2021年北京市大兴区中考一模数学试卷

这是一份2021年北京市大兴区中考一模数学试卷，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共8小题；共40分）
1. 如图，是某几何体的三视图，该几何体是
A. 圆柱B. 正方体C. 三棱柱D. 长方体

2. 2021 年 2 月 25 日，全国脱贫攻坚总结表彰大会在北京人民大会堂隆重举行．经过全党全国各族人民共同努力，我国脱贫攻坚战取得了全面胜利，现行标准下 98990000 农村贫困人口全部脱贫，832 个贫困县全部摘帽，12.8 万个贫困村全部出列，完成了消除绝对贫困的艰巨任务，创造了又一个彪炳史册的人间奇迹！98990000 用科学记数法表示应为
A. 0.9899×108B. 9.899×107C. 98.99×106D. 9899×104

3. 勾股定理是几何学中一颗光彩夺目的明珠，现发现约有 400 种证明方法．下面四个图形是证明勾股定理的图形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是
A. B.
C. D.

4. 实数 a，b 在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列不等关系正确的是
A. a>bB. ab>0C. ∣a∣>∣b∣D. −a
5. 若正多边形的一个内角是 120∘，则这个正多边形的边数为
A. 6B. 5C. 4D. 3

6. 如图，AB 是 ⊙O 的直径，C，D 是 ⊙O 上两点，若 ∠D=55∘，则 ∠BOC 的度数是
A. 35∘B. 55∘C. 60∘D. 70∘

7. 某校进行垃圾分类的环保知识竞赛，进入决赛的共有 15 名学生，他们的决赛成绩如下表所示：
决赛成绩/分100959085人数/名2823
则这 15 名学生决赛成绩的中位数和平均数分别是
A. 95，97B. 95，93C. 95，86D. 90，95

8. 已知二次函数 y=x2+mx+n，当 x=0 和 x=2 时对应的函数值相等，则下列说法中不正确的是
A. 抛物线 y=x2+mx+n 的开口向上
B. 抛物线 y=x2+mx+n 与 y 轴有交点
C. 当 n>1 时，抛物线 y=x2+mx+n 与 x 轴有交点
D. 若 P−1,y1，Q3,y2 是抛物线 y=x2+mx+n 上两点，则 y1=y2

二、填空题（共8小题；共40分）
9. 若二次根式 x−2 有意义，则实数 x 的取值范围是 ．

10. 如图所示的网格是正方形网格，A，B，C 是网格线的交点，则 ∠ABC 与 ∠ACB 的大小关系为：∠ABC ∠ACB（填“>”，“=”或“<”）．

11. 化简：3xx+y+y−2xx+y= ．

12. 分解因式：ma2−2mab+mb2= ．

13. 某区域进行“环境改造，植树绿化”活动．若该区域种植树苗 2000 株，树苗的成活率为 95%，则成活的树苗大约有 株．

14. 如图，在正方形 ABCD 中，E，F 分别是 AB，AD 的中点，若 EF=2，则 AC 的长是 ．

15. 小华到商店为班级购买跳绳和毽子两种体育用品，跳绳每个 4 元，毽子每个 5 元，两种体育用品共需购买 22 个，是否存在用 90 元钱完成这项购买任务的方案? （填“是”或“否”）．

16. 如图，在平行四边形 ABCD 中，AD>AB，E，F 分别为边 AD，BC 上的点（E，F 不与端点重合）．对于任意平行四边形 ABCD，下面四个结论中：
①存在无数个四边形 ABFE，使得四边形 ABFE 是平行四边形；
②至少存在一个四边形 ABFE，使得四边形 ABFE 菱形；
③至少存在一个四边形 ABFE，使得四边形 ABFE 矩形；
④存在无数个四边形 ABFE，使得四边形 ABFE 的面积是平行四边形 ABCD 面积的一半．
所有正确结论的序号是 ．

三、解答题（共12小题；共156分）
17. 计算：2sin45∘+−2−8+π−30．

18. 解不等式组：x2+1>0,2x−1+3≥3x.

19. 已知抛物线 y=x2−4x+c 经过点 −1,8．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求抛物线与 x 轴交点的坐标．

20. 已知 x2−3x−1=0，求代数式 x+2x−2−x3x−6 的值．

21. 已知：如图 Rt△ABC 中，∠ACB=90∘ .
求作：点 P，使得点 P 在 AC 上，且点 P 到 AB 的距离等于 PC．
作法：
①以点 B 为圆心，以任意长为半径作弧，分别交射线 BA，BC 于点 D，E；
②分别以点 D，E 为圆心，以大于 12DE 的长为半径作弧，两弧在 ∠ABC 内部交于点 F；
③作射线 BF 交 AC 于点 P．
则点 P 即为所求．
（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面证明．
证明：连接 DF，FE．
在 △BDF 和 △BEF 中，
DB=EB,DF=EF,BF=BF,
∴△BDF≌△BEF．
∴∠ABF=∠CBF（ ）（填推理的依据）．
∵∠ACB=90∘，点 P 在 AC 上，
∴PC⊥BC．
作 PQ⊥AB 于点 Q，
∵ 点 P 在 BF 上，
∴PC= （ ）（填推理的依据）．

