2020年广东省深圳市光明区中考一模数学试卷

这是一份2020年广东省深圳市光明区中考一模数学试卷，共16页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共12小题；共60分）
1. 下列四个数中，最大的负数是
A. −1B. −2020C. 0D. 2020

2. 如图的五个甲骨文中，既不是轴对称图形，也不是中心对称图形的有
A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 4 个

3. 自教育部开展“停课不停学”工作以来，截至 2020 年 4 月 3 日，参加在线课程学习的学生达 11.8 亿人次，将 11.8 亿用科学记数法表示为
A. 1.18×108B. 118×107C. 1.18×109D. 11.8×108

4. 如图所示的几何体的左视图为
A. B.
C. D.

5. 数据 1，3，6，5，3，6，8，6 的中位数、众数分别为
A. 5.5，6B. 6，5.5C. 6，3D. 5，6

6. 如图，AB∥CE，∠A=40∘，CE=DE，则 ∠C=
A. 40∘B. 30∘C. 20∘D. 15∘

7. 下列运算正确的是
A. −12+−13=−2B. x23−2x5=−x5
C. 9+3=33D. a2−2ab+b2b−a=b−a

8. 疫情期间居民为了减少外出时间，更愿意使用 APP 在线上买菜，某买菜 APP 今年一月份新注册用户为 200 万，三月份新注册用户为 338 万，则二、三两个月新注册用户每月平均增长率是
A. 10%B. 15%C. 23%D. 30%

9. 如图，在平行四边形 ABCD 中，BD⊥DC，E 是 BC 的中点，以点 E 为圆心，大于点 E 到 BD 的距离为半径画弧，交 BD 于点 M，N，再分别以点 M，N 为圆心，大于 12MN 的长为半径画弧，两弧相交于点 F，射线 EF 分别与 BD，AD 交于点 G，H，若 DG=3，AB=4，则 BC 的长为
A. 13B. 5C. 213D. 10

10. 如图，两个三角形纸板 △ABC，△MNP 能完全重合，∠A=∠M=50∘，∠ABC=∠N=60∘，BC=4，将 △MNP 绕点 CP 从重合位置开始，按逆时针方向旋转，边 MN，MP 分别与 BC，AB 交于点 H，Q（点 Q 不与点 A，B 重合），点 O 是 △BCQ 的内心，若 ∠BOC=130∘，点 N 运动的路径为 NB，则图中阴影部分的面积为
A. 23π−2B. 2π−4C. 13π−23D. 43π−23

11. 二次函数 y=ax2+bx+ca≠0 的图象如图所示，下列结论：
① bc>0；
② 3a+c>0；
③ a+b+c≤ax2+bx+c；
④ ak12+12+bk12+1>ak12+22+bk12+2．
其中正确结论的个数是
A. 1B. 2C. 3D. 4

12. 如图，在正方形 ABCD 中，△AEF 的顶点 E，F 分别在 BC，CD 边上，高 AG 与正方形的边长相等，连接 BD 分别交 AE，AF 于点 M，N，下列说法：
① ∠EAF=45∘；
②连接 MG，NG，则 △MGN 为直角三角形；
③ △AMN∽△AFE；
④若 BE=2，FD=3，则 MN 的长为 522．
其中正确结论的个数是
A. 4B. 3C. 2D. 1

二、填空题（共4小题；共20分）
13. 分解因式：x3−6x2+9x= ．

14. 在一个不透明的袋子里装有独立包装的口罩，其中粉色口罩有 3 个、蓝色口罩有 2 个，这些口罩除了颜色外全部相同，从中随机依次不放回拿出两个口罩，则两个口罩都是粉色的概率是 ．

15. 已知 tanα+β=tanα+tanβ1−tanα⋅tanβ，tan2α=2tanα1−tan2α（其中 α 和 β 都表示角度），比如求 tan105∘，可利用公式得 tan105∘=tan60∘+45∘=3+11−3=−3−2，又如求 tan120∘，可利用公式得 tan120∘=tan2×60∘=2×31−32=−3．请你结合材料，若 tan120∘+λ=−33（λ 为锐角），则 λ 的度数是 ．

