人教A版 (2019)选择性必修第一册3.1 椭圆达标测试

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这是一份人教A版 (2019)选择性必修第一册3.1 椭圆达标测试，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

椭圆专项练习卷
一、选择题（本大题共10小题，共50.0分）
1. 已知椭圆与双曲线x23-y22=1有共同的焦点,且离心率为15,则椭圆的标准方程为 (    )
A. x220+y225=1 B. x225+y220=1
C. x225+y25=1 D. x25+y225=1

2. 已知P是双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)上的点,F1,F2是其焦点,双曲线的离心率是54,且PF1⋅PF2=0,若△PF1F2的面积为9,则a+b的值为(    )
A. 8 B. 7
C. 6 D. 5

3. 过点M(1,1)作斜率为-14的直线与椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0),相交于A、B两点,若M是线段AB的中点,则椭圆C的离心率为(    )
A. 32 B. 12
C. 13 D. 33

4. 已知A、B分别为椭圆x29+y2b2=1(0 A. 12 B. 24
C. 13 D. 22

5. 6.已知 ,则曲线和一定有
A. 相同的短轴 B. 相同的焦点
C. 相同的离心率 D. 相同的长轴

6. 椭圆x24+y23=1的左、右焦点分别为F1、F2,过F2作x轴的垂线交椭圆于点P,过P与原点O的直线交椭圆于另一点Q,则△F1PQ的周长为(    )
A. 4 B. 8
C. 4+13 D. 2+13

7. 已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右焦点为F1、F2,离心率为33,过F2的直线l交C与A、B两点,若△AF1B的周长为83,则C的方程为(    )
A. x23+y22=1 B. x23+y2=1
C. x212+y24=1 D. x212+y28=1

8. 曲线x=3cosϕy=5sinϕ(φ为参数)的离心率为(    )
A. 23 B. 35
C. 32 D. 53

9. 已知直线l过椭圆C：x22+y2=1的左焦点F且交椭圆C于A、B两点.O为坐标原点,若OA⊥OB,则点O到直线AB的距离为(    )
A. 63 B. 2
C. 52 D. 32

10. 设F1,F2是椭圆x24+y2b2=1(0 A. 12 B. 22
C. 5-12 D. 32
二、填空题（本大题共8小题，共40.0分）
11. 若方程表示椭圆,则实数的取值范围是______．
12. 已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点为F1,F2,离心率为33,过F2的直线l交C于A,B两点,若ΔAF1B的周长为43,则C的方程为__________．
13. 椭圆x29+y22=1的焦点为F1,F2,点P在椭圆上,若PF1=4,则SΔPF1F2的大小为________．
14. 如图所示,A,B分别是椭圆的右、上顶点,C是AB的三等分点(靠近点B),F为椭圆的右焦点,OC的延长线交椭圆于点M,且MF⊥OA,则椭圆的离心率为____．

15. 已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍,则椭圆的离心率等于________．
16. 已知P是椭圆x216+y29=1上的点,F1,F2分别是椭圆的左、右焦点,若PF1⋅PF2|PF1|⋅|PF2|=12,则ΔF1PF2的面积为____________．
17. 已知为椭圆的左焦点,直线与椭圆交于两点,那么=__________．
18. 如图,在平面直角坐标系xOy中,F是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点,直线y=b2与椭圆交于B,C两点,且,则该椭圆的离心率是________．

三、解答题（本大题共6小题，共60.0分）
19. 已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的长轴是短轴的两倍,点A(3,12)在椭圆上.不过原点的直线l与椭圆相交于A、B两点,设直线OA、l、OB的斜率分别为k1、k、k2,且k1、k、k2恰好构成等比数列．

(Ⅰ)求椭圆C的方程．
(Ⅱ)试探究OA2+OB2是否为定值？若是,求出这个值；否则求出它的取值范围．

20. 已知椭圆4x2+y2=1及直线l：y=x+m．
(1)当直线和椭圆有公共点时,求实数m的取值范围；
(2)求被椭圆截得的最长弦长及此时直线l的方程．

21. 求与椭圆4x2+9y2=36共焦点,且过点(3,-2)的椭圆方程．

22. 已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为32,右焦点到直线y=x的距离为3
(1)求椭圆E的方程；
(2)已知点M的坐标为(2,1),斜率为12的直线L交椭圆E于两个不同点A,B,设直线MA与MB的斜率为k1,k2,求：k1+k2的值

