2019-2020学年天津市红桥区九上期末数学试卷

这是一份2019-2020学年天津市红桥区九上期末数学试卷，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共12小题；共60分）
1. 下列图形中，可以看作是中心对称图形的是
A. B.
C. D.

2. 掷一枚质地均匀的硬币 3 次，下列说法中正确的是
A. 可能有 2 次正面朝上B. 必有 2 次正面朝上
C. 必有 1 次正面朝上D. 不可能 3 次正面朝上

3. 下列各组图形中，是相似图形的是
A. B.
C. D.

4. 在一个不透明的盒子里，装有 4 个黑球和若干个白球，它们除颜色外无任何区别．摇匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复，共摸球 100 次，其中有 25 次摸到黑球，则估计盒子中大约有白球
A. 12 个B. 16 个C. 20 个D. 30 个

5. 如图，在平行四边形 ABCD 中，F 是 BC 边上一点，延长 DF 交 AB 的延长线于点 E，若 AB=3BE，则 BF:CF 等于
A. 1:2B. 1:3C. 2:3D. 2:5

6. 方程 x2+x−12=0 的两个根为
A. x1=−2，x2=6B. x1=−6，x2=2C. x1=−3，x2=4D. x1=−4，x2=3

7. 如图，AB 是 ⊙O 的弦，OC⊥AB 于点 H，若 ∠AOC=60∘，OH=1，则弦 AB 的长为
A. 23B. 3C. 2D. 4

8. 如图，边长为 3 的正六边形 ABCDEF 内接于 ⊙O，则扇形 OAB（图中阴影部分）的面积为
A. πB. 3π2C. 3πD. 9π4

9. 如图，AB 是 ⊙O 的切线，B 为切点，AO 与 ⊙O 交于点 C，若 ∠BAO=40∘，则 ∠OCB 的度数为
A. 40∘B. 50∘C. 65∘D. 75∘

10. 若点 A−3,y1，B−2,y2，C1,y3 都在反比例函数 y=−6x 的图象上，则 y1，y2，y3 的大小关系是
A. y2
11. 如图，D 是 △ABC 的边 BC 上一点，已知 AB=4，AD=2．∠DAC=∠B，若 △ABD 的面积为 a，则 △ACD 的面积为 ．
A. aB. 12aC. 13aD. 23a

12. 已知抛物线 y=ax2+bx+c（其中 a，b，c 是常数，a>0）的顶点坐标为 12,m．有下列结论：
①若 m>0，则 a+2b+6c>0；
②若点 n,y1 与 32−2n,y2 在该抛物线上，当 n<12 时，则 y1③关于 x 的一元二次方程 ax2−bx+c−m+1=0 有实数解．
其中正确结论的个数是
A. 0B. 1C. 2D. 3

二、填空题（共6小题；共30分）
13. 不透明袋子中装有 11 个球，其中有 6 个红球，3 个黄球，2 个绿球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出 1 个球，则它是红球的概率是 ．

14. 如图，点 A，B，C 在 ⊙O 上，∠A=50∘，则 ∠BOC 度数为 ．

15. 若反比例函数 y=3m−1x（m 为常数）的图象在第二、四象限，则 m 的取值范围是 ．

16. 如图，利用标杆 BE 测量建筑物的高度．若标杆 BE 的高为 1.2 m，测得 AB=1.6 m，BC=12.4 m，则楼高 CD 为 m．

17. 如图，已知平行四边形 ABCD 中，AE⊥BC 于点 E，以点 B 为中心，取旋转角等于 ∠ABC，把 △BAE 顺时针旋转，得到 △BAʹEʹ，连接 DAʹ，若 ∠ADC=60∘，∠ADAʹ=50∘，则 ∠DAʹEʹ 的度数为 ．