16. 如图，反比例函数 y1=3kxx>0 的图象在第一象限，反比例函数 y2=−2kxx>0 的图象在第四象限，把一个含 45∘ 角的直角三角板如图放置，三个顶点分别落在原点 O 和这两个函数图象上的 A，B 点处，若点 B 的横坐标为 2，则 k 的值为 ．

三、解答题（共7小题；共91分）
17. 计算：3−2+2sin60∘−2020−π0−13−1．

18. 先化简 1+−x+1x2−x÷x−1x，再从 −1≤x≤2 的整数中选取一个合适的 x 的值代入求值．

19. 复课返校后，为了让同学们进一步了解“新型冠状病毒”的防控知识，某学校组织了一次关于“新型冠状病毒”的防控知识比赛，从问卷中随机抽查了一部分，对调查结果进行了分组统计，并制作了表格与条形统计图（如图）：
分组结果频数频率A.完全掌握300.3B.比较清楚50mC.不怎么清楚n0.15D.不清楚50.05
请根据上图完成下面题目：
（1）总人数为 人，m= ，n= ．
（2）请你补全条形统计图．
（3）若全校有 2700 人，请你估算一下全校对“新型冠状病毒”的防控知识“完全掌握”的人数有多少?

20. 随着疫情逐步得到控制，在疫情防控初期驰援武汉的医护人员已陆续返回，深圳市为返深医护人员在中心区亮灯致敬．某大厦的立面截图如图所示，图中的所有点都在同一平面内，已知高度为 1 m 的测量架 AF 在 A 点处测得 ∠1=30∘，将测量架沿 AB 方向前进 220 m 到达 G 点，在 B 点处测得 ∠2=45∘，电子显示屏的底端 E 与地面的距离 EH=15 m，请你计算电子显示屏 DE 的高度．（结果精确到 1 m，其中：2≈1.41，3≈1.73）

21. 复课返校后，为了拉大学生锻炼的间距，学校决定增购适合独立训练的两种体育器材：跳绳和毽子．如果购进 5 根跳绳和 6 个毽子共需 196 元；购进 2 根跳绳和 5 个键子共需 120 元．
（1）求跳绳和毽子的售价分别是多少元?
（2）学校计划购买跳绳和毽子两种器材共 400 个，由于受疫情影响，商场决定对这两种器材打折销售，其中跳绳以八折出售，毽子以七五折出售，学校要求跳绳的数量不少于毽子数量的 3 倍，跳绳的数量不多于 310 根，请你求出学校花钱最少的购买方案．

22. 如图，已知二次函数 y=ax−12+ka>0 的图象交 x 轴于 A，B 两点，交 y 轴于点 C，其中 A−1,0．
（1）求点 B 的坐标，并用含 a 的式子表示 k；
（2）连接 CA，CB，当 ∠ACB 为锐角时，求 a 的取值范围；
（3）若 P0,b 为 y 轴上一个动点，连接 PA，当点 C 的坐标为 0,−33 时，直接写出 12PC+PA 的最小值．

