2020年广东省深圳市宝安区中考二模数学试卷

这是一份2020年广东省深圳市宝安区中考二模数学试卷，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共12小题；共60分）
1. −5 的倒数是
A. −5B. 5C. 15D. −15

2. 我国于 2019 年 10 月 1 日在北京天安门广场举行大型阅兵仪式，在此次活动中，约有 15000 名官兵通过天安门广场接受党和人民的检阅，将数字 15000 用科学记数法表示为
A. 1.5×103B. 1.5×104C. 0.15×105D. 15×103

3. 如图，由若干个棱长为 1 的小正方体摆成的几何体，则下列说法正确的是
A. 主视图的面积为 4B. 左视图的面积为 4
C. 俯视图的面积为 3D. 三种视图的面积都是 4

4. 下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是
A. B.
C. D.

5. 下列运算正确的是
A. a23=a5B. 2a+3a=5a2
C. a+b2=a2+b2D. −ab23=−a3b6

6. 某同学对一组数据 2，3，4，5，5，7 进行统计分析，误把 3 看成了 8，则这组数据的计算结果不受影响的是
A. 平均数B. 中位数C. 极差D. 众数

7. 下列命题中正确的是
A. 1 的平方根等于它本身
B. 一元二次方程 x2+x−1=0 无解
C. 任意多边形的外角和是 360∘
D. 如果两个圆周角相等，那么它们所对的弧长一定相等

8. 小天使童装店一件童装标价 80 元，在促销活动中，该件童装按标价的 6 折销售，仍可获利 20%，则这种童装每件的进价为 元．
A. 30B. 40C. 50D. 60

9. 定义一种新运算：x1,y1x2,y2=x1x2+y1y2，如 2,51,3=2×1+5×3=17，若 1,x2,−5=7，则 x=
A. −1B. 0C. 1D. 2

10. 如图，抛物线 y=ax2+bx+ca≠0 的顶点为 P−1,0，则下列结论错误的是
A. b>0
B. a=c
C. 当 x>0 时，y 随 x 的增大而增大
D. 若 ax12+bx1=ax22+bx2，且 x1≠x2，则 x1+x2=2

11. 如图，在 △ABC 中，分别以点 A 和点 B 为圆心，大于 12AB 的长为半径作弧，两弧相交于 M，N 两点，连接 MN，交 AB 于点 H，以点 H 为圆心，HA 的长为半径作的弧恰好经过点 C，以点 B 为圆心，BC 的长为半径作弧交 AB 于点 D，连接 CD，若 ∠A=22∘，则 ∠BDC=
A. 52∘B. 55∘C. 56∘D. 60∘

12. 如图，在 △ABC 中，∠ACB=90∘，AC=BC，点 D 为边 AC 上一点，连接 BD，作 AH⊥BD 的延长线于点 H，过点 C 作 CE∥AH 与 BD 交与点 E，连接 AE 并延长与 BC 交于点 F．现有如下 4 个结论：
① ∠HAD=∠CBD；
② △ADE∽△BFE；
③ CE⋅AH=HD⋅BE；
④若 D 为 AC 中点，则 S△CEFS△BEF=CEBE2．
其中正确结论有 个．
A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 4 个

二、填空题（共4小题；共20分）
13. 因式分解：x2y−4y= ．

14. 一个正方体的骰子六个面分别标有数字 1，2，3，4，5，6，则扔一次骰子朝上的数字满足不等式 x≤4 的概率是 ．

15. 如图，从甲楼顶部 A 处测得乙楼顶部 D 处的俯角 α 为 30∘，又从 A 处测得乙楼底部 C 处的俯角 β 为 60∘．已知两楼之间的距离 BC 为 18 米，则乙楼 CD 的高度为 ．（结果保留根号）

16. 如图，在正方形 ABCD 中，AB=2，M 为 CD 的中点，N 为 BC 的中点，连接 AM 和 DN 交于点 E，连接 BE，作 AH⊥BE 于点 H，延长 AH 与 DN 交于点 F．连接 BF 并延长与 CD 交于点 G，则 MG 的长度为 ．

