ADC∽△BDE，推出＝，推出＝，推出n：m＝3：2，设n＝3k，m＝2k，由△ECD∽△EAC，可得EC2＝ED•EA，推出4＝m•（m+2n），即4＝2k（2k+6k）解得k＝或﹣（舍弃），由此即可解决问题；
【解答】（1）证明：∵I是△ABC的内心，
∴AE平分∠CAB，BI平分∠ABC，
∴∠BAE＝∠CAE，∠ABI＝∠CBI，
∵∠BIE＝∠BAE+∠ABI，∠IBE＝∠IBD+∠EBD，
∵∠CBE＝∠CAE，
∴∠BIE＝∠EBI，
∴EB＝EI；
（2）解：连接EC．
∵∠BAE＝∠CAE，
∴＝，
∴BE＝EC＝2，
∵∠ADB＝∠CDE，∠BAD＝∠DCE，
∴△ADB∽△CDE，
∴＝＝＝＝2，设DE＝m，CD＝n，则BD＝2m，AD＝2n，
同法可证：△ADC∽△BDE，
∴＝，
∴＝，
∴n：m＝3：2，设n＝3k，m＝2k，
∵∠CED＝∠AEC，∠ECD＝∠BAE＝∠CAE，
∴△ECD∽△EAC，
∴EC2＝ED•EA，
∴4＝m•（m+2n），
∴4＝2k（2k+6k）
∴k＝或﹣（舍弃），
∴DE＝1，AD＝3，
∴AE＝4，∵EI＝BE＝2，
∴AI＝AE﹣EI＝2．
【点评】本题考查的是三角形的内切圆与内心，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程组解决问题，属于中考压轴题．
22．（2020秋•长寿区期末）如图，AB是⊙O的直径，P在AB的延长线上，PD与⊙O相切于点D，C在⊙O上，PC＝PD．
（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）连接AC，若AC＝PC，PB＝1，求⊙O的半径．
【考点】切线的判定与性质．菁优网版权所有
【专题】常规题型．
【分析】（1）连接OC，OD．由于点C在圆上，要说明PC是圆的切线，需证明OC⊥PC，可通过证明△POC≌△POD来实现．
（2）通过OC＝OA，AC＝PC说明∠PAC＝∠APC＝∠ACO，可利用三角形的内角和、切线的性质说明∠POC＝60°或∠CPO＝30°，利用直角三角形中的特殊边角关系得结论．
【解答】解：（1）证明：连接OC，OD
∵PD与⊙O相切于点D，
∴∠PDO＝90°
∵OC＝OD，OP＝OP，PC＝PD
∴△POC≌△POD
∴∠PCO＝∠PDO＝90°，又∵C在⊙O上
∴PC是⊙O的切线．
（2）∵AC＝PC，
∴∠PAC＝∠APC
∵OC＝OA，
∴∠POC＝2∠PAC＝2∠APC，又∠PCO＝90°，
∴∠POC＝60°
∴PO＝2OC＝2OB＝2PB
∴OC＝PB＝1
【点评】本题考查了切线的判定和性质、三角形的内角和定理及特殊三角形的边角关系．题目难度不是很大，综合性较强．理清思路是关键．
23．（2021•商河县二模）如图，钝角△ABC中，AB＝AC，BC＝2，O是边AB上一点，以O为圆心，OB为半径作⊙O，交边AB于点D，交边BC于点E，过E作⊙O的切线交边AC于点F．
（1）求证：EF⊥AC．
（2）连接DF，若∠ABC＝30°，且DF∥BC，求⊙O的半径长．
【考点】等腰三角形的性质；切线的性质．菁优网版权所有
【专题】与圆有关的计算．
【分析】（1）连接OE，如图，先证明OE∥AC，再利用切线的性质得OE⊥EF，从而得到EF⊥AC；
（2）连接DE，如图，设⊙O的半径长为r，利用圆周角定理得到∠BED＝90°，则DE＝BD＝r，BE＝r，再证明∠EDF＝90°，∠DFE＝60°，接着用r表示出DF＝r，EF＝r，CE＝r，
从而得到r+r＝2，然后解方程即可．
【解答】（1）证明：连接OE，如图，
∵OB＝OE，
∴∠B＝∠OEB，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∴∠OEB＝∠C，
∴OE∥AC，
∵EF为切线，
∴OE⊥EF，
∴EF⊥AC；
（2）解：连接DE，如图，设⊙O的半径长为r，
∵BD为直径，
∴∠BED＝90°，
在Rt△BDE中，∵∠B＝30°，
∴DE＝BD＝r，BE＝r，
∵DF∥BC，
∴∠EDF＝∠BED＝90°，
∵∠C＝∠B＝30°，
∴∠CEF＝60°，
∴∠DFE＝∠CEF＝60°，
在Rt△DEF中，DF＝r，
∴EF＝2DF＝r，
在Rt△CEF中，CE＝2EF＝r，
而BC＝2，
∴r+r＝2，解得r＝，
即⊙O的半径长为．
【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．简记作：见切点，连半径，见垂直．也考查了圆周角定理和垂径定理．
24．（2021•济南一模）如图，AB与⊙O相切于点C，OA，OB分别交⊙O于点D，E，CD＝CE
（1）求证：OA＝OB；
（2）已知AB＝4 ，OA＝4，求阴影部分的面积．
【考点】切线的性质；扇形面积的计算．菁优网版权所有
【专题】与圆有关的计算．
【分析】（1）连接OC，由切线的性质可知∠ACO＝90°，由于CD＝CE，所以∠AOC＝∠BOC，从而可证明∠A＝∠B，从而可知OA＝OB；
（2）由（1）可知：△AOB是等腰三角形，所以AC＝2，从可求出扇形OCE的面积以及△OCB的面积
【解答】解：（1）连接OC，
∵AB与⊙O相切于点C
∴∠ACO＝90°，
∵CD＝CE
∴＝，
∴∠AOC＝∠BOC，
∴∠A＝∠B
∴OA＝OB，
（2）由（1）可知：△OAB是等腰三角形，
∴BC＝AB＝2，
∴sin∠COB＝＝，
∴∠COB＝60°，
∴∠B＝30°，
∴OC＝OB＝2，
∴扇形OCE的面积为：＝，
△OCB的面积为：×2×2＝2，
S阴影＝2﹣π．
【点评】本题考查切线的性质，解题的关键是求证OA＝OB，然后利用等腰三角形的三线合一定理求出BC与OC的长度，从而可知扇形OCE与△OCB的面积，本题属于中等题型．
25．（2021•鼓楼区校级模拟）已知⊙O为△ABC的外接圆，直线l与⊙O相切于点P，且l∥BC．
（1）连接PO，并延长交⊙O于点D，连接AD．证明：AD平分∠BAC；
（2）在（1）的条件下，AD交BC于点E，连接CD．若DE＝2，AE＝6．试求CD的长．
【考点】圆周角定理；切线的性质．菁优网版权所有
【专题】几何图形．
【分析】（1）根据切线的性质、垂径定理证明即可；
（2）根据相似三角形的判定和性质解答即可．
【解答】（1）证明：∵l与⊙O相切于点P，
∴PD⊥l，
∵l∥BC，
∴PD垂直平分弦BC，
∴，
∴∠BAD＝∠DAC，
即AD平分∠BAC；
（2）∠BAD＝∠BCD，且∠BAD＝∠DAC，
∴∠DAC＝∠BCD，
在△ADC和△CDE中
∠DAC＝∠BCD，∠ADC＝∠EDC，
∴△ADC∽△CDE，
∴，
即，
得DC＝4．
【点评】本题考查了切线的性质、垂径定理，根据相似三角形的判定和性质解答是解题的关键．
26．（2021•贺兰县校级一模）如图，在⊙O中，直径AB与弦CD相交于点P，∠CAB＝40°，∠APD＝65°
（1）求∠B的大小；
（2）已知圆心O到BD的距离为3，求AD的长．
【考点】垂径定理；圆周角定理．菁优网版权所有
【专题】几何图形．
【分析】（1）由同弧所对的圆周角相等求得∠CAB＝∠CDB＝40°，然后根据平角是180°求得∠BPD＝115°；最后在△BPD中依据三角形内角和定理求∠B即可；
（2）过点O作OE⊥BD于点E，则OE＝3．根据直径所对的圆周角是直角，以及平行线的判定知OE∥AD；又由O是直径AB的半径可以判定O是AB的中点，由此可以判定OE是△ABD的中位线；最后根据三角形的中位线定理计算AD的长度．
【解答】解：（1）∵∠CAB＝∠CDB（同弧所对的圆周角相等），∠CAB＝40°，
∴∠CDB＝40°；
又∵∠APD＝65°，
∴∠BPD＝115°；
∴在△BPD中，
∴∠B＝180°﹣∠CDB﹣∠BPD＝25°；
（2）过点O作OE⊥BD于点E，则OE＝3．
∵AB是直径，
∴AD⊥BD（直径所对的圆周角是直角）；
∴OE∥AD；
又∵O是AB的中点，
∴OE是△ABD的中位线，
∴AD＝2OE＝6．
【点评】本题主要考查了三角形的内角和定理、三角形的中位线定理、圆周角定理．解答（1）时，还可以利用外角定理来求∠B的度数．
27．（2020秋•高州市期末）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，且CD＝24，点M在⊙O上，MD经过圆心O，连接MB．
（1）若BE＝8，求⊙O的半径；
（2）若∠DMB＝∠D，求线段OE的长．
【考点】垂径定理；圆周角定理．菁优网版权所有
【专题】与圆有关的计算．
【分析】（1）根据题意和图形，利用勾股定理、垂径定理可以解答本题；
（2）根据三角形全等、勾股定理可以求得线段OE的长．
【解答】解：（1）设⊙O的半径长为r，
则OD＝r，OE＝r﹣8，
∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，且CD＝24，
∴DE＝12，
∴OD2＝OE2+DE2，
即r2＝（r﹣8）2+122，
解得，r＝13，
即⊙O的半径是13；
（2）连接BC，
∵∠DMB＝∠D，∠DMB＝∠DCB，
∴∠D＝∠DCB，
∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，且CD＝24，
∴CE＝DE＝12，∠CEB＝∠DEO，
∴△CEB≌△DEO（ASA），
∴OE＝BE＝0.5OB，
设⊙O的半径长为r，
则r2＝122+（0.5r）2，
解得，r＝或r＝﹣8（舍去），
∴OE＝4．
【点评】本题考查圆周角定理、垂径定理、勾股定理，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
28．（2021•凉山州）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AE平分∠BAC交BC于点E，点D在AB上，DE⊥AE，⊙O是Rt△ADE的外接圆，交AC于点F．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为5，AC＝8，求S△BDE．
【考点】圆周角定理；三角形的外接圆与外心；切线的判定与性质．菁优网版权所有
【专题】等腰三角形与直角三角形；与圆有关的位置关系；图形的相似；推理能力；模型思想．
【分析】（1）根据直角三角形两锐角互余，等腰三角形性质以及等量代换可得出∠AEC+∠OEA＝90°，即OE⊥BC，从而得出BC是⊙O的切线；
（2）根据△ACE∽△AED和勾股定理可求出AE，DE，根据角平分线的性质可得出三角形BDE的BD边上的高EM，再根据相似三角形和勾股定理求出BD即可．
【解答】解：（1）连接OE，
∵∠C＝90°，
∴∠2+∠AEC＝90°,
又∵OA＝OE，
∴∠1＝∠OEA，
∵∠1＝∠2，
∴∠AEC+∠OEA＝90°，
即OE⊥BC，
∴BC是⊙O的切线；
（2）过点E作EM⊥AB，垂足为M，
∵∠1＝∠2，∠C＝∠AED＝90°，
∴△ACE∽△AED，
∴＝，
即＝，
∴AE＝4，
由勾股定理得，
CE＝＝4＝EM，
DE＝＝2，
∵∠DEB＝∠1，∠B＝∠B，
∴△BDE∽△BEA，
∴＝＝，
设BD＝x，则BE＝2x，
在Rt△BOE中，由勾股定理得，
OE2+BE2＝OB2，
即52+（2x）2＝（5+x）2，
解得x＝，
∴S△BDE＝BD•EM
＝××4
＝．
【点评】本题考查切线的判定，相似三角形，勾股定理，掌握切线的判定方法，相似三角形的判定和性质以及勾股定理是解决问题的前提．
29．（2021•淮安二模）如图，在△ABC中，BE是∠ABC的平分线，∠C＝90°，点D在AB边上，以DB为直径的半圆O经过点E．
（1）求证：AC是⊙O的切线．
（2）若BC＝3，⊙O的半径为2，求BE的长．
【考点】角平分线的性质；圆周角定理；切线的判定与性质．菁优网版权所有
【专题】证明题；圆的有关概念及性质；运算能力；推理能力．
【分析】（1）连接OE，由BE是∠CBA的角平分线得∠ABE＝∠CBE，由OE＝OB得∠ABE＝∠OEB，则∠OEB＝∠CBE，所以OE∥BC，则∠OEC＝∠C＝90°，即OE⊥AC，根据切线的判定得到AC是⊙O的切线；
（2）过点O作OM⊥BE于点M，根据垂径定理可得BE＝2BM，由（1）知OE∥BC，可得＝，可得＝，解得AD＝2，根据OA＝4可得∠A＝30°，再根据锐角三角函数可得BM的长，进而可得BE的长．
【解答】（1）证明：连接OE，如图，
∵BE是∠CBA的角平分线，
∴∠ABE＝∠CBE．
∵OE＝OB，
∴∠ABE＝∠OEB，
∴∠OEB＝∠CBE，
∴OE∥BC，
∴∠OEC＝∠C＝90°，
∴OE⊥AC，
∴AC是⊙O的切线；
（2）解：如图，过点O作OM⊥BE于点M，
∴BE＝2BM，
∵OE∥BC，
∴＝，
∴＝，
解得AD＝2，
