2021年天津市南开区中考二模数学试卷

这是一份2021年天津市南开区中考二模数学试卷，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共12小题；共60分）
1. 计算 −6÷−3 的结果是
A. 2B. −2C. −9D. −3

2. 2cs30∘ 的值等于
A. 33B. 3C. 2D. 32

3. 今年“五一”假期前三日，我市五大道文化旅游区共接待游客 23.5 万人次，将“23.5 万”用科学记数法表示为
A. 235×103B. 23.5×104C. 2.35×105D. 0.235×106

4. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是
A. B.
C. D.

5. 如图是由几个相同的正方体搭成的一个几何体，它的主视图是
A. B.
C. D.

6. 估计 29 的值在
A. 2 和 3 之间B. 3 和 4 之间C. 4 和 5 之间D. 5 和 6 之间

7. 方程组 x+2y=3,3x−2y=5 的解为
A. x=2,y=3B. x=2,y=12C. x=1,y=1D. x=1,y=−1

8. 已知分式 A=4x2−4，B=1x+2+12−x，其中 x≠±2，则 A 与 B 的关系是
A. A=BB. A=−BC. A>BD. A
9. 若点 −2,y1，−1,y2，3,y3 在双曲线 y=−6x 上，则 y1，y2，y3 的大小关系是
A. y1
10. 如图，在平面直角作坐标系 xOy，四边形 OABC 为正方形，若点 B1,3，则点 C 的坐标为
A. −1,2B. −1,52C. −32,2D. −1,32

11. 如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90∘，AC=6，BC=9，点 D 为 BC 边上的中点，将 △ACD 沿 AD 对折，使点 C 落在同一平面内的点 Cʹ 处，连接 BCʹ，则 BCʹ 的长为
A. 92B. 275C. 32D. 23

12. 二次函数 y=−x−12+5，当 m≤x≤n 且 mn<0 时，y 的最小值为 5m，最大值为 5n，则 m+n 的值为
A. 0B. −1C. −2D. −3

二、填空题（共6小题；共30分）
13. 计算 −2y32 的结果是 ．

14. 计算 7+37−3 的结果等于 ．

15. 一个布袋里装有 2 个红球、 3 个黄球和 5 个白球，除颜色外其它都相同，搅匀后任意摸出一个球，是白球的概率为 ．

16. 如图．函数 y=kx+b（k，b 为常数，k≠0）的图象如图，则关于 x 的不等式 kx+b>0 的解集为 ．

17. 如图，菱形 ABCD 和菱形 EFGH 的面积分别为 9 cm2 和 64 cm2，CD 落在 EF 上，∠A=∠E，若 △BCF 的面积为 4 cm2，则 △BDH 的面积是 cm2．

18. 如图，在每个小正方形的边长为 1 的网格中，A，C 为格点，点 B 为所在小正方形边长的中点．
（Ⅰ）BC 的长为 ；
（Ⅱ）若点 M 和 N 在边 BC 上，且 ∠BAM=∠MAN=∠NAC，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺作图，并简要说明点 M 和 N 的位置是如何找到的（不要求证明） ．

三、解答题（共7小题；共91分）
19. 解不等式组 5x+1>7x−1, ⋯⋯①x−13≥x−24. ⋯⋯②
请结合题意填空，完成本题的解答．
（1）解不等式①，得 ；
（2）解不等式②，得 ；
（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
（4）原不等式组的解集为 ．

20. 某校为了解学生每周参加家务劳动的情况，随机调查了该校部分学生每周参加家务劳动的时间．根据调查结果，绘制出如图的统计图①和图②．请根据相关信息，解答下列问题：
（1）本次接受调查的学生人数为 ，图① 中 m 的值为 ；
（2）求统计的这组每周参加家务劳动时间数据的众数、中位数和平均数；
（3）根据统计的这组每周参加家务劳动时间的样本数据，若该校共有 800 名学生，估计该校每周参加家务劳动的时间大于 1 h 的学生人数．

21. 已知 PA，PB 分别与 ⊙O 相切于点 A，B，PO 交 ⊙O 于点 F，且其延长线交 ⊙O 于点 C，∠BCP=28∘，E 为 CF 上一点，延长 BE 交 ⊙O 于点 D．
（1）如图 1，求 ∠CDB 与 ∠APB 的大小；
（2）如图 2，当 BC=CE 时，求 ∠PBE 的大小．

