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2020-2021学年重庆一中九年级（上）第一次月考数学试卷
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这是一份2020-2021学年重庆一中九年级（上）第一次月考数学试卷，共35页。
2020-2021学年重庆一中九年级（上）第一次月考数学试卷
一.选择题：（本大题12个小题，每小题4分共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A.B.c.D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卷上题号右创正确答案所对应的方框涂黑.
1．（4分）相反数是（ ）
A．﹣ B．2 C．﹣2 D．
2．（4分）下列图形是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．（4分）计算：a4•a2＝（ ）
A．a2 B．a6 C．a8 D．a
4．（4分）抛物线y＝﹣x2+2的对称轴是（ ）
A．直线x＝﹣2 B．直线x＝﹣1 C．y轴 D．直线x＝2
5．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，AB＝，则tanB的值是（ ）
A． B．2 C． D．
6．（4分）已知x＝2是一元二次方程x2+ax+b＝0的解，则4a+2b+1的值是（ ）
A．﹣6 B．﹣8 C．﹣5 D．﹣7
7．（4分）清朝数学家梅文鼎的著作《方程论》中记载着这样的一个问题：山田三亩，场地六亩，共折输粮实田四亩七分；又有山田五亩，场地三亩，共折输粮实田五亩五分．问每亩山田折实田多少，每亩场地折实田多少？转换作现代语言就是：山田3亩，场地6亩，产粮总量相当于实田4.7亩；又有山田5亩，场地3亩，产粮总量相当于实田5.5亩，问每亩山田和每亩场地产粮各相当于实田多少亩？设每亩山田产粮相当于实田x亩，每亩场地产粮相当于实田y亩，则根据题意（ ）
A． B．
C． D．
8．（4分）如图，△ABC和△A′B′C′是位似图形，点O是位似中心，AC＝2A′C′，若点B的坐标为（﹣4，﹣2），则B′的坐标为（ ）
A．（4，2） B．（2，4） C．（2，1） D．（﹣4，2）
9．（4分）如图，小妮在大楼的观测点F处，测得建筑物AB的顶端B的仰角为34°，测得另一建筑物CD的顶端D的俯角为61.8°．已知AB＝120米，CD＝50米，AC＝60米，建筑物AB，CD，EF与地面AC垂直，点A，B，C，D，E，F在同一平面内，且点A，C，E在同一直线上，则CE的距离约为（ ）
（精确到0.1米，参考数据：sin34°≈0.56，cos34°≈0.83，tan34°≈0.67，sin61.8°≈0.88，cos61.8°≈0.47，tan61.8°≈1.87）
A．24.8米 B．26.2米 C．28.2米 D．30.3米
10．（4分）若关于x的分式方程＝﹣的解为正数，且关于y的不等式组无解，则符合条件的所有整数m的和为（ ）
A．9 B．11 C．12 D．14
11．（4分）如图，在△ABC中，AB＝17，AC＝10，BC＝21，将边AC沿着AD进行折叠，使得点C落在BC上的点C′处，再将边AB沿着AE进行折叠，点B恰好落在AD延长线上的点B′处，则线段EC′的长度为（ ）
A． B． C． D．
12．（4分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1，与x轴相交于点A（x1，0），其中﹣3＜x1＜﹣2，则下列说法正确的是（ ）
A．abc＜0 B．a+b+c＞0 C．3a+c＞0 D．3b+2c＜0
二、填空题：（本大题共8小题，每小题3分共24分）请将下列各题的正确答案填写在答题卷中对应的横线上.
13．（3分）计算：（1﹣）0﹣（）﹣1＝ ．
14．（3分）根据如图所示的程序变换二次函数图象，输出变换后图象的函数表达式．若输入的二次函数表达式为y＝﹣3（x+2）2+1，则输出的二次函数图象的顶点坐标为 ．
15．（3分）一个不透明的盒子中装有12个红球和若干个白球，这两种球除了颜色外完全相同．小明为了解盒子内白球的数量，采取了以下办法：每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在0.4左右，估计盒子中白球的个数为 个．
16．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝3，BC＝2，∠ABC的平分线BD交AC于点E，若BC＝CD，则△ABE的面积为 ．
17．（3分）当0≤x≤3时，则二次函数y＝x2﹣2x+4的最大值为 ．
18．（3分）如图，在正方形ABCD中点E是BC上一点，点F是CD延长线上一点，连接AE，AF，EF．点P是EF的中点，连接CP，DP，若AE＝AF，∠CPD＝104°，则∠AEB的度数为 度．
19．（3分）A，B两地相距2400米，甲、乙两人同时从A地出发，匀速向B地同向而行，到达B地后停止．出发10分钟后，甲沿原路以原速的倍返回A地取重要物品，取到物品后甲立即保持此速度匀速前往B地（取物品的时间忽略不计），结果甲先到达B地．在整个行走过程中，甲、乙两人相距的路程y（米）与乙运动的时间x（分钟）之间的关系如图所示，下列结论中正确的是 （请填写正确的序号）．
①乙的速度为40米/分钟；
②点C的横坐标为10；
⑧甲再次从A地出发到追上乙，用了35分钟；
④甲到达B地时，乙与B地的距离为500米．
20．（3分）新学伊始，班主任唐老师安排生活委员小彤和小志去采购班级的防疫物资：口罩若干盒，洗手液和消毒液各若干瓶．临行前，班主任唐老师特意叮嘱：洗手液的数量要大于消毒液的数量，但不能超过消毒液数量的两倍．已知本次采购的口罩价格为36元/盒，洗手液和消毒液价格均为18元/瓶，总共花费了1224元．其中口罩的盒数恰好是洗手液和消毒液瓶数之积的四分之一，则本次采购了洗手液 瓶．
三、解答题（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卷中对应的位置上．
21．（10分）计算：
（1）（2x+y）2﹣x（x+4y）；
（2）（﹣a﹣2）÷．
22．（10分）如图，在平行四边形ABCD中，点E，F是对角线BD上的两点，∠EAD＝∠FCB＝90°．
（1）求证：AF∥CE；
（2）若AE＝，AD＝2AE，EF＝2，求线段BD的长度．
23．（10分）珍爱生命，增强安全意识，让快乐与幸福伴随我们的童年．新学期开始，重庆一中开展“开学安全第一课”知识竞赛，并从初一、高一年级各随机抽取10名学生的竞赛成绩进行统计．整理如下：
高一年级抽取的学生竞赛成绩：80，60，80，90，80，90，90，50，100，90．
初一、高一年级抽取的学生竞赛成绩统计表
年级
平均数
众数
中位数
初一
81
70
80
高一
81
a
b
根据以上信息，解答下列问题：
（1）直接写出上述表中的a，b的值；
（2）该校初一的2000名学生和高一的1000名学生参加了此次竞赛活动，请估计这两个年级竞赛成绩达到90分及以上的学生共有多少名？
（3）根据以上数据分析，从一个方面评价两个年级“开学安全第一课”知识竞赛的学生成绩谁更优秀．
24．（10分）在数学中，我们常常把各个数位上的数字之和为10的整数倍的多位数称作“完美数”．
定义：对于一个自然数，如果这个数的各个数位上的数字之和为10的整数倍，则称这个数为“完美数”．
例如：4+6＝10，1+4+8+7＝20，因为10，20是10的整数倍，所以46，1487都是“完美数”；
4+5＝9，1+4+3+6＝14，因为9，14不是10的整数倍，所以45，1436都不是“完美数”．
（1）判断37和2258是否为“完美数”？并说明理由；
（2）求出大于100且小于300的“完美数”的个数，并说明理由．
25．（10分）在探究函数的性质时，我们通过列表、描点、连线画出函数的图象，并结合函数的图象研究函数的性质．结合已有的学习经验，请画出函数y＝的图象并探究该函数的性质．
…
﹣6
﹣5
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
﹣
0
1
2
3
4
5
6
…
…
a
4
2
0
2
b
…
（1）直接写出表中的a，b的值，并在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象；
（2）观察函数图象，判断下列关于该函数的性质的说法是否正确；
①该函数y＝的图象关于y轴对称；
②该函数在自变量的取值范围内有最大值和最小值；
③当x＞0时，y随x的增大而增大；当x＜0时y随x的增大而减小．
（3）请画出函数y＝x+的图象，结合你所画的函数图象，直接写出不等式＞x+的解集．
26．（10分）9月17日，2020线上中国国际智能产业博览会在重庆圆满落幕，截至目前，重庆已实施2265个智能化项目；改造，建成67个智能工厂和359个数字化车间．某工厂甲、乙两条生产线进行了数字化改造．改造前甲、乙生产线每天均工作8小时，其中甲生产线每小时比乙生产线多生产20个半导体元器件，两条生产线一天共生产640个．
（1）请求出甲、乙两条生产线在改造前每小时分别生产多少个半导体元器件？
（2）甲、乙两条生产线数字化改造后，每小时的生产个数比改造前分别增加m%和2m%，甲生产线每天工作时间比改造前增加m%，乙生产线每天工作时间不变，甲、乙两条生产线每天生产总个数比改造前增加m%，求m的值．
27．（10分）如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（﹣，0），B（3，0）（点A在点B左侧），与y轴交于点C．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）点E为直线BC上方抛物线上的任意一点，连接BE，CE，求四边形BOCE面积的最大值及此时点E的坐标；
（3）如图2，点D为抛物线的顶点，将抛物线向右平移一定的距离，点D的对应点为点D′，在平面直角坐标系中，是否存在另一个点H，使以点B，C，D'，H为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出点H的坐标；若不存在，请说明理由．
四、解答题：（本大题1个小题8分）请把答案写在答题卷上对应的空白处，解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤．
28．（8分）如图所示，正方形ABCD和正方形AEFG共顶点A，正方形ABCD绕点A顺时针方向旋转，连接DG，BE，BE与AC相交于点H．
（1）如图1，在旋转过程中，当G，A，H，C恰好在同一直线上时，若AE＝，AB＝2，求线段DG的长；
（2）如图2，连接HG，在旋转过程中，若∠DGH＝2∠ABE，求证：HG＝HB；
（3）如图3，BE与DG相交于点O，点K为线段AG上一点，连接OK，若AE＝3，AK＝1，在旋转过程中，直接写出线段OK的最小值．
2020-2021学年重庆一中九年级（上）第一次月考数学试卷
参考答案与试题解析
一.选择题：（本大题12个小题，每小题4分共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A.B.c.D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卷上题号右创正确答案所对应的方框涂黑.
