2019-2020学年山东青岛市北区九上期末数学试卷

这是一份2019-2020学年山东青岛市北区九上期末数学试卷，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共8小题；共40分）
1. 下列四幅图中，能表示两棵小树在同一时刻的阳光下影子的是
A. B.
C. D.

2. 如图，细线平行于正多边形一边，并把它分割成两部分，则阴影部分多边形与原多边形相似的是
A. B.
C. D.

3. 下列说法正确的是
A. 连续挪一枚质地均匀的骰子 100 次，其中擦出 5 点的次数最少，则第 101 次一定出 5 点
B. 某种彩票中奖的概率是 1%，因此买 100 张这种彩票，一定会中奖
C. 天气预报说明天下雨的概率是 50%，所以明天将有一半的时间在下雨
D. 任意抛掷一枚图钉，钉尖触地和钉尖朝上的概率不相等

4. 用配方法解方程 x2−4x+2=0，下列配方正确的是
A. x−22=2B. x+22=2
C. x−22=6D. x−22=−2

5. 某商品的外包装盒的三视图如图所示，则这个包装盒的体积是
A. 200π cm3B. 500π cm3C. 1000π cm3D. 2000π cm3

6. 如图，小正方形的边长均为 1，A，B，C 分别是小正方形的三个顶点，则 sin∠BAC 的值为
A. 12B. 22C. 1D. 3

7. 如图，在直角坐标系中，矩形 OABC 的顶点 O 在坐标原点，边 OA 在 x 轴上，OC 在 y 轴上，如果矩形 OAʹBʹCʹ 与矩形 OABC 关于点 O 位似，且矩形 OAʹBʹCʹ 的面积等于矩形 OABC 面积的 14，那么点 Bʹ 的坐标是
A. 2,−3B. −2,3
C. 3,−2 或 −2,3D. −2,3 或 2,−3

8. 二次函数 y=ax2+bx+ca≠0 的图象如图所示，则函数 y=ax 与 y=bx+c 在同一直角坐标系内的大致图象是
A. B.
C. D.

二、填空题（共6小题；共30分）
9. 若 2a=1b，则 2a+ba−b= ．

10. 经过两年的连续治理，某城市的大气环境有了明显改善，其每年每平方公里的降尘量从 50 t 下降到 40.5 t，设平均每年下降的百分率是 x，根据题意可得方程 ．

11. 如图，如果 AB∥EF∥DC，AB=60，DC=20，那么 EF= ．

12. 已知二次函数 y=ax2+bx+c 中，函数 y 与自变量 x 的部分对应值如表所示：
x⋯−10123⋯y⋯105212⋯
则当 x=4 时，y 的值是 ，当 y<10 时，x 的取值范围是 ．

13. 如图，在正方形纸片 ABCD 中，对角线 AC，BD 交于点 O，折叠正方形纸片 ABCD，使 AD 落在 BD 上，点 A 恰好与 BD 上的点 F 重合，展开后折痕 DE 分别交 AB，AC 于点 E，G，连接 GF，则下列结论中正确的是 ．
① ∠ADG=22.5∘；
② tan∠AED=2；
③ S四边形BEGF=S△GDF；
④ BE=2OG；
⑤四边形 AEFG 是菱形．

14. 在一条直线上，按如图所示的规律放置若干与，组成图案：
当图案恰好以收尾，且图案中的个数是 2278 时，则该图案中与的个数之和是 ．

三、解答题（共9小题；共117分）
15. 用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹．
如图，已知线段 a 和 ∠β，
求作：菱形 ABCD，使它的内角 ∠A=∠β，对角线 AC=a．

16. 解方程．
（1）3x2+10x−8=0．
（2）2x−32=x2−9．

17. 小眀和小刚做摸纸牌游戏．如图，两组相同的纸牌，毎组两张，牌面数字分别是 2 和 3，将两组牌背面朝上洗匀后从毎组牌中各摸岀一张，称为一次游戏．当两张牌的牌面数字之积为奇数，小明得 2 分，否则小刚得 1 分．这个游戏对双方公平吗?请说明理由．