∴OA＝4，
∴∠A＝30°，
∴∠AOE＝60°，
∵OE＝OB，
∴∠OBM＝30°，
∴BM＝OB•cos30°＝2×＝，
∴BE＝2BM＝2．
【点评】本题考查了切线的判定定理，圆周角定理，平行线分线段成比例定理，锐角三角函数，解决本题的关键是综合运用以上知识．
30．（2019•呼和浩特）如图，以Rt△ABC的直角边AB为直径的⊙O交斜边AC于点D，过点D作⊙O的切线与BC交于点E，弦DM与AB垂直，垂足为H．
（1）求证：E为BC的中点；
（2）若⊙O的面积为12π，两个三角形△AHD和△BMH的外接圆面积之比为3，求△DEC的内切圆面积S1和四边形OBED的外接圆面积S2的比．
【考点】三角形的外接圆与外心；切线的性质；三角形的内切圆与内心．菁优网版权所有
【专题】压轴题；整体思想；特殊化方法；与圆有关的位置关系；空间观念．
【分析】（1）证明∠EDB＝∠EBD，∠BDC＝90°，E为直角三角形BDC的中线，即可求解；
（2）△AHD和△BMH的外接圆面积之比为3，确定AD：BM＝，即HM：BH＝，得∠BMH＝30°＝∠BAC，即可求解．
【解答】解：（1）连接BD、OE，
∵AB是直径，则∠ADB＝90°＝∠ADO+∠ODB，
∵DE是切线，
∴∠ODE＝90°＝∠EDB+∠BDO，
∴∠EDB＝∠ADO＝∠CAB，
∵∠ABC＝90°，即BC是圆的切线，
∴∠DBC＝∠CAB，
∴∠EDB＝∠EBD，而∠BDC＝90°，
∴E为BC的中点；
（2）△AHD和△BMH的外接圆面积之比为3，
则两个三角形的外接圆的直径分别为AD、BM，
∴AD：BM＝，
而△ADH∽△MBH，
∴DH：BH＝，
则DH＝HM，
∴HM：BH＝，
∴∠BMH＝30°＝∠BAC，
∴∠C＝60°，DE是直角三角形的中线，
∴DE＝CE，
∴△DEC为等边三角形，
⊙O的面积：12π＝（AB）2π，
则AB＝4，∠CAB＝30°，
∴BD＝2，BC＝4，AC＝8，而OE＝AC＝4，
四边形OBED的外接圆面积S2＝π（2）2＝4π，
等边三角形△DEC边长为2，则其内切圆的半径为：，面积为，
故△DEC的内切圆面积S1和四边形OBED的外接圆面积S2的比为：．
【点评】本题为圆的综合运用题，涉及到三角形的外接圆和内切圆的相关知识，本题的关键是通过△AHD和△BMH的外接圆面积之比为3，确定∠BMH＝30°＝∠BAC，进而求解．
考点卡片
1．一次函数图象上点的坐标特征
一次函数y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数）的图象是一条直线．它与x轴的交点坐标是（﹣，0）；与y轴的交点坐标是（0，b）．
直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx+b．
2．二次函数图象上点的坐标特征
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，顶点坐标是（﹣，）．
①抛物线是关于对称轴x＝﹣成轴对称，所以抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足函数函数关系式．顶点是抛物线的最高点或最低点．
②抛物线与y轴交点的纵坐标是函数解析中的c值．
③抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（x1，0），（x2，0），则其对称轴为x＝．
3．垂线段最短
（1）垂线段：从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段．
（2）垂线段的性质：垂线段最短．
正确理解此性质，垂线段最短，指的是从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短．它是相对于这点与直线上其他各点的连线而言．
（3）实际问题中涉及线路最短问题时，其理论依据应从“两点之间，线段最短”和“垂线段最短”这两个中去选择．
4．三角形三边关系
（1）三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边．
（2）在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．
（3）三角形的两边差小于第三边．
（4）在涉及三角形的边长或周长的计算时，注意最后要用三边关系去检验，这是一个隐藏的定时炸弹，容易忽略．
5．角平分线的性质
角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，∵C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE
6．等腰三角形的性质
（1）等腰三角形的概念
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．
（2）等腰三角形的性质
①等腰三角形的两腰相等
②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】
③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】
（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．
7．等边三角形的性质
（1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形．
①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法；
②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的．
（2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．
等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴．
8．勾股定理
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a＝，b＝及c＝．
（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．
9．三角形中位线定理
（1）三角形中位线定理：
三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
（2）几何语言：
如图，∵点D、E分别是AB、AC的中点
∴DE∥BC，DE＝BC．
10．平行四边形的性质
（1）平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．
（2）平行四边形的性质：
①边：平行四边形的对边相等．
②角：平行四边形的对角相等．
③对角线：平行四边形的对角线互相平分．
（3）平行线间的距离处处相等．
（4）平行四边形的面积：
①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积．
②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等．
11．矩形的性质
（1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．
（2）矩形的性质
①平行四边形的性质矩形都具有；
②角：矩形的四个角都是直角；
③边：邻边垂直；
④对角线：矩形的对角线相等；
⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点．
（3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
12．正方形的性质
（1）正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．
（2）正方形的性质
①正方形的四条边都相等，四个角都是直角；
②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；
③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．
④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴．
13．垂径定理
（1）垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
（2）垂径定理的推论
推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．
推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．
14．圆心角、弧、弦的关系
（1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
（2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧．
（3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系
三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合．
（4）在具体应用上述定理解决问题时，可根据需要，选择其有关部分．
15．圆周角定理
（1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．
注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可．
（2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
（3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握．
（4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”﹣﹣﹣圆心角转化．③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角．
16．点与圆的位置关系
（1）点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：
①点P在圆外⇔d＞r
②点P在圆上⇔d＝r
①点P在圆内⇔d＜r
（2）点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．
（3）符号“⇔”读作“等价于”，它表示从符号“⇔”的左端可以得到右端，从右端也可以得到左端．
17．三角形的外接圆与外心
（1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆．
（2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．
（3）概念说明：
①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点．
②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部．
③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个．
18．切线的性质
（1）切线的性质
①圆的切线垂直于经过切点的半径．
②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．
③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．
（2）切线的性质可总结如下：
如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过圆心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直．
（3）切线性质的运用
由定理可知，若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．简记作：见切点，连半径，见垂直．
19．切线的判定与性质
（1）切线的性质
①圆的切线垂直于经过切点的半径．
②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．
③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．
