2019—2020学年北京市房山区九上期末数学试卷

这是一份2019—2020学年北京市房山区九上期末数学试卷，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共8小题；共40分）
1. 如图，△ABC 中，DE∥BC，AD=2，BD=3，则 AE:AC 的值为
A. 2:3B. 1:2C. 3:5D. 2:5

2. 如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90∘，若 AC=3，BC=4，则 csB 的值是
A. 34B. 35C. 45D. 43

3. 若反比例函数 y=kxk≠0 的图象经过点 −1,2，则这个函数的图象一定还经过点
A. 2,−1B. −12,2C. −2,−1D. 12,2

4. 圆心角为 60∘，半径为 1 的弧长为
A. π2B. πC. π6D. π3

5. 如图，A，B，C，D 四点在 ⊙O 上，OA⊥BC，∠ADB=24∘．则 ∠AOC 的度数为
A. 36∘B. 48∘C. 56∘D. 60∘

6. 如图，PA，PB 分别切 ⊙O 于 A，B，∠APB=60∘，⊙O 半径为 2，则 PA 的长为
A. 3B. 4C. 23D. 22

7. 向空中发射一枚炮弹，第 x 秒时的高度为 y 米，且高度与时间的关系为 y=ax2+bx+ca≠0，若此炮弹在第 6 秒与第 17 秒时的高度相等，则在下列时间中炮弹所在高度最高的是
A. 第 8 秒B. 第 10 秒C. 第 12 秒D. 第 15 秒

8. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，以 3,0 为圆心作 ⊙P，⊙P 与 x 轴交于 A 、 B，与 y 轴交于点 C0,2，Q 为 ⊙P 上不同于 A 、 B 的任意一点，连接 QA 、 QB，过 P 点分别作 PE ⊥ QA 于 E，PF⊥QB 于 F．设点 Q 的横坐标为 x，PE2+PF2=y．当 Q 点在 ⊙P 上顺时针从点 A 运动到点 B 的过程中，下列图象中能表示 y 与 x 的函数关系的部分图象是
A. B.
C. D.

二、填空题（共8小题；共40分）
9. 二次函数 y=−3x+22−1 的最大值是 ．

10. 若 tanα=33，则锐角 α= 度．

11. 如图，点 A 在双曲线上 y=kx，且 AB⊥x轴 于 B，若 △ABO 的面积为 3，则 k 的值为 ．

12. 如图，一个小球由地面沿着坡度 i=1:3 的坡面向上前进了 10 m，此时小球距离地面的高度为 m．

13. 如图，A，B 是 ⊙O 上的两点，若 ∠AOB=80∘，C 是 ⊙O 上不与点 A，B 重合的任一点，则 ∠ACB 的度数为 ．

14. 如图，AB 是 ⊙O 的直径，C 是 ⊙O 上一点，∠ACB 的平分线交 ⊙O 于 D，且 AB=10，则 AD 的长为 ．

15. 在平面直角坐标系中，二次函数 y=x2 与反比例函数 y=−1xx<0 的图象如图所示，若两个函数图象上有三个不同的点 Ax1,m，Bx2,m，Cx3,m，其中 m 为常数，令 δ=x1+x2+x3，则 δ 的值为 （用含 m 的代数式表示）．

16. 已知二次函数 y=−x+a2+2a−1（a 为常数），当 a 取不同的值时，其图象构成一个“抛物线系”．如图分别是当 a 取四个不同数值时此二次函数的图象．发现它们的顶点在同一条直线上，那么这条直线的表达式是 ．

三、解答题（共12小题；共156分）
17. 元元同学在数学课上遇到这样一个问题：
如图 1，在平面直角坐标系 xOy 中，⊙A 经过坐标原点 O，并与两坐标轴分别交于 B，C 两点，点 B 的坐标为 2,0，点 D 在 ⊙A 上，且 ∠ODB＝30∘，求 ⊙A 的半径．
元元的做法如下，请你帮忙补全解题过程.
解：如图 2，连接 BC，
∵ ∠BOC＝90∘，
∴ BC 是 ⊙A 的直径．（依据是 ）
∵ OB=OB 且 ∠ODB＝30∘，
∴ ∠OCB＝∠ODB＝30∘，（依据是 ）
∴ OB=12BC．
∵ OB=2，
∴ BC＝4．即 ⊙A 的半径为 ．