18. 如图，在 △ABC 中，点 O 在边 AC 上，⊙O 与 △ABC 的边 BC，AB 分别相切于 C，D 两点，与边 AC 交于点 E 点，弦 CF 与 AB 平行，与 DO 的延长线交于点 M．若点 E 是 DF 的中点，BC=2，则 OC 的长为 ．

三、解答题（共7小题；共91分）
19. 在一个不透明的布袋里装有 4 个标号分别为 1，2，3，4 的小球，这些球除标号外无其它差别．从布袋里随机取出一个小球，记下标号为 x，再从剩下的 3 个小球中随机取出一个小球，记下标号为 y，记点 P 的坐标为 x,y．
（1）请用画树形图或列表的方法写出点 P 所有可能的坐标；
（2）求两次取出的小球标号之和大于 6 的概率；
（3）求点 x,y 落在直线 y=−x+5 上的概率．

20. 如图，在 △ABC 中，AB=AC，AD 为 BC 边上的中线，DE⊥AB 于点 E．
（1）求证：△BDE∽△CAD．
（2）若 AB=13，BC=10，求线段 DE 的长．

21. 已知抛物线 y=x2−4x−5 与 y 轴交于点 C．
（1）求点 C 的坐标和该抛物线的顶点坐标；
（2）若该抛物线与 x 轴交于 A，B 两点，求 △ABC 的面积 S；
（3）将该抛物线先向左平移 1 个单位长度，再向上平移 2 个单位长度，求平移后的抛物线的解析式（直接写出结果即可）．

22. 已知直线 l 与 ⊙O，AB 是 ⊙O 的直径，AD⊥l 于点 D．
（1）如图①，当直线 l 与 ⊙O 相切于点 C 时，若 ∠DAC=30∘，求 ∠BAC 的大小；
（2）如图②，当直线 l 与 ⊙O 相交于点 E，F 时，若 ∠DAE=18∘，求 ∠BAF 的大小．

23. 已知反比例函数 y=kx（k 为常数，k≠0）的图象经过 A1,3，B−6,n 两点．
（1）求该反比例函数的解析式和 n 的值；
（2）当 x≤−1 时，求 y 的取值范围；
（3）若 M 为直线 y=x 上的一个动点，当 MA+MB 最小时，求点 M 的坐标．

24. 在平面直角坐标系中，四边形 AOBC 是矩形，点 O0,0，点 A6,0，点 B0,8．以点 A 为中心，顺时针旋转矩形 AOBC，得到矩形 ADEF，点 O，B，C 的对应点分别为 D，E，F，记旋转角为 α0∘<α<90∘．
（1）如图①，当 α=30∘ 时，求点 D 的坐标；
（2）如图②，当点 E 落在 AC 的延长线上时，求点 D 的坐标；
（3）当点 D 落在线段 OC 上时，求点 E 的坐标（直接写出结果即可）．