（2）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
（3）常见的辅助线的：
①判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”；
②有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”．
20．切线长定理
（1）圆的切线长定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．
（2）切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角．
（3）注意：切线和切线长是两个不同的概念，切线是直线，不能度量；切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量．
（4）切线长定理包含着一些隐含结论：
①垂直关系三处；
②全等关系三对；
③弧相等关系两对，在一些证明求解问题中经常用到．
21．三角形的内切圆与内心
（1）内切圆的有关概念：
与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点．
（2）任何一个三角形有且仅有一个内切圆，而任一个圆都有无数个外切三角形．
（3）三角形内心的性质：
三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．
22．正多边形和圆
（1）正多边形与圆的关系
把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆．
（2）正多边形的有关概念
①中心：正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心．
②正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径．
③中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．
④边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．
23．扇形面积的计算
（1）圆面积公式：S＝πr2
（2）扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形．
（3）扇形面积计算公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则
S扇形＝πR2或S扇形＝lR（其中l为扇形的弧长）
（4）求阴影面积常用的方法：
①直接用公式法；
②和差法；
③割补法．
（5）求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积．
24．圆锥的计算
（1）连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线．连接顶点与底面圆心的线段叫圆锥的高．
（2）圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
（3）圆锥的侧面积：S侧＝•2πr•l＝πrl．
（4）圆锥的全面积：S全＝S底+S侧＝πr2+πrl
（5）圆锥的体积＝×底面积×高
注意：①圆锥的母线与展开后所得扇形的半径相等．
②圆锥的底面周长与展开后所得扇形的弧长相等．
25．轴对称的性质
（1）如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．
由轴对称的性质得到一下结论：
①如果两个图形的对应点的连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称；
②如果两个图形成轴对称，我们只要找到一对对应点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就可以得到这两个图形的对称轴．
（2）轴对称图形的对称轴也是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．
26．轴对称-最短路线问题
1、最短路线问题
在直线L上的同侧有两个点A、B，在直线L上有到A、B的距离之和最短的点存在，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线L的对称点，对称点与另一点的连线与直线L的交点就是所要找的点．
2、凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合本节所学轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布
日期：2021/6/23 15:49:16；用户：周晓丽；邮箱：17788760824；学号：25289867
2021年新高一数学专题复习《圆》
一．选择题（共10小题）
1．（2021•武汉模拟）如图，矩形ABCD中．AB＝3，BC＝6，以点B为圆心、BA为半径画弧，交BC于点E，以点D为圆心、DA为半径画弧，交BC于点F，则阴影部分的面积为（ ）
A． B．6π﹣ C． D．
2．（2020•青山区模拟）如图，点C是半圆O的中点，AB是直径，CF⊥弦AD于点E，交AB于点F，若CE＝1，EF＝，则BF的长为（ ）
A． B．1 C． D．
3．（2020•昆山市一模）已知⊙O的半径为2，A为圆内一定点，AO＝1．P为圆上一动点，以AP为边作等腰△APG，AP＝PG，∠APG＝120°，OG的最大值为（ ）
A．1+ B．1+2 C．2+ D．2﹣1
4．（2019•武汉模拟）如图，⊙O中，弦AB⊥CD，垂足为E，F为的中点，连接AF、BF、AC，AF交CD于M，过F作FH⊥AC，垂足为G，以下结论：①＝；②HC＝BF：③MF＝FC：④+＝+，其中成立的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．（2018秋•镇海区期末）如图，AB是⊙O的直径，AB＝10，P是半径OA上的一动点，PC⊥AB交⊙O于点C，在半径OB上取点Q，使得OQ＝CP，DQ⊥AB交⊙O于点D，点C，D位于AB两侧，连接CD交AB于点F，点P从点A出发沿AO向终点O运动，在整个运动过程中，△CFP与△DFQ的面积和的变化情况是（ ）
A．一直减小 B．一直不变
C．先变大后变小 D．先变小后变大
6．（2017秋•丹徒区期末）如图，AB是半圆O的直径，点D在半圆O上，AB＝2，AD＝10，C是弧BD上的一个动点，连接AC，过D点作DH⊥AC于H，连接BH，在点C移动的过程中，BH的最小值是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
7．（2021•乐山）如图，已知OA＝6，OB＝8，BC＝2，⊙P与OB、AB均相切，点P是线段AC与抛物线y＝ax2的交点，则a的值为（ ）
A．4 B． C． D．5
8．（2021•连云港）如图，正方形ABCD内接于⊙O，线段MN在对角线BD上运动，若⊙O的面积为2π，MN＝1，则△AMN周长的最小值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
9．（2021•湖州）如图，已知在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝，点P是AD边上的一个动点，连结BP，点C关于直线BP的对称点为C1，当点P运动时，点C1也随之运动．若点P从点A运动到点D，则线段CC1扫过的区域的面积是（ ）
A．π B．π+ C． D．2π
10．（2021•武汉模拟）如图，半径为1的⊙O与直线l相切于点A，C为⊙O上的一点，CB⊥l于点B，则AB+BC的最大值是（ ）
A．2 B． C． D．
二．填空题（共10小题）
11．（2021•江岸区校级模拟）已知如图，AB＝4，AC＝2，∠BAC＝60°，所在圆的圆心是点O，∠BOC＝60°，分别在、线段AB和AC上选取点P、E、F，则PE+EF+FP的最小值为 ．
12．（2021•海安市模拟）已知圆锥的侧面积是40π，底面圆直径为2，则圆锥的母线长是 ．
13．（2020秋•开福区校级月考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝10，BC＝8，点D是BC上一点，BC＝3CD，点P是线段AC上一个动点，以PD为直径作⊙O，点M为的中点，连接AM，则AM的最小值为 ．
14．（2020•海宁市一模）如图，等边△ABC中，AB＝2，点D是以A为圆心，半径为1的圆上一动点，连接CD，取CD的中点E，连接BE，则线段BE的最大值与最小值之和为 ．
15．（2020•温州三模）如图，AB是半圆O的直径，点C在半径OA上，过点C做CD⊥AB交半圆O于点D．以CD，CA为边分别向左、下作正方形CDEF，CAGH．过点B作GH的垂线与GH的延长线交于点I，M为HI的中点．记正方形CDEF，CAGH，四边形BCHI的面积分别为S1，S2，S3．
（1）若AC：BC＝2：3，则的值为 ；
（2）若D，O，M在同条直线上，则的值为 ．
16．（2020•龙泉驿区模拟）如图，直线y＝﹣x+m（m＞0）与x轴、y轴分别交于点A，B，C是AB的中点，点D在直线y＝﹣2上，以CD为直径的圆与直线AB的另一交点为E，交y轴于点F，G，已知CE+DE＝6，FG＝2，则CD的长是 ．
17．（2020秋•崇川区期末）如图1，▱ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝6，BC＝2，P为边CD上的一动点，设PB+PD的值为a，如图2，⊙O是正方形ABCD的内切圆，AB＝4，点P是⊙O上一个动点，设AP+DP的值为b，如图3，MN＝4，∠M＝75°，MG＝3．点O是△MNG内一点，设点O到△MNG三个顶点的距离和的值为c，则a2+b2+c2的最小值为 ．
18．（2020秋•海曙区期末）如图，正六边形ABCDEF中，G，H分别是边AF和DE上的点，GF＝AB＝2，∠GCH＝60°，则线段EH长 ．
19．（2017•浦东新区校级自主招生）如图，边长为5的圆内接正方形ABCD中，P为CD的中点，连接AP并延长交圆于点E，则DE的长为 ．
20．（2021•长兴县模拟）已知：如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝9，点E是对角线AC上的一点，经过C，D，E三点的⊙O与AD，BC分别交于点F，G，连接ED，EF，EG，延长GE交AD于点H．若当△HEF是等腰三角形时，CE的长为 ．
三．解答题（共10小题）
21．（2021•武汉模拟）如图，O是△ABC的外心，I是△ABC的内心，连AI并延长交BC和⊙O于D、E两点．
（1）求证：EB＝EI；
（2）若AB＝4，AC＝3，BE＝2，求AI的长．
22．（2020秋•长寿区期末）如图，AB是⊙O的直径，P在AB的延长线上，PD与⊙O相切于点D，C在⊙O上，PC＝PD．
（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）连接AC，若AC＝PC，PB＝1，求⊙O的半径．
23．（2021•商河县二模）如图，钝角△ABC中，AB＝AC，BC＝2，O是边AB上一点，以O为圆心，OB为半径作⊙O，交边AB于点D，交边BC于点E，过E作⊙O的切线交边AC于点F．
（1）求证：EF⊥AC．
（2）连接DF，若∠ABC＝30°，且DF∥BC，求⊙O的半径长．
24．（2021•济南一模）如图，AB与⊙O相切于点C，OA，OB分别交⊙O于点D，E，CD＝CE
（1）求证：OA＝OB；
（2）已知AB＝4 ，OA＝4，求阴影部分的面积．
25．（2021•鼓楼区校级模拟）已知⊙O为△ABC的外接圆，直线l与⊙O相切于点P，且l∥BC．
（1）连接PO，并延长交⊙O于点D，连接AD．证明：AD平分∠BAC；
（2）在（1）的条件下，AD交BC于点E，连接CD．若DE＝2，AE＝6．试求CD的长．
26．（2021•贺兰县校级一模）如图，在⊙O中，直径AB与弦CD相交于点P，∠CAB＝40°，∠APD＝65°
（1）求∠B的大小；
（2）已知圆心O到BD的距离为3，求AD的长．
27．（2020秋•高州市期末）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，且CD＝24，点M在⊙O上，MD经过圆心O，连接MB．
（1）若BE＝8，求⊙O的半径；
（2）若∠DMB＝∠D，求线段OE的长．