22. 如图，矩形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，DE∥AC 交 BC 的延长线于点 E．
（1）求证：∠ADB=∠E；
（2）若 AD=4，cs∠ADB=45，求 AO 的长．

23. 在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 与双曲线 y=mx 交于点 A1,n 和点 B−2,−1．
（1）求 m，n 的值及直线 l 的解析式；
（2）点 Px1,y1，Qx2,y2 是线段 AB 上两点且 x1
24. 随着绿色出行意识增强，更多市民选择公共交通出行．从市交通委获悉，目前，轨道交通多条线路缩短发车间隔，保障市民出行安全、便捷．
如图是地铁 10 号线由西钓鱼台站开往公主坟方向，工作日和双休日的列车时刻表（列车时刻表仅供参考，实际以现场列车运行情况为准）．小明从西钓鱼台站乘 10 号线地铁（开往公主坟方向）出行，结合图中信息回答以下问题：
（1）工作日早晨 7 点 01 分 ∼7 点 59 分这段时间内，列车发车间隔为 分钟；
（2）下列说法中：
①双休日早晨 6 点 04 ∼6 点 59 期间列车发车最小间隔为 7 分钟；
②设两个相邻整点之间为一个时间段，则工作日发车次数最少的时间段是 22 点 ∼23 点；
③设两个相邻整点之间为一个时间段，则双休日时，每个时间段的发车次数的众数为 11；
④工作日 10 点 01 分 ∼10 点 59 分发车次数为 12．
所有正确说法的序号是 ；
（3）小明周一上午乘车时间为 7 点 ∼7 点 10 分之间，周二上午乘车时间为 7 点 ∼7 点 06 分之间．若这两天发车到站的时间与图中时间表一致，用画树状图或列表的方法，求小明这两天乘坐相同车次列车的概率（每天在同一时刻发车的列车视为相同车次）?

25. 如图，AB 为 ⊙O 的直径，点 C，点 D 在 ⊙O 上，且点 C 是 AD 的中点，DE 是 ⊙O 的切线且 DE⊥AC 交 AC 的延长线于点 E，连接 OC．
（1）求证：△AOC 是等边三角形；
（2）若 DE=23，求 AC 的长．

26. 在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y=x2−2bx+b2−2b>0 经过点 Am,n．
（1）用含 b 的代数式表示抛物线顶点的坐标；
（2）若抛物线经过点 B0,2，且满足 0（3）若 3≤m≤5，n≤2，结合函数图象，直接写出 b 的取值范围．

27. 如图，等边 △ABC 中，点 P 是 BC 边上一点，作点 C 关于直线 AP 的对称点 D，连接 CD，BD，作 AE⊥BD 于点 E．
（1）若 ∠PAC=10∘，依题意补全图 1，并直接写出 ∠BCD 的度数；
（2）如图 2，若 ∠PAC=α0∘<α<30∘，
①求证：∠BCD=∠BAE；
②用等式表示线段 BD，CD，AE 之间的数量关系并加以证明．

