2018_2019学年杭州市西湖区八上期末数学试卷
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一、选择题(共10小题;共50分)
1. 点 P1,3 向下平移 2 个单位后的坐标是
A. 1,2B. 0,1C. 1,5D. 1,1
2. 不等式 x−1>0 的解在数轴上表示为
A. B.
C. D.
3. 以 a,b,c 为边的三角形是直角三角形的是
A. a=2,b=3,c=4B. a=1,b=3,c=2
C. a=4,b=5,c=6D. a=2,b=2,c=6
4. 对于命题“若 a2=b2”,则“a=b”下面四组关于 a,b 的值中,能说明这个命题是假命题的是
A. a=3,b=3B. a=−3,b=−3
C. a=3,b=−3D. a=−3,b=−2
5. 若 x+a
A. x
6. 已知 y=kx+k(k≠0)的图象与 y=x 的图象平行,则 y=kx+k(k≠0)的大致图象为
A. B.
C. D.
7. 如图,若 △ABC 的周长为 20,则 AB 的长可能为
A. 8B. 10C. 12D. 14
8. 如图,△ABC 中,D 为 AB 的中点,BE⊥AC,垂足为 E.若 DE=4,AE=6,则 BE 的长度是
A. 10B. 25C. 8D. 27
9. 如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB=90∘,AC=5,BC=12,将 △ABC 绕点 B 顺时针旋转 60∘,得到 △BDE,连接 DC 交 AB 于点 F,则 △ACF 与 △BDF 的周长之和为
A. 44B. 43C. 42D. 41
10. 关于函数 y=k−3x+k,给出下列结论:①此函数是一次函数,②无论 k 取什么值,函数图象必经过点 −1,3,③若图象经过二、三、四象限,则 k 的取值范围是 k<0,④若函数图象与 x 轴的交点始终在正半轴,可得 k<3.其中正确的是
A. ①②B. ①③C. ②③D. ③④
二、填空题(共6小题;共30分)
11. 若函数 y=2x+b(b 为常数)的图象经过点 A0,−2,则 b= .
12. 若不等式组 x>a,4−2x>0 的解集是 −1
13. 已知一个等腰三角形两内角的度数之比为 1:4,则这个等腰三角形顶角的度数为 .
14. 一次数学知识竞赛中,竞赛题共 30 题.规定:答对一道题得 4 分,不答或答错一道题倒扣 2 分,甲同学答对 25 道题,答错 5 道题,则甲同学得 分;若得分不低于 60 分者获奖,则获奖者至少应答对 道题.
15. 关于函数 y=−2x+1,下列说法:
①图象必经过点 1,0;
②直线 y=2x−1 与 y=−2x+1 相交,
③当 x>12 时,y<0,
④ y 随 x 增大而减小.
其中正确的序号是 .
16. 如图,点 A 的坐标为 4,0,点 B 从原点出发,沿 y 轴负方向以每秒 1 个单位长度的速度运动,分别以 OB,AB 为直角边在第三、第四象限作等腰 Rt△OBF,等腰 Rt△ABE,连接 EF 交 y 轴于 P 点,当点 B 在 y 轴上运动时,经过 t 秒时,点 E 的坐标是 (用含 t 的代数式表示),PB 的长是 .
三、解答题(共7小题;共91分)
17. 已知点 Pa+1,2a−1 在第四象限,求 a 的取值范围.
18. 在平面直角坐标系中,点 A1,1,B4,3,将点 A 向左平移 2 个单位长度,再向上平移 3 个单位长度得到点 C.
(1)写出点 C 的坐标;
(2)画出 △ABC 并判断 △ABC 的形状.
19. 如图,在 △ABC 中,AB=AC,∠1=∠2,则 △ABD 与 △ACD 全等吗?证明你的判断.
20. 对于任意实数 a,b,定义关于 \( \mathbin {@} \) 的一种运算如下:\( a\mathbin {@}b=2a-b \),例如:\( 5\mathbin {@}3=10-3=7 \),\( \left(-3\right)\mathbin {@}5=-6-5=-11 \).
(1)若 \( x\mathbin {@}3<5 \),求 x 的取值范围;
(2)已知关于 x 的方程 22x−1=x+1 的解满足 \( x\mathbin {@}a<5 \),求 a 的取值范围.
21. 如图,在平面直角坐标系中,长方形 OABC 的边 OC=2,将过点 B 的直线 y=x−3 与 x 轴交于点 E.
(1)求点 B 的坐标;
(2)连接 CE,求线段 CE 的长;
(3)若点 P 在线段 CB 上,且 OP=11,求 P 点坐标.
22. 如图,在 △ABC 中,AB=AC,点 D,E,F 分别在 AB,BC,AC 边上,且 BE=CF,BD=CE.
(1)求证:△DEF 是等腰三角形;
(2)当 ∠A=50∘ 时,求 ∠DEF 的度数;
(3)若 ∠A=∠DEF,判断 △DEF 是否为等腰直角三角形.
23. 一次函数 y=kx+bk≠0 的图象经过点 A0,9,并且与直线 y=53x 相交于点 B,与 x 轴相交于点 C.
(1)若点 B 的横坐标为 3,求 B 点的坐标和 k,b 的值;
(2)在 y 轴上是否存在这样的点 P,使得以点 P,B,A 为顶点的三角形是等腰三角形?若存在,请直接写出点 P 坐标;若不存在,请说明理由.
(3)在直线 y=kx+bk≠0 上是否存在点 Q,使 △OBQ 的面积等于 272?若存在,请求出点 Q 的坐标;若不存在,请说明理由.