28．（2021•凉山州）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AE平分∠BAC交BC于点E，点D在AB上，DE⊥AE，⊙O是Rt△ADE的外接圆，交AC于点F．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为5，AC＝8，求S△BDE．
29．（2021•淮安二模）如图，在△ABC中，BE是∠ABC的平分线，∠C＝90°，点D在AB边上，以DB为直径的半圆O经过点E．
（1）求证：AC是⊙O的切线．
（2）若BC＝3，⊙O的半径为2，求BE的长．
30．（2019•呼和浩特）如图，以Rt△ABC的直角边AB为直径的⊙O交斜边AC于点D，过点D作⊙O的切线与BC交于点E，弦DM与AB垂直，垂足为H．
（1）求证：E为BC的中点；
（2）若⊙O的面积为12π，两个三角形△AHD和△BMH的外接圆面积之比为3，求△DEC的内切圆面积S1和四边形OBED的外接圆面积S2的比．
2021年新高一数学专题复习《圆》
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（2021•武汉模拟）如图，矩形ABCD中．AB＝3，BC＝6，以点B为圆心、BA为半径画弧，交BC于点E，以点D为圆心、DA为半径画弧，交BC于点F，则阴影部分的面积为（ ）
A． B．6π﹣ C． D．
【考点】矩形的性质；扇形面积的计算．菁优网版权所有
【专题】圆的有关概念及性质．
【分析】如图，连接DF．解直角三角形求出CF、BF，∠FDC的度数，再根据S阴＝S扇形ABE﹣（S矩形ABCD﹣S扇形DAF﹣S△DCF）计算即可；
【解答】解：如图，连接DF．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠C＝∠ADC＝90°，AB＝CD＝3，AD＝DF＝BC＝6，
∴CF＝＝3，BF＝BC﹣CF＝3，
∴tan∠FDC＝，
∴∠FDC＝30°，∠ADF＝60°
∴S阴＝S扇形ABE﹣（S矩形ABCD﹣S扇形DAF﹣S△DCF）
＝﹣（18﹣﹣•3•3）
＝π﹣，
故选：A．
【点评】本题考查矩形的性质、扇形的面积公式、勾股定理、解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用分割法求阴影部分的面积．
2．（2020•青山区模拟）如图，点C是半圆O的中点，AB是直径，CF⊥弦AD于点E，交AB于点F，若CE＝1，EF＝，则BF的长为（ ）
A． B．1 C． D．
【考点】勾股定理；垂径定理．菁优网版权所有
【专题】圆的有关概念及性质；运算能力．
【分析】如图，连接AC，BC，OC，过点B作BH⊥CF交CF的延长线于H，设OC交AD于J．利用全等三角形的性质证明CJ＝BF，OJ＝OF，设BF＝CJ＝x，OJ＝OF＝y，构建方程组解决问题即可．
【解答】解：如图，连接AC，BC，OC，过点B作BH⊥CF交CF的延长线于H，设OC交AD于J．
∵＝，
∴AC＝BC，OC⊥AB，
∵AB是直径，
∴ACB＝90°，
∴∠ACJ＝∠CBF＝45°，
∵CF⊥AD，
∴∠ACF+∠CAJ＝90°，∠ACF+∠BCF＝90°，
∴∠CAJ＝∠BCF，
∴△CAJ≌△BCF（ASA），
∴CJ＝BF，AJ＝CF＝1+＝，
∵OC＝OB，
∴OJ＝OF，设BF＝CJ＝x．OJ＝OF＝y，
∵∠AEC＝∠H＝90°，∠CAE＝∠BCH，CA＝CB，
∴△ACE≌△CBH（AAS），
∴EC＝BH＝1，
∵∠ECJ＝∠FCO，∠CEJ＝∠COF＝90°，
∴△CEJ∽△COF，
∴＝＝，
∴＝＝，
∴EJ＝，
∵BF＝CJ，∠H＝∠CEJ，∠CJE＝∠BFH，
∴△BHF≌△CEJ（AAS），
∴FH＝EJ＝，
∵AE∥BH，
∴＝，
∴＝，
整理得，10x2+7xy﹣6y2＝0，
解得x＝y或x＝﹣y（舍弃），
∴y＝2x，
∴＝，
解得x＝或﹣（舍弃）．
∴BF＝，
故选：A．
【点评】本题考查垂径定理，圆周角定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形或相似三角形解决问题，学会利用参数构建方程组解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
3．（2020•昆山市一模）已知⊙O的半径为2，A为圆内一定点，AO＝1．P为圆上一动点，以AP为边作等腰△APG，AP＝PG，∠APG＝120°，OG的最大值为（ ）
A．1+ B．1+2 C．2+ D．2﹣1
【考点】等腰三角形的性质；圆周角定理．菁优网版权所有
【专题】动点型；与圆有关的计算．
【分析】如图，将线段OA绕点O顺时针旋转120°得到线段OT，连接AT，GT，OP．则AO＝OT＝1，AT＝，利用相似三角形的性质求出GT，再根据三角形的三边关系解决问题即可，
【解答】解：如图，将线段OA绕点O顺时针旋转120°得到线段OT，连接AT，GT，OP．则AO＝OT＝1，AT＝，
∵△AOT，△APG都是顶角为120°的等腰三角形，
∴∠OAT＝∠PAG＝30°，
∴∠OAP＝∠TAG，＝＝
∴＝，
∴△OAP∽△TAG，
∴＝＝，∵OP＝2，
∴TG＝2，
∵OG≤OT+GT，
∴OG≤1+2，
∴OG的最大值为1+2，
故选：B．
【点评】本题考查圆周角定理，相似三角形的判定和性质，三角形的三边关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
4．（2019•武汉模拟）如图，⊙O中，弦AB⊥CD，垂足为E，F为的中点，连接AF、BF、AC，AF交CD于M，过F作FH⊥AC，垂足为G，以下结论：①＝；②HC＝BF：③MF＝FC：④+＝+，其中成立的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】垂径定理；圆心角、弧、弦的关系．菁优网版权所有
【专题】与圆有关的计算；应用意识．
【分析】根据弧，弦，圆心角之间的关系，圆周角定理以及三角形内角和定理一一判断即可．
【解答】解：∵F为的中点，
∴＝，故①正确，
∴∠FCM＝∠FAC，
∵∠FCG＝∠ACM+∠GCM，∠AME＝∠FMC＝∠ACM+∠FAC，
∴∠AME＝∠FMC＝∠FCG＞∠FCM，
∴FC＞FM，故③错误，
∵AB⊥CD，FH⊥AC，
∴∠AEM＝∠CGF＝90°，
∴∠CFH+∠FCG＝90°，∠BAF+∠AME＝90°，
∴∠CFH＝∠BAF，
∴＝，
∴HC＝BF，故②正确，
∵∠AGF＝90°，
∴∠CAF+∠AFH＝90°，
∴的度数+的度数＝180°，
∴的度数+的度数＝180°，
∴+＝+＝+＝+，故④正确，
故选：C．
【点评】本题考查圆心角，弧，弦之间的关系，三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考选择题中的压轴题．
5．（2018秋•镇海区期末）如图，AB是⊙O的直径，AB＝10，P是半径OA上的一动点，PC⊥AB交⊙O于点C，在半径OB上取点Q，使得OQ＝CP，DQ⊥AB交⊙O于点D，点C，D位于AB两侧，连接CD交AB于点F，点P从点A出发沿AO向终点O运动，在整个运动过程中，△CFP与△DFQ的面积和的变化情况是（ ）
A．一直减小 B．一直不变
C．先变大后变小 D．先变小后变大
【考点】勾股定理；垂径定理．菁优网版权所有
【专题】圆的有关概念及性质；几何直观；推理能力．
【分析】连接OC，OD，PD，CQ．设PC＝x，OP＝y，OF＝a，利用分割法求出阴影部分的面积，再求出a＝y﹣x即可判断；
【解答】解：连接OC，OD，PD，CQ．设PC＝x，OP＝y，OF＝a，
∵PC⊥AB，QD⊥AB，
∴∠CPO＝∠OQD＝90°，
∵PC＝OQ，OC＝OD，
∴Rt△OPC≌Rt△DQO，
∴OP＝DQ＝y，
∴S阴＝S四边形PCQD﹣S△PFD﹣S△CFQ＝（x+y）2﹣•（y﹣a）y﹣（x+a）x＝xy+a（y﹣x），
∵PC∥DQ，
∴＝，
∴＝，
∴a＝y﹣x，
∴S阴＝xy+（y﹣x）（y﹣x）＝（x2+y2）＝
故选：B．
【点评】本题考查勾股定理、全等三角形的判定和性质、三角形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用分割法求面积，属于中考选择题中的压轴题．
6．（2017秋•丹徒区期末）如图，AB是半圆O的直径，点D在半圆O上，AB＝2，AD＝10，C是弧BD上的一个动点，连接AC，过D点作DH⊥AC于H，连接BH，在点C移动的过程中，BH的最小值是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【考点】勾股定理；圆周角定理；点与圆的位置关系．菁优网版权所有
【专题】圆的有关概念及性质．
【分析】如图，取AD的中点M，连接BD，HM，BM．由题意点H在以M为圆心，MD为半径的⊙M上，推出当M、H、B共线时，BH的值最小；
【解答】解：如图，取AD的中点M，连接BD，HM，BM．
∵DH⊥AC，
∴∠AHD＝90°，
∴点H在以M为圆心，MD为半径的⊙M上，
∴当M、H、B共线时，BH的值最小，
∵AB是直径，
∴∠ADB＝90°，
∴BD＝＝12，
BM＝＝＝13，
∴BH的最小值为BM﹣MH＝13﹣5＝8．
故选：D．
【点评】本题考查点与圆的位置关系、勾股定理、圆周角定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，利用辅助线圆解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
7．（2021•乐山）如图，已知OA＝6，OB＝8，BC＝2，⊙P与OB、AB均相切，点P是线段AC与抛物线y＝ax2的交点，则a的值为（ ）
A．4 B． C． D．5
【考点】二次函数图象上点的坐标特征；切线的性质．菁优网版权所有
【专题】代数几何综合题；与圆有关的位置关系；几何直观；数据分析观念．
【分析】设点P的坐标为（x，﹣x+6），由点P、A的坐标得，PA＝（6﹣x），则AN＝＝，由AB＝10＝BN+AN，得到10＝+2+x，进而求解．
【解答】解：设⊙P与OB、AB分别相切于点M、N，连接PM、PN，
设圆的半径为x，则PN＝PM＝x，
由题意知，OC＝AO＝6，则直线BA与y轴的夹角为45°，则CM＝MP＝x，
由点A、C的坐标得，直线AC的表达式为y＝﹣x+6，
则点P的坐标为（x，﹣x+6），
由点P、A的坐标得，PA＝（6﹣x），
则AN＝＝，
∵⊙P与OB、AB分别相切于点M、N，故BN＝BM＝BC+CM＝2+x，
在Rt△ABO中，OA＝6，OB＝8，则AB＝10＝BN+AN，
即10＝+2+x，解得x＝1，
故点P的坐标为（1，5），
将点P的坐标代入y＝ax2得5＝a，
故选：D．
【点评】本题为几何和函数综合题，涉及一次函数的性质、圆的切线的性质、勾股定理的运用等，综合性强，难度适中．
8．（2021•连云港）如图，正方形ABCD内接于⊙O，线段MN在对角线BD上运动，若⊙O的面积为2π，MN＝1，则△AMN周长的最小值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【考点】勾股定理；正方形的性质；垂径定理；圆周角定理；正多边形和圆；轴对称﹣最短路线问题．菁优网版权所有
【专题】几何综合题；动点型；创新意识．
【分析】由正方形的性质，知点C是点A关于BD的对称点，过点C作CA′∥BD，且使CA′＝1，连接AA′交BD于点N，取NM＝1，连接AM、CM，则点M、N为所求点，进而求解．
【解答】解：⊙O的面积为2π，则圆的半径为，则BD＝2＝AC，
由正方形的性质，知点C是点A关于BD的对称点，
过点C作CA′∥BD，且使CA′＝1，
连接AA′交BD于点N，取NM＝1，连接AM、CM，则点M、N为所求点，
理由：∵A′C∥MN，且A′C＝MN，则四边形MCA′N为平行四边形，
则A′N＝CM＝AM，
故△AMN的周长＝AM+AN+MN＝AA′+1为最小，
则A′A＝＝3，
则△AMN的周长的最小值为3+1＝4，
故选：B．
【点评】本题是为几何综合题，主要考查了圆的性质、点的对称性、平行四边形的性质等，确定点M、N的位置是本题解题的关键．
9．（2021•湖州）如图，已知在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝，点P是AD边上的一个动点，连结BP，点C关于直线BP的对称点为C1，当点P运动时，点C1也随之运动．若点P从点A运动到点D，则线段CC1扫过的区域的面积是（ ）
A．π B．π+ C． D．2π
【考点】矩形的性质；扇形面积的计算；轴对称的性质．菁优网版权所有
【专题】矩形 菱形 正方形；推理能力．