18. 一副直角三角板如图放置，点 C 在 FD 的延长线上，AB∥CF，∠F=∠ACB=90∘，∠E=45∘，∠A=60∘，AC=10，试求 CD 的长．

19. 某医药研究所开发一种新药，据监测，一般成人服药后，如图，6 小时内其血液中含药量 y（微克/毫升），与时间 x（小时）的关系，可近似地用二次函数 y=−14x2+2x 刻画，6 小时后（包括 6 小时），y 与 x 的关系可近似地用反比例函数 y=kxk>0 刻画．
（1）求反比例函数 y=kxk>0 的关系式．
（2）据测定，每毫升血液中的含药量不少于 74 微克时，治疗疾病有效，请核算服这种药一次大概能维持多长的有效时间．

20. 如图，在 △ABC 中，AB=AC，在 BC 上任取一点 D，以 AB，BD 为邻边构造平行四边形 ABDE，连接 CE．
（1）求证：△ABD≌△CAE．
（2）当点 D 在边 BC 的什么位置时，四边形 ADCE 是矩形?证明你的结论．

21. 某名贵树木种植公司计划从甲、乙两个品种中选择一个种植并销售，市场预测每年产销 x 棵．已知两个品种的有关信息如下表：
品种每棵售价万元每棵成本万元每年其他费用万元预测每年最大销量棵甲6a20200乙201040+0.05x280
其中 a 为常数，且 3≤a≤5．设销售甲、乙两个品种的年利润分别为 y1 万元，y2 万元．
（1）y1 与 x 的函数关系式为 ；y2 与 x 的函数关系式为 ．
（2）分别求出销售这两个品种的最大年利润．
（3）为获得最大年利润，该公司应该选择种植哪个品种?请说明理由．

22. 如图 1，点 C 将线段 AB 分成两部分，如果 ACAB=BCAC，那么称点 C 为线段 AB 的黄金分割点，某数学兴趣小组在进行课题研究时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线将一个面积为 S 的图形分成没有缝隙互不重叠的两部分，这两部分的面积分别为 S1，S2，如果 S1S=S2S1，那么称此直线为该图形的黄金分别线．
（1）如图 2，在 △ABC 中，∠A=36∘，AB=AC，∠C 的平分线交 AB 于点 D，则点 D 是否是 AB 边上的黄金分割点?证明你的结论；
（2）△ABC 在（1）的条件下，如图 3，直线 CD 是否是 △ABC 的黄金分割线?证明你的结论；
（3）如图 4，若点 E 是平行四边形 ABCD 的边 AB 的黄金分割点，过点 E 作即 EF∥AD，交 DC 于点 F，易知直线 EF 是平行四边形 ABCD 的黄金分割线．请你再画一条不同于直线 EF 的平行四边形 ABCD 的黄金分割线．（用圆规，直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹）