25. 抛物线 y=ax2+bx+3 经过点 A−1,0，B3,0，与 y 轴交于点 C．点 DxD,yD 为抛物线上一个动点，其中 1（1）求该抛物线的解析式；
（2）当 △BCD 的面积等于 △AOC 的面积的 2 倍时，求点 D 的坐标；
（3）在（Ⅱ）的条件下，若点 M 是 x 轴上一动点，点 N 是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点 M，使得以点 B，D，M，N 为顶点的四边形是平行四边形．若存在，求出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由．
答案
第一部分
1. B【解析】A．不是中心对称图形；
B．是中心对称图形；
C．不是中心对称图形；
D．不是中心对称图形．
2. A【解析】A．掷一枚质地均匀的硬币 3 次，可能有 2 次正面朝上，故本选项正确；
B．掷一枚质地均匀的硬币 3 次，有可能有 2 次正面朝上，故本选项错误；
C．掷一枚质地均匀的硬币 3 次，有可能有 1 次正面朝上，故本选项错误；
D．掷一枚质地均匀的硬币 3 次，有可能有 3 次正面朝上，故本选项错误．
3. D【解析】A．形状不相同，不符合相似形的定义，此选项不符合题意；
B．形状不相同，不符合相似形的定义，此选项不符合题意；
C．形状不相同，不符合相似形的定义，此选项不符合题意；
D．形状相同，但大小不同，符合相似形的定义，此选项符合题意．
4. A【解析】∵ 共摸了 100 次，其中 25 次摸到黑球，
∴ 有 75 次摸到白球，
∴ 摸到黑球与摸到白球的次数之比为 1:3，
∴ 口袋中黑球和白球个数之比为 1:3，
盒子中大约有白球 3×4=12 个．
故选：A．
5. B
【解析】因为四边形 ABCD 是平行四边形，
所以 AB=CD，AB∥CD，
所以 △DCF∽△EBF，
所以 BECD=BFCF，且 AB=CD=3BE，
所以 BF:CF=1:3．
6. D【解析】x2+x−12=x+4x−3=0，
则 x+4=0，或 x−3=0，
解得：x1=−4，x2=3．
故选：D．
7. A【解析】∵OC⊥AB 于 H，
∴AH=BH，
在 Rt△AOH 中，∠AOC=60∘，
∵OH=1，
∴AH=3OH=3，
∴AB=2AH=23．
8. B【解析】∵ 正六边形 ABCDEF 内接于 ⊙O，
∴∠AOB=60∘，
∵OA=OB，
∴△AOB 是等边三角形，
∴OA=OB=AB=2，
∴ 扇形 AOB 的面积 =60π×32360=32π，
故选：B．
9. C【解析】∵AB 是 ⊙O 的切线，B 为切点，
∴OB⊥AB，即 ∠OBA=90∘，
∵∠BAO=40∘，
∴∠O=50∘，
∵OB=OC（都是半径），
∴∠OCB=12180∘−∠O=65∘．
10. D
【解析】∵ 点 A−3,y1，B−2,y2，C1,y3 都在反比例函数 y=−6x 的图象上，
∴−3×y1=−6，−2×y2=−6，1×y3=−6，
∴y1=2，y2=3，y3=−6，
∴y311. C
12. C【解析】① ∵ 抛物线 y=ax2+bx+c（其中 a，b，c 是常数，a>0）顶点坐标为 12,m，
∴−b2a=12，
∴b=−a，
∴a+2b+6c=−a+6c，
m=4ac−b24a=4c−a4，
∵m>0，
∴4c−a>0，
∴4c>a>0，
∴c>0，
∴6c−a=2c+4c−a>0，
∴a+2b+6c>0．
故此小题结论正确；
② ∵ 顶点坐标为 12,m，n<12，
∴ 点 n,y1 关于抛物线的对称轴 x=12 的对称点为 1−n,y1，
∴ 点 1−n,y1 与 32−2n,y2 在该抛物线上，
∵1−n−32−2n=n−12<0，
∴1−n<32−2n，
∵a>0，
∴ 当 x>12 时，y 随 x 的增大而增大，
∴y1故此小题结论正确；