【分析】由临界状态确定出C1的运动路径，明确点P从点A运动到点D，则线段CC1扫过的区域为：扇形BC'C''和△BCC''，再分别计算两部分面积即可．
【解答】解：如图，当P与A重合时，点C关于BP的对称点为C′，
当P与D重合时，点C关于BP的对称点为C″，
∴点P从点A运动到点D，则线段CC1扫过的区域为：扇形BC'C''和△BCC''，
在△BCD中，∵∠BCD＝90°，BC＝，CD＝1，
∴tan∠DBC＝，
∴∠DBC＝30°，
∴∠CBC″＝60°，
∵BC＝BC''
∴△BCC''为等边三角形，
∴S扇形BC′C″＝＝π，
作C''F⊥BC于F，
∵△BCC''为等边三角形，
∴BF＝，
∴C''F＝tan60°×＝，
∴S△BCC''＝，
∴线段CC1扫过的区域的面积为：π+．
故选：B．
【点评】本题考查了以矩形为背景的轴对称，扇形的面积计算，等边三角形的判定与性质等知识，解题的关键是画出线段CC1扫过的图形．
10．（2021•武汉模拟）如图，半径为1的⊙O与直线l相切于点A，C为⊙O上的一点，CB⊥l于点B，则AB+BC的最大值是（ ）
A．2 B． C． D．
【考点】切线的性质．菁优网版权所有
【专题】圆的有关概念及性质；运算能力；推理能力．
【分析】延长AB到点D，使BD＝BC，则AB+BC＝AD，当DC与⊙O相切于点C时，AD最大，则此时连接AO并延长交DC延长线于点E，则AE⊥AD，根据∠CDB＝45°，可得OC＝CE＝1，根据勾股定理可得OE的长，进而可得结论．
【解答】解：如图，延长AB到点D，使BD＝BC，
则AB+BC＝AD，
当DC与⊙O相切于点C时，AD最大，
则此时连接AO并延长交DC延长线于点E，
则AE⊥AD，
∵CB⊥l，
∴∠DBC＝90°，
∵BD＝BC，
∴∠CDB＝45°，
∵⊙O与直线l相切于点A，
∴OA⊥l，
∴∠OAD＝90°，
∴∠AED＝45°，
连接OC，则OC⊥DE，
在Rt△OCE中，OC＝CE＝1，根据勾股定理，得
OE＝＝，
∴AD＝AE＝AO+OE＝1+．
则AB+BC的最大值是+1．
故选：C．
【点评】本题考查了切线的性质，解决本题的关键是掌握切线的性质．
二．填空题（共10小题）
11．（2021•江岸区校级模拟）已知如图，AB＝4，AC＝2，∠BAC＝60°，所在圆的圆心是点O，∠BOC＝60°，分别在、线段AB和AC上选取点P、E、F，则PE+EF+FP的最小值为 2﹣6． ．
【考点】垂径定理；圆周角定理；轴对称﹣最短路线问题．菁优网版权所有
【专题】动点型；平移、旋转与对称；与圆有关的计算；应用意识．
【分析】如图，连接BC，AO，作点P关于AB的对称点M，作点P关于AC的对称点N，连接MN交AB于E，交AC于F，此时△PEF的周长＝PE+PF+EF＝EM+EF+FM＝MN，想办法求出MN的最小值即可解决问题．
【解答】解：如图，连接BC，AO，作点P关于AB的对称点M，作点P关于AC的对称点N，连接MN交AB于E，交AC于F，此时△PEF的周长＝PE+PF+EF＝EM+EF+FM＝MN，
∴当MN的值最小时，△PEF的值最小，
∵AP＝AM＝AN，∠BAM＝∠BAP，∠CAP＝∠CAN，∠BAC＝60°，
∴∠MAN＝120°，
∴MN＝AM＝PA，
∴当PA的值最小时，MN的值最小，
取AB的中点J，连接CJ．
∵AB＝4，AC＝2，
∴AJ＝JB＝AC＝2，
∵∠JAC＝60°，
∴△JAC是等边三角形，
∴JC＝JA＝JB，
∴∠ACB＝90°，
∴BC＝＝＝2，
∵∠BOC＝60°，OB＝OC，
∴△OBC是等边三角形，
∴OB＝OC＝BC＝2，∠BCO＝60°，
∴∠ACH＝30°，∵AH⊥OH，
AH＝AC＝1，CH＝AH＝，
∴OH＝3，
∴OA＝＝＝2，
∵当点P在直线OA上时，PA的值最小，最小值为2﹣2，
∴MN的最小值为•（2﹣2）＝2﹣6．
故答案为2﹣6．
【点评】本题考查圆周角定理，垂径定理，轴对称﹣最短问题等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，属于中考填空题中的压轴题．
12．（2021•海安市模拟）已知圆锥的侧面积是40π，底面圆直径为2，则圆锥的母线长是 40 ．
【考点】圆锥的计算．菁优网版权所有
【分析】圆锥的侧面积＝底面周长×母线长÷2，把相应数值代入即可求解．
【解答】解：设母线长为R，底面圆直径为2，则底面周长＝2π，圆锥的侧面积＝×2πR＝40π，∴R＝40．
【点评】本题利用了圆的周长公式和扇形面积公式求解．
13．（2020秋•开福区校级月考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝10，BC＝8，点D是BC上一点，BC＝3CD，点P是线段AC上一个动点，以PD为直径作⊙O，点M为的中点，连接AM，则AM的最小值为 5 ．
【考点】垂线段最短；三角形中位线定理；圆周角定理．菁优网版权所有
【专题】动点型；三角形；与圆有关的计算；模型思想；应用意识．
【分析】如图，连接OM，CM，过点A作AT⊥CM交CM的延长线于T．证明∠ACT＝45°，求出AT即可解决问题．
【解答】解：如图，连接OM，CM，过点A作AT⊥CM交CM的延长线于T．
∵＝，
∴OM⊥PD，
∴∠MOD＝90°，
∴∠MCD＝∠MOD＝45°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACT＝45°，
∵AT⊥CT，
∴∠ATC＝90°，
∵AC＝10，
∴AT＝AC•sin45°＝5，
∵AM≥AT，
∴AM≥5，
∴AM的最小值为5，
故答案为5．
【点评】本题考查圆周角定理，垂线段最短，圆周角定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
14．（2020•海宁市一模）如图，等边△ABC中，AB＝2，点D是以A为圆心，半径为1的圆上一动点，连接CD，取CD的中点E，连接BE，则线段BE的最大值与最小值之和为 ．
【考点】三角形三边关系；等边三角形的性质；三角形中位线定理；点与圆的位置关系．菁优网版权所有
【专题】动点型；等腰三角形与直角三角形；应用意识．
【分析】延长CB到T，使得BT＝BC，连接AT，DT，AD．首先确定DT的取值范围，再利用三角形的中位线定理解决问题即可．
【解答】解：延长CB到T，使得BT＝BC，连接AT，DT，AD．
∵△ABC是等边三角形，
∴BA＝BC＝AC＝BT＝2，∠ACB＝60°，
∴∠CAT＝90°，
∴AT＝CT•sin60°＝2，
∵AD＝1，
∴2﹣1≤DT≤2+1，
∵CB＝BT，CE＝DE，
∴BE＝DT，
∴≤BE≤，
∴线段BE的最大值与最小值之和为2，
故答案为2．
【点评】本题考查点与圆的位置关系，三角形中位线定理，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造三角形中位线解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
15．（2020•温州三模）如图，AB是半圆O的直径，点C在半径OA上，过点C做CD⊥AB交半圆O于点D．以CD，CA为边分别向左、下作正方形CDEF，CAGH．过点B作GH的垂线与GH的延长线交于点I，M为HI的中点．记正方形CDEF，CAGH，四边形BCHI的面积分别为S1，S2，S3．
（1）若AC：BC＝2：3，则的值为 ；
（2）若D，O，M在同条直线上，则的值为 ．
【考点】正方形的性质；垂径定理；圆周角定理．菁优网版权所有
【专题】矩形 菱形 正方形；与圆有关的计算；应用意识．
【分析】（1）设AC＝2k，BC＝3k，利用相似三角形的性质求出CD2即可解决问题．
（2）当D．O．M共线时，设CD＝a，AC＝b，由CD2＝AC•BC，推出BC＝，推出AB＝b+＝，CO＝OA﹣AC＝，HM＝MI＝HL＝CB＝，由CO∥HM，推出＝，推出＝，整理得：（）[（）2+﹣1]＝0，求出的值即可解决问题．
【解答】解：（1）如图，利用AD，BD．
∵AB是直径，
∴∠ADB＝90°，
∵DC⊥AB，
∴∠ACD＝∠DCB＝90°，
∴∠ADC+∠CAD＝90°，∠ADC+∠BDC＝90°，
∴∠BDC＝∠DAC，
∴△ACD∽△DCB，
∴CD：CB＝AC：CD，
∵AC：CB＝2：3，
∴可以假设AC＝2k，BC＝3k，
∴CD2＝6k2，
∴＝＝＝，
故答案为．
（2）当D．O．M共线时，设CD＝a，AC＝b，
∵CD2＝AC•BC，
∴BC＝，
∴AB＝b+＝，CO＝OA﹣AC＝，HM＝MI＝HL＝CB＝，
∵CO∥HM，
∴＝，
∴＝，
整理得：（）[（）2+﹣1]＝0
∵≠0，
∴＝或（舍弃），
∵＝＝1+（）2，
∴＝．
故答案为．
【点评】本题考查圆周角定理，正方形的性质，相似三角形的判定和性质，一元二次方程等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
16．（2020•龙泉驿区模拟）如图，直线y＝﹣x+m（m＞0）与x轴、y轴分别交于点A，B，C是AB的中点，点D在直线y＝﹣2上，以CD为直径的圆与直线AB的另一交点为E，交y轴于点F，G，已知CE+DE＝6，FG＝2，则CD的长是 3 ．
【考点】一次函数图象上点的坐标特征；垂径定理．菁优网版权所有
【专题】圆的有关概念及性质；与圆有关的计算．
【分析】如图，设CD的中点为O′，延长BA交直线y＝﹣2于M，直线y＝﹣2交y轴于P，作CH⊥OB于H，连接O′F，作AJ⊥DM于J，O′N⊥FG于N．首先确定A，B，C的坐标，可得A（8，0）．B（0，8），C（4，4），设D（m，﹣2），则O′N＝（m+4），O′F＝CD＝•，在Rt△O′FN中利用勾股定理构建方程求出m即可解决问题．
【解答】解：如图，设CD的中点为O′，延长BA交直线y＝﹣2于M，直线y＝﹣2交y轴于P，作CH⊥OB于H，连接O′F，作AJ⊥DM于J，O′N⊥FG于N．
∵CD是⊙O′的直径，
∴∠CED＝90°，
∵直线y＝﹣x+m（m＞0）与x轴、y轴分别交于点A，B，
∴A（m，0），B（0，m），
∴OA＝OB，
∴∠OAB＝45°，
∵OA∥DM，
∴∠EMD＝∠OAB＝45°，
∵∠DEM＝90°，
∴ED＝EM，
∴EC+ED＝EC+EM＝CM＝6，
∵JA⊥DM，
∴∠AJM＝90°，
∴AJ＝JM＝2，AM＝2，
∴BC＝CA＝4，
∴A（8，0）．B（0，8），C（4，4），设D（n，﹣2），则O′N＝（n+4），O′F＝CD＝•，
∵O′N⊥FG，
∴FN＝，
在Rt△O′FN中，（）2+（n+4）2＝[（n﹣4）2+62]，
解得n＝1，
∴CD＝＝3．
故答案为3．
【点评】本题考查圆周角定理，等腰直角三角形的判定和性质，平行线等分线段定理，勾股定理，垂径定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线面构造特殊三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
17．（2020秋•崇川区期末）如图1，▱ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝6，BC＝2，P为边CD上的一动点，设PB+PD的值为a，如图2，⊙O是正方形ABCD的内切圆，AB＝4，点P是⊙O上一个动点，设AP+DP的值为b，如图3，MN＝4，∠M＝75°，MG＝3．点O是△MNG内一点，设点O到△MNG三个顶点的距离和的值为c，则a2+b2+c2的最小值为 62+12 ．
【考点】三角形三边关系；勾股定理；平行四边形的性质；正方形的性质；圆周角定理；切线长定理；三角形的内切圆与内心；正多边形和圆．菁优网版权所有
【专题】矩形 菱形 正方形；解直角三角形及其应用；推理能力．
【分析】①如图1中，过点P作PE⊥AD，交AD的延长线于点E，当点B，点P，点E三点共线且BE⊥AD时，PB+PE有最小值，即最小值为BE．②如图2中，连OA，OP，OD，在OD上取一点E，使OE＝，连PE，AE．由题意AP+PD＝AP+PE≤AE，求出AE即可．③如图3中：以MG为边作等边三角形△MGD，以OM为边作等边△OME．连接ND，作DF⊥NM，交NM的延长线于F．当D、E、O、N四点共线时，NO+GO+MO值最小，求出DN，分别求出a2，b2，c2的最小值可知结论．
【解答】解：①如图1中，过点P作PE⊥AD，交AD的延长线于点E，
∵AB∥CD，
∴∠EDP＝∠DAB＝60°，
∴sin∠EDP＝＝，
∴EP＝PD
∴PB+PD＝PB+PE
∴当点B，点P，点E三点共线且BE⊥AD时，PB+PE有最小值，即最小值为BE，
∵sin∠A＝＝，
∴BE＝3，
∴a2的最小值为27，
②如图2中，连OA，OP，OD，在OD上取一点E，使OE＝，连PE，AE．