1．（4分）相反数是（ ）
A．﹣ B．2 C．﹣2 D．
【分析】一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号．的相反数是﹣．
【解答】解：的相反数是﹣，
故选：A．
2．（4分）下列图形是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形的概念判断即可．
【解答】解：A、不是轴对称图形；
B、不是轴对称图形；
C、是轴对称图形；
D、不是轴对称图形；
故选：C．
3．（4分）计算：a4•a2＝（ ）
A．a2 B．a6 C．a8 D．a
【分析】利用同底数幂的乘法法则进行计算即可．
【解答】解：原式＝a4+2＝a6，
故选：B．
4．（4分）抛物线y＝﹣x2+2的对称轴是（ ）
A．直线x＝﹣2 B．直线x＝﹣1 C．y轴 D．直线x＝2
【分析】根据二次函数的性质解决．
【解答】解：抛物线y＝﹣x2+2的对称轴是y轴．
故选：C．
5．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，AB＝，则tanB的值是（ ）
A． B．2 C． D．
【分析】根据勾股定理求出BC，根据正切的定义解答即可．
【解答】解：由勾股定理得，BC＝＝＝2，
则tanB＝＝，
故选：A．
6．（4分）已知x＝2是一元二次方程x2+ax+b＝0的解，则4a+2b+1的值是（ ）
A．﹣6 B．﹣8 C．﹣5 D．﹣7
【分析】把方程的解代入方程，求得2a+b的值，然后整体代人即可．
【解答】解：∵x＝2是一元二次方程x2+ax+b＝0的解，
∴4+2a+b＝0，
∴2a+b＝﹣4，
∴4a+2b+1＝2（2a+b）+1＝2×（﹣4）+1＝﹣7，
故选：D．
7．（4分）清朝数学家梅文鼎的著作《方程论》中记载着这样的一个问题：山田三亩，场地六亩，共折输粮实田四亩七分；又有山田五亩，场地三亩，共折输粮实田五亩五分．问每亩山田折实田多少，每亩场地折实田多少？转换作现代语言就是：山田3亩，场地6亩，产粮总量相当于实田4.7亩；又有山田5亩，场地3亩，产粮总量相当于实田5.5亩，问每亩山田和每亩场地产粮各相当于实田多少亩？设每亩山田产粮相当于实田x亩，每亩场地产粮相当于实田y亩，则根据题意（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据“山田3亩，场地6亩，产粮总量相当于实田4.7亩；又有山田5亩，场地3亩，产粮总量相当于实田5.5亩”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
【解答】解：依题意得：．
故选：B．
8．（4分）如图，△ABC和△A′B′C′是位似图形，点O是位似中心，AC＝2A′C′，若点B的坐标为（﹣4，﹣2），则B′的坐标为（ ）
A．（4，2） B．（2，4） C．（2，1） D．（﹣4，2）
【分析】根据位似图形的概念得到△ABC∽△A′B′C′，根据题意求出相似比，根据位似变换的性质计算即可．
【解答】解：∵△ABC和△A′B′C′是位似图形，
∴△ABC∽△A′B′C′，
∵AC＝2A′C′，
∴△ABC与△A′B′C′的相似比为2：1，
∵△ABC和△A′B′C′是位似图形，点O是位似中心，相似比为2：1，点B的坐标为（﹣4，﹣2），
∴B′的坐标为（4×，2×），即（2，1），
故选：C．
9．（4分）如图，小妮在大楼的观测点F处，测得建筑物AB的顶端B的仰角为34°，测得另一建筑物CD的顶端D的俯角为61.8°．已知AB＝120米，CD＝50米，AC＝60米，建筑物AB，CD，EF与地面AC垂直，点A，B，C，D，E，F在同一平面内，且点A，C，E在同一直线上，则CE的距离约为（ ）
（精确到0.1米，参考数据：sin34°≈0.56，cos34°≈0.83，tan34°≈0.67，sin61.8°≈0.88，cos61.8°≈0.47，tan61.8°≈1.87）
A．24.8米 B．26.2米 C．28.2米 D．30.3米
【分析】直接利用锐角三角函数关系表示出各边长，进而得出EC的长．
【解答】解：过点D作DM⊥EF于点M，过点F作FN⊥AB于点N，
由题意可得：EC＝DM，
设EC＝x，
则tan61.8°＝＝≈1.87，
故FM＝1.87x米，
则FN＝（60﹣x）米，BN＝120﹣50﹣1.87x＝（70﹣1.87x）米，
故tan34°＝＝≈0.67，
解得：x≈24.8，
故选：A．
10．（4分）若关于x的分式方程＝﹣的解为正数，且关于y的不等式组无解，则符合条件的所有整数m的和为（ ）
A．9 B．11 C．12 D．14
【分析】先解出分式方程的根，根据根为正数，且x﹣1≠0，x﹣3≠0，得到m的范围；解不等式组，根据不等式组无解，列出不等式，求得m的范围，结合前面结论确定m的最终范围，得到符合条件的整数m的值，求和即可．
【解答】解：分式方程两边都乘以（x﹣1）（x﹣3）得：x﹣3＝x﹣m﹣3（x﹣1），
x﹣3＝x﹣m﹣3x+3，
3x＝6﹣m，
x＝．
∵方程的解为正数，且x﹣1≠0，x﹣3≠0，
∴0，且，，
解得：m＜6，且m≠±3；
，
解不等式①得：y＜2﹣4m，
解不等式②得：y≥﹣6，
∵不等式组无解，
∴2﹣4m≤﹣6，
解得：m≥2．
∴2≤m＜6且m≠±3，
∴符合条件的整数m有：2，4，5，和为11．
故选：B．
11．（4分）如图，在△ABC中，AB＝17，AC＝10，BC＝21，将边AC沿着AD进行折叠，使得点C落在BC上的点C′处，再将边AB沿着AE进行折叠，点B恰好落在AD延长线上的点B′处，则线段EC′的长度为（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据翻折知AC＝AC′，CD＝CD′，则AD⊥CD，设CD＝x，BD＝21﹣x，勾股定理列出方程，解得CD＝6，BD＝15，AD＝8，作EF⊥AB，通过HL证明Rt△ABD≌Rt△AEF得AD＝AF＝8，设EC′＝y，DE＝6﹣y＝EF，在Rt△EFB中，利用勾股定理列出方程，求解即可．
【解答】解：∵AC＝AC′，CD＝CD′，
∴AD⊥CD，
设CD＝x，BD＝21﹣x，
∴AD2＝AC2﹣CD2＝AB2﹣BD2，
∴102﹣x2＝172﹣（21﹣x）2，
解得x＝6，
∴CD＝C′D＝6，BD＝21﹣6＝15，
AD＝＝8，
∵将边AB沿着AE进行折叠，点B恰好落在AD延长线上的点B′处，
∴AE平分∠B′AB，作EF⊥AB，
∴DE＝EF，
在Rt△ABD和Rt△AEF中，
，
∴Rt△ABD≌Rt△AEF（HL），
∴AD＝AF＝8，
∴BF＝17﹣8＝9，BC′＝21﹣12＝9，
设EC′＝y，DE＝6﹣y＝EF，
在Rt△EFB中，由勾股定理得：
（9+y）2＝（6﹣y）2+92，
解得y＝，
∴EC′＝，
故选：D．
12．（4分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1，与x轴相交于点A（x1，0），其中﹣3＜x1＜﹣2，则下列说法正确的是（ ）
A．abc＜0 B．a+b+c＞0 C．3a+c＞0 D．3b+2c＜0
【分析】根据函数图象和性质逐个求解即可．
【解答】解：A．抛物线的对称轴在y轴右侧，则ab＞0，而c＞0，故abc＞0，故A错误，不符合题意；
B．函数的对称轴为直线x＝﹣1＝﹣，即b＝2a，﹣3＜x1＜﹣2，设抛物线与x轴的另外一个交点x2，则0＜x2＜1，
故x＝1时，y＜0，即a+b+c＜0，故B错误，不符合题意；
C．由B知，a+b+c＜0，b＝2a，则3a+c＜0，故C错误，不符合题意；
D．由C知，3a+c＜0，而b＝2a，即3b+2c＜0，正确，符合题意．
故选：D．
二、填空题：（本大题共8小题，每小题3分共24分）请将下列各题的正确答案填写在答题卷中对应的横线上.
