2019-2020学年山东省青岛市莱西市八上期末数学试卷

这是一份2019-2020学年山东省青岛市莱西市八上期末数学试卷，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共8小题；共40分）
1. 使分式 3xx+2 有意义的 x 的取值范围为
A. x≠−2B. x≠2C. x≠0D. x≠±2

2. 下列多项式中能用完全平方公式分解的是
A. x2−x+1B. 1−2x+x2
C. −a2+b2−2abD. 4x2+4x−1

3. 如图，将周长为 8 的 △ABC 沿 BC 方向平移 1 个单位得到 △DEF，则四边形 ABFD 的周长是
A. 8B. 10C. 12D. 14

4. 关于 x 的方程 3x−2x+1=2+mx+1 无解，则 m 的值为
A. −5B. −8C. −2D. 5

5. 二班学生某次测试成绩统计如下表：则得分的众数和中位数分别是
得分分60708090100人数人7121083
A. 70 分，70 分B. 80 分，80 分C. 70 分，80 分D. 80 分，70 分

6. 如图，在边长为 4 的正方形 ABCD 中，E 是 AB 边上的一点，且 AE=3，Q 为对角线 AC 上的动点，则 △BEQ 周长的最小值为
A. 5B. 6C. 42D. 8

7. 在 △ABC 中，点 D 是边 BC 上的点（与 B ， C 两点不重合），过点 D 作 DE∥AC ， DF∥AB ，分别交 AB ， AC 于 E ， F 两点，下列说法正确的是
A. 若 AD⊥BC ，则四边形 AEDF 是矩形
B. 若 AD 垂直平分 BC ，则四边形 AEDF 是矩形
C. 若 BD=CD ，则四边形 AEDF 是菱形
D. 若 AD 平分 ∠BAC ，则四边形 AEDF 是菱形

8. 如图，在平行四边形 ABCD 中，AD=2AB，F 是 AD 的中点，E 是 AB 上一点，连接 CF，EF，EC，且 CF=EF，下列结论正确的个数是
① CF 平分 ∠BCD；② ∠EFC=2∠CFD；③ ∠ECD=90∘；④ CE⊥AB．
A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 4 个

二、填空题（共6小题；共30分）
9. 若代数式 x−2x−1x−1 的值为零，则 x 的取值应为 ．

10. 某校规定学生的期末学科成绩由三部分组成，将课堂、作业和考试三项得分按 1:3:6 的权重确定每个人的期末成绩．小明同学本学期数学这三项得分分别是：课堂 98 分，作业 95 分，考试 85 分，那么小明的数学期末成绩是 分．

11. 如果 x+1x=3，则 x23x4+x2+3 的值等于 ．

12. 如图，△ABC 中，∠ACB=90∘，∠A=25∘，将 △ABC 绕点 C 逆时针旋转至 △DEC 的位置，点 B 恰好在边 DE 上，则 ∠θ= 度．

13. 在菱形 ABCD 中，对角线 AC，BD 交于点 O，若 △ABC 的周长为 32，BD=16，则菱形 ABCD 的面积为 ．

14. 已知：如图，△ABC 的面积为 12，将 △ABC 沿 BC 方向移到 △AʹBʹCʹ 的位置，使 Bʹ 与 C 重合，连接 ACʹ 交 AʹC 于 D，则 △CʹDC 的面积为 ．

三、解答题（共10小题；共130分）
15. 如图，方格纸上每个小方格的边长都是 1，△ABC 是通过 △A1B1C1 旋转得到．
（1）在图中标出旋转中心点 O；
（2）画出 △ABC 向下平移 4 个单位长度，再向右平移 4 个单位长度得到的 △A2B2C2．

16. 因式分解．
（1）a3−16a；
（2）8a2−8a3−2a

17. 计算：
（1）2ab2c+−2bc×cab；
（2）先化简，再求值：2x−1−1⋅x2−xx2−6x+9，其中 x=−5．

18. 解分式方程．
（1）x−1x−2=12−x−2；
（2）xx−1−1=3x−1x+2．

19. 某市举行知识大赛，A 校，B 校各派出 5 名选手组成代表队参加决赛，两校派出选手的决赛成绩如图所示．
（1）根据图示填写下表：
平均数/分中位数/分众数/分A校 85 B校85 100
（2）结合两校成绩的平均数和中位数，分析哪个学校的决赛成绩较好；
（3）计算两校决赛成绩的方差，并判断哪个学校代表队选手成绩较为稳定．

