2020年广东省广州市越秀区中考一模数学试卷

这是一份2020年广东省广州市越秀区中考一模数学试卷，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共10小题；共50分）
1. 13 的绝对值是
A. −13B. −3C. 13D. 3

2. 在下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是
A.
直角三角形
B.
正五边形
C.
正方形
D.
平行四边形

3. 如图，CD 是圆 O 的直径，AB 是圆 O 的弦，且 AB=10，若 CD⊥AB 于点 E，则 AE 的长为
A. 4B. 5C. 6D. 8

4. 下列计算正确的是
A. b3⋅b3=2b3B. a−b+c=a−b+c
C. a+b2=a2+b2D. a52=a10

5. 若点 Ax1,y1，Bx2,y2 在反比例函数 y=−3x 的图象上，且 x1<0A. y1<00>y2C. y1>y2>0D. y1
6. 下列说法正确的是
A. 为了了解长沙市中学生的睡眠情况，应该采用普查的方式
B. 某种彩票的中奖机会是 1%，则买 100 张这种彩票一定会中奖
C. 若甲组数据的方差 s甲2=0.1，乙组数据的方差 s乙2=0.2，则乙组数据比甲组数据稳定
D. 一组数据 1，5，3，2，3，4，8 的众数和中位数都是 3

7. 如图是一个正方体的平面展开图，若正方体中相对的面上的数字或代数式的乘积都小于 0，则整数 x 的值是
A. 0B. 1C. −1D. 2

8. 若关于 x 的一元二次方程 m−1x2−2m−1x+1=0 有两个相等的实数根，则 m 的值是
A. 0B. 1C. 2D. 1 或 2

9. 在图网格中，小正方形的边长为 1，点 A，B，C，D 都在格点上，AB 与 CD 相交于点 O，则 ∠AOC 的正切值是
A. 23B. 32C. 35D. 53

10. 在同一平面直角坐标系中，函数 y=ax2+bx+2b 与 y=−ax+b 的图象可能是
A. B.
C. D.

二、填空题（共6小题；共30分）
11. 要使代数式 x+2x−1 有意义，则 x 的取值范围是 ．

12. 分解因式：3a2+6a+3= ．

13. 有一人患了流感，假如学均一个人传染了 x 个人，经过两轮感染后共有 121 人患了流感，依题意可列方程为 ．

14. 如图所示是由若干个大小相同的小正方体所搭成的几何体从三个方向看到的图形，则搭成这个几何体的小正方体的个数是 个．

15. 如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90∘，AC=8，BC=6，⊙O 为 ABC 的内切圆，OA，OB 与 ⊙O 分别交于点 D，E，则劣弧 DE 的长是 ．

16. 如图，ABCD 为正方形，∠CAB 的角平分线交 BC 于点 E，过点 C 作 CF⊥AE 交 AE 的延长线于点 G，CF 与 AB 的延长线交于点 F，连接 BG，DG．与 AC 相交于点 H，则下列结论：① △ABE≌△CBF；② GF=CG；③ BG⊥DG；④ DH=2−1AE，其中正确的是 ．

三、解答题（共9小题；共117分）
17. 解方程：2x+3=3x−2．

18. 已知：如图，E 为 BC 上一点，AC∥BD，AC=BE，BC=BD．求证：AB=DE．

19. 已知 P=a−3+9a+3÷aa2−9．
（1）化简 P；
（2）若 a 为方程 13x2−x−2=0 的解，求 P 的值．

20. 某班举行跳绳比赛，赛后整理参赛学生的成绩，将学生成绩分为 A，B，C，D 四个等级，并将结果绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图，但均不完善．
请你根据统计图解答下列问题：
（1）参加比赛的学生共有 名；
（2）在扇影统计图中，m 的值为 ，表示 D 等级的扇形的圆心角为 度；
（3）先决定从本次比赛获得 B 等级的学生中，选出 2 名去参加学校的游园活动，已知 B 等级学生中男生有 2 名，其他均为女生，请用列表法或画树状图法求出所选 2 名学生给好是一名男生一名女生的概率．