13．（3分）计算：（1﹣）0﹣（）﹣1＝ ﹣2 ．
【分析】依据零指数幂以及负整数指数幂，即可得到计算结果．
【解答】解：（1﹣）0﹣（）﹣1＝1﹣3＝﹣2．
故答案为：﹣2．
14．（3分）根据如图所示的程序变换二次函数图象，输出变换后图象的函数表达式．若输入的二次函数表达式为y＝﹣3（x+2）2+1，则输出的二次函数图象的顶点坐标为 （﹣2，﹣1） ．
【分析】根据“上加下减”规律解答．
【解答】解：∵抛物线y＝﹣3（x+2）2+1的开口方向向下，
∴将抛物线y＝﹣3（x+2）2+1向下平移2个单位，则平移后抛物线解析式是：y＝﹣3（x+2）2+1﹣2，即y＝﹣3（x+2）2﹣1．
∴该抛物线的顶点坐标是（﹣2，﹣1）．
故答案是：（﹣2，﹣1）．
15．（3分）一个不透明的盒子中装有12个红球和若干个白球，这两种球除了颜色外完全相同．小明为了解盒子内白球的数量，采取了以下办法：每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在0.4左右，估计盒子中白球的个数为 8 个．
【分析】设盒子中白球的个数为m个，根据利用频率估计概率得到摸到白球的概率为0.4，然后根据概率公式计算m的值．
【解答】解：设盒子中白球的个数为m个．
根据题意得＝0.4，
解得m＝8，
经检验，m＝8是分式方程的解，
所以这个不透明的盒子中白球的个数为8个，
故答案为：8．
16．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝3，BC＝2，∠ABC的平分线BD交AC于点E，若BC＝CD，则△ABE的面积为 ．
【分析】先由勾股定理求得AC的长，再求得△ABC的面积，然后判定AB∥CD，进而得出△ABE∽△CDE，从而得出AE和CE的比，最后利用等高三角形的性质求得答案即可．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝3，BC＝2，
∴AC＝＝＝，
∴△ABC的面积为：BC×AC＝×2×＝．
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE．
∵BC＝CD，
∴CD＝2，∠CBE＝∠CDE，
∴∠ABE＝∠CDE，
∴AB∥CD，
∴△ABE∽△CDE，
∴AE：CE＝AB：CD＝3：2，
∴△ABE的面积为：×＝．
故答案为：．
17．（3分）当0≤x≤3时，则二次函数y＝x2﹣2x+4的最大值为 7 ．
【分析】已知函数y＝y＝x2﹣2x+4，将其化为顶点式为y＝（x﹣1）2+3，考虑0≤x≤3，即可求解此题．
【解答】解：将标准式化为两点式为y＝（x﹣1）2+3，（0≤x≤3）
∵对称轴是x＝1，开口向上，离对称轴越远越大，
∴当x＝3时，有最大值：y＝4+3＝7，
故答案为：7．
18．（3分）如图，在正方形ABCD中点E是BC上一点，点F是CD延长线上一点，连接AE，AF，EF．点P是EF的中点，连接CP，DP，若AE＝AF，∠CPD＝104°，则∠AEB的度数为 76 度．
【分析】连接AP，通过HL证明△ABE≌△ADF，进而得到∠EAF＝90°，根据点P是EF的中点，得到AP＝CP，通过SSS证明△APD≌△CPD得到∠PDC＝45°，进而求出∠DCP的度数，进而得到∠EAD的度数，进而可求．
【解答】解：连接AP，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠B＝∠ADC＝∠ADF＝90°，AB＝AD，
在Rt△ABE和Rt△ADF中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），
∴∠BAE＝∠DAF；
∵∠BAE+∠EAD＝90°，
∴∠DAF+∠EAD＝90°，
即∠EAF＝90°，
∵P为EF中点，
∴AP＝EF，
∵∠ECF＝90°，P为EF中点，
∴CP＝PF＝EF，
∴AP＝CP，
在△APD和△CPD中，
，
∴△APD≌△CPD（SSS），
∴∠DAP＝∠DCP，∠ADP＝∠CDP，
∵∠ADC＝90°，
∴∠CDP＝45°，
∴∠DAP＝∠PCD＝180°﹣∠CPD﹣∠CDP＝31°，
∵∠EAF＝90°，AE＝AF，P为EF中点，
∴∠PAE＝45°，
∴∠DAE＝∠PAE+∠PAD＝76°，
∴∠AEB＝∠DAE＝76°，
故答案为：76．
19．（3分）A，B两地相距2400米，甲、乙两人同时从A地出发，匀速向B地同向而行，到达B地后停止．出发10分钟后，甲沿原路以原速的倍返回A地取重要物品，取到物品后甲立即保持此速度匀速前往B地（取物品的时间忽略不计），结果甲先到达B地．在整个行走过程中，甲、乙两人相距的路程y（米）与乙运动的时间x（分钟）之间的关系如图所示，下列结论中正确的是 ①②④ （请填写正确的序号）．
①乙的速度为40米/分钟；
②点C的横坐标为10；
⑧甲再次从A地出发到追上乙，用了35分钟；
④甲到达B地时，乙与B地的距离为500米．
【分析】根据题意可以求出甲乙两人的速度，然后根据函数图象和题意对各个结论分别判断即可．
【解答】解：乙用60分钟到B地，则乙的速度为：2400÷60＝40（米/分钟），故①结论正确；
C点，甲准备返回A地的点，则C横坐标为10，故②结论正确；
甲的速度为：200÷10＝20（米/分钟），
则甲原来的速度为：20+40＝60（米/分钟），
由图可知，D点开始，甲乙距离开始缩小，说明甲开始从A地出发去追乙了，
此时D点，乙离A地有17.5×40＝700（米），
则甲追上乙用了：（分钟），故③结论错误；
甲从A地再次出发到达B地用时：（分钟），
此时乙走了：30+17.5＝47.5（分钟），距离B地还有：2400﹣40÷47.5＝500（米），故④结论正确；
故答案为①②④．
20．（3分）新学伊始，班主任唐老师安排生活委员小彤和小志去采购班级的防疫物资：口罩若干盒，洗手液和消毒液各若干瓶．临行前，班主任唐老师特意叮嘱：洗手液的数量要大于消毒液的数量，但不能超过消毒液数量的两倍．已知本次采购的口罩价格为36元/盒，洗手液和消毒液价格均为18元/瓶，总共花费了1224元．其中口罩的盒数恰好是洗手液和消毒液瓶数之积的四分之一，则本次采购了洗手液 12 瓶．
【分析】设本次采购了洗手液x瓶，消毒液y瓶，则采购了口罩盒，根据题意可得出关于x，y的方程，求出x＝．根据购进洗手液的数量要大于消毒液的数量，但不能超过消毒液数量的两倍，可得不等式组，解之即可得出y的取值范围，再结合x，y为非负整数，即可求解．
【解答】解：设本次采购了洗手液x瓶，消毒液y瓶，则采购了口罩盒，
依题意得：36×+18x+18y＝1224，
∴x＝．
∵购进洗手液的数量要大于消毒液的数量，但不能超过消毒液数量的两倍，
∴y＜≤2y，
∵y+2＞0，
∴，
解得：﹣2﹣2＜y＜2﹣2或y≥或≤，
∵x，y为非负整数，
∴y可取8，9这两个数，
代入x＝得，
当y＝8时，x＝12，
当y＝9时，x≈10.7（不合题意，舍去），
∴本次采购了洗手液12瓶．
故答案为：12．
三、解答题（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卷中对应的位置上．
21．（10分）计算：
（1）（2x+y）2﹣x（x+4y）；
（2）（﹣a﹣2）÷．
【分析】（1）根据完全平方公式和单项式乘多项式可以解答本题；
（2）根据分式的减法和除法可以解答本题．
【解答】解：（1）（2x+y）2﹣x（x+4y）
＝4x2+4xy+y2﹣x2﹣4xy
＝3x2+y2；
（2）（﹣a﹣2）÷
＝
＝
＝
＝﹣a（a﹣2）
＝﹣a2+2a．
22．（10分）如图，在平行四边形ABCD中，点E，F是对角线BD上的两点，∠EAD＝∠FCB＝90°．
（1）求证：AF∥CE；
（2）若AE＝，AD＝2AE，EF＝2，求线段BD的长度．
【分析】（1）由“ASA”可证△ADE≌△CBF，可得AE＝CF，∠AEF＝∠CFE，可证四边形AECF是平行四边形，可得结论；
（2）由勾股定理可求DE＝5，由全等三角形的性质可得DE＝BF＝5，即可求解．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴∠ADE＝∠CBD，
在△ADE和△CBF中，
，
∴△ADE≌△CBF（ASA），
∴AE＝CF，∠AEF＝∠CFE，
∴AE∥CF，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴AF∥CE；
（2）∵AE＝，AD＝2AE，
∴AD＝2，
∴DE＝＝＝5，
∵△ADE≌△CBF，
∴DE＝BF＝5，
∴BD＝DE+BF﹣EF＝8．
23．（10分）珍爱生命，增强安全意识，让快乐与幸福伴随我们的童年．新学期开始，重庆一中开展“开学安全第一课”知识竞赛，并从初一、高一年级各随机抽取10名学生的竞赛成绩进行统计．整理如下：
高一年级抽取的学生竞赛成绩：80，60，80，90，80，90，90，50，100，90．
初一、高一年级抽取的学生竞赛成绩统计表
年级
平均数
众数
中位数
初一
81
70
80
高一
81
a
b
根据以上信息，解答下列问题：
（1）直接写出上述表中的a，b的值；
（2）该校初一的2000名学生和高一的1000名学生参加了此次竞赛活动，请估计这两个年级竞赛成绩达到90分及以上的学生共有多少名？
（3）根据以上数据分析，从一个方面评价两个年级“开学安全第一课”知识竞赛的学生成绩谁更优秀．
【分析】（1）由高一年级抽取的学生竞赛成绩即可求解；
（2）利用样本估计总体思想求解可得；
（3）由高一的中位数高于初一的中位数，可得高一“开学安全第一课”知识竞赛的学生成绩谁更优秀．
【解答】解：（1）按照从小到大的顺序排列为50，60，80，80，80，90，90，90，90，100，一共10个数据，
则a＝90，b＝＝85．
故答案为：90，85；
（2）2000×+1000×＝1300（名）．
答：估计这两个年级竞赛成绩达到90分及以上的学生共有1300名；
（3）∵平均数相等，高一的中位数高于初一的中位数，
∴高一“开学安全第一课”知识竞赛的学生成绩谁更优秀．
24．（10分）在数学中，我们常常把各个数位上的数字之和为10的整数倍的多位数称作“完美数”．
定义：对于一个自然数，如果这个数的各个数位上的数字之和为10的整数倍，则称这个数为“完美数”．
例如：4+6＝10，1+4+8+7＝20，因为10，20是10的整数倍，所以46，1487都是“完美数”；
4+5＝9，1+4+3+6＝14，因为9，14不是10的整数倍，所以45，1436都不是“完美数”．