22. 图 1 是电脑液晶显示器的侧面图，显示屏 AB 可以绕 O 点旋转一定角度，研究表明：如图 2，当眼睛 E 与显示屏顶端 A 在同一水平线上，且望向显示器屏幕形成一个 18∘ 俯角（即望向屏幕中心 P 的的视线 EP 与水平线 EA 的夹角）时，对保护眼睛比较好，而且显示屏顶端 A 与底座 C 的连线 AC 与水平线 CD 垂直时，观看屏幕最舒适，此时测得 ∠BCD=30∘，∠APE=90∘，液晶显示屏的宽 AB 为 34 cm．
（参考数据：sin18∘≈0.3，cs18∘≈0.95，2≈1.4，3≈1.7）
（1）求眼睛 E 与显示屏顶端 A 的水平距离 AE（结果精确到 1 cm）；
（2）求显示屏顶端 A 与底座 C 的距离 AC（结果精确到 1 cm）．

23. 工厂某车间需加工一批零件，甲组工人加工中因故停产检修机器一次，然后以原来的工作效率继续加工，由于时间紧任务重，乙组工人也加入共同加工零件．设甲组加工时间为 t（时），甲组加工零件的数量为 y甲（个），乙组加工零件的数量为 y乙（个），其函数图象如图所示．
（1）根据图象信息填表：
加工时间t时348甲组加工零件的数量个 a=
（2）填空：
①甲组工人每小时加工零件 个；
②乙组工人每小时加工零件 个；
③甲组加工 小时的时候，甲、乙两组加工零件的总数为 480 个．
（3）分别求出 y甲，y乙 与 t 之间的函数关系式．

24. 如图，将平行四边形 OABC 放置在平面直角坐标系 xOy 内，已知 A3,0，B0,4．
（1）点 C 的坐标是（ ， ）；
（2）若将平行四边形 OABC 绕点 O 逆时针旋转 90∘ 得 OFDE，DF 交 OC 于点 P，交 y 轴于点 F，求 △OPF 的面积；
（3）在（II）的情形下，若再将平行四边形 OFDE 沿 y 轴正方向平移，设平移的距离为 d，当平移后的平行四边形 OʹFʹDʹEʹ 与平行四边形 OABC 重叠部分为五边形时，设其面积为 S，试求出 S 关于 d 的函数关系式，并直接写出 x 的取值范围．

