2019-2020学年广东省广州市番禺区八上期末数学试卷

这是一份2019-2020学年广东省广州市番禺区八上期末数学试卷，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共10小题；共50分）
1. 点 M1,−2 关于 y 轴的对称点坐标为
A. −1,2B. 2,−1C. 1,2D. −1,−2

2. 下列运算正确的是
A. a2⋅a3=a5B. a23=a5C. a6÷a2=a3D. 2a3+3a5=5a8

3. 如图，△ABC 中，∠A=70∘，∠B=60∘，点 D 在 BC 的延长线上，则 ∠ACD 等于
A. 100∘B. 120∘C. 130∘D. 150∘

4. 下列四个图案中，不是轴对称图案的是
A. B.
C. D.

5. 计算 x+1x+2 的结果为
A. x2+2B. x2+3x+2C. x2+3x+3D. x2+2x+2

6. 分式方程 1x−2=3x 的解是
A. x=−2B. x=−3C. x=3D. x=2

7. 【例 7 】一个 n 边形的内角和是外角和的 2 倍，则 n 的值为
A. 3B. 4C. 5D. 6

8. 下列说法正确的是
A. 若两个三角形全等，则它们必关于某条直线成轴对称
B. 直角三角形是关于斜边上的中线成轴对称
C. 如果两个三角形关于某条直线成轴对称的图形，那么它们是全等三角形
D. 线段是关于经过该线段中点的直线成轴对称的图形

9. 已知 x+1x=6，则 x2+1x2=
A. 38B. 36C. 34D. 32

10. 如图，在 △ABC 中，∠C=90∘，AC=BC，AD 是 ∠CAB 的角平分线，DE⊥AB 于点 E，若 AB=6 cm，则 △DEB 的周长是
A. 5 cmB. 6 cmC. 7 cmD. 8 cm

二、填空题（共6小题；共30分）
11. 计算：xy22= ．

12. 等腰三角形的一个底角为 50∘，则它的顶角的度数为 ．

13. 分解因式：b3−6b2+9b= ．

14. 如图，在矩形 ABCD 中，AB=3，BC=5，将矩形 ABCD 沿 EF 折叠，使点 C 与点 A 重合，点 D 落在点 Dʹ 处，则 △ADʹF 的周长为 ．

15. 若 x+2x+3=7，则代数式 2−10x−2x2 的值为 ．

16. 在 Rt△ABC 中，∠BAC=90∘，AB=3，M 为边长 BC 上的点，连接 AM，如图，如果将 △ABM 沿直线 AM 翻折后，点 B 恰好落在边 AC 的中点处，那么点 M 到 AC 的距离是 ．

三、解答题（共9小题；共117分）
17. 如图，在 △ABC 中，D，E 是 BC 边上两点，AD=AE，∠BAD=∠CAE．求证：AB=AC．

18. 分解因式：
（1）ax+bx
（2）x4−y4
（3）a+b2−4aa+b+4a2

19. 如图，已知：AC=BD，AC⊥BC，AD⊥BD，垂足分别为 C，D，AC 与 BD 相交于点 O．求证：
（1）AD=BC；
（2）∠DAC=∠CBD．

20. 如图，已知：在 △ABC 中，∠A=30∘，∠B=60∘．
（1）作 ∠B 的平分线 BD，交 AC 于点 D，作 AB 的中点 E（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明）；
（2）连接 DE，判定直线 AB 与 DE 的位置关系，并对结论给予证明．

21. 解答下列问题．
（1）计算：2x5x−3÷325x2−9⋅x5x+3；
（2）解方程：x+1x+1x−2=1．

22. 如图，△ABC 为等腰三角形，AC=BC，△BDC 和 △ACE 分别为等边三角形，AE 与 BD 相交于点 F，连接 CF 交 AB 于点 G，求证：G 为 AB 的中点．

23. 回答下列问题．
（1）计算：4x+12−2x+52x−5．
（2）已知 a2−4ab+4b2=0，ab≠0，求 a+2ba2−b2⋅a−b 的值．

24. 甲、乙两个工程队均参与某筑路工程，先由甲队筑路 60 公里，再由乙队完成剩下的筑路工程，已知乙队筑路总公里数是甲队筑路总公里数的 43 倍，甲队比乙队多筑路 20 天．
（1）求乙队筑路的总公里数；
（2）若甲、乙两队平均每天筑路公里数之比为 5:8，求乙队平均每天筑路多少公里．