∵OP2＝22＝4，OE•OD＝×2＝4，
∴OP2＝OE•OD，
∠POE＝∠DOP，
∴△POE∽△DOP，
∴＝＝，
∴PE＝PD，
∴AP+PD＝AP+PE≤AE，
AE＝＝，
即AP+DP的最小值为，
∴b2的最小值为10，
如图3中：以MG为边作等边三角形△MGD，以OM为边作等边△OME．连接ND，作DF⊥NM，交NM的延长线于F．
∵△MGD和△OME是等边三角形
∴OE＝OM＝ME，∠DMG＝∠OME＝60°，MG＝MD，
∴∠GMO＝∠DME
在△GMO和△DME中，
，
∴△GMO≌△DME（SAS），
∴OG＝DE
∴NO+GO+MO＝DE+OE+NO
∴当D、E、O、N四点共线时，NO+GO+MO值最小，
∵∠NMG＝75°，∠GMD＝60°，
∴∠NMD＝135°，
∴∠DMF＝45°，
∵MG＝3．
∴MF＝DF＝，
∴NF＝MN+MF＝4+，
∴ND2＝DF2+FN2＝（）2+（4+）2＝25+12
∴c2的最小值为25+12，
∴a2+b2+c2的最小值为62+12．
故答案为：62+12．
【点评】本题考查平行四边形的性质，正方形的性质，解直角三角形，两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题．
18．（2020秋•海曙区期末）如图，正六边形ABCDEF中，G，H分别是边AF和DE上的点，GF＝AB＝2，∠GCH＝60°，则线段EH长 ．
【考点】正多边形和圆．菁优网版权所有
【专题】推理填空题；正多边形与圆；运算能力；推理能力．
【分析】作GP∥AB，交BC于点P，AN∥BC交GP于点N，可得四边形ABPN是平行四边形，根据六边形ABCDEF是正六边形，可得△ANG是等边三角形，然后证明△CPG∽△HDC，对应边成比例即可解决问题．
【解答】解：如图，作GP∥AB，交BC于点P，AN∥BC交GP于点N，
∴四边形ABPN是平行四边形，
∴PN＝AB＝6，
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠BAF＝∠B＝∠BCD＝∠D＝120°，AF＝AB＝BC＝CD＝6，
∴∠BAN＝∠NAG＝∠AGN＝60°，∠CPG＝∠D＝120°，
∴△ANG是等边三角形，
∴NG＝AN＝AG＝6﹣2＝4，
∴PG＝NG+PN＝4+6＝10，
∵∠PCG+∠DCH＝∠BCD﹣∠GCH＝120°﹣60°＝60°，
∠DHC+∠DCH＝180°﹣∠D＝180°﹣120°＝60°，
∴∠PCG＝∠DHC，
∵∠CPG＝∠D，
∴△CPG∽△HDC，
∴＝，
∵PC＝BC﹣BP＝6﹣4＝2，PG＝10，CD＝6，
∴DH＝，
∴EH＝ED﹣DH＝6﹣＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了正多边形和圆，解决本题的关键是综合运用正多边形和圆，平行四边形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质．
19．（2017•浦东新区校级自主招生）如图，边长为5的圆内接正方形ABCD中，P为CD的中点，连接AP并延长交圆于点E，则DE的长为 ．
【考点】正方形的性质；圆周角定理；正多边形和圆．菁优网版权所有
【专题】正多边形与圆；解直角三角形及其应用；推理能力．
【分析】连接CE，作出EF⊥CD，运用相似三角形的性质，得出EF，PF的长，再根据勾股定理即可得出结论．
【解答】解：连接CE，作EF⊥PF．
∵∠DAP＝∠PCE，∠APD＝∠CPE，
∴△APD∽△CPE，
∴＝，
∵P为边CD的中点
∴PD＝PC＝，PA＝＝，
＝，
∴PE＝，
∵FE∥AD
∴△APD∽△EPF，
∴＝，
∴＝，
∴PF＝，
∴EF＝＝1，
∴DE＝＝＝，
故答案为：．
【点评】本题考查的是正多边形的圆及相似三角形的判定与性质，根据题意作出辅助线，构造出相似三角形是解答此题的关键．
20．（2021•长兴县模拟）已知：如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝9，点E是对角线AC上的一点，经过C，D，E三点的⊙O与AD，BC分别交于点F，G，连接ED，EF，EG，延长GE交AD于点H．若当△HEF是等腰三角形时，CE的长为 6或或 ．
【考点】等腰三角形的性质；勾股定理；矩形的性质；垂径定理；三角形的外接圆与外心．菁优网版权所有
【专题】几何综合题；推理能力．
【分析】由平行线的性质和圆的内接四边形的性质可得∠EFH＝∠DCE，∠CDE＝∠DHE，从而得△HEF∽△DEC，列比例式＝＝，分三种情况：1°当HF＝EF时，2°当HE＝EF时，3°当HE＝HF时，根据比例式和等腰三角形的性质分别计算CE的长即可；
【解答】解：∵四边形CDFE是⊙O的内接四边形，
∴∠DFE+∠DCE＝180°，
∵∠DFE+∠EFH＝180°，
∴∠EFH＝∠DCE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠DHE＝∠BGE，
∵四边形DEGC是⊙O的内接四边形，
∴∠BGE＝∠CDE，
∴∠CDE＝∠DHE，
∴△HEF∽△DEC，
∴＝＝，
1°当HF＝EF时，
∵＝，
∴EC＝DC，
∵四边形ABCD是矩形，
∴CD＝AB＝6，
∴CE＝DC＝6；
2°当HE＝EF时，
∵＝，
∴DE＝EC，
∴∠EDC＝∠ECD，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC＝90°，
∴∠ADE+∠CDE＝∠ECD+∠CAD＝90°，
∴∠ADE＝∠EAD，
∴AE＝ED＝EC，
Rt△ADC中，AD＝BC＝9，DC＝6，
AC＝＝3，
∴CE＝AC＝，
3°当HE＝HF时，
∵＝，
∴DE＝DC＝6，
连接DG，交AC于M，如图，
∵∠DCG＝90°，
∴DG是⊙O的直径，
∵DE＝DC，
∴DG是EC的垂直平分线，即EC⊥DM，EC＝2CM，
cos∠DCM＝＝，
即，
∴CM＝，
∴CE＝2CM＝，
综上，CE的长为6或或，
故答案为：6或或．
【点评】本题是一道有关圆的几何综合题，难度较大，主要考查了圆内接四边形的性质，平行线分线段成比例定理，垂径定理，相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，解直角三角形等知识点；解题关键是添加辅助线构造直角三角形解决问题．
三．解答题（共10小题）
21．（2021•武汉模拟）如图，O是△ABC的外心，I是△ABC的内心，连AI并延长交BC和⊙O于D、E两点．
（1）求证：EB＝EI；
（2）若AB＝4，AC＝3，BE＝2，求AI的长．
【考点】三角形的外接圆与外心；三角形的内切圆与内心．菁优网版权所有
【专题】圆的有关概念及性质．
【分析】（1）欲证明EB＝EI，只要证明∠EBI＝∠EIB；
（2）连接EC．由△ADB∽△CDE，可得＝＝＝＝2，设DE＝m，CD＝n，则BD＝2m，AD＝2n，同法可证：△ADC∽△BDE，推出＝，推出＝，推出n：m＝3：2，设n＝3k，m＝2k，由△ECD∽△EAC，可得EC2＝ED•EA，推出4＝m•（m+2n），即4＝2k（2k+6k）解得k＝或﹣（舍弃），由此即可解决问题；
【解答】（1）证明：∵I是△ABC的内心，
∴AE平分∠CAB，BI平分∠ABC，
∴∠BAE＝∠CAE，∠ABI＝∠CBI，
∵∠BIE＝∠BAE+∠ABI，∠IBE＝∠IBD+∠EBD，
∵∠CBE＝∠CAE，
∴∠BIE＝∠EBI，
∴EB＝EI；
（2）解：连接EC．
∵∠BAE＝∠CAE，
∴＝，
∴BE＝EC＝2，
∵∠ADB＝∠CDE，∠BAD＝∠DCE，
∴△ADB∽△CDE，
∴＝＝＝＝2，设DE＝m，CD＝n，则BD＝2m，AD＝2n，
同法可证：△ADC∽△BDE，
∴＝，
∴＝，
∴n：m＝3：2，设n＝3k，m＝2k，
∵∠CED＝∠AEC，∠ECD＝∠BAE＝∠CAE，
∴△ECD∽△EAC，
∴EC2＝ED•EA，
∴4＝m•（m+2n），
∴4＝2k（2k+6k）
∴k＝或﹣（舍弃），
∴DE＝1，AD＝3，
∴AE＝4，∵EI＝BE＝2，
∴AI＝AE﹣EI＝2．
【点评】本题考查的是三角形的内切圆与内心，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程组解决问题，属于中考压轴题．
22．（2020秋•长寿区期末）如图，AB是⊙O的直径，P在AB的延长线上，PD与⊙O相切于点D，C在⊙O上，PC＝PD．
（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）连接AC，若AC＝PC，PB＝1，求⊙O的半径．
【考点】切线的判定与性质．菁优网版权所有
【专题】常规题型．
【分析】（1）连接OC，OD．由于点C在圆上，要说明PC是圆的切线，需证明OC⊥PC，可通过证明△POC≌△POD来实现．
（2）通过OC＝OA，AC＝PC说明∠PAC＝∠APC＝∠ACO，可利用三角形的内角和、切线的性质说明∠POC＝60°或∠CPO＝30°，利用直角三角形中的特殊边角关系得结论．
【解答】解：（1）证明：连接OC，OD
∵PD与⊙O相切于点D，
∴∠PDO＝90°
∵OC＝OD，OP＝OP，PC＝PD
∴△POC≌△POD
∴∠PCO＝∠PDO＝90°，又∵C在⊙O上
∴PC是⊙O的切线．
（2）∵AC＝PC，
∴∠PAC＝∠APC
∵OC＝OA，
∴∠POC＝2∠PAC＝2∠APC，又∠PCO＝90°，
∴∠POC＝60°
∴PO＝2OC＝2OB＝2PB
∴OC＝PB＝1
【点评】本题考查了切线的判定和性质、三角形的内角和定理及特殊三角形的边角关系．题目难度不是很大，综合性较强．理清思路是关键．
23．（2021•商河县二模）如图，钝角△ABC中，AB＝AC，BC＝2，O是边AB上一点，以O为圆心，OB为半径作⊙O，交边AB于点D，交边BC于点E，过E作⊙O的切线交边AC于点F．
（1）求证：EF⊥AC．
（2）连接DF，若∠ABC＝30°，且DF∥BC，求⊙O的半径长．
【考点】等腰三角形的性质；切线的性质．菁优网版权所有
【专题】与圆有关的计算．
【分析】（1）连接OE，如图，先证明OE∥AC，再利用切线的性质得OE⊥EF，从而得到EF⊥AC；
（2）连接DE，如图，设⊙O的半径长为r，利用圆周角定理得到∠BED＝90°，则DE＝BD＝r，BE＝r，再证明∠EDF＝90°，∠DFE＝60°，接着用r表示出DF＝r，EF＝r，CE＝r，
从而得到r+r＝2，然后解方程即可．
【解答】（1）证明：连接OE，如图，
∵OB＝OE，
∴∠B＝∠OEB，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∴∠OEB＝∠C，
∴OE∥AC，
∵EF为切线，
∴OE⊥EF，
∴EF⊥AC；
（2）解：连接DE，如图，设⊙O的半径长为r，
∵BD为直径，
∴∠BED＝90°，
在Rt△BDE中，∵∠B＝30°，
∴DE＝BD＝r，BE＝r，
∵DF∥BC，
∴∠EDF＝∠BED＝90°，
∵∠C＝∠B＝30°，
∴∠CEF＝60°，
∴∠DFE＝∠CEF＝60°，
在Rt△DEF中，DF＝r，
∴EF＝2DF＝r，
在Rt△CEF中，CE＝2EF＝r，
而BC＝2，
∴r+r＝2，解得r＝，
即⊙O的半径长为．
【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．简记作：见切点，连半径，见垂直．也考查了圆周角定理和垂径定理．
24．（2021•济南一模）如图，AB与⊙O相切于点C，OA，OB分别交⊙O于点D，E，CD＝CE
（1）求证：OA＝OB；
（2）已知AB＝4 ，OA＝4，求阴影部分的面积．
【考点】切线的性质；扇形面积的计算．菁优网版权所有
【专题】与圆有关的计算．
【分析】（1）连接OC，由切线的性质可知∠ACO＝90°，由于CD＝CE，所以∠AOC＝∠BOC，从而可证明∠A＝∠B，从而可知OA＝OB；
（2）由（1）可知：△AOB是等腰三角形，所以AC＝2，从可求出扇形OCE的面积以及△OCB的面积
【解答】解：（1）连接OC，
∵AB与⊙O相切于点C
∴∠ACO＝90°，
∵CD＝CE
∴＝，
∴∠AOC＝∠BOC，
∴∠A＝∠B
∴OA＝OB，
（2）由（1）可知：△OAB是等腰三角形，
∴BC＝AB＝2，
∴sin∠COB＝＝，
∴∠COB＝60°，
∴∠B＝30°，
∴OC＝OB＝2，
∴扇形OCE的面积为：＝，
△OCB的面积为：×2×2＝2，
S阴影＝2﹣π．
【点评】本题考查切线的性质，解题的关键是求证OA＝OB，然后利用等腰三角形的三线合一定理求出BC与OC的长度，从而可知扇形OCE与△OCB的面积，本题属于中等题型．
