2020-2021学年广东省深圳市龙岗区八下期中数学试卷

这是一份2020-2021学年广东省深圳市龙岗区八下期中数学试卷，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1. 下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是
A. B.
C. D.

2. 年 月，华为在深圳发布《华为创新和知识产权白皮书 》，华为对遵循 标准的单台手机专利许可费不高于 美元，则下面表示专利许可费 的不等关系正确的是
A. B. C. D.

3. 下列交通标识中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是
A. B.
C. D.

4. 已知 ，下列不等式中，变形正确的是
A. B. C. D.

5. 不等式组 的解集在数轴上表示正确的是
A. B.
C. D.

6. 在一次绿色环保知识竞赛中，共有 道题，对于每一道题，答对得 分，答错或不答扣 分，则至少答对多少题，得分才不低于 分．设答对 题，可列不等式为
A. B.
C. D.

7. 下列说法，正确的是
A. 一个三角形两边的垂直平分线的交点到这个三角形三边的距离相等
B. “若 ， 则 ”的逆命题是真命题
C. 在角的内部到角的两边距离相等的点一定在这个角的平分线上
D. 用反证法证明“三角形中必有一个角不大于 ”，先假设这个三角形中有一个内角大于

8. 如图，已知在 中， 为 边上的高线， 平分 ，交 于点 ，，，则 的面积等于
A. B. C. D.

9. 如图，在 中，，，尺规作图如下：分别以点 ，点 为圆心，大于 为半径作弧，连接两弧交点的直线交 于点 ，连接 ，则 的度数为
A. B. C. D.

10. 如图，点 为定角 平分线上的一个定点，且 与 互补，且 ．若 在绕点 旋转的过程中，其两边分别与 ， 相交于 ， 两点，则以下结论：① ；② 的值不变；③ 的长不变；④四边形 的面积不变，其中，正确结论的是
A. ①②③B. ①②④C. ①③④D. ②③④

二、填空题
11. 分解因式： ．

12. 等腰三角形的一个内角为 ，则这个等腰三角形的顶角为 ．

13. 某商店对一商品进行促销活动，将定价为 元的商品，按以下方式优惠销售：若购买不超过 件按原价付款；若一次性购买 件以上，超过部分打 折．现有 元钱，最多可以购买该商品 件．

14. 如图，已知函数 和 的图象交于点 ， 点 的横坐标为 ，则关于 的不等式 的解集是 ．

15. 如图，在 中，，，，点 是 的中点，点 是边 上的一动点，沿 所在直线把 翻折到 的位置， 交 于点 ，若 是直角三角形，则 的长为 ．

三、解答题
16. 因式分解．
（1）．
（2）．

17. 解不等式（组）．
（1）．
（2）

18. 按要求画图及填空：在由边长为 个单位长度的小正方形组成的网格中建立如图所示平面直角坐标系，原点 及 的顶点都在格点上．
（1）图中线段 的长度为 ；
（2）将 先向下平移 个单位长度，再向右平移 个单位长度得到 ，画出 ；
（3）将 绕点 逆时针旋转 ，画出旋转后得到的 ，直接写出点 ， 的坐标．

19. 如图，在 中，，点 ，， 分别在 ，， 边上，且 ，．
（1）求证： 是等腰三角形；
（2）当 时，求 的度数．

20. 如图， 平分 ，，，垂足分别为点 ，，．
（1）求证：；
（2）如果 ，，求证 ．

21. 某公司在疫情复工准备工作中，为了贯彻落实“生命重于泰山、疫情就是命令、防控就是责任”的思想，计划同时购买一定数量的甲、乙品牌消毒液，若购进甲品牌消毒液 瓶和乙品牌消毒液 瓶，共需资金 元；若购进甲品牌消毒液 瓶和乙品牌消毒液 瓶，共需资金 元．
（1）甲、乙品牌消毒液的单价分别是多少元?
（2）该公司计划购进甲、乙品牌消毒液共 瓶，而可用于购买这两种商品的资金不超过 元，且要求购买甲品牌消毒液的数量不少于乙品牌消毒液数量的一半．试问：该公司有哪几种购买方案?哪种方案花费资金最少?