25. 请回答下列问题：
（1）如图 1，在正方形 ABCD 中，M 是 BC 边（不含端点 B，C）上任意一点，P 是 BC 延长线上一点，N 是 ∠DCP 的平分线上一点，若 ∠AMN=90∘，求证：△AMN 为等腰三角形．
下面给出此问题一种证明的思路，你可以按这一思路继续完成证明，也可以选择另外的方法证明此结论．
证明：在 AB 边上截取 AE=MC，连接 ME，在正方形 ABCD 中，∠B=∠BCD=90∘，AB=BC
∴∠NMC=180∘−∠AMN−∠AMB=180∘−∠B−∠AMB=∠MAB.
（下面请你连接 AN，完成余下的证明过程）
（2）若将（1）中的“正方形 ABCD”改为“正三角形 ABC”（如图 2），N 是 ∠ACP 的平分线上一点，则当 ∠AMN=60∘ 时，试探究 △AMN 是何种特殊三角形，并证明探究结论．
（3）若将（1）中的“正方形 ABCD”改为“正 n 边形 ABCD⋯X”，试猜想：当 ∠AMN 的大小为多少时，（1）中的结论仍然成立?
答案
第一部分
1. D
2. A【解析】A．a2⋅a3=a5，正确，故本选项符合题意；
B．a23=a6，故本选项不合题意；
C．a6÷a2=a4，故本选项不合题意；
D．2a3 与 3a5 不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意．
3. C【解析】∵∠ACD 是 △ABC 的一个外角，
∴∠ACD=∠A+∠B，
∵∠A=70∘，∠B=60∘，
∴∠ACD=70∘+60∘=130∘．
4. B
5. B
【解析】原式=x2+2x+x+2=x2+3x+2.
6. C【解析】去分母得：x=3x−6，
解得：x=3，
经检验 x=3 是分式方程的解．
7. D【解析】由题意得：180n−2=360×2，
解得：n=6，
故选：D．
8. C
9. C【解析】把 x+1x=6 两边平方得：x+1x2=x2+1x2+2=36，
则 x2+1x2=34．
10. B
【解析】∵AD 是 ∠CAB 的角平分线，DE⊥AB，∠C=90∘，
∴DC=DE，AC=AE，
∴△DEB 的周长=DE+BE+BD=BE+DC+BD=BE+BC=BE+AE=AB=6 cm.
第二部分
11. x2y4
【解析】原式=xy22=x2y2×2=x2y4．
12. 80∘
【解析】∵ 等腰三角形底角相等，
∴180∘−50∘×2=80∘，
∴ 顶角为 80∘．
故填 80∘．
13. bb−32
【解析】b3−6b2+9b=bb2−6b+9=bb−32.
14. 8
【解析】∵ 将矩形 ABCD 沿 EF 折叠，
∴CD=ADʹ，DFʹ=DF，
∵△ADʹF的周长=AF+ADʹ+DʹF=AF+CD+DF=AD+CD，
∴△ADʹF的周长=5+3=8，
故答案为 8．
15. 0
【解析】∵x+2x+3=7，
∴x2+5x=1，
∴2−10x−2x2=−2x2+5x+2=−2×1+2=0．
16. 2
【解析】如图，作 ME⊥AC 于 E，MF⊥AB 于 F，点 D 为 AC 的中点，
∵△ABM 沿直线 AM 翻折后，点 B 恰好落在边 AC 的中点 D 处，
∴AD=AB=3，∠BAM=∠CAM=45∘，
∴AC=2AD=6，ME=MF，
∵S△ABM+S△AMC=S△ABC，
∴12MF⋅AB+12ME⋅AC=12AB⋅AC，
∴3ME+6ME=3×6，
∴ME=2．
即点 M 到 AC 的距离是 2．
第三部分
17. ∵AD=AE，
∴∠1=∠2，
∴180∘−∠1=180∘−∠2，即 ∠3=∠4，
在 △ABD 与 △ACE 中，
∠BAD=∠CAE,AD=AE,∠3=∠4,
∴△ABD≌△ACEASA，
∴AB=AC．
18. （1） ax+bx=xa+b；
（2） x4−y4=x2+y2x2−y2=x2+y2x−yx+y;
（3） a+b2−4aa+b+4a2=a+b−2a2=b−a2.
19. （1） ∵AC⊥BC，AD⊥BD，
∴∠C=∠D=90∘，
在 Rt△ABC 与 Rt△ABD 中，AC=BD,AB=BA,
∴Rt△ABD≌Rt△BACHL，
∴AD=BC．