21. 疫情期间为了满足口罩需求，某学校决定购进 A，B 两种型号的口罩．若购进 A 型口罩 10 盒，B 型口罩 5 盒，共需 1000 元；若购进 A 型口罩 4 盒，B 型口罩 3 盒，共需 550 元．
（1）求 A，B 两种型号的口罩每盒各需多少元?
（2）若该学校决定购进这两种型号的口罩共计 200 盒，考虑到实际需求，要求购进 A 型号口罩的盒数不超过 B 型口罩盒数的 6 倍，请为该学校设计出最省钱的方案，并说明理由．

22. 如图所示，一次函数 y=k1x+8 的图象与坐标轴分别相较于点 A，B，与反比例 y=k2x 函数的图象相交于 C，D．过点 C 作 CE⊥y 轴，垂足为 E，且 CE=2．
（1）求 4k1−k2 的值；
（2）若 CD=2AC，求反比例函数的解析式．

23. 如图所示，在 △ABC 中，AB=AC=25，∠B=30∘，点 O 为边 BC 上一点以 O 为圆心的圆经过点 A，B．
（1）求作圆 O（尺规作图，保留作留痕迹，不写作法）；
（2）求证：AC 是 ⊙O 的切线；
（3）若点 P 为圆 O 上一点，且弧 PA= 弧 PB，连接 PC，求线段 PC 的长．

24. 已知抛物线 G:y=x2−2mx 与直线 l:y=3x+b 相交于 A，B 两点（点 A 的横坐标小于点 B 的横坐标）．
（1）求抛物线 y=x2−2mx 顶点的坐标（用含 m 的式子表示）；
（2）已知点 C−2,1，若直线 l 经过抛物线 G 的顶点，求 △ABC 面积的最小值；
（3）若平移直线 l，可以使 A，B 两点都落在 x 轴的下方，求实数 m 的取值范围．