23. 如图,小明想将短轴长为2,长轴长为4的一个半椭圆形纸片剪成等腰梯形ABDE,且梯形ABDE内接于半椭圆,DE//AB,AB为短轴,OC为长半轴．

(1)求梯形ABDE上底边DE与高OH长的关系式；
(2)若半椭圆上到H的距离最小的点恰好为C点,求底边DE的取值范围．

24. 在平面xOy中,已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)过点P(2,1),且离心率e=32．(1)求椭圆C的方程；
(2)直线l方程为y=12x+m,直线l与椭圆C交于A,B两点,求△PAB面积的最大值．

椭圆专项练习卷
一、选择题（本大题共10小题，共50.0分）
25. 已知椭圆与双曲线x23-y22=1有共同的焦点,且离心率为15,则椭圆的标准方程为 (    )
A. x220+y225=1 B. x225+y220=1 C. x225+y25=1 D. x25+y225=1
【答案】B
【解析】解：由题意,c=5,ca=15,
∴a=5,b=20,
∴椭圆的标准方程为x225+y220=1,
故选：B
由题意,c=5,ca=15,可得a=5,b=20,即可求出椭圆的标准方程．
本题考查椭圆的标准方程,考查双曲线、椭圆的性质,确定a,b是关键．

26. 已知P是双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)上的点,F1,F2是其焦点,双曲线的离心率是54,且PF1⋅PF2=0,若△PF1F2的面积为9,则a+b的值为(    )
A. 8 B. 7 C. 6 D. 5
【答案】B
【解析】解：如图所示,
不妨设点P在双曲线的右支上.设|PF1|=m,|PF2|=n．
则m-n=2a,12mn=9,m2+n2=4c2,
消去m,n可得：b=3．
ca=54,c2=a2+b2．
∴2516a2=a2+b2,解得a2=169b2=16,a=4．
∴a+b=7．
故选：B．
如图所示,不妨设点P在双曲线的右支上.设|PF1|=m,|PF2|=n.可得m-n=2a,12mn=9,m2+n2=4c2,消去m,n可得：b.再利用ca=54,c2=a2+b2可得a．
本题考查了双曲线的定义标准方程及其性质、向量垂直与数量积的关系、勾股定理,考查了推理能力和计算能力,属于中档题．

27. 过点M(1,1)作斜率为-14的直线与椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0),相交于A、B两点,若M是线段AB的中点,则椭圆C的离心率为(    )
A. 32 B. 12 C. 13 D. 33
【答案】A
【解析】解：设A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB的斜率为-14,即y2-y1x2-x1=-14,
直线AB的中点坐标为M(1,1),x1+x22=1y1+y22=1,
由x12a2+y12b2=1,x22a2+y22b2=1,
两式相减得：得x12-x22a2+y12-y22b2=0,
∴2a2+(-14)2b2=0,
a2=4b2,
∴e=ca=1-b2a2=1-14=32,
故选：A．
利用点差法,结合M是线段AB的中点,斜率为-14,即可求出椭圆C的离心率．
本题考查椭圆的离心率,考查点差法的应用,考查学生的计算能力,属于基础题．

28. 已知A、B分别为椭圆x29+y2b2=1(0 A. 12 B. 24 C. 13 D. 22
【答案】B
【解析】解：由椭圆x29+y2b2=1(0 设P(x0,y0),则Q(x0,-y0),
∴x029+y02b2=1,则-y02x02-9=b29．
∵m=kAP=y0x0+3,n=kBQ=-y0x0-3,
∴mn=-y02x02-9=b29．
∴直线y=1-mnx化为y=1-b29x=9-b23x,即9-b2x-3y=0．
由点A到直线y=1-mnx的距离为1,
得|-39-b2|9-b2+9=1,解得b2=638,
∴c2=a2-b2=98,则c=324．
则e=ca=24．
故选：B．
由已知求出A,B的坐标,设出P,Q的坐标,分别求出m,n的值,得到直线方程,由点到直线的距离公式列式求得b值,再由隐含条件求得c,则椭圆离心率可求．
本题考查椭圆的简单性质,考查数学转化思想方法,训练了点到直线距离公式的应用,是中档题．