③把顶点坐标 12,m 代入抛物线 y=ax2+bx+c 中，得 m=14a+12b+c，
∴ 一元二次方程 ax2−bx+c−m+1=0 中，
Δ=b2−4ac+4am−4a=b2−4ac+4a14a+12b+c−4a=a+b2−4a,
∵b=−a，
∴Δ=−4a<0，
∴ 关于 x 的一元二次方程 ax2−bx+c−m+1=0 无实数解．
故此小题错误．
故选：C．
第二部分
13. 611
【解析】∵ 袋子中共有 11 个小球，其中红球有 6 个，
∴ 摸出一个球是红球的概率是 611．
14. 100∘
【解析】∵ 点 A，B，C 在 ⊙O 上，∠A=50∘，
∴∠BOC=2∠A=100∘．
15. m<13
【解析】∵ 反比例函数 y=3m−1x（m 为常数）的图象在第二、四象限．
∴3m−1<0，
∴m<13．
16. 10.5
【解析】∵EB∥CD，
∴△ABE∽△ACD，
∴ABAC=BECD，即 1.61.6+12.4=1.2CD，
∴CD=10.5（米）．
故答案为 10.5．
17. 160∘
18. 233
【解析】连接 DC，DF，设 DO 交 CF 于 M．
∵AB 与 ⊙O 相切于点 D，
∴OD⊥AB 于 D．
∴∠ODB=90∘．
∵CF∥AB，
∴∠OMF=∠ODB=90∘．
∴OM⊥CF．
∴ 点 M 是 CF 的中点；
∵DM⊥CF，
∴DC=DF，
∵E 是 DF 的中点，
∴CE 垂直平分 DF，
∴CD=CF，
∴△DCF 是等边三角形，
∴∠1=30∘，
∵BC，AB 分别是 ⊙O 的切线，
∴BC=BD=2，∠ACB=90∘，
∴∠2=60∘，
∴△BCD 是等边三角形，
∴∠B=60∘，
∴∠A=30∘，
∴OD=233，
∴⊙O 的半径为 233．
第三部分
19. （1） 画树状图得：
共有 12 种等可能的结果数．
（2） ∵ 共有 12 种等可能的结果数，其中两次取出的小球标号之和大于 6 的有 2 种，
∴ 两次取出的小球标号之和大于 6 的概率是 212=16．
（3） ∵ 点 x,y 落在直线 y=−x+5 上的情况共有 3 种，
∴ 点 x,y 落在直线 y=−x+5 上的概率是 412=13．
20. （1） ∵AB=AC，BD=CD，
∴AD⊥BC，∠B=∠C，
∵DE⊥AB，
∴∠DEB=∠ADC，
∴△BDE∽△CAD．
（2） ∵AB=AC，BD=CD，
∴AD⊥BC，
在 Rt△ADB 中，AD=AB2−BD2=132−52=12，
∵12⋅AD⋅BD=12⋅AB⋅DE，
∴DE=6013．
21. （1） 当 x=0 时，y=−5，故点 C0,5．
则抛物线的表达式为：y=x2−4x−5=x−22−9，
故顶点坐标为：2,−9．
（2） 令 y=0，解得：x=−1 或 5，则 AB=6，OC=5，
则 S=12×AB×OC=12×6×5=15．
（3） y=x−2+12−9+2=x2−2x−6．
22. （1） 连接 OC，
∵l 是 ⊙O 的切线，
∴OC⊥l，
∵AD⊥l，
∴OC∥AD，
∴∠OCA=∠DAC=30∘，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA=30∘，
（2） 连接 BE，
∵AB 是 ⊙O 的直径，
∴∠AEB=90∘，
∴∠AED+∠BEF=90∘，
∵∠AED+∠DAE=90∘，
∴∠BEF=∠DAE=18∘，
∵BF=BF，
∴∠BAF=∠BEF=18∘．
23. （1） 把 A1,3 代入 y=kx 得 k=1×3=3，
∴ 反比例函数解析式为 y=3x．
把 B−6,n 代入 y=3x 得 −6n=3，解得 n=−12．
（2） ∵k=3>0，
∴ 图象在一、三象限，在每个象限内 y 随 x 的增大而减小，
把 x=−1 代入 y=3x 得 y=−3，
