2019-2020学年天津市东丽区九上期末数学试卷

这是一份2019-2020学年天津市东丽区九上期末数学试卷，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共12小题；共60分）
1. 在下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形
A. B.
C. D.

2. 已知 −2 是一元二次方程 2x2−4x+c=0 的一个根，则该方程的另一个根是
A. −6B. −4C. 4D. 2

3. 下列成语描述的事件为随机事件的是
A. 拔苗助长B. 守株待兔C. 竹篮打水D. 水涨船高

4. 将二次函数 y=2x2−4x+1 的右边进行配方，正确的结果是
A. y=2x−12+1B. y=2x+12−1
C. y=2x−12−1D. y=2x+12+1

5. 已知 ⊙O 的半径是 5 cm，则 ⊙O 中最长的弦长是
A. 5 cmB. 10 cmC. 15 cmD. 20 cm

6. 下列说法中正确的是
A. “任意画出一个平行四边形，它是中心对称图形”是必然事件
B. “正八边形的每个外角的度数都等于 45∘″ 是随机事件
C. “200 件产品中有 8 件次品，从中任抽 9 件，至少有一件是正品”是不可能事件
D. 任意抛掷一枚质地均匀的硬币 100 次，则反面向上一定是 50 次

7. 如图，⊙O 的直径 AB 长为 10，弦 BC 长为 6，OD⊥AC，垂足为点 D，那么 OD 长等于
A. 6B. 5C. 4D. 3

8. 方程 x2−2x=5 的根的情况是
A. 有两个不相等的实数根B. 没有实数根
C. 有两个相等的实数根D. 有一个实数根

9. 一个不透明的袋子中装有 10 个只有颜色不同的小球，其中 2 个红球，3 个绿球，5 个黄球．从袋子中任意摸出一个球，则摸出的球是黄球的概率为
A. 15B. 310C. 13D. 12

10. 边长为 2 的正六边形的面积为
A. 63B. 62C. 6D. 3

11. 天虹商场一月份鞋帽专柜的营业额为 100 万元，三月份鞋帽专柜的营业额为 150 万元，设一到三月毎月平均增长率为 x，则下列方程正确的是
A. 1001+2x=150
B. 1001+x2=150
C. 1001+x+1001+x2=150
D. 100+1001+x+1001+x2=150

12. 二次函数 y=ax2+bx+ca≠0 的图象如图所示，下列结论：① abc>0，② 2a+b=0，③ m 为任意实数，则 a+b≥am2+bm，④ a−b+c>0，⑤若 ax12+bx1=ax22+bx2，且 x1≠x2，则 x1+x2=2，其中正确的有
A. ①②③B. ②④C. ②⑤D. ②③⑤

二、填空题（共5小题；共25分）
13. 一元二次方程 x+1x−2=0 的解为 ．

14. 掷一枚质地均匀的骰子，出现的点数大于 4 的概率是 ．

15. 已知点 Aa,2 与点 B3,b 关于原点对称，则 a+b 的值等于 ．

16. 某种商品每件进价为 10 元，调查表明：在某段时间内若以每件 x 元（10≤x≤20 且 x 为整数）出售，可卖出 20−x 件，若使利润最大，则每件商品的售价应为 元．

17. 如图，△ABC 是等腰直角三角形，BC 是斜边，P 为 △ABC 内一点，将 △ABP 绕点 A 逆时针旋转后与 △ACPʹ 重合，如果 AP=3，那么线段 PPʹ 的长等于 ．

三、解答题（共8小题；共104分）
18. 如图，⊙O 中，直径 CD⊥弦AB 于 E，AM⊥BC 于 M，交 CD 于 N，连接 AD．
（1）求证：AD=AN．
（2）若 AB=8，ON=1，求 ⊙O 的半径．

19. 已知抛物线 y=ax2+bx+3 经过点 A3,0 和点 B4,3，求抛物线的解析式和顶点坐标．

20. 在所给网格图（每小格均为边长是 1 的正方形）中完成下列各题：
（1）画出格点 △ABC（顶点均在格点上）关于直线 DE 对称的 △A1B1C1．
（2）画出格点 △ABC（顶点均在格点上）绕点 A 顺时针旋转 90 度的 △A2B2C2．
（3）在 DE 上画出点 M, 使 MA+MC 最小．