23. 如图，已知：在矩形 ABCD 中，AB=6cm，BC=8cm，点 P 从点 B 出发，沿 BC 方向匀速运动，速度为 2cm/s，与点 Р 同时，点 Q 从 D 点出发，沿 DA 方向匀速运动，速度为 1cm/s，过点 Q 作 QE∥AC，交 DC 于点 E，设运动时间为 ts0（1）在运动过程中，是否存在某一时刻 t，使 PQ 平分 ∠APC?若存在，求出 t 的值；若不存在，请说明理由．
（2）设五边形 APCEQ 的面积为 y，求 y 与 t 的函数关系式．
（3）当 0答案
第一部分
1. C【解析】∵ 同一时刻的阳光下影子的方向是相同的，且树高与影长对应成比例，
∴ 能表示两棵小树在同一时刻的阳光下影子的是选项C中的图形．
2. A【解析】只有A图形中阴影部分多边形与原多边形是相似的，其余都不是．
故选A．
3. D【解析】A．是随机事件，故A错误；
B．中奖的概率是 1%，买 100 张该种彩票不一定会中奖，故B错误；
C．明天下雨的概率是 50%，是说明天下雨的可能性是 50%，而不是明天将有一半时间在下雨，故C错误；
D．正确．
4. A
5. B
【解析】π×10÷22×20,=π×25×20,=500πcm3.
6. B【解析】连接 BC，
∵ 每个小正方形的边长均为 1，
∴AB=5，BC=5，AC=10，
∵AB2+BC2=AC2，
∴△ABC 是直角三角形，
∴sin∠BAC=BCAC=510=22．
故选B．
7. D【解析】∵ 矩形 OAʹBʹCʹ 与矩形 OABC 关于点 O 位似，
∴ 矩形 OAʹBʹCʹ∽ 矩形 OABC，
∵ 矩形 OAʹBʹCʹ 的面积等于矩形 OABC 面积的 14，
∴ 位似比为：1:2，
∵ 点 B 的坐标为 −4,6，
∴ 点 Bʹ 的坐标是：−2,3 或 2,−3．
8. B【解析】∵ 二次函数 y=ax2+bx+ca≠0 的图象开口向下，
∴a<0，
∵ 对称轴经过 x 的负半轴，
∴a，b 同号，
图象经过 y 轴的正半轴，则 c>0，
∵ 函数 y=ax，a>0，
∴ 图象经过二、四象限，
∵y=bx+c，b<0，c>0，
∴ 图象经过一、二、四象限．
第二部分
9. 5
【解析】∵a=2b，
∴原式=5bb=5．
10. 50×1−x2=40.5
11. 15
【解析】∵AB∥CD，
∴△ABE∽△CDE，
∴ABCD=AECE=6020=3，
∴CEAE=13．
∵AC=AE+CE，
∴CECA=14．
∵EF∥AB，
∴△CEF∽△CAB，
∴CECA=EFAB=14，
∴EF60=14，
∴EF=15．
12. 5，−1【解析】由表可知，二次函数的对称轴为直线 x=2，
所以，x=4 时，y=5；
x=−1 或 5 时，y=10，
所以，y<10 时，x 的取值范围为 −113. ①③④⑤
【解析】∵ 四边形 ABCD 是正方形，
∴AB=AD=BC=CD，
∠ABD=∠ADB=∠BAO=∠DAO=45∘，
∵△ADE 折叠后为 △DFE，
∴AD=DF，AE=EF，
∠ADE=∠FDE=12∠ADB=22.5∘．
故①正确．
∵∠EAD=∠EFD=90∘，
∠AED=∠FED，
∴∠BFE=180∘−∠EFD=90∘，
∠BEF=180∘−∠EBF−∠BFE=45∘，
∴△BEF 是等腰直角三角形，
设 EF 的长是 a，
则 BF=a，AE=a，BE=2a，
∴AB=AD=DF=AE+BE=a+2a，
∴tan∠AED=ADAE=a+2aa=1+2．
故②错误．
∵AD=DF,∠ADG=∠FDG,DG=DG,
∴△ADG≌△FDG
∴AG=FG，
∠DAG=∠DFG=45∘，
∴∠OFG=∠OBA，
∴GF∥AB，
∴△DGF∽△DEB，
∵∠AEG=∠FEG=180∘−∠BEF2=67.5∘，
∴∠AGE=180∘−∠EAG−∠AEG=67.5∘，
∴∠AEG=∠AGE，