（1）判断37和2258是否为“完美数”？并说明理由；
（2）求出大于100且小于300的“完美数”的个数，并说明理由．
【分析】根据完美数的定义求解．
【解答】解：（1）∵3+7＝10，2+2+5+8＝17．
10是10的倍数，17不是10的倍数．
∴37是完美数，2258不是完美数．
（2）大于100且小于300的“完美数，其所有数字之和为10．
∵1+2+7＝10，1+3+6＝10，1+4+5＝10，1+5+4＝10，1+6+3＝10，1+7+2＝10，1+8+1＝10，1+9+0＝10，
2+1+7＝10，2+2+6＝10，2+3+5＝10，2+4+4＝10，2+5+3＝10，2+6+2＝10，2+7+1＝10，2+8＝0＝10.2+0+8＝10．
1+1+8＝10，1+0+9＝10，2+0+8＝10．
∴大于100且小于300的“完美数有：127，136，145，154，163，172，181，190，217，226，235，244，
253，262，271，280，109，118．，208，共19个．
∴大于100且小于300的“完美数“共19个．
25．（10分）在探究函数的性质时，我们通过列表、描点、连线画出函数的图象，并结合函数的图象研究函数的性质．结合已有的学习经验，请画出函数y＝的图象并探究该函数的性质．
…
﹣6
﹣5
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
﹣
0
1
2
3
4
5
6
…
…
a
4
2
0
2
b
…
（1）直接写出表中的a，b的值，并在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象；
（2）观察函数图象，判断下列关于该函数的性质的说法是否正确；
①该函数y＝的图象关于y轴对称；
②该函数在自变量的取值范围内有最大值和最小值；
③当x＞0时，y随x的增大而增大；当x＜0时y随x的增大而减小．
（3）请画出函数y＝x+的图象，结合你所画的函数图象，直接写出不等式＞x+的解集．
【分析】（1）将x＝﹣4，2分别代入解析式即可得y的值，再画出函数的图象；
（2）结合图象可从函数的增减性及对称性进行判断；
（3）根据图象求得即可．
【解答】解：（1）x＝﹣4、2分别代入y＝，得a＝＝，b＝＝4，
画出函数的图象如图：
，
故答案为：，4；
（2）根据函数图象：
①该函数y＝的图象关于y轴对称，说法正确；
②该函数在自变量的取值范围内有最大值和最小值，说法错误；
③当x＞0时，y随x的增大而增大；当x＜0时y随x的增大而减小，说法正确．
（3）由图象可知：不等式＞x+的解集为x＜﹣1或2＜x＜4．
26．（10分）9月17日，2020线上中国国际智能产业博览会在重庆圆满落幕，截至目前，重庆已实施2265个智能化项目；改造，建成67个智能工厂和359个数字化车间．某工厂甲、乙两条生产线进行了数字化改造．改造前甲、乙生产线每天均工作8小时，其中甲生产线每小时比乙生产线多生产20个半导体元器件，两条生产线一天共生产640个．
（1）请求出甲、乙两条生产线在改造前每小时分别生产多少个半导体元器件？
（2）甲、乙两条生产线数字化改造后，每小时的生产个数比改造前分别增加m%和2m%，甲生产线每天工作时间比改造前增加m%，乙生产线每天工作时间不变，甲、乙两条生产线每天生产总个数比改造前增加m%，求m的值．
【分析】（1）设甲生产线改造前每小时生产x个半导体元器件，乙生产线改造前每小时生产y个半导体元器件，根据“改造前甲、乙生产线每天均工作8小时，其中甲生产线每小时比乙生产线多生产20个半导体元器件，两条生产线一天共生产640个”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）根据改造后甲、乙两条生产线每天生产总个数比改造前增加m%，即可得出关于m的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解答】解：（1）设甲生产线改造前每小时生产x个半导体元器件，乙生产线改造前每小时生产y个半导体元器件，
依题意得：，
解得：．
答：甲生产线改造前每小时生产50个半导体元器件，乙生产线改造前每小时生产30个半导体元器件．
（2）依题意得：50（1+m%）×8（1+m%）+30（1+2m%）×8＝640（1+m%），
整理得：0.04m2﹣2m＝0
解得：m1＝50，m2＝0（不合题意，舍去）．
答：m的值为50．
27．（10分）如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（﹣，0），B（3，0）（点A在点B左侧），与y轴交于点C．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）点E为直线BC上方抛物线上的任意一点，连接BE，CE，求四边形BOCE面积的最大值及此时点E的坐标；
（3）如图2，点D为抛物线的顶点，将抛物线向右平移一定的距离，点D的对应点为点D′，在平面直角坐标系中，是否存在另一个点H，使以点B，C，D'，H为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出点H的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）过点E作x轴垂线交直线BC于点F，求出直线BC的表达式，设点E（t，﹣t2+t+3），F（t，﹣t+3）；结合E、F点的坐标得出EF的长，利用分割图形求面积法即可找出S四边形BOCE关于t的函数关系式，利用配方法以及二次函数的性质即可解决最值问题；
（3）题目给出的是菱形存在性问题，实际解答中转化为等腰三角形存在性问题，结合距离公式与中点公式进行作答即可．
【解答】（1）将点A，B代入抛物线表达式得：，
解得：，
∴抛物线表达式为：y＝﹣x2+x+3；
（2）过点E作x轴垂线交直线BC于点F，
如图1，四边形BOCE的面积由两部分构成即：S四边形BOCE＝S△BOC+S△BCE，
当x＝0时，y＝3，
∴点C坐标为（0，3），S△BOC＝BO•OC＝；
∵∴B（3，0），C（0，3），
∴直线BC表达式：y＝﹣x+3，
设点E（t，﹣t2+t+3），F（t，﹣t+3），
则EF＝﹣t2+t+3﹣（﹣t+3）＝﹣t2+t+3+t﹣3＝﹣t2+t，
∴S△BCE＝S△FCE+S△BEF＝×3×（﹣t2+t）＝﹣t2+t＝﹣（t﹣）2+，
当t＝时，S△BCE最大，即当点E（，）时，四边形BOCE面积的最大，
S四边形BOCE＝S△BOC+S△BCE＝+＝；
（3）如图2：
∵点D为抛物线y＝﹣x2+x+3的顶点，
∴D点坐标（，4），
∵B（3，0），C（0，3），
∴BC＝＝6，
①当D点平移到I点时，CI＝BI，
设点I坐标（m，4），
由距离公式易得：，
∴m＝，
∴I（，4），
∵四边形CIBH1是菱形，
∴CP＝BP，IP＝H1P，
∵B（3，0），C（0，3），
∴P（，），
∴H1（，﹣1）；
②当D点平移到J点时，CJ＝CB，设点J坐标（n，4），同理可得：，；
③当D点平移到K点时，CB＝BK；设点K坐标（k，4），同理可得：，其中（舍），．
综上所述：H点坐标为（，﹣1）或（+3，1）或（2，7）．
四、解答题：（本大题1个小题8分）请把答案写在答题卷上对应的空白处，解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤．
28．（8分）如图所示，正方形ABCD和正方形AEFG共顶点A，正方形ABCD绕点A顺时针方向旋转，连接DG，BE，BE与AC相交于点H．
（1）如图1，在旋转过程中，当G，A，H，C恰好在同一直线上时，若AE＝，AB＝2，求线段DG的长；
（2）如图2，连接HG，在旋转过程中，若∠DGH＝2∠ABE，求证：HG＝HB；
（3）如图3，BE与DG相交于点O，点K为线段AG上一点，连接OK，若AE＝3，AK＝1，在旋转过程中，直接写出线段OK的最小值．
【分析】（1）如图1中，过点D作DM⊥AC于M．解直角三角形求出GM，DM，利用勾股定理求出DG即可．
（2）如图2中，连接DH．利用全等三角形的性质证明∠ADG＝∠ABE，DH＝HB，∠ADH＝∠ABH，再证明∠HDG＝∠HGD可得结论．
（3）连接EG，取EG的中点T，连接OT，TK，过点T作TN⊥AG于N．解直角三角形求出TO，TK，根据OK≥TO﹣TK，可得结论．
【解答】（1）解：如图1中，过点D作DM⊥AC于M．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠AD＝CD＝AB＝2，∠ADC＝90°，
∴AC＝＝＝2，
∵DM⊥AC，
∴AM＝MC＝，
∴DM＝AC＝，
∵四边形AEFG是正方形，
∴AG＝AE＝，
∴GM＝AG+AM＝2，
∴DG＝＝＝．
（2）证明：如图2中，连接DH．
∵四边形ABCD，四边形EFGA都是正方形，
∴∠BAD＝∠EAG＝90°，AB＝AD，AE＝AG，
∴∠EAB＝∠GAD，
∴△EAB≌△GAD（SAS），
∴∠ABE＝∠ADG，
∵AD＝AB，∠DAH＝∠BAH＝45°，AH＝AH，
∴△AHB≌△AHD（SAS），
∴BH＝DH，∠ABH＝∠ADH，
∴∠ADH＝∠ADG，
∵∠HDA＝2∠ABE＝2∠ADG，
∴∠HGD＝∠HDG，
∴HG＝HD，
∴HB＝HG．
（3）解：连接EG，取EG的中点T，连接OT，TK，过点T作TN⊥AG于N．
由（3）可知△EAB≌△GAD，
∴∠DGA＝∠AEB，
∵∠EAG＝90°，
∴∠EOG＝90°，
∵四边形AEFG是正方形，
∴AE＝AG＝3，∠EAG＝90°，
∴EG＝＝＝3，
∵TE＝TG，
∴OT＝EG＝，
∵∠TNG＝90°，∠TGN＝45°，
∴TN＝GN＝，
∵AK＝1，AN＝AG﹣GN＝，
∴NK＝AN﹣AK＝，
∴TK＝＝＝，
∵OK≥OT﹣TK，
∴OK≥﹣，
∴OK的最小值为﹣．
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2020-2021学年重庆一中九年级（上）第一次月考数学试卷
一.选择题：（本大题12个小题，每小题4分共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A.B.c.D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卷上题号右创正确答案所对应的方框涂黑.