29. 6.已知 ,则曲线和一定有
A. 相同的短轴 B. 相同的焦点 C. 相同的离心率 D. 相同的长轴
【答案】B
【解析】

30. 椭圆x24+y23=1的左、右焦点分别为F1、F2,过F2作x轴的垂线交椭圆于点P,过P与原点O的直线交椭圆于另一点Q,则△F1PQ的周长为(    )
A. 4 B. 8 C. 4+13 D. 2+13
【答案】C
【解析】【分析】
本题考查椭圆的标准方程及椭圆的定义,考查两点之间的距离公式,考查计算能力,属于基础题．
由题意可知：求得P和Q点坐标,利用两点之间的距离公式,求得丨PQ丨,利用函数的对称性及椭圆的定义求得丨PF1丨+丨QF1丨=4,即可求得△F1PQ的周长．
【解答】
解：椭圆x24+y23=1,a=2,b=3,c=1,F1(-1,0),F2(1,0),
由PF2⊥F1F2,则P(1,32),Q(-1,-32),
则丨PQ丨=(-1-1)2+(-32-32)2=13,
由题意可知：P关于Q对称,则四边形PF1QF2为平行四边形,丨PF2丨=丨QF1丨,
则丨PF1丨+丨PF2丨=丨QF1丨+丨QF2丨=2a=4,
∴丨PF1丨+丨QF1丨=4,
∴△F1PQ的周长丨PF1丨+丨QF1丨+丨PQ丨=4+13,
故选C．

31. 已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右焦点为F1、F2,离心率为33,过F2的直线l交C与A、B两点,若△AF1B的周长为83,则C的方程为(    )
A. x23+y22=1 B. x23+y2=1 C. x212+y24=1 D. x212+y28=1
【答案】D
【解析】【分析】
本题考查椭圆的简单性质及椭圆的标准方程,考查计算能力,属于基础题.由△AF1B的周长为83,4a=83,求得a=23,根据椭圆的离心率公式e=ca=33,求得c=2,有b2=a2-c2,即可求得椭圆的标准方程．
【解答】
解：由椭圆的性质可知：4a=83,即a=23,
椭圆的离心率e=ca=33,c=2,
b2=a2-c2=12-4=8,
∴椭圆的方程为：x212+y28=1,
故选：D．

32. 曲线x=3cosϕy=5sinϕ(φ为参数)的离心率为(    )
A. 23 B. 35 C. 32 D. 53
【答案】A
【解析】解：曲线x=3cosϕy=5sinϕ(φ为参数),化为普通方程：x29+y25=1,
可得a=3,b2=5,c=a2-b2=2．
∴椭圆的离心率为ca=23．
故选：A．
把参数方程化为普通方程,再利用椭圆的离心率计算公式即可得出．
本题考查了参数方程化为普通方程、椭圆的标准方程及其性质,考查了推理能力与计算能力,属于基础题．

33. 已知直线l过椭圆C：x22+y2=1的左焦点F且交椭圆C于A、B两点.O为坐标原点,若OA⊥OB,则点O到直线AB的距离为(    )
A. 63 B. 2 C. 52 D. 32
【答案】A
【解析】解：F(-1,0),
若直线l无斜率,直线l方程为x=-1,此时A(-1,22),B(-1,-22),
∴kOA=-22,kOB=22,∴kOA⋅kOB=-12.不符合题意．
若直线l有斜率,设直线l的方程为y=k(x+1),
联立方程组y=k(x+1)x22+y2=1,消元得：(1+2k2)x2+4k2x+2k2-2=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1x2=2k2-21+2k2,x1+x2=-4k21+2k2,
∴y1y2=k2(x1+1)(x2+1)=2k2(k2-1)1+2k2-4k41+2k2+k2=-k21+2k2,
∴kOA⋅kOB=y1y2x1x2=-k22k2-2=-1,
解得k=±2．
∴直线l的方程为2x-y+2=0或2x+y+2=0,
∴O到直线l的距离d=23=63．
故选A．
讨论直线l的斜率,联立方程组消元,利用根与系数的关系,令kOA⋅kOB=-1解出k,得出直线l的方程,从而求得点O到直线l的距离．
本题考查了直线与椭圆的位置关系,利用根与系数的关系解题是关键,属于中档题．

