2020-2021学年广东省深圳市龙华区八上期末数学试卷

这是一份2020-2021学年广东省深圳市龙华区八上期末数学试卷，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共10小题；共50分）
1. 下列各实数中是有理数的是
A. 2B. 3C. 4D. 5

2. 点 A−1,2 在
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限

3. 下列式子正确的是
A. 16=±4B. a+b=a+bC. −13<−4D. 3−8=−2

4. 关于一次函数 y=−3x+2，下列结论正确的是
A. 图象过点 1,1B. 图象经过第一、二、三象限
C. y 随 x 的增大而增大D. 当 x>23 时，y<0

5. 若 x=2,y=1 是关于 x，y 的二元一次方程 1−ay=3x 的一组解，则 a 的值为
A. −5B. −1C. 2D. 7

6. 学校推荐一名同学参加龙华区初中英语演讲比赛，对甲、乙、丙、丁四位候选人进行了听说测试和笔试，他们的成绩如下表．听说成绩、笔试成绩按 6:4 的比例确定各人的测试成绩．

根据四人的测试成绩，学校将推荐
A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁

7. 一副直角三角板如图放置，点 A 在 DF 延长线上，已知：∠D=∠BAC=90∘，∠E=30∘，∠C=45∘，BC∥DA，那么 ∠ABF 的度数为
A. 15∘B. 20∘C. 25∘D. 30∘

8. 《九章算术》是中国古代第一部数学专著，它对我国古代后世的数学家产生了深远的影响，该书中记载了一个问题，大意是：有几个人一起去买一件物品，每人出 8 元，多 3 元；每人出 7 元，少 4 元，问有多少人?该物品价几何?设有 x 人，物品价值 y 元，则所列方程组正确的是
A. 8y+3=x,7y−4=xB. 8x+3=y,7x−4=yC. 8x−3=y,7x+4=yD. 8y−3=x,7y+4=x

9. 一艘轮船在航行中遇到暗礁，船身有一处出现进水现象，等到发现时，船内已有一定积水，船员立即开始自救，一边排水一边修船，假设轮船触礁后的时间为 x 分钟，船舱内积水量为 y 吨，修船过程中进水和排水速度不变，修船完工后排水速度加快．图中的折线表示 y 与 x 的函数关系，下列说法中：
①修船共用了 38 分钟时间；
②修船过程中进水速度是排水速度的 3 倍；
③修船完工后的排水速度是抢修过程中排水速度的 4 倍；
④最初的仅进水速度和最后的仅排水速度相同．
其中正确的信息判断是
A. ①②B. ②③C. ②④D. ③④

10. 在平面直角坐标系中，已知四边形 AMNB 各顶点坐标分别是：A0,−2，B2,2，M3,a，N3,b，且 MN=1，aA. 6+25B. 6+13C. 34+25+1D. 34+13+1

二、填空题（共5小题；共25分）
11. 若点 A2,−1 关于 x 轴的对称点 Aʹ 的坐标是 m,n，则 m+n 的值是 ．

12. 在函数 y=x−3 中，自变量 x 的取值范围是 ．

13. 如图是甲、乙两种商品 1∼5 月的价格变化情况统计图，记甲种商品价格数据的方差为 s甲2，乙种商品价格数据的方差为 s乙2，那么 s甲2 s乙2．（填“>”，“<”，或“=”）

14. 如图，已知 △ABC 中，∠ACB=90∘，∠B=50∘，D 为 AB 上一点，将 △BCD 沿 CD 折叠后，点 B 落在点 E 处，且 CE∥AB，则 ∠ACD 的度数是 ．

15. 如图，E 是腰长为 2 的等腰直角 △ABC 斜边上一点，且 BE=BC，P 为 CE 上任意一点，PQ⊥BC 于点 Q，PR⊥BE 点 R，则 PQ+PR 的值是 ．

三、解答题（共7小题；共91分）
16. 计算．
（1）82+3+23−2．
（2）612+∣1−3∣−6+1÷33．

17. 解方程组．
（1）2x+3y=16,x−2y=1.
（2）0.3−y=1,0.2x−0.5y=19.