1．（4分）相反数是（ ）
A．﹣ B．2 C．﹣2 D．
2．（4分）下列图形是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．（4分）计算：a4•a2＝（ ）
A．a2 B．a6 C．a8 D．a
4．（4分）抛物线y＝﹣x2+2的对称轴是（ ）
A．直线x＝﹣2 B．直线x＝﹣1 C．y轴 D．直线x＝2
5．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，AB＝，则tanB的值是（ ）
A． B．2 C． D．
6．（4分）已知x＝2是一元二次方程x2+ax+b＝0的解，则4a+2b+1的值是（ ）
A．﹣6 B．﹣8 C．﹣5 D．﹣7
7．（4分）清朝数学家梅文鼎的著作《方程论》中记载着这样的一个问题：山田三亩，场地六亩，共折输粮实田四亩七分；又有山田五亩，场地三亩，共折输粮实田五亩五分．问每亩山田折实田多少，每亩场地折实田多少？转换作现代语言就是：山田3亩，场地6亩，产粮总量相当于实田4.7亩；又有山田5亩，场地3亩，产粮总量相当于实田5.5亩，问每亩山田和每亩场地产粮各相当于实田多少亩？设每亩山田产粮相当于实田x亩，每亩场地产粮相当于实田y亩，则根据题意（ ）
A． B．
C． D．
8．（4分）如图，△ABC和△A′B′C′是位似图形，点O是位似中心，AC＝2A′C′，若点B的坐标为（﹣4，﹣2），则B′的坐标为（ ）
A．（4，2） B．（2，4） C．（2，1） D．（﹣4，2）
9．（4分）如图，小妮在大楼的观测点F处，测得建筑物AB的顶端B的仰角为34°，测得另一建筑物CD的顶端D的俯角为61.8°．已知AB＝120米，CD＝50米，AC＝60米，建筑物AB，CD，EF与地面AC垂直，点A，B，C，D，E，F在同一平面内，且点A，C，E在同一直线上，则CE的距离约为（ ）
（精确到0.1米，参考数据：sin34°≈0.56，cos34°≈0.83，tan34°≈0.67，sin61.8°≈0.88，cos61.8°≈0.47，tan61.8°≈1.87）
A．24.8米 B．26.2米 C．28.2米 D．30.3米
10．（4分）若关于x的分式方程＝﹣的解为正数，且关于y的不等式组无解，则符合条件的所有整数m的和为（ ）
A．9 B．11 C．12 D．14
11．（4分）如图，在△ABC中，AB＝17，AC＝10，BC＝21，将边AC沿着AD进行折叠，使得点C落在BC上的点C′处，再将边AB沿着AE进行折叠，点B恰好落在AD延长线上的点B′处，则线段EC′的长度为（ ）
A． B． C． D．
12．（4分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1，与x轴相交于点A（x1，0），其中﹣3＜x1＜﹣2，则下列说法正确的是（ ）
A．abc＜0 B．a+b+c＞0 C．3a+c＞0 D．3b+2c＜0
二、填空题：（本大题共8小题，每小题3分共24分）请将下列各题的正确答案填写在答题卷中对应的横线上.
13．（3分）计算：（1﹣）0﹣（）﹣1＝ ．
14．（3分）根据如图所示的程序变换二次函数图象，输出变换后图象的函数表达式．若输入的二次函数表达式为y＝﹣3（x+2）2+1，则输出的二次函数图象的顶点坐标为 ．
15．（3分）一个不透明的盒子中装有12个红球和若干个白球，这两种球除了颜色外完全相同．小明为了解盒子内白球的数量，采取了以下办法：每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在0.4左右，估计盒子中白球的个数为 个．
16．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝3，BC＝2，∠ABC的平分线BD交AC于点E，若BC＝CD，则△ABE的面积为 ．
17．（3分）当0≤x≤3时，则二次函数y＝x2﹣2x+4的最大值为 ．
18．（3分）如图，在正方形ABCD中点E是BC上一点，点F是CD延长线上一点，连接AE，AF，EF．点P是EF的中点，连接CP，DP，若AE＝AF，∠CPD＝104°，则∠AEB的度数为 度．
19．（3分）A，B两地相距2400米，甲、乙两人同时从A地出发，匀速向B地同向而行，到达B地后停止．出发10分钟后，甲沿原路以原速的倍返回A地取重要物品，取到物品后甲立即保持此速度匀速前往B地（取物品的时间忽略不计），结果甲先到达B地．在整个行走过程中，甲、乙两人相距的路程y（米）与乙运动的时间x（分钟）之间的关系如图所示，下列结论中正确的是 （请填写正确的序号）．
①乙的速度为40米/分钟；
②点C的横坐标为10；
⑧甲再次从A地出发到追上乙，用了35分钟；
④甲到达B地时，乙与B地的距离为500米．
20．（3分）新学伊始，班主任唐老师安排生活委员小彤和小志去采购班级的防疫物资：口罩若干盒，洗手液和消毒液各若干瓶．临行前，班主任唐老师特意叮嘱：洗手液的数量要大于消毒液的数量，但不能超过消毒液数量的两倍．已知本次采购的口罩价格为36元/盒，洗手液和消毒液价格均为18元/瓶，总共花费了1224元．其中口罩的盒数恰好是洗手液和消毒液瓶数之积的四分之一，则本次采购了洗手液 瓶．
三、解答题（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卷中对应的位置上．
21．（10分）计算：
（1）（2x+y）2﹣x（x+4y）；
（2）（﹣a﹣2）÷．
22．（10分）如图，在平行四边形ABCD中，点E，F是对角线BD上的两点，∠EAD＝∠FCB＝90°．
（1）求证：AF∥CE；
（2）若AE＝，AD＝2AE，EF＝2，求线段BD的长度．
23．（10分）珍爱生命，增强安全意识，让快乐与幸福伴随我们的童年．新学期开始，重庆一中开展“开学安全第一课”知识竞赛，并从初一、高一年级各随机抽取10名学生的竞赛成绩进行统计．整理如下：
高一年级抽取的学生竞赛成绩：80，60，80，90，80，90，90，50，100，90．
初一、高一年级抽取的学生竞赛成绩统计表
年级
平均数
众数
中位数
初一
81
70
80
高一
81
a
b
根据以上信息，解答下列问题：
（1）直接写出上述表中的a，b的值；
（2）该校初一的2000名学生和高一的1000名学生参加了此次竞赛活动，请估计这两个年级竞赛成绩达到90分及以上的学生共有多少名？
（3）根据以上数据分析，从一个方面评价两个年级“开学安全第一课”知识竞赛的学生成绩谁更优秀．
24．（10分）在数学中，我们常常把各个数位上的数字之和为10的整数倍的多位数称作“完美数”．
定义：对于一个自然数，如果这个数的各个数位上的数字之和为10的整数倍，则称这个数为“完美数”．
例如：4+6＝10，1+4+8+7＝20，因为10，20是10的整数倍，所以46，1487都是“完美数”；
4+5＝9，1+4+3+6＝14，因为9，14不是10的整数倍，所以45，1436都不是“完美数”．
（1）判断37和2258是否为“完美数”？并说明理由；
（2）求出大于100且小于300的“完美数”的个数，并说明理由．
25．（10分）在探究函数的性质时，我们通过列表、描点、连线画出函数的图象，并结合函数的图象研究函数的性质．结合已有的学习经验，请画出函数y＝的图象并探究该函数的性质．
…
﹣6
﹣5
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
﹣
0
1
2
3
4
5
6
…
…
a
4
2
0
2
b
…
（1）直接写出表中的a，b的值，并在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象；
（2）观察函数图象，判断下列关于该函数的性质的说法是否正确；
①该函数y＝的图象关于y轴对称；
②该函数在自变量的取值范围内有最大值和最小值；
③当x＞0时，y随x的增大而增大；当x＜0时y随x的增大而减小．
（3）请画出函数y＝x+的图象，结合你所画的函数图象，直接写出不等式＞x+的解集．
26．（10分）9月17日，2020线上中国国际智能产业博览会在重庆圆满落幕，截至目前，重庆已实施2265个智能化项目；改造，建成67个智能工厂和359个数字化车间．某工厂甲、乙两条生产线进行了数字化改造．改造前甲、乙生产线每天均工作8小时，其中甲生产线每小时比乙生产线多生产20个半导体元器件，两条生产线一天共生产640个．
（1）请求出甲、乙两条生产线在改造前每小时分别生产多少个半导体元器件？
（2）甲、乙两条生产线数字化改造后，每小时的生产个数比改造前分别增加m%和2m%，甲生产线每天工作时间比改造前增加m%，乙生产线每天工作时间不变，甲、乙两条生产线每天生产总个数比改造前增加m%，求m的值．
27．（10分）如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（﹣，0），B（3，0）（点A在点B左侧），与y轴交于点C．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）点E为直线BC上方抛物线上的任意一点，连接BE，CE，求四边形BOCE面积的最大值及此时点E的坐标；
（3）如图2，点D为抛物线的顶点，将抛物线向右平移一定的距离，点D的对应点为点D′，在平面直角坐标系中，是否存在另一个点H，使以点B，C，D'，H为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出点H的坐标；若不存在，请说明理由．
四、解答题：（本大题1个小题8分）请把答案写在答题卷上对应的空白处，解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤．
28．（8分）如图所示，正方形ABCD和正方形AEFG共顶点A，正方形ABCD绕点A顺时针方向旋转，连接DG，BE，BE与AC相交于点H．
（1）如图1，在旋转过程中，当G，A，H，C恰好在同一直线上时，若AE＝，AB＝2，求线段DG的长；
（2）如图2，连接HG，在旋转过程中，若∠DGH＝2∠ABE，求证：HG＝HB；
（3）如图3，BE与DG相交于点O，点K为线段AG上一点，连接OK，若AE＝3，AK＝1，在旋转过程中，直接写出线段OK的最小值．
2020-2021学年重庆一中九年级（上）第一次月考数学试卷
参考答案与试题解析
一.选择题：（本大题12个小题，每小题4分共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A.B.c.D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卷上题号右创正确答案所对应的方框涂黑.