（2） 由（1）得：Rt△ABD≌Rt△BACHL，
∴∠ABC=∠BAD，∠BAC=∠ABD，
∴∠DAC=∠CBD．
20. （1） 如图，点 D，点 E 即为所求．
（2） 结论：DE⊥AB．
理由：∵BD 平分 ∠ABC，
∴∠ABD=12∠ABC=30∘，
∵∠A=30∘，
∴∠A=∠ABD，
∵.DA=DB，
∴ 点 D 在线段 AB 的垂直平分线上，
∴DE⊥AB．
21. （1） 原式=2x5x−3⋅5x+35x−33⋅x5x+3=2x23.
（2） 去分母得：
x2−x−2+x=x2−2x.
解得：
x=1.
经检验 x=1 是分式方程的解．
22. ∵ AC=BC，
∴ ∠CAB=∠CBA，
∵ △BDC 和 △ACE 为等边三角形，
∴ ∠CAE=∠CBD，∠FAG=∠FBG，
∴ AF=BF．
在 △ACF 和 △CBF 中，AF=BF,AC=BC,CF=CF,
∴ △AFC≌△BCFSSS，
∴ ∠ACF=∠BCF，
即 CF 平分 ∠ACB，
又 ∵ AC=BC，
∴ AG=BG，
即 G 为 AB 的中点．
23. （1） 原式=16x2+8x+1−4x2−25=16x2+8x+1−4x2+25=12x2+8x+26.
（2） ∵a2−4ab+4b2=0，ab≠0，
∴a−2b2=0，
故 a−2b=0，
即 a=2b，
a+2ba2−b2⋅a−b=a+2ba+ba−b⋅a−b=a+2ba+b=2b+2b2b+b=43.
24. （1） 乙队筑路的总公里数：60×43=80（公里）．
（2） 设甲队每天筑路 5x 公里，乙队每天筑路 8x 公里．
根据题意得：
605x−20=808x.
解得：
x=110.
经检验：x=110 是方程的解且符合题意．
则乙队每天筑路 8x=8×110=45 公里．
答：乙队每天筑路 45 公里．
25. （1） 如图 1，在 AB 边上截取 AE=MC，连接 ME，AN，
在正方形 ABCD 中，∠B=∠BCD=90∘，AB=BC，
∴∠NMC=180∘−∠AMN−∠AMB=180∘−∠B−∠AMB=∠MAB,
BE=AB−AE=BC−MC=BM，
∴∠BEM=45∘，
∴∠AEM=135∘，
∵N 是 ∠DCP 平分线上一点，
∴∠NCP=45∘，
∴∠MCN=135∘，
在 △AEM 与 △MCN 中，
∠MAE=∠NMC，AE=MC，∠AEM=∠MCN，
∴△AEM≌△MCNASA，
∴AM=MN，
∴△AMN 为等腰三角形；
（2） △AMN 仍是等腰三角形，理由如下：
如图 2，在边 AB 上截取 AE=MC，连接 ME，AN，
在正 △ABC 中，∠B=∠BCA=60∘，AB=BC，
∴∠NMC=180∘−∠AMN−∠AMB=180∘−∠B−∠AMB=∠MAE,
BE=AB−AE=BC−MC=BM，
∴∠BEM=60∘，
∴∠AEM=120∘，
∵N 是 ∠ACP 的平分线上一点，
∴∠ACN=60∘，
∴∠MCN=120∘，
在 △AEM 与 △MCN 中，
∠MAE=∠NMC，AE=MC，∠AEM=∠MCN，
∴△AEM≌△MCNASA，
∴AM=MN，
∴△AMN 为等腰三角形；
（3） 若将（1）中的“正方形 ABCD”改为“正 n 边形 ABCD⋯X，
则当 ∠AMN=n−2×180n 度时，（1）中的结论仍然成立，
理由同（1），（2），
参考图 1，在正 n 边形的边 AB 上截取 AE=MC，
连接 ME，AN，
在正 n 边形 ABCD⋯X 中，∠B=∠BCD，AB=BC，
当 ∠AMN=∠B=n−2×180n 度时，
∴∠NMC=180∘−∠AMN−∠AMB=180∘−∠B−∠AMB=∠MAE,
BE=AB−AE=BC−MC=BM，
∴∠BEM=∠BME，
∠AEM=180∘−∠BEM=180n−1n 度，
∵N 是 ∠ACP 的平分线上一点，
∴∠ACN=180n 度，
∴∠MCN=180∘−180n=180n−1n 度，
∴ 在 △AEM 与 △MCN 中，
∠MAE=∠NMC，AE=MC，∠AEM=∠MCN，
∴△AEM≌△MCNASA，
∴AM=MN，
∴△AMN 为等腰三角形，
∴ 当 ∠AMN=n−2×180n 度时，
（1）中的结论仍然成立．