23. 在图 1 至图 3 中，⊙O 的直径 BC=30，AC 切 ⊙O 于点 C，AC=40，连接 AB 交 ⊙O 于点 D，连接 CD，P 是线段 CD 上一点，连接 PB．
（1）如图 1，当点 P，O 的距离最小时，求 PD 的长；
（2）如图 2，若射线 AP 过圆心 O，交 ⊙O 于点 E，F，求 tanF 的值；
（3）如图 3，作 DH⊥PB 于点 H，连接 CH，直接写出 CH 的最小值．
答案
第一部分
1. A【解析】∵−2020<−1<0<2020，
∴ 最大的负数是 −1．
2. A【解析】第一个图形是轴对称图形，
第二个图形是中心对称图形，
第三个图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，
第四个图形是轴对称图形，
第五个图形是中心对称图形，
即既不是轴对称图形，也不是中心对称图形有 1 个．
3. C【解析】11.8 亿 =1180000000=1.18×109．
4. B【解析】从左面看易得左视图为：
5. A
【解析】数据 1，3，6，5，3，6，8，6 按大小排列为：
1，3，3，5，6，6，6，8．
则最中间是：5 和 6，故中位数是 5.5，
6 出现次数最多，故众数为 6．
6. C【解析】∵AB∥CE，
∴∠AEC=∠A=40∘，
∵CE=DE，
∴∠C=∠D，
∴∠AEC=∠C+∠D=2∠C，
∴∠C=12∠AEC=12×40∘=20∘．
7. D【解析】A．−12+−13=1−1=0，故本选项不合题意；
B．x23−2x5=x6−2x5，故本选项不合题意；
C．9+3=3+3，故本选项不合题意；
D．a2−2ab+b2b−a=b−a2b−a=b−a，故本选项符合题意．
8. D【解析】设二、三两个月新注册用户每月平均增长率是 x，
根据题意得 2001+x2=338，
解得 x=−2.3（不合题意舍去），x=0.3．
故二、三两个月新注册用户每月平均增长率是 30%．
9. C【解析】∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，AB=4，
∴DC=AB=4，
连接 FN，FM，EM，EN，
∵ 以点 E 为圆心，大于点 E 到 BD 的距离为半径画弧，两弧相交于点 F，
∴FM=FN，EM=EN，
∴EF⊥NM，
∵BD⊥DC，
∴EF∥CD，
∵E 为 BC 中点，
∴G 为 BD 的中点，
∵DG=3，AB=4，
∴BD=2DG=6，
在 Rt△BDC 中，由勾股定理得：BC=BD2+CD2=62+42=213．
10. D
【解析】设旋转角为 α，则 ∠BCN=∠ACM=α，
∵∠A=∠M=50∘，∠ABC=∠N=60∘，
∴∠ACB=∠MPN=70∘，
∴∠BCM=70∘−α，
∵ 点 O 是 △BCQ 的内心，
∴∠BCO=12∠BCM=35∘−12α，∠CBO=12∠ABC=30∘，
∵∠BOC=130∘，
∴35∘−12α+30∘+130∘=180∘，解得 α=30∘，
∴∠BCN=30∘，
∵∠N=60∘，
∴∠CHN=90∘，
∴NH=12CN=12×4=2，CH=32CN=32×4=23，
∴S△CNH=12NH⋅CH=23，
∴S阴影=S扇形BCN−S△CHN=30π×42360−23=43π−23．
11. B【解析】①由图象可以看出，a<0，b>0，c>0，故 bc>0，正确，符合题意；
②函数的对称轴为 x=1=−b2a，即 b=−2a，
根据函数的对称轴 x=−1 时，y<0，即 a−b+c<0，
故 3a+c<0，故②错误，不符合题意；
③抛物线在 x=1 时，取得最大值，即 a+b+c≥ax2+bx+c，
故③错误，不符合题意；
④ x=k2+1≥1，而在对称轴右侧，y 随 x 增大而减小，
∵k12+1 ∴ak12+12+bk12+1+c>ak12+22+bk12+2+c，
故 ak12+12+bk12+1>ak12+22+bk12+2 正确，符合题意．
