2020年广东省深圳市福田区中考一模数学试卷

这是一份2020年广东省深圳市福田区中考一模数学试卷，共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共12小题；共60分）
1. 2 的倒数是
A. 12B. −2C. −12D. 2

2. 如图，该几何体的俯视图是
A. B.
C. D.

3. 一方有难，八方支援！据报道，在新型冠状病毒感染的肺炎疫情在湖北肆虐期间，先后约有 42000 名来自外省的医护人员勇敢逆行、驰援湖北．将“ 42000 ”用科学记数法表示正确的是
A. 42×103B. 4.2×103C. 4.2×104D. 4.24

4. 下列图案是中心对称图形的是
A. B.
C. D.

5. 下列计算正确的是
A. x2+x2=x4B. x+y2=x2+y2
C. 8−2=2D. x2⋅x3=x6

6. 某市疾控中心在对 10 名某传染病确诊病人的流行病史的调査中发现，这 10 人的潜伏期分别为：5，5，5，7，7，8，8，9，11，14（单位：天），则下列关于这组潜伏期数据的说法中不正确的是
A. 众数是 5 天B. 中位数是 7.5 天
C. 平均数是 7.5 天D. 标准差是 2.5 天

7. 如图，已知 a∥b ，点 A 在直线 a 上，点 B ， C 在直线 b 上，若 ∠1=125∘ ， ∠2=50∘ ，则 ∠3 为
A. 55∘B. 65∘C. 70∘D. 75∘

8. 下列选项中的尺规作图（各图中的点 P ，都在 △ABC 的边上），能推出 PA=PC 的是
A. B.
C. D.

9. 阅读材料：坐标平面内，对于抛物线 y=ax2+bxa≠0 ，我们把点 −b2a,1−b24a 称为该抛物线的焦点，把 y=−b2+14a 称为该抛物线的准线方程．例如，抛物线 y=x2+2x 的焦点为 −1,−34 ，准线方程是 y=−54 ．根据材料，现已知抛物线 y=ax2+bxa≠0 的焦点的纵坐标为 3 ，准线方程为 y=5 ，则关于二次函数 y=ax2+bx 的最值情况，下列说法正确的是
A. 最大值为 4B. 最小值为 4C. 最大值为 3.5D. 最小值为 3.5

10. 如图是函数 y=ax2+bx+c 的图象，则函数 y=ax+c，y=b2−4acx，在同一直角坐标系中的图象大致为
A. B.
C. D.

11. 如图，一棵珍贵的树倾斜程度越来越厉害了．出于对它的保护，需要测量它的高度，现采取以下措施：在地面上选取一点 C ，测得 ∠BCA=37∘ ， AC=28 米， ∠BAC=45∘ ，则这棵树的高 AB 约为
（参考数据： sin37∘≈35 ， tan37∘≈34 ， 2≈1.4 ）
A. 14 米B. 15 米C. 17 米D. 18 米

12. 如图，正方形 ABCD 中，点 E 是 BC 延长线上一点，在 AB 上取一点 F ，使点 B 关于直线 EF 的对称点 G 落在 AD 上，连接 EG 交 CD 于点 H ，连接 BH 交 EF 于点 M ，连接 CM ．则下列结论：① ∠1=∠2 ；② ∠3=∠4 ；③ GD=2CM ；④若 AG=1 ， GD=2 ，则 BM=5 ．其中正确的是
A. ①②③④B. ①②C. ③④D. ①②④

二、填空题（共4小题；共20分）
13. 因式分解：4a3−16a= ．

14. 袋中装有 6 个黑球和若干个白球，每个球除颜色外都相同．现进行摸球试验，每次随机摸出一个球记下颜色后放回．经过大量的试验，发现摸到黑球的频率稳定在 0.75 附近，则袋中白球约有 个．

15. 如图，在 Rt△ABC 中， ∠C=90∘ ，过点 C 作 △ABC 外接圆 ⊙O 的切线交 AB 的垂直平分线于点 D ， AB 的垂直平分线交 AC 于点 E ．若 OE=2 ， AB=8 ，则 CD= ．

16. 如图，函数 y=xx≥0 的图象与反比例函数 y=kx 的图象交于点 A ，若点 A 绕点 Bk2,0 顺时针旋转 90∘ 后，得到的点 Aʹ 仍在 y=kx 的图象上，则点 A 的坐标为 ．

三、解答题（共7小题；共91分）
17. 计算：π−20−2cs30∘−16+1−3．

18. 先化简，再求值：1−3x+2÷x2−2x+13x+6，其中 x=3+1．

19. 某校组织学生开展了“2020 新冠疫情”相关的手抄报竞赛．对于手抄报的主题，组织者提出了两条指导性建议：（1）A类“武汉加油”、B类“最美逆行者”、C类“万众一心抗击疫情”、D类“如何预防新型冠状病毒”4 个中任选一个；（2）E类为自拟其它与疫情相关的主题．评奖之余，为了解学生的选题倾向，发掘出最能引发学生触动的主题素材，组织者随机抽取了部分作品进行了统计，并将统计结果绘制成了如下两幅尚不完整的统计图．
请根据以上信息回答：
（1）本次抽样调查的学生总人数是 ，并补全条形统计图．
（2）扇形统计图中，“C”对应的扇形圆心角的度数是 ，x= ，y−z= ．
（3）本次抽样调查中，“学生手抄报选题”最为广泛的是 类（填字母）．