21. 一个不透明的口袋里装有分别标有汉字“美”、“丽”、“南”、“山”的四个小球，除汉字不同之外，小球没有任何区别，每次摸球前先搅拌均匀再摸球．
（1）若从中任取一个球，求摸出球上的汉字刚好是“美”的概率；
（2）若甲从中任取一球，不放回，再从中任取一球，请用树状图法或列表法，求甲取出的两个球上的汉字恰能组成“美丽”或“南山”的概率．

22. 如图，在 ⊙O 中，点 C 为 AB 的中点，∠ACB=120∘，OC 的延长线与 AD 交于点 D，且 ∠D=∠B．
（1）求证 AD 与 ⊙O 相切；
（2）若 CE=4，求弦 AB 的长．

23. 运动员将小球沿与地面成一定角度的方向击出，在不考虑空气阻力的条件下，小球的飞行高度 hm 与它的飞行时间 ts 满足二次函数关系，t 与 h 的几组对应值如下表所示：
⋯⋯
（1）求 h 与 t 之间的函数关系式（不要求写 t 取值范围）．
（2）求小球飞行 3 s 时的高度．
（3）问：小球的飞行高度能否达到 22 m．请说明理由．

24. 如图，在等腰直角 △ABC 中，∠ABC=90∘，点 P 在 AC 上，将 △ABP 绕顶点 B 沿顺时针方向旋转 90∘ 后得到 △CBQ．
（1）求 ∠PCQ 的度数；
（2）当 AB=4，AP:PC=1:3 时，求 PQ 的大小；
（3）当点 P 在线段 AC 上运动时（P 不与 A 重合），请写出一个反映 PA2，PC2，PB2 之间关系的等式，并加以证明．