22. 如图 ， 在平面直角坐标系中，直线 与 轴， 轴相交于 ， 两点，动点 在线段 上，将线段 绕着点 顺时针旋转 得到 ，此时点 恰好落在直线 上时，过点 作 轴于点 ．
（1）求证：；
（2）求经过 ， 两点的一次函数表达式．如图 ，将 沿 轴正方向平移得 ，当直线 经过点 时，求点 的坐标及 的面积；
（3）在 轴上是否存在点 ，使得以 ，， 为顶点的三角形是等腰三角形?若存在，请写出 点的坐标．
答案
第一部分
1. D【解析】选项A、B、C：结果不是乘积式，故选D．
2. C【解析】抓住不等关系词“不高于”列不等式，故选C．
3. D
4. C【解析】依不等式性质 可判别选项A错误，依不等式性质 可判别选B，D错误，故选C．
5. A
【解析】解得不等式组得
故选A．
6. A【解析】依不等关系式“对的题数 每题得分 错的题数 每题扣分 ”列不等式．
7. C【解析】选项A：一个三角形两边的角平分线的交点到这个三角形三边的距离相等；
选项B：当 ， 时不成立，故逆命题是假命题；
选项D：用反证法证明“三角形中必有一个角不大于 ”，先假设这个三角形中每一个都大于 ．
8. B【解析】作 于点 ，
由角平分线性质可得 ，
则 的面积 ．
9. D【解析】由作法可知作的是线段 的垂直平分线，则 ，，由外角性质可得 ，
，
10. B
【解析】数学典型模型“对角互补”模型：作 于点 ，作 于点 ，
（）由 是角平分线可得 ，
由四边形内角和 可得 ，
，
，
，
，
，
；①正确；
（）由 可得 ，
由 可得 ，则 ，
在 中，
，
，
，
点 为定角 平分线上的一个定点， 是定长，
的值不变，②正确；
（）由 及 可知 是等边三角形，，
由于 ， 是动点，故 长在变化，③错误；
（）由 可知 ，由 可得 ，则

在 中，由 可得 ，，，
长是定值，
四边形 的面积不变，④正确；
综上所述，正确结论为①②④，故选B．
第二部分
11.
12. 或
【解析】分 可以是顶点或底角两种情况分别进行计算，可得顶角为 或 ．
13.
【解析】总价 元，说明购买件数超过 件，即其中 件按原价、剩下打 折后的总价，设可买 件，，解得 ，则最多购买该商品 件．
14.
【解析】直接看图得结果．不等式 的解集，即是函数 的图象在函数 图象上方那条射线的 的取值范围：．
15. 或
【解析】数学典范题型：“折叠问题”，
解题方法：“，，”，
此题属“”种题型变化中的“折过去的图形未知时要分类讨论”，
是直角三角形，分以下两种情况分别论证计算：
①当 时，如图 ，
由勾股定理可得 ，可知 ，
在 中，由 ， 可得 ，，则 ，
在 中，由折叠性质可得 ，则 ，
；
② ，如图 ，连接 ，
则 ，由 易证 ，则 ，
易得 ，只需求出 长便可得 长，
而 必须放在 中才能发挥作业，故作 于点 ，
设 ，则 ，，
则 ，，则 ，
在 中，由 可得 ，
解得 ，即 ．
综上所述， 的长为 或 ．
第三部分
16. （1） ．
（2） ．
17. （1） 原不等式可变形为：
即
解得
（2） 由①可得：
由②可得：
不等式组的解集为
18. （1）
【解析】由勾股定理可直接得出 ．
（2） 如图所示：
（3） 如图所示，
，．
19. （1） 由 ，，，易证 ，可得 ，则 是等腰三角形；
（2） 数学典型模型：“一线三等角”模型；
由 可得 ，由外角性质可得 ，即 ，
由 可得 ，
．
20. （1） 由角平分线性质可得 ，
由 ，，
可证 ，
可得 ；
（2） 数学典型模型：“”，
由 是角平分线，，
易证 ，
则 ，
由外角性质可得 ，
在 中，
由性质“ 所对直角边等于斜边的一半”可得 ，
由（）可知 ，
，
即 ．
21. （1） 设甲品牌消毒液的单价是 元，乙品牌消毒液的单价是 元，由等量关系式“ 甲 乙 ， 甲 乙 ”列方程组，得
解得
甲品牌消毒液的单价是 元，乙品牌消毒液的单价是 元．
（2） 设购进甲品牌消毒液 瓶，则购进乙品牌消毒液 瓶，由不等关系式“甲总钱 乙总钱 ，甲数量 乙数量的一半”列不等式组，得
解得
为整数，
可取 ，，，，
设购买消毒液共花费 元，则 ，
， 随 的增大而增大，
时， 有最小值，最小值为 元，此时 （瓶）．
共有 种购买方案，其中花费最少的是购进甲品牌消毒液 瓶，购进乙品牌消毒液 瓶．
22. （1） 数学典型模型“一线三垂直”模型，由 ，，，可证 ；
（2） 由 ， 坐标及待定系数法可得直线 的解析式为：．
由（）的 可得 ， ，
设 ，则 ，，
则 点的坐标为 ，代入 中可得 ，
则 点坐标为 ，，由勾股定理可得 ，
由平移性质可知：．
（3） “两圆一线”解题．
①当 时，以点 为圆心， 为半径画圆，交 轴于 ，，如图 ，可得 ，；
②当 时，以点 为圆心， 为半径画圆，交 轴于 ，如图 ，作 轴于 ，则 ，可得 ；
③当 时，作线段 的垂直平分线，交 于点 ，交 轴于 ，如图 ，
由 ， 两点坐标可得直线 的解析式为 ，
由 可设直线 的解析式为 ，
由 点是 ， 中点及中点坐标公式可得 ， 代入 中，可得直线 的解析式为 ，
当 时 ，
所以 ，
综上所述， 点坐标为 ，， 或 ．