25. 如图所示，ABCD 为平行四边形，AD=13，AB=25，∠DAB=α，且 csα=513，点 E 为直线 CD 上一动点，将线段 EA 绕点 E 逆时针旋转 α 得到线段 EF，连接 CF．
（1）求平行四边形 ABCD 的面积；
（2）当点 C，B，F 三点共线时，设 EF 与 AB 相交于点 G，求线段 BG 的长；
（3）求线段 CF 的长度的最小值．
答案
第一部分
1. C【解析】根据数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值的定义，
在数轴上，点 13 到原点的距离是 13，
∴13 的绝对值是 13．
2. C【解析】A、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；
C、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项正确；
D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误．
故选C．
3. B【解析】∵AB 是圆 O 的弦，CD⊥AB，
∴AE=12AB=5．
4. D【解析】A、 b3⋅b3=b6，故A选项错误；
B、 a−b+c=a−b−c，故B选项错误；
C、 a+b2=a2+2ab+b2，故C选项错误；
D、 a52=a10，故D选项正确；
故选D．
5. B
【解析】∵ 反比例函数 y=−3x，
∴ 该函数图象在第二、四象限，在每个象限 y 随 x 增大而增大．
∵Ax1,y1，Bx2,y2 在反比例函数 y=−3x 的图象上，且 x1<0 ∴y1>0>y2．
6. D【解析】A．为了解长沙市中学生的睡眠情况，应该采用抽样调查的方式，不符合题意；
B．某种彩票的中奖机会是 1%，则买 100 张这种彩票可能会中奖，不符合题意；
C．若甲组数据的方差 s甲2=0.1，乙组数据的方差 s乙2=0.2，则甲组数据比乙组数据稳定，不符合题意；
D．一组数据 1，5，3，2，3，4，8 的众数和中位数都是 3，符合题意．
7. B【解析】根据正方形的展开图可知，1 对 −2，−3 对 3x−1，4 对 2x−3，
正方体中相对的面上的数字或代数式的乘积都小于 0，
则 −33x−1<0, ⋯⋯①42x−3<0. ⋯⋯②
由 ① 得：x>13，
由 ② 得：x<32，
则不等式组的解集为：13 ∵x 为整数，
∴x=1．
8. C【解析】关于 x 的一元二次方程 m−1x2−2m−1x+1=0 有两个相等的实数根，
则 Δ=−2m−12−4m−1=0,m−1≠0,
解得：m1=1，m2=2，m≠1，
∴m=2．
9. A【解析】过点 B 作 BE∥DC，交格点于点 E，且 BE=DC，
过点 E 作 EH⊥AB 于点 H，连接 AE．
∴∠ABE=∠AOC．
∴BE=22+42=25．
∴S△ABE=12×5×4=10．
有勾股定理知 AB=72+42=65．
∴S△ABE=12AB⋅EH=10，解得：EH=46513．
在 Rt△BEH 中，BH=BE2−EH2=252−465132=66513．
∴tan∠ABE=EHBE=4651366513=23．
∴tan∠AOC=23．
10. D
【解析】A、当 x=−1 时，两函数值相等，即 x=−1 时，两函数相交，故A选项错误；
B、由二次函数图象知，a>0，b<0，则对称轴在 y 轴右侧，故B选项错误；
C、由二次函数图象知，a<0，b>0，则对称轴在 y 轴右侧，故C选项错误；
D、由二次函数图象知，a>0，b<0，则对称轴在 y 轴右侧，一次函数过第二、三、四象限，故D选项正确；
故选D．
第二部分
11. x≥−2 且 x≠1
【解析】∵ 代数式 x+2x−1 有意义，
∴x+2≥0 且 x−1≠0．
∴x≥−2 且 x≠1．
12. 3a+12
【解析】3a2+6a+3=3a2+2a+1=3a+12．
13. x+12=121
【解析】依题意，得：1+x+x1+x=121，即 x+12=121．
14. 7
【解析】几何体分布情况如下图所示：
则小正方体的个数为 2+3+1+1=7．
15. 32π
【解析】如图，作 OF⊥AC 于点 F，OG⊥BC 于点 G，OH⊥AB 于点 H，
设圆 O 的半径为 r，则四边形 CFOG 是矩形，