18. 为了了解某校学生的眼睛近视度情况，随机抽取该校男生、女生进行抽样调查，已知抽取的样本中，男生、女生的人数相同，利用所得数据绘制成如下统计图表：
近视度情况分组表（单位：度）
组别近视度Ax≤50B50根据图表提供的信息，回答下列问题：
（1）样本中，男生的近视度众数在 组，中位数在 组．
（2）样本中，女生近视度在 E 组的人数有 人．
（3）已知该校共有男生 600 人，女生 480 人，请估计近视度为 150≤x<200 的学生共约有 人．

19. 甲、乙两个玩具的成本共 300 元，商店老板为获取利润，并快速出售玩具，决定甲玩具按 60% 的利润率标价出售，乙玩具按 50% 的利润率标价出售．在实际出售时，应顾客要求，两个玩具均按标价 9 折出售，这样商店共获利 114 元．
（1）求甲、乙两个玩具的成本各是多少元?
（2）商店老板决定投入 1000 元购进这两种玩具，且为了吸引顾客，每个玩具至少购进 1 个，那么可以怎样安排进货?

20. 如图，已知 △ABC 中，∠ACB=90∘，过点 B 作 BD∥AC，交 ∠ACB 的平分线 CD 于点 D，CD 交 AB 于点 E．
（1）求证：BC=BD．
（2）若 AC=3，AB=6，求 CD 的长．

21. 定义：在边长为 1 的小正方形方格纸中，把顶点落在方格交点上的线段、三角形、四边形分别称为格点线段、格点三角形、格点四边形．请按要求画图．
（1）在图 1 中画出一个面积为 1 的格点等腰直角三角形 ABC．
（2）在图 2 中画出一个面积为 13 的格点正方形 DEFG．
（3）在图 3 中画出一条长为 5，且不与正方形方格纸的边平行的格点线段 HI．
（4）在图 4 中画出一个周长为 32+10 的格点直角三角形 JKL．