12. A【解析】①在 Rt△ABE 和 Rt△AGE 中，
AB=AG,AE=AE,
∴Rt△ABE≌Rt△AGEHL．
∴∠BAE=∠GAE，BE=EG，
同理，∠GAF=∠DAF，GF=DF，
∴∠EAF=12∠BAD=45∘，故①正确；
②连将 △ADN 绕点 A 顺时针旋转 90∘ 至 △ABH 位置，得到图②，连接 HM，
由旋转知：∠BAH=∠DAN，AH=AN，
∵ 四边形 ABCD 是正方形，
∴∠BAD=90∘，
∵∠EAF=45∘，
∴∠BAM+∠DAN=45∘，
∴∠HAM=∠BAM+∠BAH=45∘，
∴∠HAM=∠NAM，
又 AM=AM，
∴△AHM≌△ANMSAS，
∴MN=MH
∵ 四边形 ABCD 是正方形，
∴∠ADB=∠ABD=45∘
由旋转知：∠ABH=∠ADB=45∘，HB=ND，
∴∠HBM=∠ABH+∠ABD=90∘，
∴MH2=HB2+BM2，
∴MN2=ND2+BM2
∵Rt△ABE≌Rt△AGE，
∴∠BAM=∠GAM．
在 △ABM 和 △AGM 中，
AB=AG,∠BAM=∠GAM,AM=AM,
∴△ABM≌Rt△AGMSAS．
∴MG=MB，
同理 NG=ND，
∴MN2=NG2+MG2
∴△MGN 为直角三角形，故②正确；
③ ∵∠AEB+∠BME+∠DBC=180∘，∠AEF+∠AFE+∠EAF=180∘
∵∠DBC=∠EAF=45∘，∠AEB=∠AEF，
∴∠AFE=∠BME，
∴∠AFE=∠AMN，
∵∠EAF=∠NAM，
∴△AMN∽△AFE，故③正确；
④ ∵BE=EG，GF=FD，BE=2，FD=3，
∴EF=EG+FG=5，
设正方形的边长为 a，则 EC=a−2，FC=a−3，
∵EF2=EC2+FC2，
∴52=a−22+a−32，解得 a=6，
∴AB=AD=6，
∴BD=62，
作 AH⊥BD 于 H，则 AH=32，
∵△AMN∼△AFE，
∴MNEF=AHAG，
∵AG=AB=6，
∴MN5=326，
∴MN=522，故④正确．
综上正确结论的个数是 4 个．
第二部分
13. xx−32
【解析】x3−6x2+9x=xx2−6x+9=xx−32.
14. 310
【解析】根据题意画图如下：
共有 20 种等情况数，其中两个口罩都是粉色的有 6 种，
则两个口罩都是粉色的概率是 620=310．
15. 30∘
【解析】根据题中的新定义得：tan120∘+λ=tan120∘+tanλ1−tan120∘tanλ=tanλ−31+3tanλ=−33，
整理得：−tanλ3+3=1+3tanλ，即 23tanλ=2，
解得：tanλ=33，
∵λ 为锐角，
∴λ=30∘．
16. 1
【解析】如图所示，过 B 作 BC⊥y 轴于 C，过 A 作 AD⊥CB 于 D．
∵△ABO 是等腰直角三角形，
∴∠ABO=∠ADB=∠BCO=90∘，BO=AB，
∴∠CBO=∠BAD，
∴△BCO≌△ADBAAS，
∴BC=AD，CO=BD，
∵ 点 B 在反比例函数 y2=−2kxx>0 的图象上，点 B 的横坐标为 2，
∴ 可设 B2,−k，
∴CO=BD=k，CB=AD=2，
∴A2+k,2−k，
∵ 点 A 在反比例函数 y1=3kxx>0 的图象上，
∴2+k2−k=3k，解得 k1=1，k2=−4（舍去），
∴k 的值为 1．
第三部分
17. 原式=2−3+2×32−1−3=2−3+3−4=−2.
18. 1+−x+1x2−x÷x−1x=1−x−1xx−1÷x2−1x=1−1x⋅xx+1x−1=x−1x⋅xx+1x−1=1x+1.
∵x=0,1,−1 时，原分式无意义，
∴x=2，
当 x=2 时，原式=12+1=13．
19. （1） 100；0.5；15
【解析】总人数是：5÷0.05=100（人数），
m=50100=0.5，n=100×0.15=15．
（2） 补全条形统计图如图所示：
（3） 因为“完全掌握”的频率为 0.3，
所以估计全校对“新型冠状病毒”的防控知识“完全掌握”人数有：2700×0.3=810（人）．