在 Rt△ABC 中，
∵∠C=90∘，AC=8，BC=6，
∴AB=AC2+BC2=10，
∵⊙O 为 ABC 的内切圆，
∴OF=OG，
∴ 矩形 CFOG 是正方形，
∴CF=CG=r，则 AF=AH=8−r，BG=BH=6−r，
∴AH+BH=8−r+6−r=10，解得：r=2，
又 ∵⊙O 为 ABC 的内切圆，
∴OA，OB 分别平分 ∠CAB，∠ABC，
∴∠OAB=12∠CAB，∠OBA=12∠ABC，
∵∠C=90∘，
∴∠OAB+∠OBA=12∠CAB+∠ABC=12×90∘=45∘，
∴∠DOE=180∘−∠OAB+∠OBA=135∘，
∴ 劣弧 DE 的长是：135π×2180=32π．
16. ①②③
【解析】∵ 四边形 ABCD 为正方形，
∴AB=BC，∠ABC=∠CBF=90∘．
∴∠BAE+∠AEB=90∘．
∵AG⊥CF，
∴∠BCF+∠CEG=90∘．
∵∠BEA=∠CEG，
∴∠BAE=∠BCF．
∴△ABE≌△CBF，故①正确；
∵AG 平分 ∠FAC，AE⊥CF，
∴∠CAG=∠FAG，∠AGC=∠AGF=90∘．
又 ∵AG=AG，
∴△ACG≌△AFG，
∴CG=FG，故②正确；
延长 DG，AB 交于点 M，
在 △DCG 和 △MFG 中，
∠DCG=∠MFG,FG=CG,∠MGF=∠DGC,
△DCG≌△MFG．
∴DG=MG，FM=DC=AB．
∴AF=BM．
∵AF=AC，
∴BM=AC=BD，
∴BG⊥DG，故③正确；
∵∠CDH=∠CAE，∠DCH=∠ACE，
∴△DCH∽△ACE．
∴DHAE=DCAC=12．
∴AE=2DH，故④不正确．
第三部分
17.
2x+3=3x−2.2x−2=3x+3.2x−4=3x+9.x=−13.
检验：当 x=−13 时，x+3x−2≠0，
所以 x=−13 是原分式方程的解．
18. ∵AC∥BD，
∴∠C=∠CBD，
在 △ACB 和 △EBD 中
AC=EB,∠C=∠EBD,BC=DB,
∴△ACB≌△EBD，
∴AB=DE．
19. （1） P=a−3+9a+3÷aa2−9=a+3a−3+9a+3×a+3a−3a=a2a+3×a+3a−3a=a2−3a.
（2） ∵a 为方程 13x2−x−2=0 的解，
∴13a2−a−2=0，整理得：a2−3a=6，
∴P 的值是 6．
20. （1） 20
【解析】3÷15%=20（名）．
（2） 40；72
【解析】∵8÷20=40%，
∴m=40；
表示 D 等级的扇形的圆心角为：360∘×420=72∘．
（3） B 等级学生人数为 20−3−8−4=5（人），
B 等级学生中男生有 2 名，则女生有 3 名，
画树状图如图：
共有 20 个等可能的结果，所选 2 名学生恰好是一名男生一名女生的结果有 12 个，
∴ 所选 2 名学生恰好是一名男生一名女生的概率为 1220=35．
21. （1） 设购进 A 型口罩每盒需 x 元，B 型口罩每盒需 y 元．
依题意，得：
10x+5y=1000,4x+3y=550.
解得：
x=25,y=150.
答：购进 A 型口罩每盒需 25 元，B 型口罩每盒需 150 元．
（2） 设购进 m 盒 A 型口罩，则购进 200−m 盒 B 型口罩．
依题意，得：
m≤6200−m.
解得：
m≤17137.
设该学校购进这批口罩共花费 w 元，
则 w=25m+150200−m=−125m+30000．
∵−125<0，
∴w 随 m 的增大而减小，
又 ∵m≤17137，且 m 为整数，
∴ 当 m=171 时，w 取得最小值，此时 200−m=29．
∴ 最省钱的购买方案为：购进 171 盒 A 型口罩，29 盒 B 型口罩．
22. （1） ∵CE=2，
∴C 点的横坐标为 −2．
当 x=−2 时，y=k1x+8=−2k1+8；
当 x=−2 时，y=k2x=−k22．
∴−2k1+8=−k22．
∴4k1−k2=16．
（2） 作 DF⊥y 轴于 F，如图．
∵CE∥DF，
∴CEDF=CAAD，而 CD=2AC，
∴2DF=13，解得 DF=6．
当 x=−6 时，y=k1x+8=−6k1+8；
当 x=−6 时，y=k2x=−k26．
∴−6k1+8=−k26．
∴36k1−k2=48．
∵4k1−k2=16，
∴k1=1，k2=−12．