22. 将等腰 Rt△ABC 在平面直角坐标系中如图所示放置，其中顶点 B 的坐标是 0,1，顶点 C 的坐标是 2,1，∠A=90∘，直线 l:y=kx+b 经过点 D−1,−1 且绕点 D 转动．
（1）若直线 l 与 △ABC 的一边平行，请求出此时直线 l 的函数解析式（求出其中一种情况即可）．
（2）若直线 l 与 △ABC 有公共点，求 k 的取值范围．
（3）若直线 l 经过点 C，此时直线 l 上是否存在一点 P，使得 △PAB 的面积等于 12?如果存在，求出此时点 P 坐标；如果不存在，请说明理由．
答案
第一部分
1. C【解析】4=2 是有理数．
2. B【解析】A−1,2，属于 −,+ 在第二象限．
故选B．
3. D【解析】A选项：16=4，故A错误；
B选项：a+b 不能写成 a+b，故B错误；
C选项：13<4，故 −13>−4，故C错误；
D选项：3−8=−2，故D正确．
4. D【解析】y=−3x+2 经过 1,−1 点，
经过一、二、四象限，且 y 随 x 增大而减小，
当 x>23 时，y<0，
故A，B，C错误，D正确．
5. A
【解析】将 x=2,y=1 代入 1−ay=3x 中，
得 1−a=6，
∴a=−5．
6. B【解析】∵ 乙 > 丙，
∵ 甲的听说 + 笔试之和为 86+89=175，
乙的听说 + 笔试之和为 92+83=175，
丁的听说 + 笔试之和为 83+92=175，
∴ 甲、乙、丁成绩和均为 175，
∵ 听说笔试成绩为 6:4，
∴ 听说成绩高者，最终得分会更高．
∴ 乙分最高．
7. A【解析】∵∠D=∠BAC=90∘，
∠C=45∘，∠E=30∘，
∴∠ABC=45∘，∠DFE=60∘，且 BC∥AD，
∴∠FAB=∠ABC=45∘，
∴∠ABF=∠DFE−∠FAB=60∘−45∘=15∘．
8. C【解析】设有 x 人，物品价值 y 元，
由题意得：8x−3=y,7x+4=y.
9. D【解析】①由图可知，10 min 时进水速度减慢，即 10 min 时开始修船，
26 min 时不再进水，即 26 min 修完船，
即共用 16 min，①错误；
② 0∼10 min 内，进水速度 v1=4010=4 t/min，
10∼26 min 内，应进水 4×16=64 t，
实际进水 88−40=48 t，
则排水速度 v2=64−4816=1 t/min，
即进水速度是排水速度的 4 倍，②错误；
③ 26 min 后，排水速度 v3=8848−26=4 t/min 为原来的 4 倍，③正确；
④由②③知 v1=v3，④正确．
故选D．
10. A
【解析】平移型将军饮马，
对称—平移—连线，
先作 B 关于直线 x=3 的对称点 Bʹ4,2，
再得 Bʹ 向下平移 1 个单位得到 Bʺ4,1，
连接 ABʺ 与直线 x=3 交于 M 点，
再向上平移一个单位得到 N 点，
连接 BN，AB，此时四边形 AMNB，
周长达到最小，
C四边形AMNBmin=AB+ABʺ+MN=25+1+5=25+6.
故选A．
第二部分
11. 3
【解析】A2,−1 关于 x 轴的对称点 Aʹ2,1，故 m+n=3．
12. x≥3
【解析】根据题意得：x−3≥0，
解得：x≥3．
13. <
【解析】方差反应个体之间数据在平均值上下波动的情况，波动越小越稳定，反之越不稳定；
由甲乙两种商品在 1∼5 月的价格变化情况的折线图可知，乙商品价格波动比甲大，即甲的方差小于乙的方差．
14. 25∘
【解析】由题知：△CDB≌△CDE，
∴∠E=∠B=50∘，∠CDB=∠CDE，∠DCB=∠DCE．
∵CE∥AB，
∴∠ECD=∠CDB，
∴∠BDC=∠DCB，
∴∠DCB=180∘−∠B2=65∘．
又 ∵∠ACB=90∘，
∴∠ACD=90∘−∠DCB=25∘．
15. 2
【解析】过 E 点作 EF⊥BC 于 F 点，连 BP，
∵ S△BCE=S△BCP+S△BEP，
∴ BC⋅EF2=BC⋅PQ2+BE⋅PR2，
且 BE=BC，
∴ BC⋅EF=BC⋅PQ+BC⋅PR=BC⋅PQ+PR，
∴ EF=PQ+PR，
又 ∵ Rt△EFB 为等腰直角三角形，
且 BE=BC=2，
∴ EF=2，
∴ PQ+PR=2．
第三部分
16. （1） 原式=4+32−22=2+3−4=1.
（2） 原式=6×22+3−1−6−1÷33=32+3−1−6+1⋅3=32+3−1−32−3=−1.
17. （1）
2x+3y=16, ⋯⋯①x−2y=1, ⋯⋯②
由① − ② ×2 得：
7y=14,y=2
代入②中，得
x−4=1,x=5.
故方程解为
x=5,y=2.
（2）
0.3−y=1, ⋯⋯①0.2x−0.5y=19, ⋯⋯②
由①得
y=0.3x−1,
代入②中，得：
0.2x−−1=19,
解得
x=370,
代入①中，得
y=110.
故方程组解为
x=370,y=110.
18. （1） B；C