1．（4分）相反数是（ ）
A．﹣ B．2 C．﹣2 D．
【分析】一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号．的相反数是﹣．
【解答】解：的相反数是﹣，
故选：A．
2．（4分）下列图形是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形的概念判断即可．
【解答】解：A、不是轴对称图形；
B、不是轴对称图形；
C、是轴对称图形；
D、不是轴对称图形；
故选：C．
3．（4分）计算：a4•a2＝（ ）
A．a2 B．a6 C．a8 D．a
【分析】利用同底数幂的乘法法则进行计算即可．
【解答】解：原式＝a4+2＝a6，
故选：B．
4．（4分）抛物线y＝﹣x2+2的对称轴是（ ）
A．直线x＝﹣2 B．直线x＝﹣1 C．y轴 D．直线x＝2
【分析】根据二次函数的性质解决．
【解答】解：抛物线y＝﹣x2+2的对称轴是y轴．
故选：C．
5．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，AB＝，则tanB的值是（ ）
A． B．2 C． D．
【分析】根据勾股定理求出BC，根据正切的定义解答即可．
【解答】解：由勾股定理得，BC＝＝＝2，
则tanB＝＝，
故选：A．
6．（4分）已知x＝2是一元二次方程x2+ax+b＝0的解，则4a+2b+1的值是（ ）
A．﹣6 B．﹣8 C．﹣5 D．﹣7
【分析】把方程的解代入方程，求得2a+b的值，然后整体代人即可．
【解答】解：∵x＝2是一元二次方程x2+ax+b＝0的解，
∴4+2a+b＝0，
∴2a+b＝﹣4，
∴4a+2b+1＝2（2a+b）+1＝2×（﹣4）+1＝﹣7，
故选：D．
7．（4分）清朝数学家梅文鼎的著作《方程论》中记载着这样的一个问题：山田三亩，场地六亩，共折输粮实田四亩七分；又有山田五亩，场地三亩，共折输粮实田五亩五分．问每亩山田折实田多少，每亩场地折实田多少？转换作现代语言就是：山田3亩，场地6亩，产粮总量相当于实田4.7亩；又有山田5亩，场地3亩，产粮总量相当于实田5.5亩，问每亩山田和每亩场地产粮各相当于实田多少亩？设每亩山田产粮相当于实田x亩，每亩场地产粮相当于实田y亩，则根据题意（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据“山田3亩，场地6亩，产粮总量相当于实田4.7亩；又有山田5亩，场地3亩，产粮总量相当于实田5.5亩”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
【解答】解：依题意得：．
故选：B．
8．（4分）如图，△ABC和△A′B′C′是位似图形，点O是位似中心，AC＝2A′C′，若点B的坐标为（﹣4，﹣2），则B′的坐标为（ ）
A．（4，2） B．（2，4） C．（2，1） D．（﹣4，2）
【分析】根据位似图形的概念得到△ABC∽△A′B′C′，根据题意求出相似比，根据位似变换的性质计算即可．
【解答】解：∵△ABC和△A′B′C′是位似图形，
∴△ABC∽△A′B′C′，
∵AC＝2A′C′，
∴△ABC与△A′B′C′的相似比为2：1，
∵△ABC和△A′B′C′是位似图形，点O是位似中心，相似比为2：1，点B的坐标为（﹣4，﹣2），
∴B′的坐标为（4×，2×），即（2，1），
故选：C．
9．（4分）如图，小妮在大楼的观测点F处，测得建筑物AB的顶端B的仰角为34°，测得另一建筑物CD的顶端D的俯角为61.8°．已知AB＝120米，CD＝50米，AC＝60米，建筑物AB，CD，EF与地面AC垂直，点A，B，C，D，E，F在同一平面内，且点A，C，E在同一直线上，则CE的距离约为（ ）
（精确到0.1米，参考数据：sin34°≈0.56，cos34°≈0.83，tan34°≈0.67，sin61.8°≈0.88，cos61.8°≈0.47，tan61.8°≈1.87）
A．24.8米 B．26.2米 C．28.2米 D．30.3米
【分析】直接利用锐角三角函数关系表示出各边长，进而得出EC的长．
【解答】解：过点D作DM⊥EF于点M，过点F作FN⊥AB于点N，
由题意可得：EC＝DM，
设EC＝x，
则tan61.8°＝＝≈1.87，
故FM＝1.87x米，
则FN＝（60﹣x）米，BN＝120﹣50﹣1.87x＝（70﹣1.87x）米，
故tan34°＝＝≈0.67，
解得：x≈24.8，
故选：A．
10．（4分）若关于x的分式方程＝﹣的解为正数，且关于y的不等式组无解，则符合条件的所有整数m的和为（ ）
A．9 B．11 C．12 D．14
【分析】先解出分式方程的根，根据根为正数，且x﹣1≠0，x﹣3≠0，得到m的范围；解不等式组，根据不等式组无解，列出不等式，求得m的范围，结合前面结论确定m的最终范围，得到符合条件的整数m的值，求和即可．
【解答】解：分式方程两边都乘以（x﹣1）（x﹣3）得：x﹣3＝x﹣m﹣3（x﹣1），
x﹣3＝x﹣m﹣3x+3，
3x＝6﹣m，
x＝．
∵方程的解为正数，且x﹣1≠0，x﹣3≠0，
∴0，且，，
解得：m＜6，且m≠±3；
，
解不等式①得：y＜2﹣4m，
解不等式②得：y≥﹣6，
∵不等式组无解，
∴2﹣4m≤﹣6，
解得：m≥2．
∴2≤m＜6且m≠±3，
∴符合条件的整数m有：2，4，5，和为11．
故选：B．
11．（4分）如图，在△ABC中，AB＝17，AC＝10，BC＝21，将边AC沿着AD进行折叠，使得点C落在BC上的点C′处，再将边AB沿着AE进行折叠，点B恰好落在AD延长线上的点B′处，则线段EC′的长度为（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据翻折知AC＝AC′，CD＝CD′，则AD⊥CD，设CD＝x，BD＝21﹣x，勾股定理列出方程，解得CD＝6，BD＝15，AD＝8，作EF⊥AB，通过HL证明Rt△ABD≌Rt△AEF得AD＝AF＝8，设EC′＝y，DE＝6﹣y＝EF，在Rt△EFB中，利用勾股定理列出方程，求解即可．
【解答】解：∵AC＝AC′，CD＝CD′，
∴AD⊥CD，
设CD＝x，BD＝21﹣x，
∴AD2＝AC2﹣CD2＝AB2﹣BD2，
∴102﹣x2＝172﹣（21﹣x）2，
解得x＝6，
∴CD＝C′D＝6，BD＝21﹣6＝15，
AD＝＝8，
∵将边AB沿着AE进行折叠，点B恰好落在AD延长线上的点B′处，
∴AE平分∠B′AB，作EF⊥AB，
∴DE＝EF，
在Rt△ABD和Rt△AEF中，
，
∴Rt△ABD≌Rt△AEF（HL），
∴AD＝AF＝8，
∴BF＝17﹣8＝9，BC′＝21﹣12＝9，
设EC′＝y，DE＝6﹣y＝EF，
在Rt△EFB中，由勾股定理得：
（9+y）2＝（6﹣y）2+92，
解得y＝，
∴EC′＝，
故选：D．
12．（4分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1，与x轴相交于点A（x1，0），其中﹣3＜x1＜﹣2，则下列说法正确的是（ ）
A．abc＜0 B．a+b+c＞0 C．3a+c＞0 D．3b+2c＜0
【分析】根据函数图象和性质逐个求解即可．
【解答】解：A．抛物线的对称轴在y轴右侧，则ab＞0，而c＞0，故abc＞0，故A错误，不符合题意；
B．函数的对称轴为直线x＝﹣1＝﹣，即b＝2a，﹣3＜x1＜﹣2，设抛物线与x轴的另外一个交点x2，则0＜x2＜1，
故x＝1时，y＜0，即a+b+c＜0，故B错误，不符合题意；
C．由B知，a+b+c＜0，b＝2a，则3a+c＜0，故C错误，不符合题意；
D．由C知，3a+c＜0，而b＝2a，即3b+2c＜0，正确，符合题意．
故选：D．
二、填空题：（本大题共8小题，每小题3分共24分）请将下列各题的正确答案填写在答题卷中对应的横线上.