∴ 反比例函数解析式为 y=−12x．
23. （1） 如图，圆 O 即为所求．
（2） 连接 OA，
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠B=30∘，
∵AB=AC，
∴∠ACB=∠B=30∘，
∴∠BAC=120∘，
∴∠CAO=∠BAC−∠OAB=90∘，
∴OA⊥AC，OA 是 ⊙O 的半径，
∴AC 是 ⊙O 的切线．
（3） ∵ 弧 PA= 弧 PB，
∴ 符合条件的点 P 有两个，Pʹ 和 Pʺ，连接 PʹC 和 PʺC，作 PʹE⊥BC 于点 E，
∵OPʹ⊥AB，
根据垂径定理，得 AF=BF=12AB=5，
∵∠B=30，
∴∠PʹOB=60∘，
∴OB=BFcs30∘=2153，
∴PʹE=BF=5，BE=12OB=153，
∵AB=AC=25，
作 AD⊥BC 于点 D，则 AD=5，DC=15，
∴BC=2DC=215，
∴CE=BC−BE=5153，
∴PʹC=PʹE2+CE2=21053；
连接 PʺC，
∵OA=OPʺ，∠AOC=∠COPʺ=60∘，OC=OC，
∴△AOC≌△PʺOCSAS，
∴PʺC=AC=25．
综上所述：线段 PC 的长为 21053 或 25．
24. （1） ∵y=x2−2mx=x−m2−m2，
∴ 顶点为 m,−m2．
（2） ∵ 直线过抛物线顶点，
∴−m2=3m+b，
即 b=−m2−3m，
故一次函数解析式为 y=3x−m2−3m，
联立方程 y=x2−2mx,y=3x−m2−3m,
解得 x1=m,x2=m+3,
∵ 点 A 的横坐标小于点 B 的横坐标，
∴ 将 x 代入解析式可求得 Am,−m2，Bm+3,−m2+9，
∵C−2,1，
∴ 过 C 点做 CD∥y 轴交直线于 D，则 D−2,−m2−3m−6，
∵−m2−3m−6=−m+322−154<1，
∴CD=1−−m2−3m−6=m2+3m+7，
∴S△ABC=12⋅CD⋅xB−xA=12⋅m2+3m+7×3=32×m+322+578.
∴△ABC 面积的最小值为 578．
（3） 由（2）可知 Am,−m2，Bm+3,−m2+9，
故使 A，B 两点都落在 x 轴的下方只需满足 −m2+9<0，
解得 m>3 或 m<−3，
∴ 实数 m 的取值范围为 m>3 或 m<−3．
25. （1） 如图 1，作 DK⊥AB 于点 K．
∵ 将线段 EA 绕点 E 逆时针旋转 α 得到线段 EF，
∴∠AEF=α，AE=EF．
在 Rt△DAK 中，
∵cs∠DAK=csα=AKAD=513，且 AD=13，
∴AK=5．
∴DK=AD2−AK2=132−52=12．
∴S平行四边形ABCD=AB×DK=25×12=300．
（2） 如图 2，延长 CD 至 H，作 ∠AHD=α．
∵∠AHD=∠ADH=α，
∴AH=AD=13．
过点 A 作 AM⊥DH 于点 M．
由（1）知 AM=12．
∴DM=AD2−AM2=5．
∴DH=10．
∵∠FEH=∠DEA+∠α=∠F+α，
∴∠DEA=∠F．
在 △AEH 和 △EFC 中，
∠AEH=∠F,∠H=∠C,AE=EF,
∴△AEH≌△EFCAAS．
∴EH=CF，CE=AH=13．
∴DE=CD−CE=12，BF=CF−BC=22−13=9．
∵BG∥CE，
∴△FBG∽△FCE．
∴BFCF=BGCE，即 922=BG13．
∴BG=11722．
（3） 如图 3，延长 CD 至 P，使 ∠P=∠ADP=α，
过点 F 作 FM∥BC，交 CD 于点 M，过点 FN⊥CD，交 CD 于点 N．
由（2）可知 ∠AEP=∠EFM．
在 △EAP 和 △FEM 中．
∠P=∠FME,∠AEP=∠EFM,AE=EF,
∴△EAP≌△FEMAAS．
∴EM=AP=13，FM=EP．
设 DE=x，则 FM=EP=10+x，CM=25−13+x=12−x．
∴FN=FM⋅sinα=121310+x，MN=FM⋅csα=51310+x．
∴CN=CM+MN=12−x+51310+x=206−8x13．
在 Rt△CFN 中，CF2=CN2+NF2=1132208x2−416x+56836．
对称轴 x=−b2a=−−4162×208=1．
∴ 当 x=1 时，CF 的值最小，CF 的最小值为 661313．