34. 设F1,F2是椭圆x24+y2b2=1(0 A. 12 B. 22 C. 5-12 D. 32
【答案】A
【解析】【分析】
本题考查直线与圆锥曲线的关系,考查了椭圆的定义,考查椭圆的通径公式,考查计算能力,属于中档题．
由题意可知椭圆是焦点在x轴上的椭圆,利用椭圆定义得到|BF2|+|AF2|=8-|AB|,再由过椭圆焦点的弦中通径的长最短,可知当AB垂直于x轴时|AB|最小,把|AB|的最小值b2代入|BF2|+|AF2|=8-|AB|,由|BF2|+|AF2|的最大值等于5,列式求b的值,根据椭圆的离心率公式即可求得椭圆的离心率．
【解答】
解：因x24+y2b2=1,则a=2,
由0 ∵过F1的直线l交椭圆于A,B两点,
则|BF2|+|AF2|+|BF1|+|AF1|
=2a+2a=4a=8,
∴|BF2|+|AF2|=8-|AB|,
当AB垂直x轴时|AB|最小,|BF2|+|AF2|值最大,
此时|AB|=2b2a=b2,则5=8-b2,
解得b=3,
则椭圆的离心率e=ca=1-b2a2=12．
故选A．

二、填空题（本大题共8小题，共40.0分）
35. 若方程表示椭圆,则实数的取值范围是______．
【答案】-2,-32∪-32,-1
【解析】【分析】
本题考查了椭圆的标准方程与简单几何性质等知识,属于基础题．
根据题意,将方程化成椭圆的标准方程,可得关于m不等式组,解之即可得到实数m的取值范围．
【解答】
解：将方程化为椭圆的标准方程,x2m+2+y2-m-1=1,
可得m+2>0-m-1>0m+2≠-m-1,解得-2 故答案为-2,-32∪-32,-1．

36. 已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点为F1,F2,离心率为33,过F2的直线l交C于A,B两点,若ΔAF1B的周长为43,则C的方程为__________．
【答案】x23+y22=1,
【解析】【分析】
本题主要考查椭圆的概念及标准方程和椭圆的几何性质,由椭圆定义可知△AF1B的周长为(|AF2|+|AF1|)+(|BF2|+|BF1|)=4a=43,得a=3,由离心率e=ca=33,得出c的值,从而得出b2,即可得出椭圆方程．
【解答】
解：如图,由椭圆定义可知△AF1B的周长为(|AF2|+|AF1|)+(|BF2|+|BF1|)=4a=43,故a=3,

由离心率
e=ca=33,可求出c=33a=1,
从而b2=a2-c2=2,
所以椭圆方程为x23+y22=1,故答案为x23+y22=1．

37. 椭圆x29+y22=1的焦点为F1,F2,点P在椭圆上,若PF1=4,则SΔPF1F2的大小为________．
【答案】23
【解析】【分析】
本题主要考查椭圆定义的应用及焦点三角形问题,考查余弦定理的运用及三角形面积公式,考查学生的计算能力,属于基础题．
有椭圆定义求出|PF2|,在△PF1F2中,用余弦定理求出∠F1PF2,再根据三角形面积公式求得结果．
【解答】
解：椭圆中,PF1+PF2=2a=6,PF1=4,

所以PF2=2,又F1F2=2c=27,
在△F1PF2中,cos∠F1PF2=22+42-2722×2×4=-12,
所以∠F1PF2=2π3,
所以S△F1PF2=12×PF1×PF2×sin∠F1PF2=12×2×4×32=23．
故答案为23．

38. 如图所示,A,B分别是椭圆的右、上顶点,C是AB的三等分点(靠近点B),F为椭圆的右焦点,OC的延长线交椭圆于点M,且MF⊥OA,则椭圆的离心率为____．

