2020-2021学年北京市九下期末数学试卷

这是一份2020-2021学年北京市九下期末数学试卷，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1. 如图是某几何体的展开图，该几何体是
A. 长方体B. 圆柱C. 圆锥D. 三棱柱

2. 党的十八大以来，坚持把教育扶贫作为脱贫攻坚的优先任务． 年，中央财政累计投入“全面改善贫困地区义务教育薄弱学校基本办学条件”专项补助资金 亿元，将 用科学记数法表示应为
A. B. C. D.

3. 如图，点 在直线 上，．若 ，则 的大小为
A. B. C. D.

4. 下列多边形中，内角和最大的是
A. B.
C. D.

5. 实数 ， 在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是
A. B. C. D.

6. 已知 ，，，．若 为整数且 ，则 的值为
A. B. C. D.

7. 同时抛掷两枚质地均匀的硬币，则一枚硬币正面向上、一枚硬币反面向上的概率是
A. B. C. D.

8. 如图，用绳子围成周长为 的矩形，记矩形的一边长为 ，它的邻边长为 ，矩形的面积为 ．当 在一定范围内变化时， 和 都随 的变化而变化，则 与 ， 与 满足的函数关系分别是
A. 一次函数关系，二次函数关系B. 反比例函数关系，二次函数关系
C. 一次函数关系，反比例函数关系D. 反比例函数关系，一次函数关系

二、填空题
9. 若 在实数范围内有意义，则实数 的取值范围是 ．

10. 分解因式： ．

11. 方程 的解为 ．

12. 如图，， 是 的切线，， 是切点，若 ，则 ．

13. 在平面直角坐标系 中，若反比例函数 的图象经过点 和点 ，则 的值为 ．

14. 如图，在矩形 中，点 ， 分别在 ， 上，．只需添加一个条件即可证明四边形 是菱形，这个条件可以是 （写出一个即可）．

15. 有甲、乙两组数据，如下表所示：
甲、乙两组数据的方差分别为 ，，则 （填“”，“”或“”）．

16. 某企业有A，B两条加工相同原材料的生产线．在一天内，A生产线共加工 吨原材料，加工时间为 小时；在一天内，B生产线共加工 吨原材料，加工时间为 小时．第一天，该企业将 吨原材料分配到A，B两条生产线，两条生产线都在一天内完成了加工，且加工时间相同，则分配到A生产线的吨数与分配到B生产线的吨数的比为 ．第二天开工前，该企业按第一天的分配结果分配了 吨原材料后，又给A生产线分配了 吨原材料，给B生产线分配了 吨原材料．若两条生产线都能在一天内加工完各自分配到的所有原材料，且加工时间相同，则 的值为 ．

三、解答题
17. 计算：．

18. 解不等式组：

19. 已知 ，求代数式 的值．

20. 如图，在四边形 中，，点 在 上，，，垂足为 ．
（1）求证：四边形 是平行四边形；
（2）若 平分 ，，，求 和 的长．

21. 《淮南子?天文训》中记载了一种确定东西方向的方法，大意是：日出时，在地面上点 处立一根杆，在地面上沿着杆的影子的方向取一点 ，使 ， 两点间的距离为 步（步是古代的一种长度单位），在点 处立一根杆；日落时，在地面上沿着点 处的杆的影子的方向取一点 ，使 ， 两点间的距离为 步，在点 处立一根杆．取 的中点 ，那么直线 表示的方向为东西方向．
（1）上述方法中，杆在地面上的影子所在直线及点 ，， 的位置如图所示，使用直尺和圆规，在图中作 的中点 （保留作图痕迹）；
（2）在如图中，确定了直线 表示的方向为东西方向，根据南北方向与东西方向互相垂直，可以判断直线 表示的方向为南北方向，完成如下证明．
证明：在 中， ， 是 的中点，
所以 （ ）（填推理的依据）．
直线 表示的方向为东西方向，
直线 表示的方向为南北方向．