13．（3分）计算：（1﹣）0﹣（）﹣1＝ ﹣2 ．
【分析】依据零指数幂以及负整数指数幂，即可得到计算结果．
【解答】解：（1﹣）0﹣（）﹣1＝1﹣3＝﹣2．
故答案为：﹣2．
14．（3分）根据如图所示的程序变换二次函数图象，输出变换后图象的函数表达式．若输入的二次函数表达式为y＝﹣3（x+2）2+1，则输出的二次函数图象的顶点坐标为 （﹣2，﹣1） ．
【分析】根据“上加下减”规律解答．
【解答】解：∵抛物线y＝﹣3（x+2）2+1的开口方向向下，
∴将抛物线y＝﹣3（x+2）2+1向下平移2个单位，则平移后抛物线解析式是：y＝﹣3（x+2）2+1﹣2，即y＝﹣3（x+2）2﹣1．
∴该抛物线的顶点坐标是（﹣2，﹣1）．
故答案是：（﹣2，﹣1）．
15．（3分）一个不透明的盒子中装有12个红球和若干个白球，这两种球除了颜色外完全相同．小明为了解盒子内白球的数量，采取了以下办法：每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在0.4左右，估计盒子中白球的个数为 8 个．
【分析】设盒子中白球的个数为m个，根据利用频率估计概率得到摸到白球的概率为0.4，然后根据概率公式计算m的值．
【解答】解：设盒子中白球的个数为m个．
根据题意得＝0.4，
解得m＝8，
经检验，m＝8是分式方程的解，
所以这个不透明的盒子中白球的个数为8个，
故答案为：8．
16．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝3，BC＝2，∠ABC的平分线BD交AC于点E，若BC＝CD，则△ABE的面积为 ．
【分析】先由勾股定理求得AC的长，再求得△ABC的面积，然后判定AB∥CD，进而得出△ABE∽△CDE，从而得出AE和CE的比，最后利用等高三角形的性质求得答案即可．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝3，BC＝2，
∴AC＝＝＝，
∴△ABC的面积为：BC×AC＝×2×＝．
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE．
∵BC＝CD，
∴CD＝2，∠CBE＝∠CDE，
∴∠ABE＝∠CDE，
∴AB∥CD，
∴△ABE∽△CDE，
∴AE：CE＝AB：CD＝3：2，
∴△ABE的面积为：×＝．
故答案为：．
17．（3分）当0≤x≤3时，则二次函数y＝x2﹣2x+4的最大值为 7 ．
【分析】已知函数y＝y＝x2﹣2x+4，将其化为顶点式为y＝（x﹣1）2+3，考虑0≤x≤3，即可求解此题．
【解答】解：将标准式化为两点式为y＝（x﹣1）2+3，（0≤x≤3）
∵对称轴是x＝1，开口向上，离对称轴越远越大，
∴当x＝3时，有最大值：y＝4+3＝7，
故答案为：7．
18．（3分）如图，在正方形ABCD中点E是BC上一点，点F是CD延长线上一点，连接AE，AF，EF．点P是EF的中点，连接CP，DP，若AE＝AF，∠CPD＝104°，则∠AEB的度数为 76 度．
【分析】连接AP，通过HL证明△ABE≌△ADF，进而得到∠EAF＝90°，根据点P是EF的中点，得到AP＝CP，通过SSS证明△APD≌△CPD得到∠PDC＝45°，进而求出∠DCP的度数，进而得到∠EAD的度数，进而可求．
【解答】解：连接AP，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠B＝∠ADC＝∠ADF＝90°，AB＝AD，
在Rt△ABE和Rt△ADF中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），
∴∠BAE＝∠DAF；
∵∠BAE+∠EAD＝90°，
∴∠DAF+∠EAD＝90°，
即∠EAF＝90°，
∵P为EF中点，
∴AP＝EF，
∵∠ECF＝90°，P为EF中点，
∴CP＝PF＝EF，
∴AP＝CP，
在△APD和△CPD中，
，
∴△APD≌△CPD（SSS），
∴∠DAP＝∠DCP，∠ADP＝∠CDP，
∵∠ADC＝90°，
∴∠CDP＝45°，
∴∠DAP＝∠PCD＝180°﹣∠CPD﹣∠CDP＝31°，
∵∠EAF＝90°，AE＝AF，P为EF中点，
∴∠PAE＝45°，
∴∠DAE＝∠PAE+∠PAD＝76°，
∴∠AEB＝∠DAE＝76°，
故答案为：76．
19．（3分）A，B两地相距2400米，甲、乙两人同时从A地出发，匀速向B地同向而行，到达B地后停止．出发10分钟后，甲沿原路以原速的倍返回A地取重要物品，取到物品后甲立即保持此速度匀速前往B地（取物品的时间忽略不计），结果甲先到达B地．在整个行走过程中，甲、乙两人相距的路程y（米）与乙运动的时间x（分钟）之间的关系如图所示，下列结论中正确的是 ①②④ （请填写正确的序号）．
①乙的速度为40米/分钟；
②点C的横坐标为10；
⑧甲再次从A地出发到追上乙，用了35分钟；
④甲到达B地时，乙与B地的距离为500米．
【分析】根据题意可以求出甲乙两人的速度，然后根据函数图象和题意对各个结论分别判断即可．
【解答】解：乙用60分钟到B地，则乙的速度为：2400÷60＝40（米/分钟），故①结论正确；
C点，甲准备返回A地的点，则C横坐标为10，故②结论正确；
甲的速度为：200÷10＝20（米/分钟），
则甲原来的速度为：20+40＝60（米/分钟），
由图可知，D点开始，甲乙距离开始缩小，说明甲开始从A地出发去追乙了，
此时D点，乙离A地有17.5×40＝700（米），
则甲追上乙用了：（分钟），故③结论错误；
甲从A地再次出发到达B地用时：（分钟），
此时乙走了：30+17.5＝47.5（分钟），距离B地还有：2400﹣40÷47.5＝500（米），故④结论正确；
故答案为①②④．
20．（3分）新学伊始，班主任唐老师安排生活委员小彤和小志去采购班级的防疫物资：口罩若干盒，洗手液和消毒液各若干瓶．临行前，班主任唐老师特意叮嘱：洗手液的数量要大于消毒液的数量，但不能超过消毒液数量的两倍．已知本次采购的口罩价格为36元/盒，洗手液和消毒液价格均为18元/瓶，总共花费了1224元．其中口罩的盒数恰好是洗手液和消毒液瓶数之积的四分之一，则本次采购了洗手液 12 瓶．
【分析】设本次采购了洗手液x瓶，消毒液y瓶，则采购了口罩盒，根据题意可得出关于x，y的方程，求出x＝．根据购进洗手液的数量要大于消毒液的数量，但不能超过消毒液数量的两倍，可得不等式组，解之即可得出y的取值范围，再结合x，y为非负整数，即可求解．
【解答】解：设本次采购了洗手液x瓶，消毒液y瓶，则采购了口罩盒，
依题意得：36×+18x+18y＝1224，
∴x＝．
∵购进洗手液的数量要大于消毒液的数量，但不能超过消毒液数量的两倍，
∴y＜≤2y，
∵y+2＞0，
∴，
解得：﹣2﹣2＜y＜2﹣2或y≥或≤，
∵x，y为非负整数，
∴y可取8，9这两个数，
代入x＝得，
当y＝8时，x＝12，
当y＝9时，x≈10.7（不合题意，舍去），
∴本次采购了洗手液12瓶．
故答案为：12．
三、解答题（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卷中对应的位置上．
21．（10分）计算：
（1）（2x+y）2﹣x（x+4y）；
（2）（﹣a﹣2）÷．
【分析】（1）根据完全平方公式和单项式乘多项式可以解答本题；
（2）根据分式的减法和除法可以解答本题．
【解答】解：（1）（2x+y）2﹣x（x+4y）
＝4x2+4xy+y2﹣x2﹣4xy
＝3x2+y2；
（2）（﹣a﹣2）÷
＝
＝
＝
＝﹣a（a﹣2）
＝﹣a2+2a．
22．（10分）如图，在平行四边形ABCD中，点E，F是对角线BD上的两点，∠EAD＝∠FCB＝90°．
（1）求证：AF∥CE；
（2）若AE＝，AD＝2AE，EF＝2，求线段BD的长度．
【分析】（1）由“ASA”可证△ADE≌△CBF，可得AE＝CF，∠AEF＝∠CFE，可证四边形AECF是平行四边形，可得结论；
（2）由勾股定理可求DE＝5，由全等三角形的性质可得DE＝BF＝5，即可求解．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴∠ADE＝∠CBD，
在△ADE和△CBF中，
，
∴△ADE≌△CBF（ASA），
∴AE＝CF，∠AEF＝∠CFE，
∴AE∥CF，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴AF∥CE；
（2）∵AE＝，AD＝2AE，
∴AD＝2，
∴DE＝＝＝5，
∵△ADE≌△CBF，
∴DE＝BF＝5，
∴BD＝DE+BF﹣EF＝8．
23．（10分）珍爱生命，增强安全意识，让快乐与幸福伴随我们的童年．新学期开始，重庆一中开展“开学安全第一课”知识竞赛，并从初一、高一年级各随机抽取10名学生的竞赛成绩进行统计．整理如下：
高一年级抽取的学生竞赛成绩：80，60，80，90，80，90，90，50，100，90．
初一、高一年级抽取的学生竞赛成绩统计表
年级
平均数
众数
中位数
初一
81
70
80
高一
81
a
b
根据以上信息，解答下列问题：
（1）直接写出上述表中的a，b的值；
（2）该校初一的2000名学生和高一的1000名学生参加了此次竞赛活动，请估计这两个年级竞赛成绩达到90分及以上的学生共有多少名？
（3）根据以上数据分析，从一个方面评价两个年级“开学安全第一课”知识竞赛的学生成绩谁更优秀．
【分析】（1）由高一年级抽取的学生竞赛成绩即可求解；
（2）利用样本估计总体思想求解可得；
（3）由高一的中位数高于初一的中位数，可得高一“开学安全第一课”知识竞赛的学生成绩谁更优秀．
【解答】解：（1）按照从小到大的顺序排列为50，60，80，80，80，90，90，90，90，100，一共10个数据，
则a＝90，b＝＝85．
故答案为：90，85；
（2）2000×+1000×＝1300（名）．
答：估计这两个年级竞赛成绩达到90分及以上的学生共有1300名；
（3）∵平均数相等，高一的中位数高于初一的中位数，
∴高一“开学安全第一课”知识竞赛的学生成绩谁更优秀．
24．（10分）在数学中，我们常常把各个数位上的数字之和为10的整数倍的多位数称作“完美数”．
定义：对于一个自然数，如果这个数的各个数位上的数字之和为10的整数倍，则称这个数为“完美数”．
例如：4+6＝10，1+4+8+7＝20，因为10，20是10的整数倍，所以46，1487都是“完美数”；