【答案】55
【解析】【分析】
本题考查椭圆的方程和基本性质,主要考查椭圆离心率的求法,注意运用直线的有关知识,考查运算能力,属于中档题.设A(a,0),B(0,b),F(c,0),椭圆方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0),求得C和M的坐标,运用O,C,M共线,即有kOC=kOM,再由离心率公式计算即可得到所求值．
【解答】
解：设A(a,0),B(0,b),F(c,0),
椭圆方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0),
令x=c,可得y=b1-c2a2=b2a,
即有M(c,b2a),
由C是AB的三等分点(靠近点B),
可得C(a1+2,2b1+2),即C(a3,2b3),
由O,C,M共线,可得kOC=kOM,
即为2ba=b2ac,即有b=2c,a=b2+c2=5c,
则e=ca=55．
故答案为55．

39. 已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍,则椭圆的离心率等于________．
【答案】22
【解析】【分析】
本题考查了椭圆的性质及几何意义,由题意a=2b,再用平方关系算得c=b,最后利用椭圆离心率公式可求出椭圆的离心率．
【解答】
解：∵椭圆的长轴长是短轴长的2倍,
∴2a=22b,即a=2b,
又∵c2=a2-b2=2b2-b2=b2,
∴c=b,
∴椭圆的离心率为e=ca=b2b=22,
故答案为22．

40. 已知P是椭圆x216+y29=1上的点,F1,F2分别是椭圆的左、右焦点,若PF1⋅PF2|PF1|⋅|PF2|=12,则ΔF1PF2的面积为____________．
【答案】33
【解析】【分析】
本题考查椭圆的概念及标准方程、椭圆的性质、三角形的余弦定理及面积公式.先由PF1→·PF2→PF1→·PF2→及余弦定理得到∠F1PF2的度数,再由椭圆的定义及余弦定理得到PF1→·PF2→的值,最后结合三角形的面积公式求解．
【解答】
解：∵PF1→·PF2→PF1→·PF2→,
∴cos∠F1PF2=PF1→·PF2→PF1→·PF2→=12,
则在△F1PF2中,∠F1PF2=π3．
由题意知a=4,b=3,
则c=7．
设|PF1|=t1,|PF2|=t2,
则由椭圆的定义可得：t1+t2=8,①
在△F1PF2中,∠F1PF2=π3,
则由余弦定理得t 12+t22-2t 1t 2⋅cosπ3=28,②
由①2-②得t1t2=12,
∴△F1PF2的面积为12×t1t2sinπ3=12×12×32=33．
故答案为33．

41. 已知为椭圆的左焦点,直线与椭圆交于两点,那么=__________．
【答案】
【解析】将直线与椭圆联立方程整理得,．

42. 如图,在平面直角坐标系xOy中,F是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点,直线y=b2与椭圆交于B,C两点,且,则该椭圆的离心率是________．

【答案】63
【解析】【分析】
本题考查椭圆的离心率的求法,注意运用两直线垂直的条件：斜率之积为-1,考查化简整理的运算能力,属中档题．
设右焦点F(c,0),将y=b2代入椭圆方程求得B,C的坐标,运用两直线垂直的条件：斜率之积为-1,结合离心率公式,计算即可得到所求值．
方法二：运用向量的数量积的性质,向量垂直的条件：数量积为0,结合离心率公式计算即可得到所求．
【解答】
解：设右焦点F(c,0),
将y=b2代入椭圆方程可得x=±a1-b24b2=±32a,
可得B(-32a,b2),C(32a,b2),
由,可得kBF⋅kCF=-1,
即有b2-32a-c⋅b232a-c=-1,
化简为b2=3a2-4c2,
由b2=a2-c2,即有3c2=2a2,
由e=ca,可得e2=c2a2=23,
可得e=63．
另解：设右焦点F(c,0),
将y=b2代入椭圆方程可得x=±a1-b24b2=±32a,
可得B(-32a,b2),C(32a,b2),
FB=(-32a-c,b2),FC=(32a-c,b2),
FB⋅FC=0,则c2-34a2十14b2=0,
因为b2=a2-c2,代入得3c2=2a2,
由e=ca,可得e2=c2a2=23,
可得e=63．
故答案为63．

三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）
43. 已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的长轴是短轴的两倍,点A(3,12)在椭圆上.不过原点的直线l与椭圆相交于A、B两点,设直线OA、l、OB的斜率分别为k1、k、k2,且k1、k、k2恰好构成等比数列．