20. 如图，在平行四边形 ABCD 中，G 是 CD 上一点，连接 BG 且延长交 AD 的延长线于点 E，AF=CG，∠E=30∘，∠C=50∘，求 ∠BFD 的度数．

21. 如图，在 △ABC 中，AD 是 BC 边上的中线，E 是 AD 的中点，过点 A 作 BC 的平行线交 BE 的延长线于点 F，连接 CF．
（1）试判断四边形 ADCF 的形状，并证明；
（2）若 AB⊥AC, 试判断四边形 ADCF 的形状，并证明．

22. 小明元旦前到文具超市用 15 元买了若干练习本，元旦这一天，该超市开展优惠活动，同样的练习本比元旦前便宜 0.2 元，小明又用 20.7 元钱买练习本，所买练习本的数量比上一次多 50%，小明元旦前在该超市买了多少本练习本?

23. 解答下列问题．
（1）如图 1，O 是等边 △ABC 内一点，连接 OA，OB，OC，且 OA=3，OB=4，OC=5，将 △BAO 绕点 B 顺时针旋转后得到 △BCD，连接 OD．
求：①旋转角的度数 ；
②线段 OD 的长 ；
③求 ∠BDC 的度数．
（2）如图 2 所示，O 是等腰直角 △ABC∠ABC=90∘ 内一点，连接 OA，OB，OC，将 △BAO 绕点 B 顺时针旋转后得到 △BCD，连接 OD．当 OA，OB，OC 满足什么条件时，∠ODC=90∘?请给出证明．