∴AE=AG=EF=GF=a，
∴ 四边形 AEFG 是菱形．
故⑤正确．
∴GFBE=92a=22，
∴S△DGFS△DEB=GFBE2=12，
∴S四边形BEGF=S△DEB−S△DGF=2S△DGF−S△DGF=S△DGF.
故③正确．
∵∠OFG=45∘，∠GOF=90∘，
∴∠OGF=180∘−∠OFG−∠GOF=45∘，
∴△OGF 是等腰直角三角形，
又 ∵GF=a，
∴OG=22GF=22a，
∵BE=2a，
∴BE=20G．
故④正确．
故正确结论是：①③④⑤．
14. 2345
【解析】设该图案中有 x 个，则有 1+2+3+⋯+x=1+xx2 个，
依题意得 1+xx2=2278，
整理得 x2+x−4556=0，x−67x+68=0，
解得 x1=67，x2=−68，
所以该图案中和的个数之和为：67+2778=2345．
第三部分
15. 如图所示，菱形 ABCD 即为所求．
16. （1）
3x2+10x−8=0.x+43x−2=0.x1=−4,x2=23.
（2）
2x−32=x2−9.2x−32−x+3x−3=0.x−32x−6−x−3=0.x−3x−9=0.x1=3,x2=9.
17. 这个游戏对双方不公平．
根据题意，画出树状图如图：
一共有 4 种情况，积是偶数的有 3 种情况，积是奇数的有 1 种情况，
所以，P小明赢=14×2=12，
P小刚赢=34×1=34，
∵12≠34，
∴ 这个游戏对双方不公平．
18. 过点 B 作 BM⊥FD 于点 M．
在 △ACB 中，∠ACB=90∘，∠A=60∘，AC=10，
∴∠ABC=30∘，BC=AC⋅tan60∘=103．
∵AB∥CF，
∴∠BCM=∠ABC=30∘．
∴BM=BC⋅sin30∘=103×12=53，
CM=BC⋅cs30∘=103×32=15．
在 △EFD 中，∠F=90∘，∠E=45∘，
∴∠EDF=45∘，
∴MD=BM=53．
∴CD=CM−MD=15−53．
19. （1） 当 x=6 时，代入二次函数，
y=−14x2+2x 中，
得 −14×62+2×6=y，
∴y=−9+12=3，
将点 6,3 代入 y=kx 中，
k6=3，
∴k=18，
∴ 反比例函数为 y=18x．
（2） 当 0≤x<6 时，
−14x2+2x=74，
x2−8x+7=0，
x−1x−7=0，
∴x1=1，x2=7（舍），
当 x≥6 时，
18x=74，
x=4×187=727，
∴t=727−1=727−77=657h．
答：服这种药一次大概能维持 657 h．
20. （1） ∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB，
又 ∵ 平行四边形 ABDE 中，AB=DE，AB∥DE，
∴∠B=∠EDC=∠ACB，AC=DE，
在 △ADC 和 △ECD 中，
AC=DE,∠EDC=∠ACB,DC=CD,
∴△ADC≌△ECDSAS．
（2） ∵ 四边形 ABDE 是平行四边形，
∴AE=BD，AE∥BC，
∵D 为 BC 中点，
∴BD=CD，
∴AE=CD，AE∥CD，
∴ 四边形 ADCE 是平行四边形，
∵△ADC≌△ECD，
∴AC=DE，
∴ 四边形 ADCE 是矩形，
即点 D 在 BC 的中点上时，四边形 ADCE 是矩形．
21. （1） y1=6−ax−200【解析】y1=6−ax−200 y2=10x−40−0.05x2=−0.05x2+10x−400 （2） 对于 y1=6−ax−20，
因为 6−a>0，
所以 x=200 时，y1 的值最大 =1180−200a 万元．
对于 y2=−0.05x−1002+460，
因为 0所以 x=80 时，y2 最大值 =440 万元．
（3） ① 1180−200a=440，解得 a=3.7．
② 1180−200a>440，解得 a<3.7．