25. 已知：抛物线 y1=x2+bx+3 与 x 轴分别交于点 A−3,0，Bm,0．将 y1 向右平移 4 个单位得到 y2．
（1）求 b 的值；
（2）求抛物线 y2 的表达式；
（3）抛物线 y2 与 y 轴交于点 D，与 x 轴交于点 E 、 F （点 E 在点 F 的左侧 ），记抛物线在 D 、 F 之间的部分为图象 G （包含 D 、 F 两点 ），若直线 y=kx+k−1 与图象 G 有一个公共点，请结合函数图象，求直线 y=kx+k−1 与抛物线 y2 的对称轴交点的纵坐标 t 的值或取值范围．
答案
第一部分
1. D
2. C【解析】因为 2x2−4x+c=0，
所以 −ba=−−42=2=x1+x2=−2+x2，
所以 x2=4．
3. B
4. C【解析】y=2x2−4x+1=2x2−2x+1=2x2−2x+1−1+1=2x−12−2+1=2x−12−1.
故选C．
5. B
【解析】⊙O 中最长弦为直径，直径为 5×2=10 cm．
6. A
7. D【解析】因为 OD⊥AC，
所以 AD=CD，
因为 AB 是 ⊙O 的直径，
所以 OA=OB，
所以 OD 为 △ABC 的中位线，
所以 OD=12BC=3．
故选：D．
8. A【解析】∵a=1，b=−2，c=−5，
∴Δ=b2−4ac=−22−4×1×−5=4+20=24>0.
故方程有两个不等实数根，故选A．
9. D【解析】因为袋子中共有 10 个球，其中黄球 5 个，
所以摸出球是黄球概率 P=510=12．
10. A
【解析】方法一：
设六边形的中心为 O，连接 OC，OD，过 O 作 OG⊥GD 于 G，
因为 ABCDEF 是正六边形，
所以 △OCD 是等边三角形，
因为 OG⊥CD，
所以 CG=DG，
因为 CD=2，
所以 CG=1，
所以 OG=3，
所以 △OCD 的面积为：12×CD×OG=12×2×3=3，
六边形的面积为：63．
故选A．
方法二：
因为此多边形为正六边形，
所以 ∠AOB=360∘6=60∘ ；
因为 OA=OB，
所以 △OAB 是等边三角形，
所以 OA=AB=2，
所以 OG=OA⋅cs30∘=2×32=3，
所以 S△OAB=12×AB×OG=12×2×3=3，
所以 S=6S△OAB=6×3=63．
故选A．
11. B【解析】因为一月份的营业额为 100 万元，平均每月增长率为 x，
所以二月份的营业额为 100×1+x，
所以三月份的营业额为 100×1+x×1+x=100×1+x2，
所以可列方程为 100×1+x2．
12. C【解析】①抛物线开口方向向下，则 a<0，
抛物线对称轴位于 y 轴右侧，则 a，b 异号，即 ab<0，
抛物线与 y 轴交于正半轴，则 c>0，
∴abc<0，故①错误；
② ∵ 抛物线对称轴为直线 x=−b2a=1，
∴b=−2a，即 2a+b=0，
故②错误；
③ ∵ 抛物线对称轴为直线 x=1，
∴ 函数的最大值为：a+b+c，
∴ 当 m≠1 时，a+b+c>am2+bm+c，
即 a+b>am2+bm，
故③错误；
④ ∵ 抛物线与 x 轴的一个交点在 3,0 的左侧，而对称轴为 x=1，
∴ 抛物线与 x 轴的另一个交点在 −1,0 的右侧，
∴ 当 x=−1 时，y<0，
∴a−b+c<0，
故④错误；
⑤ ∵ax12+bx1=ax22+bx2，
∴ax12+bx1−ax22−bx2=0，
∴ax1+x2x1−x2+bx1−x2=0，
∴x1−x2ax1+x2+b=0，
而 x1≠x2，
∴ax1+x2+b=0，即 x1+x2=−ba，
∵b=−2a，
∴x1+x2=2，
故⑤正确，
综上所述，正确的有②⑤，故选C．
第二部分
13. x1=−1，x2=2
【解析】x+1x−2=0，
x+1=0 或 x−2=0．
故 x1=−1，x2=2．
14. 13
【解析】由题意一枚质地均匀的骰子共有 6 个点数，
分别是 1，2，3，4，5，6，其中大于 4 的有 5，6，
所以点数大于 4 的概率 P=26=13．
15. −5
【解析】因为点 Aa,2 与点 B3,b 关于原点对称，
所以 a=−3，b=−2，
则 a+b=−3+−2=−5．
16. 15
【解析】设利润为 ω 元，
则 ω=20−xx−10=−x−152+25，
因为 10≤x≤20，
所以当 x=15 时，二次函数有最大值 25．
17. 32
【解析】方法一：
由题可得：△APPʹ 为等腰直角三角形，则 PPʹ 为 32．
方法二：
由旋转的性质，得 △APB≌△APʹC，
∴AP=APʹ=3，∠BAP=∠CAPʹ，
∴∠CAPʹ+∠PAC=∠BAP+∠PAC=∠BAC=90∘，
∴△PAPʹ 是直角三角形，
由勾股定理得 PPʹ=PA2+PʹA2=32+32=32．
第三部分
18. （1） 因为 CD⊥AB，
所以 ∠CEB=90∘，