4+5＝9，1+4+3+6＝14，因为9，14不是10的整数倍，所以45，1436都不是“完美数”．
（1）判断37和2258是否为“完美数”？并说明理由；
（2）求出大于100且小于300的“完美数”的个数，并说明理由．
【分析】根据完美数的定义求解．
【解答】解：（1）∵3+7＝10，2+2+5+8＝17．
10是10的倍数，17不是10的倍数．
∴37是完美数，2258不是完美数．
（2）大于100且小于300的“完美数，其所有数字之和为10．
∵1+2+7＝10，1+3+6＝10，1+4+5＝10，1+5+4＝10，1+6+3＝10，1+7+2＝10，1+8+1＝10，1+9+0＝10，
2+1+7＝10，2+2+6＝10，2+3+5＝10，2+4+4＝10，2+5+3＝10，2+6+2＝10，2+7+1＝10，2+8＝0＝10.2+0+8＝10．
1+1+8＝10，1+0+9＝10，2+0+8＝10．
∴大于100且小于300的“完美数有：127，136，145，154，163，172，181，190，217，226，235，244，
253，262，271，280，109，118．，208，共19个．
∴大于100且小于300的“完美数“共19个．
25．（10分）在探究函数的性质时，我们通过列表、描点、连线画出函数的图象，并结合函数的图象研究函数的性质．结合已有的学习经验，请画出函数y＝的图象并探究该函数的性质．
…
﹣6
﹣5
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
﹣
0
1
2
3
4
5
6
…
…
a
4
2
0
2
b
…
（1）直接写出表中的a，b的值，并在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象；
（2）观察函数图象，判断下列关于该函数的性质的说法是否正确；
①该函数y＝的图象关于y轴对称；
②该函数在自变量的取值范围内有最大值和最小值；
③当x＞0时，y随x的增大而增大；当x＜0时y随x的增大而减小．
（3）请画出函数y＝x+的图象，结合你所画的函数图象，直接写出不等式＞x+的解集．
【分析】（1）将x＝﹣4，2分别代入解析式即可得y的值，再画出函数的图象；
（2）结合图象可从函数的增减性及对称性进行判断；
（3）根据图象求得即可．
【解答】解：（1）x＝﹣4、2分别代入y＝，得a＝＝，b＝＝4，
画出函数的图象如图：
，
故答案为：，4；
（2）根据函数图象：
①该函数y＝的图象关于y轴对称，说法正确；
②该函数在自变量的取值范围内有最大值和最小值，说法错误；
③当x＞0时，y随x的增大而增大；当x＜0时y随x的增大而减小，说法正确．
（3）由图象可知：不等式＞x+的解集为x＜﹣1或2＜x＜4．
26．（10分）9月17日，2020线上中国国际智能产业博览会在重庆圆满落幕，截至目前，重庆已实施2265个智能化项目；改造，建成67个智能工厂和359个数字化车间．某工厂甲、乙两条生产线进行了数字化改造．改造前甲、乙生产线每天均工作8小时，其中甲生产线每小时比乙生产线多生产20个半导体元器件，两条生产线一天共生产640个．
（1）请求出甲、乙两条生产线在改造前每小时分别生产多少个半导体元器件？
（2）甲、乙两条生产线数字化改造后，每小时的生产个数比改造前分别增加m%和2m%，甲生产线每天工作时间比改造前增加m%，乙生产线每天工作时间不变，甲、乙两条生产线每天生产总个数比改造前增加m%，求m的值．
【分析】（1）设甲生产线改造前每小时生产x个半导体元器件，乙生产线改造前每小时生产y个半导体元器件，根据“改造前甲、乙生产线每天均工作8小时，其中甲生产线每小时比乙生产线多生产20个半导体元器件，两条生产线一天共生产640个”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）根据改造后甲、乙两条生产线每天生产总个数比改造前增加m%，即可得出关于m的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解答】解：（1）设甲生产线改造前每小时生产x个半导体元器件，乙生产线改造前每小时生产y个半导体元器件，
依题意得：，
解得：．
答：甲生产线改造前每小时生产50个半导体元器件，乙生产线改造前每小时生产30个半导体元器件．
（2）依题意得：50（1+m%）×8（1+m%）+30（1+2m%）×8＝640（1+m%），
整理得：0.04m2﹣2m＝0
解得：m1＝50，m2＝0（不合题意，舍去）．
答：m的值为50．
27．（10分）如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（﹣，0），B（3，0）（点A在点B左侧），与y轴交于点C．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）点E为直线BC上方抛物线上的任意一点，连接BE，CE，求四边形BOCE面积的最大值及此时点E的坐标；
（3）如图2，点D为抛物线的顶点，将抛物线向右平移一定的距离，点D的对应点为点D′，在平面直角坐标系中，是否存在另一个点H，使以点B，C，D'，H为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出点H的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）过点E作x轴垂线交直线BC于点F，求出直线BC的表达式，设点E（t，﹣t2+t+3），F（t，﹣t+3）；结合E、F点的坐标得出EF的长，利用分割图形求面积法即可找出S四边形BOCE关于t的函数关系式，利用配方法以及二次函数的性质即可解决最值问题；
（3）题目给出的是菱形存在性问题，实际解答中转化为等腰三角形存在性问题，结合距离公式与中点公式进行作答即可．
【解答】（1）将点A，B代入抛物线表达式得：，
解得：，
∴抛物线表达式为：y＝﹣x2+x+3；
（2）过点E作x轴垂线交直线BC于点F，
如图1，四边形BOCE的面积由两部分构成即：S四边形BOCE＝S△BOC+S△BCE，
当x＝0时，y＝3，
∴点C坐标为（0，3），S△BOC＝BO•OC＝；
∵∴B（3，0），C（0，3），
∴直线BC表达式：y＝﹣x+3，
设点E（t，﹣t2+t+3），F（t，﹣t+3），
则EF＝﹣t2+t+3﹣（﹣t+3）＝﹣t2+t+3+t﹣3＝﹣t2+t，
∴S△BCE＝S△FCE+S△BEF＝×3×（﹣t2+t）＝﹣t2+t＝﹣（t﹣）2+，
当t＝时，S△BCE最大，即当点E（，）时，四边形BOCE面积的最大，
S四边形BOCE＝S△BOC+S△BCE＝+＝；
（3）如图2：
∵点D为抛物线y＝﹣x2+x+3的顶点，
∴D点坐标（，4），
∵B（3，0），C（0，3），
∴BC＝＝6，
①当D点平移到I点时，CI＝BI，
设点I坐标（m，4），
由距离公式易得：，
∴m＝，
∴I（，4），
∵四边形CIBH1是菱形，
∴CP＝BP，IP＝H1P，
∵B（3，0），C（0，3），
∴P（，），
∴H1（，﹣1）；
②当D点平移到J点时，CJ＝CB，设点J坐标（n，4），同理可得：，；
③当D点平移到K点时，CB＝BK；设点K坐标（k，4），同理可得：，其中（舍），．
综上所述：H点坐标为（，﹣1）或（+3，1）或（2，7）．
四、解答题：（本大题1个小题8分）请把答案写在答题卷上对应的空白处，解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤．
28．（8分）如图所示，正方形ABCD和正方形AEFG共顶点A，正方形ABCD绕点A顺时针方向旋转，连接DG，BE，BE与AC相交于点H．
（1）如图1，在旋转过程中，当G，A，H，C恰好在同一直线上时，若AE＝，AB＝2，求线段DG的长；
（2）如图2，连接HG，在旋转过程中，若∠DGH＝2∠ABE，求证：HG＝HB；
（3）如图3，BE与DG相交于点O，点K为线段AG上一点，连接OK，若AE＝3，AK＝1，在旋转过程中，直接写出线段OK的最小值．
【分析】（1）如图1中，过点D作DM⊥AC于M．解直角三角形求出GM，DM，利用勾股定理求出DG即可．
（2）如图2中，连接DH．利用全等三角形的性质证明∠ADG＝∠ABE，DH＝HB，∠ADH＝∠ABH，再证明∠HDG＝∠HGD可得结论．
（3）连接EG，取EG的中点T，连接OT，TK，过点T作TN⊥AG于N．解直角三角形求出TO，TK，根据OK≥TO﹣TK，可得结论．
【解答】（1）解：如图1中，过点D作DM⊥AC于M．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠AD＝CD＝AB＝2，∠ADC＝90°，
∴AC＝＝＝2，
∵DM⊥AC，
∴AM＝MC＝，
∴DM＝AC＝，
∵四边形AEFG是正方形，
∴AG＝AE＝，
∴GM＝AG+AM＝2，
∴DG＝＝＝．
（2）证明：如图2中，连接DH．
∵四边形ABCD，四边形EFGA都是正方形，
∴∠BAD＝∠EAG＝90°，AB＝AD，AE＝AG，
∴∠EAB＝∠GAD，
∴△EAB≌△GAD（SAS），
∴∠ABE＝∠ADG，
∵AD＝AB，∠DAH＝∠BAH＝45°，AH＝AH，
∴△AHB≌△AHD（SAS），
∴BH＝DH，∠ABH＝∠ADH，
∴∠ADH＝∠ADG，
∵∠HDA＝2∠ABE＝2∠ADG，
∴∠HGD＝∠HDG，
∴HG＝HD，
∴HB＝HG．
（3）解：连接EG，取EG的中点T，连接OT，TK，过点T作TN⊥AG于N．
由（3）可知△EAB≌△GAD，
∴∠DGA＝∠AEB，
∵∠EAG＝90°，
∴∠EOG＝90°，
∵四边形AEFG是正方形，
∴AE＝AG＝3，∠EAG＝90°，
∴EG＝＝＝3，
∵TE＝TG，
∴OT＝EG＝，
∵∠TNG＝90°，∠TGN＝45°，
∴TN＝GN＝，
∵AK＝1，AN＝AG﹣GN＝，
∴NK＝AN﹣AK＝，
∴TK＝＝＝，
∵OK≥OT﹣TK，
∴OK≥﹣，
∴OK的最小值为﹣．
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日期：2021/8/16 23:16:24；用户：节节高5；邮箱：5jiejg@xyh.com；学号：37675298
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