25．（2021•鼓楼区校级模拟）已知⊙O为△ABC的外接圆，直线l与⊙O相切于点P，且l∥BC．
（1）连接PO，并延长交⊙O于点D，连接AD．证明：AD平分∠BAC；
（2）在（1）的条件下，AD交BC于点E，连接CD．若DE＝2，AE＝6．试求CD的长．
【考点】圆周角定理；切线的性质．菁优网版权所有
【专题】几何图形．
【分析】（1）根据切线的性质、垂径定理证明即可；
（2）根据相似三角形的判定和性质解答即可．
【解答】（1）证明：∵l与⊙O相切于点P，
∴PD⊥l，
∵l∥BC，
∴PD垂直平分弦BC，
∴，
∴∠BAD＝∠DAC，
即AD平分∠BAC；
（2）∠BAD＝∠BCD，且∠BAD＝∠DAC，
∴∠DAC＝∠BCD，
在△ADC和△CDE中
∠DAC＝∠BCD，∠ADC＝∠EDC，
∴△ADC∽△CDE，
∴，
即，
得DC＝4．
【点评】本题考查了切线的性质、垂径定理，根据相似三角形的判定和性质解答是解题的关键．
26．（2021•贺兰县校级一模）如图，在⊙O中，直径AB与弦CD相交于点P，∠CAB＝40°，∠APD＝65°
（1）求∠B的大小；
（2）已知圆心O到BD的距离为3，求AD的长．
【考点】垂径定理；圆周角定理．菁优网版权所有
【专题】几何图形．
【分析】（1）由同弧所对的圆周角相等求得∠CAB＝∠CDB＝40°，然后根据平角是180°求得∠BPD＝115°；最后在△BPD中依据三角形内角和定理求∠B即可；
（2）过点O作OE⊥BD于点E，则OE＝3．根据直径所对的圆周角是直角，以及平行线的判定知OE∥AD；又由O是直径AB的半径可以判定O是AB的中点，由此可以判定OE是△ABD的中位线；最后根据三角形的中位线定理计算AD的长度．
【解答】解：（1）∵∠CAB＝∠CDB（同弧所对的圆周角相等），∠CAB＝40°，
∴∠CDB＝40°；
又∵∠APD＝65°，
∴∠BPD＝115°；
∴在△BPD中，
∴∠B＝180°﹣∠CDB﹣∠BPD＝25°；
（2）过点O作OE⊥BD于点E，则OE＝3．
∵AB是直径，
∴AD⊥BD（直径所对的圆周角是直角）；
∴OE∥AD；
又∵O是AB的中点，
∴OE是△ABD的中位线，
∴AD＝2OE＝6．
【点评】本题主要考查了三角形的内角和定理、三角形的中位线定理、圆周角定理．解答（1）时，还可以利用外角定理来求∠B的度数．
27．（2020秋•高州市期末）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，且CD＝24，点M在⊙O上，MD经过圆心O，连接MB．
（1）若BE＝8，求⊙O的半径；
（2）若∠DMB＝∠D，求线段OE的长．
【考点】垂径定理；圆周角定理．菁优网版权所有
【专题】与圆有关的计算．
【分析】（1）根据题意和图形，利用勾股定理、垂径定理可以解答本题；
（2）根据三角形全等、勾股定理可以求得线段OE的长．
【解答】解：（1）设⊙O的半径长为r，
则OD＝r，OE＝r﹣8，
∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，且CD＝24，
∴DE＝12，
∴OD2＝OE2+DE2，
即r2＝（r﹣8）2+122，
解得，r＝13，
即⊙O的半径是13；
（2）连接BC，
∵∠DMB＝∠D，∠DMB＝∠DCB，
∴∠D＝∠DCB，
∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，且CD＝24，
∴CE＝DE＝12，∠CEB＝∠DEO，
∴△CEB≌△DEO（ASA），
∴OE＝BE＝0.5OB，
设⊙O的半径长为r，
则r2＝122+（0.5r）2，
解得，r＝或r＝﹣8（舍去），
∴OE＝4．
【点评】本题考查圆周角定理、垂径定理、勾股定理，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
28．（2021•凉山州）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AE平分∠BAC交BC于点E，点D在AB上，DE⊥AE，⊙O是Rt△ADE的外接圆，交AC于点F．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为5，AC＝8，求S△BDE．
【考点】圆周角定理；三角形的外接圆与外心；切线的判定与性质．菁优网版权所有
【专题】等腰三角形与直角三角形；与圆有关的位置关系；图形的相似；推理能力；模型思想．
【分析】（1）根据直角三角形两锐角互余，等腰三角形性质以及等量代换可得出∠AEC+∠OEA＝90°，即OE⊥BC，从而得出BC是⊙O的切线；
（2）根据△ACE∽△AED和勾股定理可求出AE，DE，根据角平分线的性质可得出三角形BDE的BD边上的高EM，再根据相似三角形和勾股定理求出BD即可．
【解答】解：（1）连接OE，
∵∠C＝90°，
∴∠2+∠AEC＝90°,
又∵OA＝OE，
∴∠1＝∠OEA，
∵∠1＝∠2，
∴∠AEC+∠OEA＝90°，
即OE⊥BC，
∴BC是⊙O的切线；
（2）过点E作EM⊥AB，垂足为M，
∵∠1＝∠2，∠C＝∠AED＝90°，
∴△ACE∽△AED，
∴＝，
即＝，
∴AE＝4，
由勾股定理得，
CE＝＝4＝EM，
DE＝＝2，
∵∠DEB＝∠1，∠B＝∠B，
∴△BDE∽△BEA，
∴＝＝，
设BD＝x，则BE＝2x，
在Rt△BOE中，由勾股定理得，
OE2+BE2＝OB2，
即52+（2x）2＝（5+x）2，
解得x＝，
∴S△BDE＝BD•EM
＝××4
＝．
【点评】本题考查切线的判定，相似三角形，勾股定理，掌握切线的判定方法，相似三角形的判定和性质以及勾股定理是解决问题的前提．
29．（2021•淮安二模）如图，在△ABC中，BE是∠ABC的平分线，∠C＝90°，点D在AB边上，以DB为直径的半圆O经过点E．
（1）求证：AC是⊙O的切线．
（2）若BC＝3，⊙O的半径为2，求BE的长．
【考点】角平分线的性质；圆周角定理；切线的判定与性质．菁优网版权所有
【专题】证明题；圆的有关概念及性质；运算能力；推理能力．
【分析】（1）连接OE，由BE是∠CBA的角平分线得∠ABE＝∠CBE，由OE＝OB得∠ABE＝∠OEB，则∠OEB＝∠CBE，所以OE∥BC，则∠OEC＝∠C＝90°，即OE⊥AC，根据切线的判定得到AC是⊙O的切线；
（2）过点O作OM⊥BE于点M，根据垂径定理可得BE＝2BM，由（1）知OE∥BC，可得＝，可得＝，解得AD＝2，根据OA＝4可得∠A＝30°，再根据锐角三角函数可得BM的长，进而可得BE的长．
【解答】（1）证明：连接OE，如图，
∵BE是∠CBA的角平分线，
∴∠ABE＝∠CBE．
∵OE＝OB，
∴∠ABE＝∠OEB，
∴∠OEB＝∠CBE，
∴OE∥BC，
∴∠OEC＝∠C＝90°，
∴OE⊥AC，
∴AC是⊙O的切线；
（2）解：如图，过点O作OM⊥BE于点M，
∴BE＝2BM，
∵OE∥BC，
∴＝，
∴＝，
解得AD＝2，
∴OA＝4，
∴∠A＝30°，
∴∠AOE＝60°，
∵OE＝OB，
∴∠OBM＝30°，
∴BM＝OB•cos30°＝2×＝，
∴BE＝2BM＝2．
【点评】本题考查了切线的判定定理，圆周角定理，平行线分线段成比例定理，锐角三角函数，解决本题的关键是综合运用以上知识．
30．（2019•呼和浩特）如图，以Rt△ABC的直角边AB为直径的⊙O交斜边AC于点D，过点D作⊙O的切线与BC交于点E，弦DM与AB垂直，垂足为H．
（1）求证：E为BC的中点；
（2）若⊙O的面积为12π，两个三角形△AHD和△BMH的外接圆面积之比为3，求△DEC的内切圆面积S1和四边形OBED的外接圆面积S2的比．
【考点】三角形的外接圆与外心；切线的性质；三角形的内切圆与内心．菁优网版权所有
【专题】压轴题；整体思想；特殊化方法；与圆有关的位置关系；空间观念．
【分析】（1）证明∠EDB＝∠EBD，∠BDC＝90°，E为直角三角形BDC的中线，即可求解；
（2）△AHD和△BMH的外接圆面积之比为3，确定AD：BM＝，即HM：BH＝，得∠BMH＝30°＝∠BAC，即可求解．
【解答】解：（1）连接BD、OE，
∵AB是直径，则∠ADB＝90°＝∠ADO+∠ODB，
∵DE是切线，
∴∠ODE＝90°＝∠EDB+∠BDO，
∴∠EDB＝∠ADO＝∠CAB，
∵∠ABC＝90°，即BC是圆的切线，
∴∠DBC＝∠CAB，
∴∠EDB＝∠EBD，而∠BDC＝90°，
∴E为BC的中点；
（2）△AHD和△BMH的外接圆面积之比为3，
则两个三角形的外接圆的直径分别为AD、BM，
∴AD：BM＝，
而△ADH∽△MBH，
∴DH：BH＝，
则DH＝HM，
∴HM：BH＝，
∴∠BMH＝30°＝∠BAC，
∴∠C＝60°，DE是直角三角形的中线，
∴DE＝CE，
∴△DEC为等边三角形，
⊙O的面积：12π＝（AB）2π，
则AB＝4，∠CAB＝30°，
∴BD＝2，BC＝4，AC＝8，而OE＝AC＝4，
四边形OBED的外接圆面积S2＝π（2）2＝4π，
等边三角形△DEC边长为2，则其内切圆的半径为：，面积为，
故△DEC的内切圆面积S1和四边形OBED的外接圆面积S2的比为：．
【点评】本题为圆的综合运用题，涉及到三角形的外接圆和内切圆的相关知识，本题的关键是通过△AHD和△BMH的外接圆面积之比为3，确定∠BMH＝30°＝∠BAC，进而求解．
考点卡片
1．一次函数图象上点的坐标特征
一次函数y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数）的图象是一条直线．它与x轴的交点坐标是（﹣，0）；与y轴的交点坐标是（0，b）．
直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx+b．
2．二次函数图象上点的坐标特征
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，顶点坐标是（﹣，）．
①抛物线是关于对称轴x＝﹣成轴对称，所以抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足函数函数关系式．顶点是抛物线的最高点或最低点．
②抛物线与y轴交点的纵坐标是函数解析中的c值．
③抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（x1，0），（x2，0），则其对称轴为x＝．
3．垂线段最短
（1）垂线段：从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段．
（2）垂线段的性质：垂线段最短．
正确理解此性质，垂线段最短，指的是从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短．它是相对于这点与直线上其他各点的连线而言．
（3）实际问题中涉及线路最短问题时，其理论依据应从“两点之间，线段最短”和“垂线段最短”这两个中去选择．
4．三角形三边关系
（1）三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边．
（2）在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．
（3）三角形的两边差小于第三边．
（4）在涉及三角形的边长或周长的计算时，注意最后要用三边关系去检验，这是一个隐藏的定时炸弹，容易忽略．
5．角平分线的性质
角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，∵C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE
6．等腰三角形的性质
（1）等腰三角形的概念
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．
（2）等腰三角形的性质
①等腰三角形的两腰相等
②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】
③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】
（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．
7．等边三角形的性质
（1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形．
①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法；
②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的．