20. 如图，在 △ABC 中， AB=AC ，点 D 是 AB 上一点，以点 D 为圆心， AC 为半径画弧交 BA 的延长线于点 E ，连接 CD ，作 EF∥CD ，交 ∠EAC 的平分线于点 F ，连接 CF ．
（1）求证： △BCD≌△AFE ；
（2）若 AC=6 ， ∠BAC=30∘ ，求四边形 CDEF 的面积 S四边形CDEF ．

21. 因“抗击疫情”需要，学校决定再次购进一批医用一次性口罩及 KN95 口罩共 1000 只，已知 1 只医用一次性口罩和 10 只 KN95 口罩共需 113 元； 3 只医用一次性口罩和 5 只 KN95 口罩共需 64 元．问：
（1）一只医用一次性口罩和一只 KN95 口罩的售价分别是多少元?
（2）参照上次购买获得的需求情况后，校长给出了一条建议：医用一次性口罩的购买量不能多于 KN95 口罩数量的 2 倍，请你遵循校长建议给出最省钱的购买方案，并说明理由．

22. 如图， ⊙O 的直径 AB=10 ，弦 BC=25 ，点 P 是 ⊙O 上的一动点（不与点 A ， B 重合，且与点 C 分别位于直径 AB 的异侧），连接 PA ， PC ，过点 C 作 PC 的垂线交 PB 的延长线于点 D ．
（1）求 tan∠BPC 的值；
（2）随着点 P 的运动， BDAP 的值是否会发生变化?若变化，请说明理由，若不变，则求出它的值；
（3）在点 P 运动过程中， AP+2BP 的最大值是多少?请你直接写出来．