【解析】∵ 直方图中 B 组的人数为 12 最多，
∴ 男生的近视度众数在 B 组，
男生总人数为 4+12+10+8+6=40，
按照近视度从小到大排列，则第 20，21 两人都在 C 组，
∴ 男生近视度的中位数在 C 组．
故答案为：B；C．
（2） 2
【解析】样本中，女生近视度在 E 组的百分比为：
1−17.5%−37.5%−25%−15%=5%，
∵ 抽取的样本中男生女生人数相同，
∴ 样本中女生近视度在 E 组的人数有：40×5%=2（人），
故答案为：2．
（3） 192
【解析】由题意可知 600×840+480×15%=120+72=192（人）．
答：估计近视度为 150≤x<200 的学生共有 192 人．
19. （1） 设甲、乙成本各 x，y 元，
x+y=300,0.9×1+60%x+1+50%y−300=114.
解得：
x=100,y=200.
答：甲、乙成本各为 100 元和 200 元每个．
（2） 设甲 a 个，乙 b 个，
100a+200b=1000,a+2b=10,∴a=2,b=4或a=4,b=3或a=6,b=2或a=8,b=1.
共 4 种进货方案，
答：①甲 8 个，乙 1 个；②甲 6 个，乙 2 个；③甲 4 个，乙 3 个；④甲 2 个，乙 4 个．
20. （1） 双平出等腰．
∵CD 平分 ∠ACB，且 BD∥AC，
∴∠ACD=∠BCD，∠ACD=∠D，
∴∠BCD=∠D，
∴BC=BD．
（2） ∵Rt△ACB 中，AC=3，AB=6，
∴BC=AB2−AC2=33，且 BD=BC=33，
∵BD∥AC，
∴∠CBD=∠ACB=90∘，
∴Rt△BCD 中，由勾股定理 CD=BD2+BC2=36．
21. （1） 如图 1 所示，
△ABC 即为所求．
由图可知 BC=2，由勾股定理可知：AB2=AC2=12+12=2，
则 AB=AC．
又 AB2+AC2=2+2=4=BC2，
由勾股定理逆定理可知 △ABC 为直角三角形，且 ∠BAC=90∘，
又 AB=AC，则 △ABC 为等腰直角三角形，
△ABC的面积=AB×AC÷2=AB2÷2=2÷2=1，
故 △ABC 为面积为 1 的格点等腰直角三角形．
（2） 如图 2 所示，
正方形 DEFG 即为所求．
由勾股定理可知：DE2=DG2=FE2=GF2=22+32=4+9=13，
DF2=12+52=1+25=26，则 DE=DG=FG=EF，
所以 DE2+FE2=13+13=26=DF2，由勾股定理逆定理可知，
△DEF 为直角三角形，且 ∠DEF=90∘，
又 DE=DG=FG=EF，
所以四边形 DEFG 为正方形，且 正方形DEFG的面积=DE2=13，
故图 2 中正方形 DEFG 为面积为 13 的格点正方形．
（3） 如图 3 所示，
线段 HI 即为所求，
PH=3，PI=4，由勾股定理可知：HI2=PH2+PI2=32+42=25，
即 HI=5；
由图 3 知线段 HI 与正方形格纸的边不平行，
故图 3 中线段 HI 为长度 =5，且不与正方形格纸的边平行的格点线段．
（4） 如图 4 所示，
直角 △JKL 即为所求．
由勾股定理可知：JK2=12+12=2，KL2=12+32=10，
JL2=22+22=8，
又 JK2+JL2=2+8=10=KL2，
所以由勾股定理逆定理可知，△JKL 为直角三角形，
△JKL周长=JK+JL+KL=2+22+10=32+10．
22. （1） ① l∥AB，
∵B0,1，C2,1，
△ABC 是等腰直角三角形，
∴A1,2，
∴kAB=2−11−0=1，
∴kl=kAB=1，
∴l:y=x+b 过 D−1,−1，
b=−1+1=0，
∴ 此时 l:y=x；
② l∥AC，
同理 kAC=1−22−1=−1，
kl=kAC=−1，
设 l:y=−x+b 过 D−1,−1，
b=−1−1=−2，
∴l:y=−x−2；
③ l∥BC，
∵BC∥x 轴，
∴l∥x 轴，
∴ 此时直线 l 即 y=−1．
（2） 由题知，k 值最大时 l 经过 B 点，
k 值最小时，l 经过 C 点，
∵B0,1，C2,1，D−1,−1，
设 lBC:y=k1x+b1 代入 B0,1，D−1,−1，
lCD:y=k2x+b2 代入 C2,1，D−1,−1，
得 b1=1,−1=k1+b1 和 1=2k2+b2,−1=−k2+b2,
得 k1=2,b1=1 和 k2=23,b2=−13,
∴k2≤k≤k1，
∴23≤k≤2．
（3） 由（2）知 l:y=23x−13，
设 Pm,23m−13，
过 P 作 PQ∥y 轴交直线 AB 于 Q 点，
∵lAB:y=x+1，
∴Qm,m+1，
∴PQ=23m−13−m+1=−13m−43，
又
∵S△ABP=12⋅PQ⋅xA−xB=12PQ=12−13m−43,
当 S△ABP=12 时，
即 12−13m−43=12，
解得 m=−1或−7，
故 P 点坐标为 −1,−1 或 −7,−5．