(Ⅰ)求椭圆C的方程．
(Ⅱ)试探究OA2+OB2是否为定值？若是,求出这个值；否则求出它的取值范围．
【答案】解：(1)由题意可知a=2b,且3a2+14b2=1,
解得：b2=1,a=2,
所以椭圆的方程为x24+y2=1;
(2)设直线l的方程为y=kx+m,Ax1,y1,Bx2,y2,
联立y=kx+mx2+4y2=4,消去y整理得,
1+4k2x2+8kmx+4m2-4=0,
则Δ=161+4k2-m2>0,
x1+x2=-8km1+4k2,x1x2=4m2-41+4k2,
∵k1,k,k2恰好构成等比数列,
∴k2=k1k2=y1y2x1x2=kx1+mkx2+mx1x2,
化简得-4k2m2+m2=0,
∵m≠0,
∴k2=14,k=±12,
此时Δ=162-m2>0,
即m∈-2,2,
∴x1+x2=±2m,x1x2=2m2-2,
故|OA|2+|OB|2=x12+y12+x22+y22
=34x12+x22+2
=34x1+x22-2x1x2+2
=5,
于是|OA|2+|OB|2是定值5．
【解析】(1)通过将点A代入椭圆方程可得3a2+14b2=1,结合a=2b计算可得结论;
(2)设出A,B点的坐标,通过设直线l的方程为y=kx+m,与椭圆联立方程组,可得x1+x2=-8km1+4k2,x1x2=4m2-41+4k2,计算可求k的值,进而化简可得x1+x2=±2m,x1x2=2m2-2,最后利用完全平方公式计算即可．

44. 已知椭圆4x2+y2=1及直线l：y=x+m．
(1)当直线和椭圆有公共点时,求实数m的取值范围；
(2)求被椭圆截得的最长弦长及此时直线l的方程．
【答案】解：(1)由4x2+y2=1y=x+m 得5x2+2mx+m2-1=0,
当直线与椭圆有公共点时,△=4m2-4×5(m2-1)≥0,
即-4m2+5≥0,
解得-52≤m≤52,
所以实数m的取值范围是-52≤m≤52;
(2)设所截弦的两端点为A(x1,y1),B(x2,y2),由(1)知,x1+x2=-2m5,x1x2=m2-1 5 ,
所以弦长|AB|= 2|x1-x2|=2(x1+x2)2-4x1x2 =22×5-4m25,
当m=0时|AB|最大,此时所求直线方程为y=x．
【解析】(1)当直线与椭圆有公共点时,直线方程与椭圆方程构成的方程组有解,等价于消掉y后得到x的二次方程有解,故△≥0,解出即可；
(2)设所截弦的两端点为A(x1,y1),B(x2,y2),由(1)及韦达定理可把弦长|AB|表示为关于m的函数,根据函数表达式易求弦长最大时m的值．

45. 求与椭圆4x2+9y2=36共焦点,且过点(3,-2)的椭圆方程．
【答案】解：椭圆4x2+9y2-36=0,
∴焦点坐标为：5,0,-5,0,c=5．
椭圆的焦点与4x2+9y2-36=0有相同焦点,
∴椭圆的半焦距c=5,即a2-b2=5．
∵x2a2+y2b2=1过点(3,-2),即9a2+4b2=1
解得a2=15,b2=10．
∴椭圆的标准方程为x215+y210=1．
【解析】本题主要考查了椭圆的标准方程的问题.要熟练掌握椭圆方程中a,b和c的关系,求椭圆的方程时才能做到游刃有余.先根据椭圆4x2+9y2-36=0求得焦点坐标,进而求得椭圆的半焦距c,根据椭圆过点(3,-2)求得a和b,即可得到椭圆方程．