24. 在正方形中 ABCD 中，BD 是一条对角线，点 P 在 CD 上（与点 C，D 不重合），连接 AP，平移 △ADP，使点 D 移动到点 C，得到 △BCQ，过点 Q 作 QM⊥BD 于 M，连接 AM，PM（如图 1）．
（1）判断 AM 与 PM 的数量关系与位置关系并加以证明；
（2）若点 P 在线段 CD 的延长线上，其它条件不变（如图 2 ），（1）中的结论是否仍成立?请说明理由．
答案
第一部分
1. A【解析】x+2≠0，
∴x≠−2．
2. B
3. B【解析】根据题意，将周长为 8 个单位的 △ABC 沿边 BC 向右平移 1 个单位得到 △DEF，
∴AD=1，BF=BC+CF=BC+1，DF=AC；
又 ∵AB+BC+AC=8，
∴ 四边形 ABFD 的周长 =AD+AB+BF+DF=1+AB+BC+1+AC=10．
故选：B．
4. A【解析】去分母得：3x−2=2x+2+m，
由分式方程无解，得到 x+1=0，即 x=−1，
代入整式方程得：−5=−2+2+m，
解得：m=−5．
5. C
【解析】由于总人数为 7+12+10+8+3=40 人，
所以中位数为第 20，21 个数据平均数，即中位数为 80+802=80（分），
因为 70 分出现次数最多，所以众数为 70 分．
6. B【解析】连接 BD，DE，
∵ 四边形 ABCD 是正方形，
∴ 点 B 与点 D 关于直线 AC 对称，
∴DE 的长即为 BQ+QE 的最小值，
∵DE=BQ+QE=AD2+AE2=42+32=5，
∴△BEQ 周长的最小值 =DE+BE=5+1=6．
7. D【解析】若 AD⊥BC ，则四边形 AEDF 是平行四边形，不一定是矩形；选项A错误；
若 AD 垂直平分 BC ，则四边形 AEDF 是菱形，不一定是矩形；选项B错误；
若 BD=CD ，则四边形 AEDF 是平行四边形，不一定是菱形；选项C错误；
若 AD 平分 ∠BAC ，则四边形 AEDF 是菱形；正确．
8. D【解析】∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AB=CD，AD∥BC，
∵AF=DF，AD=2AB，
∴DF=DC，
∴∠DCF=∠DFC=∠FCB，
∴CF 平分 ∠BCD，故①正确，
延长 EF 和 CD 交于 M，
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠A=∠FDM，
在 △EAF 和 △MDF 中，
∠A=∠FDM,AF=DF,∠AFE=∠DFM,
∴△EAF≌△MDFASA，
∴EF=MF，
∵EF=CF，
∴CF=MF，
∴∠FCD=∠M，
∵ 由（1）知：∠DFC=∠FCD，
∴∠M=∠FCD=∠CFD，
∵∠EFC=∠M+∠FCD=2∠CFD；故②正确，
∵EF=FM=CF，
∴∠ECM=90∘，
∵AB∥CD，
∴∠BEC=∠ECM=90∘，
∴CE⊥AB，故③④正确．
第二部分
9. 2
【解析】若代数式 x−2x−1x−1 的值为零，
则 x−2=0 或 x−1=0，即 x=2 或 1，
∵x−1≠0，x≠1，
∴x 的取值应为 2．
10. 89.3
【解析】小明的数学期末成绩是 98×1+95×3+85×61+3+6=89.3（分）．
11. 122
【解析】∵x+1x=3，
∴x+1x2=9，即 x2+2+1x2=9，则 x2+1x2=7，
∵x≠0，
∴原式=13x2+1+3x2=13x2+1x2+1=13×7+1=122.
12. 50
【解析】∵∠ACB=90∘，∠A=25∘，
∴∠ABC=65∘，
由旋转的性质可知，∠E=∠ABC=65∘，CE=CB，∠ECB=∠DCA，
∴∠ECB=50∘，
∴∠θ=50∘．
13. 96
【解析】如图，
设菱形 ABCD 的边长为 x，则 AC=32−2x，AO=16−x，BO=8，
依题意有 16−x2+82=x2，
解得 x=10，
AC=32−2x=12，
则菱形 ABCD 的面积为 16×12÷2=96．
14. 6
【解析】∵ 将 △ABC 沿 BC 方向移到 △AʹBʹCʹ 的位置，使 Bʹ 与 C 重合，
∴AB∥AʹBʹ，
∵BC=CCʹ，
∴D 为 AʹBʹ 的中点，
∴△CʹDC 的面积为 △ABC 的面积的一半，即为 6．
第三部分
15. （1） 如图，点 O 即为所求．
（2） 如图，△A2B2C2 即为所求．
16. （1） 原式=aa2−16=aa+4a−4.
（2） 原式=−2a4a2−4a+1=−2a2a−12.
17. （1） 原式=2ab2c−2c2a=2a2b2ac−2c3ac=2a2b2−2c3ac.
（2） 原式=2−x+1x−1⋅xx−1x−32=−x−3x−1⋅xx−1x−32=−xx−3,
当 x=−5 时，
原式=−−5−8=−58.
18. （1） 去分母得：