③ 1180−200a<440，解得 a>3.7．
因为 3≤a≤5，
所以当 a=3.7 时，生产甲乙两种产品的利润相同．
当 3≤a<3.7 时，生产甲产品利润比较高．
当 3.722. （1） 点 D 是 AB 边上的黄金分割点，理由如下：
∵ AB=AC，∠A=36∘，
∴ ∠B=∠ACB=72∘，
∵ CD 是角平分线，
∴ ∠ACD=∠BCD=36∘，
∴ ∠A=∠ACD，
∴ AD=CD，
∵ ∠CDB=180∘−∠B−∠BCD=72∘，
∴ ∠CDB=∠B，
∴ BC=CD，
∴ BC=AD，
在 △BCD 与 △BCA 中，
∠B=∠B，∠BCD=∠A=36∘，
∴ △BCD∼△BAC，
∴ BCAB=BDBC，
∴ ADAB=BDAD，
∴ 点 D 是 AB 边上的黄金分割点．
（2） 直线 CD 是 △ABC 的黄金分割线，理由如下：
设 △ABC 中，AB 边上的高为 h，则：
S△ABC=12AB⋅h，
S△ACD=12AD⋅h，
S△BCD=12BD⋅h，
由（1）知，点 D 是 AB 边上的黄金分割点，
∴ ADAB=BDAD，
∴ S△ACD:S△ABC=S△BCD:S△ACD，
∴ CD 是 △ABC 的黄金分割线．
（3） 如图：
【解析】在 DF 上取一点 N，连接 EN，
再过点 F 作 FM∥NE，
交 AB 于 M，作直线 MN，
则直线 MN 就是平行四边形 ABCD 的黄金分割线．
23. （1） 在运动中不存在某一时刻 t，使得 PQ 平分 ∠APC．
设时间为 t，
如图所示：当 PQ 平分 ∠APC 时，
∵ 四边形 ABCD 是矩形，
∴AD∥BC．
∴∠AQP=∠QPC．
又 ∵∠APQ=∠QPC，
∴∠APQ=AQP，
∴AP=AQ．
根据 P，Q 的运动可知，BP=2t，QD=t，
∴AP=AB2+BP2=62+2t2 AQ=AD−QD=8−t．
则 AP=AQ，可得：36+4t2=8−t，即 36+4t2=8−t2，
整理得：3t2+16t−28=0，Δ=162+4×3×28=592，
t1=237−83，t2=−237−83（舍）．
∴ 存在 t，使得 PQ 平分 ∠APC，t=237−83．
（2） ∵QE∥AC，
∴△DQE∽△DAC，
∴DQAD=DEDC．
即 t8=DE6，解得：DE=34t．
则 S△DEQ=12⋅DE⋅DQ=12⋅34t⋅t=38t2．
S△ABP=12⋅BP⋅AB=12⋅2t⋅6=6t．
则五边形
SAPCEQ=S矩形ABCD−S△DEQ−S△ABP=6×8−38t2−6t=−38t2−6t+480 （3） 若使 △PEQ 是直角三角形，需进行分类讨论．
①当 ∠PQE=90∘ 时，如图所示，
过点 P 作 PM⊥AD 于点 M．
∵∠PQE=90∘，
∴∠MPQ+∠MQP=∠MQP+∠DQE=90∘，
∴∠MPQ=∠DQE，
∴△MPQ∽△DQE，
∴MQDE=MPDQ，即：8−t−2t34t=6t，整理得：72t=3，解得：t=76s．
②若 ∠PEQ=90∘，如图所示：
当 ∠PEQ=90∘ 时，有 ∠EPC+∠PEC=∠PEC+∠QED=90∘．
∴∠EPC=∠QED，
∴△DEQ∽△QED，
∴DQCE=DECP，即 t6−34t=34t8−2t，解得：t=5623s<83s．
③当 ∠QPE=90∘ 时，如图所示：
过点 Q 作 QN⊥BC 于点 N．
∵∠QPE=90∘，
∴∠NQP+∠QPN=∠QPN+∠EPC=90∘，
∴∠NQP=∠EPC，
∴△QNP∽△PCE，
∴QNPC=NPCE，即 68−2t=2t−6−t6−34t．
整理得：4t2−27t+56=0，Δ=272−4×4×56=729−896=−167<0，
∴ 此时方程无解，即不存在 ∠QPE=90∘ 的情况．
综上所述，当 t=76s,5623s 时，△PEQ 是直角三角形．