（2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．
等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴．
8．勾股定理
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a＝，b＝及c＝．
（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．
9．三角形中位线定理
（1）三角形中位线定理：
三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
（2）几何语言：
如图，∵点D、E分别是AB、AC的中点
∴DE∥BC，DE＝BC．
10．平行四边形的性质
（1）平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．
（2）平行四边形的性质：
①边：平行四边形的对边相等．
②角：平行四边形的对角相等．
③对角线：平行四边形的对角线互相平分．
（3）平行线间的距离处处相等．
（4）平行四边形的面积：
①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积．
②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等．
11．矩形的性质
（1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．
（2）矩形的性质
①平行四边形的性质矩形都具有；
②角：矩形的四个角都是直角；
③边：邻边垂直；
④对角线：矩形的对角线相等；
⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点．
（3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
12．正方形的性质
（1）正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．
（2）正方形的性质
①正方形的四条边都相等，四个角都是直角；
②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；
③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．
④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴．
13．垂径定理
（1）垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
（2）垂径定理的推论
推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．
推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．
14．圆心角、弧、弦的关系
（1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
（2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧．
（3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系
三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合．
（4）在具体应用上述定理解决问题时，可根据需要，选择其有关部分．
15．圆周角定理
（1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．
注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可．
（2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
（3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握．
（4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”﹣﹣﹣圆心角转化．③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角．
16．点与圆的位置关系
（1）点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：
①点P在圆外⇔d＞r
②点P在圆上⇔d＝r
①点P在圆内⇔d＜r
（2）点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．
（3）符号“⇔”读作“等价于”，它表示从符号“⇔”的左端可以得到右端，从右端也可以得到左端．
17．三角形的外接圆与外心
（1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆．
（2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．
（3）概念说明：
①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点．
②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部．
③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个．
18．切线的性质
（1）切线的性质
①圆的切线垂直于经过切点的半径．
②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．
③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．
（2）切线的性质可总结如下：
如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过圆心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直．
（3）切线性质的运用
由定理可知，若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．简记作：见切点，连半径，见垂直．
19．切线的判定与性质
（1）切线的性质
①圆的切线垂直于经过切点的半径．
②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．
③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．
（2）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
（3）常见的辅助线的：
①判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”；
②有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”．
20．切线长定理
（1）圆的切线长定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．
（2）切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角．
（3）注意：切线和切线长是两个不同的概念，切线是直线，不能度量；切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量．
（4）切线长定理包含着一些隐含结论：
①垂直关系三处；
②全等关系三对；
③弧相等关系两对，在一些证明求解问题中经常用到．
21．三角形的内切圆与内心
（1）内切圆的有关概念：
与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点．
（2）任何一个三角形有且仅有一个内切圆，而任一个圆都有无数个外切三角形．
（3）三角形内心的性质：
三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．
22．正多边形和圆
（1）正多边形与圆的关系
把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆．
（2）正多边形的有关概念
①中心：正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心．
②正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径．
③中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．
④边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．
23．扇形面积的计算
（1）圆面积公式：S＝πr2
（2）扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形．
（3）扇形面积计算公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则
S扇形＝πR2或S扇形＝lR（其中l为扇形的弧长）
（4）求阴影面积常用的方法：
①直接用公式法；
②和差法；
③割补法．
（5）求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积．
24．圆锥的计算
（1）连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线．连接顶点与底面圆心的线段叫圆锥的高．
（2）圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
（3）圆锥的侧面积：S侧＝•2πr•l＝πrl．
（4）圆锥的全面积：S全＝S底+S侧＝πr2+πrl
（5）圆锥的体积＝×底面积×高
注意：①圆锥的母线与展开后所得扇形的半径相等．
②圆锥的底面周长与展开后所得扇形的弧长相等．
25．轴对称的性质
（1）如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．
由轴对称的性质得到一下结论：
①如果两个图形的对应点的连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称；
②如果两个图形成轴对称，我们只要找到一对对应点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就可以得到这两个图形的对称轴．
（2）轴对称图形的对称轴也是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．
26．轴对称-最短路线问题
1、最短路线问题
在直线L上的同侧有两个点A、B，在直线L上有到A、B的距离之和最短的点存在，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线L的对称点，对称点与另一点的连线与直线L的交点就是所要找的点．
2、凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合本节所学轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布
日期：2021/6/23 15:49:16；用户：周晓丽；邮箱：17788760824；学号：25289867
相关试卷
新高考数学一轮复习知识点总结与题型精练专题22 直线与圆（含解析）： 这是一份新高考数学一轮复习知识点总结与题型精练专题22 直线与圆（含解析），共25页。
新高考数学二轮复习培优训练专题14 直线与圆（含解析）： 这是一份新高考数学二轮复习培优训练专题14 直线与圆（含解析），共21页。
专题38 圆锥曲线中的圆问题-新高考数学大一轮复习讲义之方法技巧与题型全归纳（新高考专用）： 这是一份专题38 圆锥曲线中的圆问题-新高考数学大一轮复习讲义之方法技巧与题型全归纳（新高考专用），文件包含专题38圆锥曲线中的圆问题解析版docx、专题38圆锥曲线中的圆问题原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共54页， 欢迎下载使用。