23. 如图，抛物线 y=ax2+bx+c 的图象，经过点 A1,0 ， B3,0 ， C0,3 三点，过点 C ， D−3,0 的直线与抛物线的另一交点为点 E ．
（1）请你直接写出：
①抛物线的表达式 ；②直线 CD 的表达式 ；③点 E 的坐标 ．
（2）如图 1 ，若点 P 是 x 轴上一动点，连接 PC ， PE ，则当点 P 位于何处时，可使得 ∠CPE=45∘ ，请你求出此时点 P 的坐标；
（3）如图 2 ，若点 Q 是抛物线上一动点，作 QH⊥x 轴于点 H ，连接 QA ， QB ，当 QB 平分 ∠AQH 时，请你直接写出此时点 Q 的坐标．
答案
第一部分
1. A
2. B
3. C
4. B
5. C
6. D
7. D
8. D
9. A
10. A
11. C
12. A
第二部分
13. 4aa+2a−2
14. 2
15. 3
16. 22,22
第三部分
17. π−20−2cs30∘−16+1−3=1−2×32−4+3−1=−4.
18. 1−3x+2÷x2−2x+13x+6=x−1x+2÷x−123x+2=x−1x+2⋅3x+2x−12=3x−1.
当 3+1 时，上式=3．
19. （1） 120
补全条形统计图如下：
（2） 72∘；30；5
（3） B
20. （1） ∵AB=AC ，
∴∠B=∠ACB ，
∵∠EAC=∠B+∠ACB ，
∴∠EAC=2∠B ，
∵∠1=∠2 ，
∴∠EAC=2∠1 ，
∴∠B=∠1 ，
∵EF∥CD ，
∴∠BDC=∠AEF ，
∵AB=AC=DE ，
∴BD=AE ，
∴△BCD≌△AFE ．
（2） 作 AH⊥CF ，垂足为 F ，
∵△BCD≌△AFE ，
∴CD=EF ，
又 ∵EF∥CD ，
∴ 四边形 CDEF 是平行四边形，
∴CF=AB=AC=6 ，且 CF∥AB ，
∵∠BAC=30∘ ，
∴∠3=30∘ ，
∴AH=12AC=3 ，
∴S四边形CDEF=CF⋅AH=6×3=18 ．
21. （1） 设一只医用一次性口罩的售价是 x 元，一只 KN95 口罩的售价是 y 元，
根据题意，得
x+10y=11,3x+5y=64.
解这个方程，得
x=3,y=11.
答：一只医用一次性口罩的售价是 3 元，一只 KN95 口罩的售价是 11 元．
（2） 设医用一次性口罩的购买量为 a 只，则 KN95 口罩的购买量为 1000−a 只，所需总费用为 W 元，
则， a≤21000−a ，
解得， a≤66623 ，
又， W=3a+111000−a=−8a+11000 ，
∵−8<0 ，
∴W 随 a 的增大而减小，
∵a 是整数，
∴a 的最大值就取 666 ．
∴ 当 a=666 时， W最小值=5672 ，
此时， 1000−a=334 ，
∴ 最省钱的购买方案是：购买医用一次性口罩 666 只，购买 KN95 口罩 334 只．
22. （1） 连接 AC ，
∵AB 是 ⊙O 的直径，
∴∠ACB=90∘ ，
在 Rt△ABC 中， AB=10 ， BC=25 ，
∴AC=AB2−BC2=45 ，
∴tan∠BPC=tan∠BAC=BCAC=12 ．
（2） BDAP 的值不会发生变化，理由如下：
∵∠PCD=∠ACB=90∘ ，
∴∠1+∠PCB=∠2+∠PCB ，
∴∠1+∠2 ，
∵∠3 是圆内接四边形 APBC 的一个外角，
∴∠3=∠PAC ，
∴△CBD∽△CAP ，
∴BDAP=CDCP ，
在 Rt△PCD 中， CDCP=tan∠BPC=12 ，
∴BDAP=CDCP=12 ．
（3） 解法一：由（ 2 ）知， BD=12AP ，
∴AP+2BP=212AP+BP=2BD+BP=2PD=2PCcs∠BPC ，
由 tan∠BPC=12 ，得 cs∠BPC=25 ，
∴AP+2BP=5PC≤5AB=105 ，
∴AP+2BP 的最大值是 105 ．
【解析】解法二：设 AP=x ， AP+2PB=y ，
则易得， y=x+2100−x2 ，
∴y−x2=4100−x2 ，
∴5x2−2y⋅x+y2−400=0 ，
∵ 这个关于 x 的一元二次方程有实根，
∴Δ=4y2−20y2−400≥0 ，
∴y2≤500 ，
∵y>0 ，
∴y≤105 ，
∴AP+2BP 的最大值是 105 ．
23. （1） 抛物线的解析式为 y=x2−4x+3 ，
直线 CD 的解析式 y=x+3 ；
点 E 的坐标为 5,8 ．
（2） 解法一：如图，作 EF⊥x 轴于 F ，
由 C0,3 ， D−3,0 ， E5,8 ，
可得， OC=OD=3 ， EF=8 ，
∴∠PDE=45∘ ，
且 CD=32 ， ED=82 ， EC=52 ，
当 ∠CPE=45∘ 时，
∵∠PDE=∠CPE=45∘ ， ∠CFP 是公共角，
∴△ECP∽△EPD ，
∴ECEP=EPED ，
∴EP2=EC⋅ED=52⋅82=80 ，
在 Rt△EFP 中， FP=EP2−EF2=80−64=4 ，
把点 F5,0 ，向右或向左平移 4 个单位长即得到点 P ，
∴P11,0 ， P29,0 为所求．
【解析】解法二：如图，作 EF⊥x 轴于 F ，在 x 轴上取点 G13,0 ，连接 EG ，设点 P 的坐标为 x,0 ，
则， FG=EF=8 ，
∴∠FGE=45∘ ，
由 ∠CPE=∠FGE=45∘ ，
可得， ∠CPD=∠GEP ，
又 ∠CDP=∠PGE=45∘ ，
∴△CDP∽△PGE ，
∴CDPG=DPGE ，
∴PG⋅DP=CD⋅GE ，
易得， CD=32 ， PG=13−x ， DP=x+3 ， GE=82 ，
∴13−xx+3=32×82 ，
解得， x1=1 ， x2=9 ，
∴P11,0 ， P29,0 为所求．
解法三：如图，以 CE 为斜边，在 △CEP 的内部作等腰 Rt△COʹE ，
则 OʹC=OʹE=5 ，且 OʹC∥x 轴
把点 C0,3 向右平移 5 个单位长，可得，
点 Oʹ 的坐标为 5,3 ，
以 Oʹ 为圆心， 5 为半径作 ⊙Oʹ ，
则 ⊙Oʹ 与 x 轴的交点即为所求，
由 OʹP=OʹC=5 ，可得，
P11,0 ， P29,0 为所求．
（3） 3+3,3+23 ．
【解析】延长 OH 到 M ，使 HM=1 ，连接 AM ， BM ，延长 QB 交 AM 于 N ，
设点 Q 的坐标为 t,t2−4t+3 ，
显然，点 Q 只能位于点 B 右侧的抛物线上，
则 QH=t2−4t+3=t−1t−3 ，
BH=t−3 ， AH=t−1 ．
这样， QHAH=t−1t−3t−1=t−3=BHHM ，
又 ∵∠QHB=∠AHM=90∘ ，
∴△QHB∽△AHM ，
∴∠2=∠1 ，
易得， QN⊥AM ，
∴ 当 BM=AB=2 时， QN 垂直平分 AM ，
此时， QB 平分 ∠AQH ，
这样，在 Rt△BHM 中，
可得， BH=BM2−HM2=22−12=3 ，
于是， t=3+3 ，
故，此时点 Q 的坐标为 3+3,3+23 ．