三、解答题（共7小题；共91分）
17. 计算：12−2+1−3−3tan30∘+2020−π0．

18. 先化简，再求值：x2−1x2+2x+1÷1−1x+1，其中 x=2．

19. 面对突如其来的疫情，全国人民响应党和政府的号召，主动居家隔离．随之而来的，则是线上买菜需求激增．某小区为了解居民使用买菜 APP 的情况，通过制作无接触配送置物架，随机抽取了若干户居民进行调查（每户必选且只能选最常用的一个 APP），现将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图：（A：天虹到家，B：叮咚买菜，C：每日优鲜，D：盒马鲜生）
（1）本次随机调查了 户居民；
（2）补全条形统计图的空缺部分；
（3）若该小区共有 1200 户居民，请估计该小区居民选择“C：每日优鲜”的大约有 户；
（4）某日下午，张阿姨想购买苹果和生菜，各 APP 的供货情况如下：天虹到家仅有苹果在售，叮咚买菜仅有生菜在售，每日优鲜仅有生菜在售，盒马鲜生的苹果、生菜均已全部售完，则张阿姨随机选择两个不同的 APP 能买到苹果和生菜的概率是 ．

20. 如图，一次函数 y1=−13x+3 与反比例函数 y2=kx 的图象交于 A，B 两点，A 点的横坐标为 3．
（1）求反比例函数的解析式：
（2）结合图象，直接写出 y1
21. 在我市雨污分流工程中，甲、乙两个工程队共同承担茅洲河某段 720 米河道的清淤任务，已知甲队每天能完成的长度是乙队每天能完成长度的 2 倍，且甲工程队清理 300 米河道所用的时间比乙工程队清理 200 米河道所用的时间少 5 天．
（1）求甲、乙两工程队每天各能完成多少米的清淤任务；
（2）若甲队每天清淤费用为 2 万元，乙队每天清淤费用为 0.8 万元，要使这次清淤的总费用不超过 60 万元，则至少应安排乙工程队清淤多少天?

22. 如图， AB 是 ⊙O 的直径， C 为 ⊙O 上一点，作 CE⊥AB 于点 E ， BE=2OE ，延长 AB 至点 D ，使得 BD=AB ， P 是 AB （异于 A ， B ）上一个动点，连接 AC ， PE ．
（1）若 AO=3 ，求 AC 的长度；
（2）求证： CD 是 ⊙O 的切线；
（3）点 P 在运动的过程中是否存在常数 k ，使得 PE=k⋅PD ，如果存在，求 k 的值，如果不存在，请说明理由．