22. 已知关于 的一元二次方程 ．
（1）求证：该方程总有两个实数根；
（2）若 ，且该方程的两个实数根的差为 ，求 的值．

23. 在平面直角坐标系 中，一次函数 的图象由函数 的图象向下平移 个单位长度得到．
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）当 时，对于 的每一个值，函数 的值大于一次函数 的值，直接写出 的取值范围．

24. 如图， 是 的外接圆， 是 的直径， 于点 ．
（1）求证：；
（2）连接 并延长，交 于点 ，交 于点 ，连接 ．若 的半径为 ，，求 和 的长．

25. 为了解甲、乙两座城市的邮政企业 月份收入的情况，从这两座城市的邮政企业中，各随机抽取了 家邮政企业，获得了它们 月份收入（单位：百万元）的数据，并对数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．
a．甲城市邮政企业 月份收入的数据的频数分布直方图如下（数据分成 组：，，，）：
b．甲城市邮政企业 月份收入的数据在 这一组的是：

c．甲、乙两座城市邮政企业 月份收入的数据的平均数、中位数如下：

根据以上信息，回答下列问题：
（1）写出表中 的值；
（2）在甲城市抽取的邮政企业中，记 月份收入高于它们的平均收入的邮政企业的个数为 ．在乙城市抽取的邮政企业中，记 月份收入高于它们的平均收入的邮政企业的个数为 ．比较 ， 的大小，并说明理由；
（3）若乙城市共有 家邮政企业，估计乙城市的邮政企业 月份的总收入（直接写出结果）．

26. 在平面直角坐标系 中，点 和点 在抛物线 上．
（1）若 ，，求该抛物线的对称轴；
（2）已知点 ，， 在该抛物线上．若 ，比较 ，， 的大小，并说明理由．

27. 如图，在 中，，， 为 的中点，点 在 上，以点 为中心，将线段 顺时针旋转 得到线段 ，连接 ，．
（1）比较 与 的大小；用等式表示线段 ，， 之间的数量关系，并证明；
（2）过点 作 的垂线，交 于点 ，用等式表示线段 与 的数量关系，并证明．