18. 已知：如图，△ABC 中，AD 平分 ∠BAC，E 是 AD 上一点，且 AB:AC=AE:AD．判断 BE 与 BD 的数量关系并证明．

19. 如图，Rt△ABC 中，∠C=90∘，∠AC=23，BC=6，解这个直角三角形．

20. 已知一个二次函数图象上部分点的横坐标 x 与纵坐标 y 的对应值如下表所示：
x⋯−10123⋯y⋯03430⋯
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象；
（3）结合图象，直接写出当 −2
21. 如图，胡同左右两侧是竖直的墙，一架 32 米长的梯子斜靠在右侧墙壁上，测得梯子与地面的夹角为 45∘，此时梯子顶端 B 恰巧与墙壁顶端重合.因梯子阻碍交通，故将梯子底端向右移动一段距离到达 C 处，此时测得梯子 CD 与地面的夹角为 60∘，问：胡同左侧的通道拓宽了多少米（保留根号）?

22. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 y＝x+2 与函数 y=kxk≠0 的图象交于 A，B 两点，且点 A 的坐标为 1,a．
（1）求 k 的值；
（2）已知点 Pm,0，过点 P 作平行于 y 轴的直线，交直线 y＝x+2 于点 C，交函数 y=kxk≠0 的图象于点 D．
①当 m=2 时，求线段 CD 的长；
②若 PC＞PD，结合函数的图象，直接写出 m 的取值范围．

23. 已知 △ABC 如图所示，点 O 到 A，B，C 三点的距离均等于 m（m 为常数），到点 O 的距离等于 m 的所有点组成图形 W．射线 AO 与射线 AM 关于 AC 对称，过 C 作 CF⊥AM 于 F．
（1）依题意补全图形（保留作图痕迹）；
（2）判断直线 FC 与图形 W 的公共点个数并加以证明．

24. 如图，△ABC 内接于 ⊙O，∠BAC=60∘，高 AD 的延长线交 ⊙O 于点 E，BC=6，AD=5．
（1）求 ⊙O 的半径；
（2）求 DE 的长．

25. 如图，在正方形 ABCD 中，AB=5 cm，点 E 在正方形边上沿 B→C→D 运动（含端点），连接 AE，以 AE 为边，在线段右侧作正方形 AEFG，连接 DF，DG．小颖根据学习函数的经验，在点 E 运动过程中，对线段 AE，DF，DG 的长度之间的关系进行了探究．下面是小颖的探究过程，请补充完整：
（1）对于点 E 在 BC，CD 边上的不同位置，画图、测量，得到了线段 AE，DF，DG 的长度的几组值，如下表：
位置1位置2位置3位置4位置5位置6位置
在 AE，DF 和 DG 的长度这三个量中，确定 的长度是自变量， 的长度和 的长度都是这个自变量的函数．
（2）在同一平面直角坐标系 xOy 中，画出（1）中所确定的函数的图象：
（3）结合函数图象，解决问题：
当 △GDF 为等腰三角形时，AE 的长约为 ．

26. 在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y=mx2−2mx−2m+1 与 x 轴交于点 A，B．
（1）若 AB=2，求 m 的值；
（2）过点 P0,2 作与 x 轴平行的直线，交抛物线于点 M，N，当 MN≥2 时，求 m 的取值范围．

27. 在 △ABC 中，∠ACB=90∘，AC=BC=2，以点 B 为圆心、 1 为半径作圆，设点 M 为 ⊙B 上一点，线段 CM 绕着点 C 顺时针旋转 90∘，得到线段 CN，连接 BM，AN．
（1）在图 1 中，补全图形，并证明 BM=AN．
（2）连接 MN，若 MN 与 ⊙B 相切，则 ∠BMC 的度数为 ．
（3）连接 BN，则 BN 的最小值为 ；BN 的最大值为 ．