答案
第一部分
1. D
2. C
3. B
4. C
5. B
6. B
7. A
8. D
9. C
10. C
第二部分
11. −2
12. −1
13. 120∘ 或 20∘
【解析】设两个角分别是 x,4x,
①当 x 是底角时,
根据三角形的内角和定理,得 x+x+4x=180∘,
解得 x=30∘,4x=120∘,
即底角为 30∘,顶角为 120∘;
②当 x 是顶角时,
则 x+4x+4x=180∘,
解得 x=20∘,
从而得顶角为 20∘,底角为 80∘.
所以该三角形的顶角为 120∘ 或 20∘.
14. 90,20
15. ②③④
16. t,−t−4,2
【解析】如图,作 EN⊥y 轴于 N,
∵∠ENB=∠BOA=∠ABE=90∘,
∴∠OBA+∠NBE=90∘,∠OBA+∠OAB=90∘,
∴∠NBE=∠BAO,
在 △ABO 和 △BEN 中,
∵∠AOB=∠BNE,∠BAO=∠NBE,AB=BE,
∴△ABO≌△BEN(AAS),
∴OB=NE=BF,BN=OA=4,
∴ 点 E 的坐标是 t,−t−4,
∵∠OBF=∠FBP=∠BNE=90∘,
在 △BFP 和 △NEP 中,
∵∠FPB=∠EPN,∠FBP=∠ENP,BF=NE,
∴△BFP≌△NEP(AAS),
∴BP=NP,
又 ∵ 点 A 的坐标为 4,0,
∴OA=BN=4,
∴BP=NP=2.
第三部分
17. ∵ 点 Pa+1,2a−1 在第四象限,
∴a+1>0,2a−1<0, 解得:−118. (1) ∵ 将点 A1,1 向左平移 2 个单位长度,再向上平移 3 个单位长度得到点 C,
∴C−1,4.
(2) 如图所示,
根据勾股定理得,AB=32+22=13,BC=12+52=26,AC=22+32=13,
∴AB=AC,
∵AB2+AC2=BC2=26,
∴△ABC 是直角三角形,
∴△ABC 是等腰直角三角形.
19. △ABD 与 △ACD 全等,
∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB,
∵∠1=∠2,
∴∠ABC−∠1=∠ACB−∠2,BD=CD,即 ∠ABD=∠ACD,
在 △ABD 与 △ACD 中,
AB=AC,∠ABD=∠ACD,BD=CD,
∴△ABD≌△ACDSAS.
20. (1) \( \because x\mathbin {@}3<5 \),
∴2x−3<5,解得:x<4.
(2) 解方程 22x−1=x+1,得:x=1,
\( \therefre x\mathbin {@}a=1\mathbin {@}a=2-a<5 \),解得:a>−3.
21. (1) ∵OC=2,
∴C0,2,
∵ 四边形 OABC 是长方形,
∴BC∥OA,
∴ 点 B 的纵坐标为 2,
∵ 点 B 在直线 y=x−3 上,
∴x−3=2,
∴x=5,
∴B5,2.
(2) ∵ 直线 y=x−3 与 x 轴相交于点 E,
令 y=0,
∴x−3=0,
∴x=3,
∴E3,0,
∴CE=4+9=13.
(3) ∵ 点 P 在线段 CB 上,
设 P 点的横坐标为 mm>0,
∴Pm,2,
∵OP=11,
∴m2+4=11,
∴m=−7(舍)或 m=7,
∴P7,2.
22. (1) ∵AB=AC,
∴∠B=∠C,
在 △BDE 和 △CEF 中,
BE=CF,∠B=∠C,BD=CE,
∴△BDE≌△CEFSAS,
∴DE=EF,
∴△DEF 是等腰三角形;
(2) ∵∠DEC=∠B+∠BDE,
即 ∠DEF+∠CEF=∠B+∠BDE,
∵△BDE≌△CEF,
∴∠CEF=∠BDE,
∴∠DEF=∠B,
又 ∵ 在 △ABC 中,AB=AC,∠A=50∘,
∴∠B=65∘,
∴∠DEF=65∘;
(3) 由(1)知:△DEF 是等腰三角形,即 DE=EF,
由(2)知,∠DEF=∠B,
而 ∠B 不可能为直角,
∴△DEF 不可能是等腰直角三角形.
23. (1) 当 x=3 时,y=53x=53×3=5,即 B3,5,
把 A0,9,B3,5 代入 y=kx+bk≠0 得到 b=9,3k+b=5,
解得 k=−43,b=9.
(2) P10,9+27k2+15−3k,P20,9−27k2+15−3k,P30,45+27k5−3k,P40,27k2−90k−276k−10.
【解析】由 y=53x,y=kx+9 解得 x=275−3k,y=455−3k, 即 B275−3k,455−3k,
∴AB=275−3k2+9−455−3k2=27k2+15−3k.
①以 A 为顶点时,P10,9+27k2+15−3k,P20,9−27k2+15−3k;
②以 B 为顶点时,P30,45+27k5−3k;
③以 P 为顶点时,P40,27k2−90k−276k−10.
(3) ①当 Q 点在 B 点右侧时,设 Qa,ka+9,C−9k,0,
S△OBQ=12×−9k×455−3k−ka−9=272,
∴a=42−9k5−3k,
∴Q42−9k5−3k,−9k2+15k+455−3k;
②当 Q 在点 B 左侧时,设 Qa,ka+9,
S△OBQ=12×−9k×ka+9−455−3k=272,a=12+9k5−3k,
∴Q12+9k5−3k,9k2−15k+455−3k.
综上所述,Q42−9k5−3k,−9k2+15k+455−3k或12+9k5−3k,9k2−15k+455−3k.
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