20. ∵ 在 Rt△BCD 中，∠2=45∘，
∴△BCD 是等腰直角三角形，
∴BC=DC．
设 BC=DC=x m，
∵ 在 Rt△ACD 中，∠1=30∘，
∴tan∠1=DCAC=33，
∴AC=3x，
∵AC−BC=220，
∴3x−x=220，解得 x=1103+110．
∵DE=DC+CH−EH，CH=1，EH=15，
∴DE=1103+96≈286.3≈286m．
故电子显示屏 DE 的高度约为 286 m．
21. （1） 设跳绳的售价为 x 元，毽子的售价为 y 元，
依题意，得：
5x+6y=196,2x+5y=120.
解得：
x=20,y=16.
答：跳绳的售价为 20 元，毽子的售价为 16 元．
（2） 设学校购进 m 根跳绳，则购进 400−m 个毽子，
依题意，得：
m≥3400−m,m≤310.
解得：
300≤m≤310.
设学校购进跳绳和毽子一共花了 w 元，
则 w=20×0.8m+16×0.75400−m=4m+4800，
∵4>0，
∴w 随 m 的增大而增大，
∴ 当 m=300 时，w 取最小值，此时 400−m=100．
∴ 学校花钱最少的购买方案为：购进跳绳 300 根，毽子 100 个．
22. （1） ∵y=ax−12+k 的图象的对称轴为 x=1，
又该函数图象过点 A−1,0，
∴ 由对称性可知点 B 的坐标为 3,0，
把 x=−1，y=0 代入，得 0=a−1−12+k，故 k=−4a．
（2） 解法一：
当 ∠ACB=90∘ 时，
∵∠ACO+∠BCO=90∘，∠BCO+∠OBC=90∘，
∴∠ACO=∠CBO，
∴△ACO∽△CBO，
∴OCOB=OAOC
∴OC2=OA⋅OB=3，
∵C0,−3a，
∴9a2=3，
∴a=33 或 −33（舍弃），
OC=3
∵∠ACB 是锐角，
∴OC>3
∴a 的取值范围为 a>33．
【解析】解法二：当 x=0 时，y=−3a，
∴ 当 ∠ACB=90∘ 时，AC2+BC2=AB2，
即 1+9a2+9+9a2=42，解得 a=±33，
∴a 取 33，
当 ∠ACB=90∘ 时，则 AC2+BC2>AB2，
∴a>33．
（3） AP+12PC 的最小值为 23．
【解析】如图，过点 A 作 AH⊥BC 于 H，过点 P 作 PJ⊥BC 于 J．
在 Rt△BOC 中，
∵tan∠OCB=BOCO=335=33，
∴∠OCB=30∘，∠ABC=60∘
∴AH=ABsin60∘=23，
在 Rt△PCJ 中，PJ=12PC，
∴AP+12PC=AP+PJ，
∴ 当 A，P，J 共线且 ⊥BC 时，AP+12PC 的值最小，
即 12PC+PA 的最小值为点 A 到 BC 的距离 AH，
∴AP+12PC 的最小值为 23．
23. （1） 如图 1，连接 OP．
∵AC 切 ⊙O 于点 C，
∴AC⊥BC．
∵BC=30，AC=40，
∴AB=50．
由 S△ADC=12AB⋅CD=12AC⋅BC，
即 12×50×CD=12×40×30，解得 CD=24，
当 OP⊥CD 时，点 P，O 的距离最小，此时 PD=12CD=12．
（2） 如图 2，连接 CE．
∵EF 为 ⊙O 的直径，
∴∠ECF=90∘．
由（1）知，∠ACB=90∘，
由 AO2=AC2+OC2，得 AE+152=402+152，解得 AE=573−15．
∵∠ACB=∠ECF=90∘，
∴∠ACE=∠BCF=∠AFC．
又 ∠CAE=∠FAC，
∴△ACE∽△AFC，
∴CEFC=AEAC．
∴tanF=CECF=AEAC=57340−1540=738−38．
（3） CH 的最小值为 373−9．
【解析】如图 3，以 BD 为直径作 ⊙G，
则 G 为 BD 的中点，DG=9，
∵DH⊥PB，
∴ 点 H 总在 ⊙G 上，GH=9，
∴ 当点 C，H，G 在一条直线上时，CH 最小，
此时，CG=CD2+DG2=242+92=373，CH=373−9，
即 CH 的最小值为 373−9．