所以 ∠C+∠B=90∘，
同理 ∠C+∠CNM=90∘，
所以 ∠CNM=∠B，
因为 ∠CNM=∠AND，
所以 ∠AND=∠B，
因为 AC=AC，
所以 ∠D=∠B，
所以 ∠AND=∠D，
所以 AN=AD．
（2） 设 OE 的长为 x，连接 OA，
因为 AN=AD，CD⊥AB，
所以 DE=NE=x+1，
所以 OD=OE+ED=x+x+1=2x+1，
所以 OA=OD=2x+1，
所以在 Rt△OAE 中，OE2+AE2=OA2，
所以 x2+42=2x+12，
解得 x=53 或 x=−3（不合题意，舍去），
所以 OA=2x+1=2×53+1=133，
即 ⊙O 的半径为 133．
19. A3,0，B4,3 代入 y=ax2+bx+3，
得 9a+3b+3=0,16a+4b+3=3,
解得 a=1,b=−4,
∴ 抛物线解析式为 y=x2−4x+3，
y=x2−4x+3=x−22−1，
∵a=1>0，
∴ 开口向上，对称轴为直线 x=2，顶点坐标为 2,−1．
20. （1） 根据网格结构找出点 A，B，C 关于 DE 的对称点 A1，B1，C1 的位置，然后顺次连接即可．
（2） 根据网格结构找出点 A，B，C 绕点 A 顺时针旋转 90∘ 的对应点 A2，B2，C2 的位置，然后顺次连接即可．
（3） 根据轴对称确定最短路线问题，连接 AC1 与直线 DE 的交点即为点 M．
21. （1） ∵ 口袋里装有分别标有汉字“美”、“丽”、“南”、“山”的四个小球且从中任取一球，
∴ P（摸出球上的汉字刚好是“美”）=14．
（2） 列表如下：
所有等可能的情况有 12 种，其中取出的两个球上的汉字恰能组成“美丽”或“南山”的情况有 4 种，
则 P=412=13．
22. （1） 连接 OA．
∵C 为 AB 的中点，
∴AC=CB，
∴AC=BC，
又 ∵∠ACB=120∘，
∴∠B=30∘，
∴∠O=2∠B=60∘，
∵∠D=∠B=30∘，
∴∠OAD=180∘−∠O+∠D=90∘，
∴AD 与 ⊙O 相切．
（2） ∵∠O=60∘，OA=OC，
∴△OAC 为等边三角形，
∴∠ACO=60∘，
又 ∵∠ACB=120∘，
∴∠ACB=2∠ACO，AC=BC，
∴OC⊥AB，AB=2BE，
又 ∵CE=4，∠B=30∘，
∴BC=2CE=8，
在 Rt△EBC 中，BE=BC2−CE2=82−42=43，
∴AB=2BE=83，
∴ 弦 AB 的长为 83．
23. （1） 因为 t=0 时，h=0，
所以设 h 与 t 的函数关系式为 h=at2+bta≠0，
因为 t=1 时，h=15，t=2 时，h=20，
所以 a+b=15,4a+2b=20.
解得 a=−5,b=20.
所以 h 与 t 之间的函数关系式为 h=−5t2+20t．
（2） 小球飞行 3 秒时，t=3，
此时 h=−5×32+20×3=15m．
答：此时小球的高度为 15 m．
（3） 方法一：
设 t s 时，小球的飞行高度达到 22 m，
则 −5t2+20t=22，即 5t2−20t+22=0，
因为 Δ=−202−4×5×22<0，
所以此方程无实数根，
所以小球的飞行高度不能达到 22 m．
【解析】方法二：
因为 h=−5t2+20t=−5t−22+20，
所以小球飞行的最大高度为 20 m，
因为 22>20，
所以小球的飞行高度不能达到 22 m．
24. （1） 由题意知，△ABP≌△CBQ，
∴∠A=∠ACB=∠BCQ=45∘，
∠ABP=∠CBQ，AP=CQ，PB=BQ，
∴∠PCQ=∠ACB+∠BCQ=90∘．
（2） 由（1）知，∠ABP+∠PBC=∠CBQ+∠PBC=90∘，
∴△BPQ 是等腰直角三角形，
△PCQ 是直角三角形，
当 AB=4，AP:PC=1:3 时，有 AC=42，
AP=2，PC=32，
∴PQ=PC2+CQ2=25．
（3） 存在 2PB2=PA2+PC2．
由于 △BPQ 是等腰直角三角形，
∴PQ=2PB，
∴AP=CQ，
∴PQ2=PC2+CQ2=PA2+PC2，
故有 2PB2=PA2+PC2．
25. （1） 把 A−3,0 代入 y1=x2+bx+3
∴b=4
∴y1 的表达式为：y1=x2+4x+3
（2） 将 y1 变形得：y1=x+22−1
据题意 y2=x+2−42−1=x−22−1
∴ 抛物线 y2 的表达式为 y=x2−4x+3
（3） y2=x2−4x+3 的对称轴 x=2
∴ 顶点 2,−1
∵ 直线 y=kx+k−1 过定点 −1,−1
当直线 y=kx+k−1 与图象 G 有一个公共点时
t=−1
当直线过 F3,0 时，直线 y=14x−34
把 x=2 代入 y=14x−34
∴y=−14
当直线过 D0,3 时，直线 y=4x+3
把 x=2 代入 y=4x+3
∴y=11
即 t=11
∴ 结合图象可知 t=−1 或 −14