23. 如图 1 ，在平面直角坐标系中，等边 △ABC 的边 BC 在 x 轴上， A(0,3) ， B(−3,0) ，点 M(m,0) 为 x 轴上的一个动点，连接 AM ，将 AM 绕点 A 逆时针旋转 60∘ 得到 AN ．
（1）当 M 点在 B 点的左方时，连接 CN ，求证： △BAM≌△CAN ；
（2）如图 2 ，当 M 点在边 BC 上时，过点 N 作 ND∥AC 交 x 轴于点 D ，连接 MN ，若 S四边形ACDN=43S△MND ，试求 D 点的坐标；
（3）如图 3 ，是否存在点 M ，使得点 N 恰好在抛物线 y=−2x2+43x+3 上，如果存在，请求出 m 的值，如果不存在，请说明理由．
答案
第一部分
1. D【解析】∵−5×−15=1，
∴−5 的倒数是 −15．
2. B【解析】15000=1.5×104．
3. A【解析】根据几何体的摆放，可以发现：
主视图有 4 个正方体，故主视图的面积为 4，选项A正确；
左视图有 3 个正方体，故左视图的面积为 3，选项B、选项D均错误；
而俯视图有四个正方体，故俯视图的面积为 4，故选项C错误．
4. C【解析】A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
C．不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项正确；
D．是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误．
5. D
【解析】A．a23=a6，故此选项错误；
B．2a+3a=5a，故此选项错误；
C．a+b2=a2+2ab+b2，故此选项错误；
D．−ab23=−a3b6，正确．
6. D【解析】A．原平均数为 2+3+4+5+5+7÷6=133，
把 3 看成了 8 后的平均数为 2+8+4+5+5+7÷6=316，
而 133≠316，即这组数据的平均数受影响，故本选项不符合题意；
B．原中位数为 4+5÷2=4.5，把 3 看成了 8 后的中位数为 5+5÷2=5，
而 4.5≠5，即这组数据的中位数受影响，故本选项不符合题意；
C．原极差为 7−2=5，把 3 看成了 8 后的极差为 8−2=6．
而 5≠6，即这组数据的极差受影响，故本选项不符合题意；
D．原众数为 5，把 3 看成了 8 后的众数为 5，
即这组数据的众数不受影响，故本选项符合题意．
7. C【解析】A．1 的平方根是 ±1，故本选项错误；
B．b2−4ac=12−4×1×−1=5>0．
∴ 一元二次方程 x2+x−1=0 有两个不相等的实数根，故本选项错误；
C．任意多边形的外角和是 360∘，故本选项正确；
D．如果两个圆周角相等，但它们在半径不相等的两个圆中，那么它们所对的弧长不相等，故本选项错误．
8. B【解析】设这种童装每件的进价为 x 元，
根据题意：80×60%−x=20%x，解得：x=40（元）．
9. A【解析】根据新定义：1,x2,−5=1×2−5x=7，解得 x=−1．
10. D
【解析】A．抛物线的对称轴为 x=−1，
∴−b2a=−1，b=2a，抛物线开口向上，a>0，
∴b>0，故A选项正确；
B．抛物线过点 P−1,0，代入得：a−b+c=0，
∵b=2a，
∴a−2a+c=−a+c=0，
∴a=c，故B选项正确；
C．由图象可知，当 x>0 时，y 随 x 的增大而增大，故C选项正确；
D．∵ax12+bx1=ax22+bx2，且 x1≠x2，
∴ax1−x2x1+x2=bx2−x1，
∴x1+x2=−ba，
∵b=2a，x1+x2=−2，故D选项错误．
11. C【解析】∵ 根据做法可知：MN 是 AB 的垂直平分线，
∴AH=BH=CH，
∴∠ACB=90∘，
∵∠A=22∘，
∴∠B=68∘，
∵ 又根据做法可知：BC=BD，
∴∠BDC=56∘．
12. B【解析】∵∠ACB=90∘，AH⊥BD，
∴∠ACB=AHD=90∘，
∵∠AHD=∠BDC，
∴∠HAD=∠DBC，
∴ ①正确．
在 △ADE 与 △BFE 中，若 △ADE∽△BFE，则 ∠DAE=∠FBE．
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠BAC，
∴∠EAB=∠EBA，
∴EA=EB，
∴CE 为 AB 的中垂线，
∵CE⊥BH，
∴BH∥AB，与 AB，BH 相交，
∴ ②错误；
∵AH⊥DH，CE∥AD，
∴CE⊥BD，∠HAD=∠DCE，
由 ∠DCB=∠CEH=90∘，
∴∠DCE+∠BCE=∠EBC+∠BCE=90∘，∠DCE=∠EBC，
∴∠HAD=∠EBC，
∵∠AHD=∠CEB=90∘，
∴△AHD∽△BEC，
∴AHBE=HDEC，
∴AH⋅EC=BE⋅HD，
∴ ③正确；
∵∠ACB=90∘，CE⊥BD，
∴∠CDE+∠DCE=∠DCE+∠BCE=90∘，
∴∠CDE=∠BCE，
∴△DCE∽△CBE，
∴DECE=CEBE，
∴CE2=DE⋅BE，
∴CEBE2=DE⋅BEBE2=DEBE，
∵S△CEFS△BEF=12CF⋅hBC12BF⋅hBC=CFBF，
显然：EF 与 CD 不平行．
∴CFBF≠DEBE．
∴S△CEFS△BEF=CEBE2 错误，故④错误．
第二部分
13. yx+2x−2
【解析】先提取公因式 y，再利用平方差公式分解因式即可，
即 x2y−4y=yx2−4=yx−2x+2．
14. 23
【解析】∵ 扔一次由 6 种可能，但小于等于 4 的有 4 种情况，
∴ 概率 P=46=23．
15. 123
【解析】由题意知：∠ACB=∠β=60∘，BC=18，
∴tan∠ACB=tan60∘=ABBC，
∴AB=BC×tan60∘，
如图，延长 CD 交楼顶与 E 点，
∴CE=BC×tan60∘，
又 ∠DAE=30∘，
∴tan∠DAE=tan30∘=DEAE=DEBC,
∴DE=BC×tan30∘，
∴CD=CE−DE=AB−DE，即 CD=AB−DE=BC×tan60∘−BC×tan30∘，
∵BC=18，代入求解得：CD=123．
16. 13
【解析】如图，过点 F 作 PQ 平行于 BC，分别交 AB，DC 于点 P 、点 Q，连接 MF．
∴∠APF=∠MQF=90∘．
设 MQ=x，则 QD=x+1=AP．
∵ 在正方形 ABCD 中，AB=2，M 为 CD 的中点，N 为 BC 的中点，
∴MD=NC=12AB=1，又 AD=CD，
∴△AMD≌△DNC．
∴∠NDC=∠DAM．
∴∠DEM=90∘，又 ∠MDE=∠FDQ，
∴△DEM∽△FDQ．
∴MEQF=DEDQ．
又 ∵∠DEM=90∘，∠MDE=∠NDC，
∴△DEM∽△DNC．
∴MENC=DEDC．
∴DE=2ME．
∵DM=1，
由勾股定理可得：ME=55，DE=255，
代入 MEQF=DEDQ，
∴DQ=2QF，
∴QF=x+12，
∴PF=2−QF=2−x+12=3−x2，
在 Rt△AMD 中，AD=2，DM=1．
∴AM=5．
∴AP2+PF2=x+12+3−x22=AF2．
∵AM2−MF2=52−MQ2+QF2=5−x2−x+122=AF2，
∴x+12+3−x22=5−x2−x+122．
整理得：5x2+2x−3=0，解得：x=35，x=−1（舍去）．
又 ∠FGQ=∠BGC，∠C=∠C，
∴△FGQ∽△BGC，
∴GQGC=QFBC，即 GC−QCGC=QFBC．
∵QC=CD−DQ=1−x，
∴GC−1−xGC=x+122，解得：GC=23．
∴MG=MC−GC=1−23=13．
第三部分
17. 原式=4+3−1−3×33+1=4+3−1−3+1=4.
18. 原式=x+1x−1x+12÷x+1−1x+1=x−1x+1×x+1x=x−1x，
将 x=2 代入上式得，原式=2−12=12．
19. （1） 200
【解析】∵D 组由 30 户，占总调查户数的 15%，
∴ 本次随机调查的居民有：30÷15%=200（户）．
（2） 由题意得，A 组居民有：200−80−40−30=50（户）．
补全条形统计图如下：
（3） 240
【解析】1200×40÷200×100%=240（户）．
答：该小区居民选择“C：每日优鲜”的大约有 240 户．
（4） 13
【解析】画树状图如下：
由树状图可知：共有 12 种等可能的结果，可以买到苹果和生菜的结果有 4 种，
∴P买到苹果和生菜=412=13．
20. （1） ∵ 一次函数 y1=−13x+3 与反比例函数 y2=kx 的图象交于 A，B 两点，A 点的横坐标为 3，