28. 在平面直角坐标系 中， 的半径为 ．对于点 和线段 ，给出如下定义：若将线段 绕点 旋转可以得到 的弦 （， 分别是 ， 的对应点），则称线段 是 的以点 为中心的“关联线段”．
（1）如图，点 ，，，，，， 的横、纵坐标都是整数．在线段 ，， 中， 的以点 为中心的“关联线段”是 ；
（2） 是边长为 的等边三角形，点 ，其中 ．若 是 的以点 为中心的“关联线段”，求 的值；
（3）在 中，，，若 是 的以点 为中心的“关联线段”，直接写出 的最小值和最大值，以及相应的 长．
答案
第一部分
1. B【解析】 圆柱的展开图为两个圆和一个长方形，
展开图可得此几何体为圆柱．
2. C【解析】将 用科学记数法表示应为 ．
3. A
4. D【解析】A．三角形的内角和为 ；
B．四边形的内角和为 ；
C．五边形的内角和为：；
D．六边形的内角和为：．
5. B
6. B【解析】，
，
．
7. C【解析】画树形图得：
由树形图可知共 种等可能的结果，一枚硬币正面向上，一枚硬币反面向上的有 种结果，
一枚硬币正面向上，一枚硬币反面向上的的概率为 ．
8. A【解析】由题意得，，
，
，即 与 是一次函数关系．
，
矩形面积满足的函数关系为 ，即满足二次函数关系．
第二部分
9.
10.
11.
12.
13.
【解析】 反比例函数 的图象经过点 和点 ，
，解得 ，即 的值为 ．
14.
【解析】这个条件可以是 ，
理由：
四边形 是矩形，
，即 ，
，
四边形 是平行四边形，
，
四边形 是菱形．
15.
【解析】，
，
，
，
，
．
16. ，
【解析】设分配到A生产线的吨数为 吨，则分配到B生产线的吨数为 吨，
依题意可得：，
解得：，
所以分配到B生产线的吨数为 （吨），
所以分配到A生产线的吨数与分配到B生产线的吨数的比为 ；
所以第二天开工时，给A生产线分配了 吨原材料，给B生产线分配了 吨原材料，
因为加工时间相同，
所以 ，
解得：，
所以 ．
第三部分
17.
【解析】实数计算．
18.
19. ．
20. （1） ，
，
，
四边形 是平行四边形．
（2） ，
，
，，
，
，
平分 ，，，
，
由（）得：四边形 是平行四边形，
．
21. （1） 如图，点 即为所求．
（2） ；三线合一
22. （1） ，，，
．
无论 取何值时，，即 ，
原方程总有两个实数根．
（2） ，即 ，
，．
，且该方程的两个实数根的差为 ，
，
．
23. （1）
（2）
24. （1） 是 的直径，，
，
．
（2） 在 中，，，
，
是 的直径，，
，
是 的直径，
，
，
，，
，
，
，即 ，解得：．
25. （1） 将甲城市抽取的 家邮政企业 月份的营业额从小到大排列，处在中间位置的一个数是 ，
因此中位数是 ，即 ．
（2） 由题意得 （家），
由于乙城市抽取的 家邮政企业 月份的营业额的平均数是 ，中位数是 ，
因此所抽取的 家邮政企业 月份营业额在 及以上的占一半，
也就是 的值要大于 ，
．
（3） （百万元），
答：乙城市 家邮政企业 月份的总收入约为 百万元．
26. （1） ，，
点 ， 在抛物线上，
将 ， 代入 得：

解得
，
抛物线对称轴为直线 ．
（2） ，
抛物线开口向上且经过原点，
当 时，抛物线顶点为原点， 时 随 增大而增大， 不满足题意，
当 时，抛物线对称轴在 轴左侧，同理， 不满足题意，
，抛物线对称轴在 轴右侧， 时 ， 时 ，
抛物线对称轴在直线 与直线 之间，
即 ，
点 与对称轴距离 ，
点 与对称轴距离 ，
点 与对称轴距离 ，
．
27. （1） ，．
易证 ．（手拉手模型）
（2） ．
方法 ：过点 作 ．
）易证 ；
）由 是 中点，得证．
（模型：角平分线对称 相似（中位线））
【解析】方法 ：模型：相似
方法 ：模型：角平分线对称 字相似（中位线）
方法 ：模型：角平分线对称 字相似（中位线）
方法 ：模型：角平分线对称 字相似（中位线）
28. （1）
【解析】由旋转的性质可知：，，，由图可知点 到圆上一点的距离 的范围为 ，
，
点 不可能在圆上，
不是 的以 为中心的“关联线段”，
，，
，，
是 的以 为中心的“关联线段”，
，，
当 在圆上时，，
由图可知此时 不在圆上，
不是 的以 为中心的“关联线段”．
（2） 是边长为 的等边三角形，
根据旋转的性质可知 也是边长为 的等边三角形，
，
轴，且 ，
为 边上的高的 倍，且此高的长为 ，
．
（3） 的最小值为 时，此时 的长为 ， 的最大值为 ，此时 的长为
【解析】由旋转的性质和“关联线段”的定义，可知 ，，如图 ，
利用四边形的不稳定性可知，
当 ，， 在同一直线上时， 最小，最小值为 ，如图 ，
此时 ，
，
．
当 ，， 在同一直线上时， 最大，如图 ，
此时 ，过点 作 于 ，过点 作 于 ．
，，
，
，
，
，
，
，
．
综上 的最小值为 时，此时 的长为 ， 的最大值为 ，此时 的长为 ．