x−1=−1−2x+4.
移项合并得：
3x=4.
解得：
x=43.
经检验 x=43 是分式方程的解．
（2） 去分母得：
x2+2x−x2−x+2=3.
解得：
x=1.
经检验 x=1 是增根，分式方程无解．
19. （1） 85；85；80
【解析】A 校平均数为：15×75+80+85+85+100=85（分），
众数 85（分）；
B 校中位数 80（分）．
填表如下：
平均数/分中位数/分众数/分A校858585B校8580100
（2） A 校成绩好些．
因为两个队的平均数都相同，A 校的中位数高，
所以在平均数相同的情况下中位数高的校成绩好些．
（3） ∵ A 校的方差
s12=15×75−852+80−852+85−852
+85−852+100−852=70,
B 校的方差
s22=15×70−852+100−852+100−852
+75−852+80−852=160.
∴s12因此，A 校代表队选手成绩较为稳定．
20. ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，∠C=50∘，
∴∠A=∠C=50∘，∠ABC=180∘−∠C=130∘，AD=BC，
∵∠E=30∘，
∴∠ABE=180∘−∠A−∠E=100∘，
∴∠CBG=30∘，
在 △BCG 和 △DAF 中，
∵CG=AF,∠C=∠A,BC=AD,
∴△BCG≌△DAFSAS，
∴∠CBG=∠ADF=30∘，
则 ∠BFD=∠A+∠ADF=80∘．
21. （1） 四边形 CDAF 是平行四边形，理由如下
∵E 是 AD 的中点，
∴AE=ED，
∵AF∥BC，
∴∠AFE=∠DBE，∠FAE=∠BDE，
在 △AFE 和 △DBE 中，
∠AFE=∠DBE,∠FAE=∠BDE,AE=DE,
∴△AFE≌△DBEAAS，
∴AF=BD，
∵AD 是 BC 边中线，
∴CD=BD，
∴AF=CD，
∴ 四边形 CDAF 是平行四边形；
（2） 四边形 ADCF 是菱形，
∵AC⊥AB，AD 是斜边 BC 的中线，
∴AD=12BC=DC，
∵ 四边形 ADCF 是平行四边形，
∴ 平行四边形 ADCF 是菱形．
22. 设小明元旦前在该超市买了 x 本练习本，则元旦这一天在该超市买了 1.5x 本练习本，
根据题意得：
15x−
解得：
x=6.
经检验，x=6 是原方程的解，且符合题意．
答：小明元旦前在该超市买了 6 本练习本．
23. （1） ① 60∘
② 4
③ ∵△BOD 为等边三角形，
∴∠BDO=60∘，
∵△BAO 绕点 B 顺时针旋转后得到 △BCD，
∴CD=AO=3，
在 △OCD 中，CD=3，OD=4，OC=5，
∵32+42=52，
∴CD2+OD2=OC2，
∴△OCD 为直角三角形，∠ODC=90∘，
∴∠BDC=∠BDO+∠ODC=60∘+90∘=150∘；
【解析】① ∵△ABC 为等边三角形，
∴BA=BC，∠ABC=60∘，
∵△BAO 绕点 B 顺时针旋转后得到 △BCD，
∴∠OBD=∠ABC=60∘，
∴ 旋转角的度数为 60∘；
② ∵△BAO 绕点 B 顺时针旋转后得到 △BCD，
∴BO=BD，而 ∠OBD=60∘，
∴△OBD 为等边三角形；
∴OD=OB=4．
（2） OA2+2OB2=OC2 时，∠ODC=90∘．理由如下：
∵△BAO 绕点 B 顺时针旋转后得到 △BCD，
∴∠OBD=∠ABC=90∘，BO=BD，CD=AO，
∴△OBD 为等腰直角三角形，
∴OD=2OB，
∵ 当 CD2+OD2=OC2 时，△OCD 为直角三角形，∠ODC=90∘，
∴OA2+2OB2=OC2，
∴ 当 OA，OB，OC 满足 OA2+2OB2=OC2 时，∠ODC=90∘．
24. （1） 连接 CM，
∵ 四边形 ABCD 是正方形，QM⊥BD，
∴ ∠MDQ=45∘，
∴ △DMQ 是等腰直角三角形．
∵ DP=CQ，
在 △MDP 与 △MQC 中，
DM=QM,∠MDP=∠MQC,DP=QC.
∴ △MDP≌△MQCSAS，
∴ PM=CM，∠MPC=∠MCP．
∵ BD 是正方形 ABCD 的对称轴，
∴ AM=CM，∠DAM=∠MCP，
∴ ∠AMP=180∘−∠ADP=90∘，
∴ AM=PM，AM⊥PM．
（2） 成立，
理由如下：
连接 CM，
∵ 四边形 ABCD 是正方形，QM⊥BD，
∴ ∠MDQ=45∘，
∴ △DMQ 是等腰直角三角形．
∵ DP=CQ，
在 △MDP 与 △MQC 中，
DM=QM,∠MDP=∠MQC,DP=QC.
∴ △MDP≌△MQCSAS，
∴ PM=CM，∠MPC=∠MCP．
∵ BD 是正方形 ABCD 的对称轴，
∴ AM=CM，∠DAM=∠MCP，
∴ ∠DAM=∠MPC，
∵ ∠PND=∠ANM，
∴ ∠AMP=∠ADP=90∘，
∴ AM=PM，AM⊥PM．