∴y1=−13×3+3=2，故 A 点坐标为：3,2，
把 A3,2 代入反比例函数 y2=kx 得到：2=k3，解得：k=6，
故反比例函数的解析式为：y2=6x．
（2） 结合一次函数 y1=−13x+3 与反比例函数 y2=6x 得到：
y=−13x+3,y=6x,
解得：x=3,y=2 或者 x=6,y=1,
∴B 点坐标为：6,1，
从图象可以得到，再 A 的左边或者 B 的右边都有 y1 ∴ 当 y16．
21. （1） 设乙工程队每天能完成清淤任务是 x 米，
则甲工程队每天能完成清淤任务是 2x 米．
根据题意得：
200x−3002x=5.
解得：
x=10.
经检验 x=10 是原方程的解，
则甲工程队每天能完成清淤任务是 2×10=20（米）．
答：甲工程队每天能完成 20 米的清淤任务，乙工程队每天能完成 10 米的清淤任务．
（2） 设应安排乙工程队清淤 y 天，
根据题意得：
0.8y+720−10y20×2≤60.
解得：
y≥60.
答：至少应安排乙工程队清淤 60 天．
22. （1） ∵ AO=3 ， BE=2OE ．
∴ OE=1 ， BE=2 ．
∴ AE=4 ．
∵ AB 是 dtO 的直径．
∴ ∠ACB=90∘ ，
∵ CE⊥AB ，
∴ ∠AEC=90∘ ，
∵ CE⊥AB ，
∵ ∠A=∠A ，
∴ △ACB∽△AEC ，
∴ ACAE=ABAC ，
∴ AC2=AE⋅AB=4×6=24 ，
∴ AC=26 ．
（2） 连接 OC ，设 OB=OC=3k ，
∵ OE=k ， BE=2k ，
在 Rt△DEC 中， DE=BE+BD=8k ，由勾股定理得：
CD=62k ，
在 △ODC 中，
∵ (3k)2+(62k)2=81k2=(9k)2 ，
∴ OC2+DC2=OD2 ，
∴ ∠OCD=90∘ ，
∴ OC⊥DC ，
∴ CD 是 ⊙O 的切线．
（3） 连接 PO ，设 OB=OC=OP=3k ，
∵ BE=2OE ，
∴ OE=k ，
∵ OEOP=OPOD=13 ， ∠EOP=∠POD ，
∴ △EOP∽△POD ，
∴ PEPD=OPOD=13 ．
∴ PE=13PD ，
∴ k=13 ．
23. （1） ∵ △ABC 是等边三角形，
∴ ∠BAC=60∘ ， AB=AC ．
∴ ∠BAC=∠MAN ，
即 ∠CAN+∠BAN=∠MAB+∠BAN ，
∴ ∠CAN=∠MAB ，
∵ AB=AC ， AM=AN ．
∴ △BAM≌△CAN(SAS) ．
（2） 连接 CN ，
∵ AB=AC ， AM=AN ， ∠BAM=∠CAN ，
∴ △BAM≌△CAN(SAS) ，
∵ AM=AN ．
∴ ∠MAN=60∘ ．
∴ △AMN 为等边三角形，
∵ AB=AC ，
∴ ∠ABC=∠ACB ，
∵ ND∥AC ，
∴ ∠NDM=∠ACB ，
∴ ∠NDM=∠ABC ，
∵ ∠AMD=∠AMN+∠DMN=∠BAM+∠ABM ， ∠AMN=∠ABM ，
∴ ∠BAM=∠DMN ．
∵ AM=MN ．
∴ △ABM≌△MDN(ASA) ，
∴ BM=CD ，
∵ S四边形ACDN=43S△MND=S△ACN+S△DCN ，
∴ S△DCN=13S△MND ，
∴ CD=13DM=13AB ，
∴ CD=233 ，
∴ D(533,0) ．
（3） 过点 C 作 CE∥AB 交 y 轴于 E ，由（ 1 ）（ 2 ）可知点 N 在 CE 上． CE 与抛物线交于 N1 、 N2 ．
由题意得 C(3,0) ， B(0,−3) ，
∴ 直线 CN 的表达式为： y=3x−3 ，
联立 y=−2x2+43x+3,y=3x−3,
解得 x1=23,y1=3,x2=−32,y2=−92.
∴ N1(23,3) ， N2(−32,−92) ．
AM 绕点 A 逆时针旋转 60∘ 得到 AN1 时， M(m,0) ，
∴ AM=AN1 ，
∵ AN1∥x 轴且 AN1=23 ，
∴ ∠MAN1=60∘ ， ∠MAO=60∘ ．
∴ m=3 ，
AM 绕点 A 逆时针旋转 60∘ 得到 AN2 时， M(m,0) ， CN2=(3+32)2+(0+92)2=33 ，
由（ 1 ）可证
∴ BM2=CN2=33 ，
∴ OM2=OB+BM2=3+33=43 ，
∴ m=−43 ，
综上所述： m=3 或 −43 ．