28. 如图 1，已知线段 AB 与点 P，若在线段 AB 上存在点 Q，满足 PQ≤AB，则称点 P 为线段 AB 的“限距点”．
（1）如图 2，在平面直角坐标系 xOy 中，若点 A−1,0，B1,0．
①在 C0,2，D−2,−2，E1,−3，中，是线段 AB 的“限距点”的是 ；
②点 P 是直线 y=x+1 上一点，若点 P 是线段 AB 的“限距点”，请求出点 P 横坐标 xP 的取值范围．
（2）在平面直角坐标系 xOy 中，点 At,1，Bt,−1，直线 y=33x+23 与 x 轴交于点 M，与 y 轴交于点 N．若线段 MN 上存在线段 AB 的“限距点”，请求出 t 的取值范围．
答案
第一部分
1. D
2. C
3. A
4. D
5. B
6. C
7. C
8. A
第二部分
9. −1
10. 30；
11. −6
12. 10
13. 40∘ 或 140∘
14. 52
15. −1m
16. y=−2x−1
第三部分
17. 90∘ 的圆周角所对的弦是直径；同弧所对的圆周角相等；2
18. BE=BD．
∵AD 平分 ∠BAC，
∴∠CAD=∠DAB，
∵AB:AC=AE:AD，
∴△EAB∽△DAC，
∴∠AEB=∠ADC，
∴∠BED=∠BDE，
∴BE=BD．
19. ∵∠C=90∘，AC=23，BC=6，
∴AB=232+62=43，
∵tanB=ACBC=236 =33，
∴∠B=30∘，
∴∠A=60∘，
∴∠A=60∘；∠B=30∘；AB=43．
20. （1） 设表达式为 y=ax−12+4（a≠0）（其它设法也可），
把 −1,0 代入得 a=−1，
∴ 表达式为 y=−x−12+4 或 y=−x2+2x+3．
（2） 如图所示．
（3） −521. 因为 ∠AEB=90∘，∠BAE=45∘，AB=32，
所以 AE=BE=32⋅sin45∘=32⋅22=3，
因为 ∠BCE=60∘，
所以 CE=BEtan60∘=33=3，
所以 AC=AE−CE=3−3，
即胡同左侧的通道拓宽了 3−3 米．
22. （1） 把 A1,a 代入 y=x+2 得 a=3，
把 A1,3 代入 y=kx 得 k=3．
（2） ①当 m=2 时，C2,4，D2,32，
∴CD=4−32=52．
② m<−3或m>1．
23. （1） 依题意补全图形，如图 1：
（2） 如图 2，直线 FC 与图形 W 有一个公共点．
证明：连接 OC，
∵ 射线 AO 与射线 AM 关于 AC 对称，
∴∠1=∠2，
∵OC=OA，
∴∠1=∠3，
∴∠3=∠2，
∴OC∥AE，
∵CF⊥AM 于 F，
∴CF⊥OC，
∵ 图形 W 即 ⊙O，OC 为半径，
∴FC 与 ⊙O 相切，即 FC 与图形 W 有一个公共点．
24. （1） 如图 ⊙O 中，作直径 BF，连接 CF，
∴∠BCF=90∘，
∵∠F=∠BAC=60∘，
∴BF=BCsin∠F=632=43，
∴⊙O 的半径为 23．
（2） 如图过 O 作 OG⊥AD 于 G，OH⊥BC 于 H．
∴GE=GA，四边形 OHDG 是矩形，
∴OH=DG，
∵OB=23，∠FBC=30∘，
∴OH=3，
∴DG=3，
∴AG=AD−GD=5−3，
∴EG=5−3，
∴DE=EG−GD=5−3−3=5−23．
25. （1） DG；AE；DF
（2） 如图：
（3） 7.07 或 5.00 或 5.65
26. （1） 抛物线对称轴为直线 x=−−2m2m=1，
∵ 点 A，B 关于直线 x=1 对称，AB=2，
∴ 抛物线与 x 轴交于点 0,0，2,0，
将 0,0 代入 y=mx2−2mx−2m+1 中，
得 −2m+1=0 即 m=12．
（2） 抛物线 y=mx2−2mx−2m+1 与 x 轴有两个交点，
∴Δ>0 即 −2m2−4m−2m+1>0，
解得：m>13 或 m<0. ⋯⋯⋇
①若 m>0，开口向上，如图 1．
当 MN≥2 时，有 −2m+1≤2，解得 m≥−12，
结合 ⋇ 可得 m>13．
②若 m<0，开口向下，如图 2．
当 MN≥2 时，有 −2m+1≥2，
解得 m≤−12，
结合 ⋇ 可得 m≤−12，
综上所述 m 的取值范围为 m>13 或 m≤−12．
27. （1） 如图 1，补全图形．
证明：⸪∠ACB=∠MCN=90∘，
∴∠MCB=∠NCA．
⸪CM=CN，CB=CA，
∴△MCB≌△NCASAS，
∴BM＝AN．
（2） 45∘ 或 135∘
（3） 1；3
28. （1） ① C，E
②由题意直线 y=x+1 上满足线段 AB 的“限距点”的范围如图 1 所示．
点 P 在线段 MN 上（包括端点），
易求 xM=−1−2，
xN=1．
∴ 点 P 横坐标 xP 的取值范围为：−1−2≤xP≤1．
（2） 如图 2，
t=−8．
如图 3，
t=3−2．
综上所述：−8≤t≤3−2．