46. 已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为32,右焦点到直线y=x的距离为3
(1)求椭圆E的方程；
(2)已知点M的坐标为(2,1),斜率为12的直线L交椭圆E于两个不同点A,B,设直线MA与MB的斜率为k1,k2,求：k1+k2的值
【答案】解：(1)依题意e=ca=32,右焦点到直线y=x的距离为d=c2=3,
所以c=6,a=22,b=a2-c2=8-6=2,
∴椭圆E的方程为x28+y22=1；
(2)由题意,设直线AB的方程为y=12x+m,联立x28+y22=1y=12x+m,
得2x2-4mx+4m2-8=0.设点A(x1,y1),B(x2,y2),
则x1+x2=-2m,x1x2=2m2-4,
又k1=y1-1x1-2,k2=y2-1x2-2,
∴k1+k2=y1-1x1-2+y2-1x2-2=y1-1x2-2+y2-1x1-2x1-2x2-2,
∵分子y1-1x2-2+y2-1x1-2=12x1+m-1x2-2+12x1+m-1x1-2=x1x2+m-2x1+x2-4m-1=2m2-4+(m-2)(-2m)-4(m-1)=0,
∴k1+k2=0．
【解析】本题考查椭圆方程的求法,直线与椭圆的位置关系的综合应用,考查转化思想以及计算能力．
(1)利用椭圆的几何性质及参数a,b,c之间的关系即可求出；
(2)直线AB的方程为y=12x+m,与椭圆联立求解,由根与系数的关系可得x1+x2=-2m,x1x2=2m2-4,k1+k2=y1-1x1-2+y2-1x2-2=y1-1x2-2+y2-1x1-2x1-2x2-2,
分子=12x1+m-1x2-2+12x1+m-1x1-2,把根与系数的关系代入即可得出．

47. 如图,小明想将短轴长为2,长轴长为4的一个半椭圆形纸片剪成等腰梯形ABDE,且梯形ABDE内接于半椭圆,DE//AB,AB为短轴,OC为长半轴．

(1)求梯形ABDE上底边DE与高OH长的关系式；
(2)若半椭圆上到H的距离最小的点恰好为C点,求底边DE的取值范围．
【答案】解：(1)以AB所在直线为x轴,OC所在直线为y轴,建立直角坐标系,
所以半椭圆的方程：y24+x2=1y≥0,
设椭圆上点Ds,ts>0, t>0,
所以DE=2s,OH=t,且t24+s2=1t>0,s>0,
所以OH=4-DE20 (2)设半椭圆上一点为P(x,y),
由题可知点H(0,t),
所以PH=x2+y-t2=34y2-2ty+t2+1, y∈0, 2,
对称轴为y=4t3≥2,即t≥32,
由第(1)问可知DE=4-t2∈(0, 72]．
【解析】本题主要考查实际问题中椭圆的标准方程的求法,以及利用二次函数的性质求最值．
(1)把实际问题转化为数学问题,即可得；
(2)利用二次函数的性质,即可得．

48. 在平面xOy中,已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)过点P(2,1),且离心率e=32．(1)求椭圆C的方程；
(2)直线l方程为y=12x+m,直线l与椭圆C交于A,B两点,求△PAB面积的最大值．
【答案】解：(1)椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)过点P(2,1),且离心率e=32,
可得：4a2+1a2-c2=1ca=32,
解得a=22,c=6,则b=2,
椭圆方程为：x28+y22=1；
(2)直线方程为y=12x+m,
A(x1,y1)、B(x2,y2),
联立方程组y=12x+mx28+y22=1,
整理得：x2+2mx+2m2-4=0,
直线与椭圆要有两个交点,
所以Δ=2m2-42m2-4>0,
解得-2 当点P在直线AB上时m=0,
故-2 x1+x2=-2m,x1x2=2m2-4,
利用弦长公式得：
|AB|=1+k2·|x1-x2|
=1+k2·(x1+x2)2-4x1x2
=1+14×4m2-4(2m2-4)
=5(4-m2),
P到l的距离d=2|m|5,
S=12|AB|·d
=12·5(4-m2)⋅2|m|5
=m2(4-m2)≤m2+(4-m2)2=2,
当且仅当m2=2,
即m=±2时取到最大值,最大值为2．
【解析】本题主要考查椭圆的简单性质以及椭圆方程的求法,直线与椭圆的位置关系的综合应用,考查转化思想以及计算能力.属于中档题．
(1)利用已知条件列出方程组,然后求解a,b即可得到椭圆方程；
(2)联立直线与椭圆方程,利用韦达定理以及弦长公式结合点到直线的距离公式表示三角形的面积,然后通过基本不等式求解最值即可．