∴ 当 x≤−1 时，y 的取值范围是 −3≤y<0．
（3） 作 A 点关于直线 y=x 的对称点为 Aʹ，则 Aʹ3,1，
连接 AʹB，交直线 y=x 于点 M，
此时，MA+MB=MAʹ+MB=AʹB．
∴AʹB 是 MA+MB 的最小值，
设直线 AʹB 的解析式为 y=mx+b，
则 3m+b=1,−6m+b=−12, 解得 m=16,b=12,
∴ 直线 AʹB 的解析式为 y=16x+12，
由 y=x,y=16x+12, 解得 x=35,y=35,
∴ 点 M 的坐标为 35,35．
24. （1） 过点 D 作 DG⊥x 轴于 G，如图①所示：
∵ 点 A6,0，点 B0,8．
∴OA=6，OB=8，
∵ 以点 A 为中心，顺时针旋转矩形 AOBC，得到矩形 ADEF，
∴AD=AO=6，α=∠OAD=30∘，DE=OB=8，
在 Rt△ADG 中，DG=12AD=3，AG=3DG=33，
∴OG=OA−AG=6−33，
∴ 点 D 的坐标为 6−33,3．
（2） 过点 D 作 DG⊥x 轴于 G，DH⊥AE 于 H，如图②所示：
则 GA=DH，HA=DG，
∵DE=OB=8，∠ADE=∠AOB=90∘，
∴AE=AD2+DE2=62+82=10，
∵12AE×DH=12AD×DE，
∴DH=AD×DEAE=6×810=245，
∴OG=OA−GA=OA−DH=6−245=65，DG=AD2−AG2=62−2452=185，
∴ 点 D 的坐标为 65,185．
（3） 12,8．
【解析】连接 AE，作 EG⊥x 轴于 G，如图③所示：
由旋转的性质得：∠DAE=∠AOC，AD=AO，
∴∠AOC=∠ADO，
∴∠DAE=∠ADO，
∴AE∥OC，
∴∠GAE=∠AOD，
∴∠DAE=∠GAE，
在 △AEG 和 △AED 中，
∠AGE=∠ADE=90∘,∠GAE=∠DAE,AE=AE,
∴△AEG≌△AEDAAS，
∴AG=AD=6，EG=ED=8，
∴OG=OA+AG=12，
∴ 点 E 的坐标为 12,8．
25. （1） ∵ 抛物线 y=ax2+bx+3 经过点 A−1,0，B3,0，
∴a−b+3=0,9a+3b+3=0, 解得：a=−1,b=2,
∴ 抛物线的解析式为 y=−x2+2x+3．
（2） 如图，过点 D 作 DH⊥x 轴，与直线 BC 交于点 E．
∵ 抛物线 y=−x2+2x+3，与 y 轴交于点 C，
∴ 点 C0,3，
∴OC=3，
∴S△AOC=12×1×3=32，
∵ 点 B3,0，点 C0,3，
∴ 直线 BC 解析式为 y=−x+3，
∵ 点 DxD,yD，
∴ 点 ExD,−xD+3，yD=−xD2+2xD+3，
∴DE=−xD2+2xD+3−−xD+3=−xD2+3xD，
∵△BCD 的面积等于 △AOC 的面积的 2 倍
∴S△BCD=3=12×DE×3，
∴2=−xD2+3xD，
∴xD=1（舍去），xD=2，
∴ 点 D 坐标 2,3．
（3） 设点 Mm,0，点 Nx,y．
当 BD 为边，四边形 BDNM 是平行四边形，
∴BN 与 DM 互相平分，
∴3+02=y+02，2+m2=3+x2．
∴y=3，
∴3=−x2+2x+3．
∴x=2（不合题意），x=0．
∴ 点 N0,3．
∴2+m2=3+02，
∴m=1，
当 BD 为边，四边形 BDMN 是平行四边形，
∴BM 与 DN 互相平分，
∴3+m2=2+x2，0+02=3+y2，
∴y=−3，
∴−3=−x2+2x+3，
∴x=1±7，
∴3+m2=2+1±72，
∴m=±7，
当 BD 为对角线，
∴BD 中点坐标 52,32，
∴m+x2=52，0+y2=32．
∴y=3，
∴3=−x2+2x+3，
∴x=2（不合题意），x=0，
∴ 点 N0,3，
∴m=5．
综上所述，点 M 坐标 1,0 或 7,0 或 −7,0 或 5,0．