28. 在平面直角坐标系 xOy 中，对于任意两点 Mx1,y1，Nx2,y2，若 ∣x1−x2∣+∣y1−y2∣=k（k 为常数且 k≠0），则称点 M 为点 N 的 k 倍直角点．
根据以上定义，解决下列问题：
（1）已知点 A1,1
①若点 B−2,3 是点 A 的 k 倍直角点，则 k 的值是 ；
②在点 C2,3，D−1,1，E0,−2，O0,0 中是点 A 的 2 倍直角点的是 ；
③若直线 y=−2x+b 上存在点 A 的 2 倍直角点，求 b 的取值范围．
（2）⊙T 的圆心 T 的坐标为 1,0，半径为 r，若 ⊙T 上存在点 O 的 2 倍直角点，直接写出 r 的取值范围．
答案
第一部分
1. D
2. B
3. B
4. C
5. A
6. D
7. B
8. C
第二部分
9. x≥2
10. <
11. 1
12. ma−b2
13. 1900
14. 4
15. 是
16. ①②④
第三部分
17. 原式=2×22+2−22+1=1.
18.
x2+1>0, ⋯⋯①2x−1+3≥3x. ⋯⋯②
解不等式①，得
x>−2.
解不等式②，得
x≤1.∴
不等式组的解集为 −219. （1） 把 −1,8 代入 y=x2−4x+c 得：1−4×−1+c=8，
解得 c=3，
∴ 二次函数的解析式为 y=x2−4x+3．
（2） 令 y=0，可得 x2−4x+3=0，
解得 x1=1，x2=3，
∴ 抛物线与 x 轴的交点坐标为 1,0，3,0．
20. 原式=x+2x−2−x3x−6=x2−4−3x2+6x=−2x2+6x−4.
∵x2−3x−1=0，
∴x2−3x=1，
∴原式=−2x2−3x−4=−6.
21. （1） 补全图形如下：
（2） 全等三角形的对应角相等；PQ；角平分线上的点到角两边的距离相等
【解析】
22. （1） ∵ 四边形 ABCD 是矩形，
∴AD∥BC，AC=BD，
∵DE∥AC，
∴ 四边形 ACED 是平行四边形，
∴AC=DE，
∴BD=DE，
∴∠DBC=∠E，
∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC，
∴∠ADB=∠E．
（2） ∵ 四边形 ABCD 是矩形，
∴∠BAD=90∘，点 O 是 BD 的中点，
∵AD=4，cs∠ADB=45，
∴BD=5，
∴AO=12BD，
∴AO=52．
23. （1） 把 B−2,−1 代入 y=mx，得 m=2．
把 A1,n 代入 y=2x 中，得 n=2．
∴ 点 A 的坐标 A1,2．
设直线 l 的解析式是 y=kx+bk≠0．
把 A1,2，B−2,−1 代入 y=kx+b 中，k+b=2,−2k+b=−1. 解得 k=1,b=1.
∴ 直线 l 的解析式是 y=x+1．
（2） ∵A1,2，B−2,−1，
∴AB=32．
由 PQ=22 可知，
当点 P 与点 B 重合时，x1=−2，点 Q 坐标为 0,1．
当点 Q 与点 A 重合时，点 P 坐标为 −1,0，x1=−1．
∴ 由图可知，−224. （1） 2
（2） ②③
（3） 所有结果出现的可能性可以用表格表示如下：
所有可能发生的结果共有 15 种，其中符合条件的结果有 3 种，
P两天乘坐相同车次列车=15．
25. （1） 连接 OD．
∵DE 是 ⊙O 的切线，
∴∠ODE=90∘．
∵DE⊥AC，
∴∠E=90∘．
∴AE∥OD．
∴∠ACO=∠COD．
∵ 点 C 是 AD 的中点，
∴AC=CD．
∴∠AOC=∠COD．
∵OC=OA，
∴∠A=∠ACO．
∴∠A=∠ACO=∠AOC．
即 △AOC 是等边三角形．
（2） 过点 O 作 OF⊥AE 于点 E．
∴∠OFE=90∘．
∴∠E=∠EDO=∠OFE=90∘．
∴ 四边形 ODEF 是矩形．
∴OF=DE=23．
∵△AOC 是等边三角形，
∴∠A=60∘，AO=AC．
∴AO=OFsin60∘=23sin60∘=4．
∴AC=4．
26. （1） ∵y=x2−2bx+b2−2=x−b2−2，
∴ 顶点坐标为 b,−2．
（2） 把 0,2 代入 y=x2−2bx+b2−2，得：b=2 或 b=−2，
∵b>0，
∴b=2，
∴ 解析式为 y=x2−4x+2，对称轴为 x=2，
∵0 ∴ 结合函数图象可得 −2≤n<2．
（3） 结合函数图象，b 的取值范围 3≤b≤5．
27. （1） 如图所示，
∠BCD 的度数是 20∘．
（2） ①如图，连接 AD．
根据题意，得：AP⊥CD．
∵∠PAC=α，
∴∠ACD=90∘−α．
∵△ABC 是等边三角形，
∴∠ACB=60∘，
∴∠BCD=∠ACD−∠ACB=90∘−α−60∘=30∘−α.
又 ∵AB=AC=AD，AE⊥BD，
∴∠BAE=∠DAE=12∠BAD=12∠BAC−∠CAD=1260∘−2α=30∘−α.
∴∠BCD=∠BAE．
②用等式表示线段 BD，CD，AE 之间的数量关系是 AE=CD+32BD．
在 AE 上截取 AF=CD，连接 BF．
∵△ABC 是等边三角形，
∴AB=AC，
又 ∵∠BCD=∠BAE，
∴△BAF≌△BCD．
∴∠ABF=∠CBD，BF=BD．
∴∠FBE=∠ABC=60∘．
∴EF=BF⋅sin60∘=32BF=32BD．
∴AE=AF+EF=CD+32BD．
28. （1） ① 5；
②点 D，点 O；
③作以点 A 为中心，对角线长为 4 的正方形 FGHK，
当点 G−1,1 在直线 y=−2x+b 上时，2+b=1，b=−1；
当点 K3,1 在直线 y=−2x+b 上时，−6+b=1，b=7；
综上所述，b 的取值范围是 −1≤b≤7．
（2） r 的取值范围是 22≤r≤3．