25. 在平面直角坐标系中，抛物线 y=x2−2k−1x+k2−52k（k 为常数）．
（1）当 k=2 时，求该抛物线的解析式及顶点坐标；
（2）若抛物线经过点 1,k2，求 k 的值；
（3）若抛物线经过点 2k,y1 和点 2,y2，且 y1>y2，求 k 的取值范围；
（4）若将抛物线向右平移 1 个单位长度得到新抛物线，当 1≤x≤2 时，新抛物线对应的函数有最小值 −32，求 k 的值．
答案
第一部分
1. A【解析】−6÷−3=2．
2. B【解析】2cs30∘=2×32=3．
3. C【解析】23.5 万 =235000=2.35×105．
4. A【解析】A．既是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意；
B．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
D．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意．
5. D
【解析】从正面看，易得：底层有三个正方形，上层中间是一个小正方形．
6. D【解析】∵25<29<36，
∴5<29<6，
∴29 的值在 5 与 6 之间．
7. B【解析】x+2y=3, ⋯⋯①3x−2y=5, ⋯⋯②
① + ②得：4x=8，
解得：x=2，
把 x=2 代入①得：2+2y=3，
解得：y=12．
则方程组的解为 x=2,y=12.
8. B【解析】B=1x+2+12−x=1x+2−1x−2=x−2x+2x−2−x+2x+2x−2=−4x+2x−2.
而 A=4x+2x−2，
∴A=−B．
9. D【解析】∵ 点 −2,y1，−1,y2，3,y3 在双曲线 y=−6x 上，
∴−2,y1，−1,y2 分布在第二象限，3,y3 在第四象限，每个象限内，y 随 x 的增大而增大，
∴y310. A
【解析】作 CD⊥x 轴于 D，作 BE⊥CD 于 E，交 y 轴于 F，如图，
∵B1,3，
∴DE=3，BF=1，
设 Cm,n，则 OD=EF=−m，CD=n，
∵ 四边形 ABCO 为正方形，
∴∠BCO=90∘，CB=CO，
∵∠BCE+∠OCD=90∘，∠BCE+∠CBE=90∘
∴∠OCD=∠CBE，
在 △OCD 和 △CBE 中
∠ODC=∠CEB,∠OCD=∠CBE,OC=CB,
∴△OCD≌△CBEAAS，
∴CD=BE，OD=CE，
即 n=1−m，−m=3−n，
∴m=−1，n=2，
∴ C 点坐标为 −1,2．
11. B【解析】设 CCʹ 交 AD 于 E，如图：
∵ 点 D 为 BC 边上的中点，BC=9，
∴CD=BD=4.5，
∵ 将 △ACD 沿 AD 对折，使点 C 落在同一平面内的点 Cʹ 处，
∴CD=CʹD，CCʹ⊥AD，CE=CʹE，
∴CD=BD=CʹD，
∴∠DCCʹ=∠DCʹC，∠DBCʹ=∠DCʹB，
∵∠DCCʹ+∠DCʹC+∠DBCʹ+∠DCʹB=180∘，
∴∠CCʹB=∠CCʹD+∠DCʹB=12∠DCCʹ+∠DCʹC+∠DBCʹ+∠DCʹB=90∘，
∵∠C=90∘，AC=6，
∴AD=AC2+CD2=7.5，
∵S△ACD=12AC⋅CD=12AD⋅CE，
∴CE=AC⋅CDAD=3.6，
∴CCʹ=7.2，
在 Rt△BCʹC 中，BCʹ=BC2−CCʹ2=275．
12. D【解析】二次函数 y=−x−12+5 的大致图象如下：
∵y 的最小值为 5m，最大值为 5n，且 mn<0，
∴m<0，n>0，
①当 0解得：m=−2．
当 x=n 时，y 取最大值，即 5n=−n−12+5，
解得：n=1 或 n=−4（均不合题意，舍去）；
②当 n≥1 时，当 x=1 时，y 取最大值，即 5n=−1−12+5，
∴n=1，
当 x=m 时，y 取最小值，即 5m=−m−12+5，
解得：m=−4（正值舍去）．
当 x=n 时，y 取最小值，5m=−n−12+5，
∴m=1，
∵m<0，
∴ 此种情形不合题意，
∴m+n=−4+1=−3．
第二部分
13. 4y6
【解析】−2y32=−22⋅y32=4y6.
14. 4
【解析】原式=7−3=4.
15. 12
【解析】袋子里装有 2 个红球、 3 个黄球和 5 个白球共 10 个球，从中摸出一个球是白球的概率是 52+3+5=12．
16. x<2
【解析】函数 y=kx+b 的图象经过点 2,0，并且函数值 y 随 x 的增大而减小，
∴ 当 x<2 时，函数值大于 0，即关于 x 的不等式 kx+b>0 的解集是 x<2．
17. 8.5
【解析】如图，连接 FH，
∵ 四边形 ABCD 是菱形，四边形 EFGH 是菱形，∠A=∠E，
∴∠ADC=∠EFG，∠BDC=12∠ADC=∠EFH=12∠EFG，
△BDC 的面积 =12×S菱形ABCD=4.5cm2，
∴BD∥FH，
∴△BDH 的面积 =△BDF 的面积，
∴△BDH 的面积 =S△BDC+S△BCF=8.5cm2．
18. 652，
取格点 D，E，连接 AD，AE 交 BC 于点 M，N，点 M，N 即为所求作
【解析】（Ⅰ）如图，BC=22+722=652．
（Ⅱ）如图，点 M，点 N 即为所求作．
第三部分
19. （1） x<3
（2） x≥−2
（3） 把不等式①和②的解集在数轴上表示出来如下：
（4） −2≤x<3
20. （1） 40；25
【解析】4÷10%=40（人），10÷40=25%，即 m=25．
（2） 在这组数据中，1.5 h 出现的次数最多是 15 次，因此众数是 1.5，
将这组数据从小到大排列，处在中间位置的两个数都是 1.5，因此中位数是 1.5，
平均数为 x=0.4×4+1×8+1.5×15+2×10+2.5×340=1.5，
答：这组每周参加家务劳动时间数据的众数、中位数和平均数都是 1.5．
（3） 800×37.5%+25%+7.5%=800×70%=560（人），
答：该校 800 名学生中每周参加家务劳动的时间大于 1 h 的学生有 560 人．
21. （1） 如图（1）连接 OB，
∵OB=OC，∠BCP=28∘，
∴∠OBC=∠OCB，
∴∠POB=∠OBC+∠OCB=56∘，∠BOC=180∘−28∘−28∘=124∘，
∴∠CDB=12∠BOC=62∘，
∵PB 与 ⊙O 相切于点 B，
∴∠PBO=90∘，
∴∠BPC=90∘−56∘=34∘，
∵PA，PB 分别与 ⊙O 相切于点 A，B，
∴∠APB=2∠BPO=68∘．
（2） 如图（2），连接 OB，
∵OB=OC，BC=CE，∠PCB=28∘，
∴∠OBC=∠OCB=28∘，∠CBE=∠CEB=12180∘−28∘=76∘，
∴∠OBE=∠CBE−∠CBO=48∘，
∵PB 与 ⊙O 相切于点 B，
∴∠PBO=90∘，
∴∠PBE=90∘−48∘=42∘．
22. （1） 由已知得 AP=BP=12AB=17 cm，
在 Rt△APE 中，
∵sin∠AEP=APAE，
∴AE=APsin∠AEP=17sin18∘≈170.3≈57cm，
答：眼睛 E 与显示屏顶端 A 的水平距离 AE 约为 57 cm．
（2） 如图，过点 B 作 BF⊥AC 于点 F．
∵∠EAB+∠BAF=90∘，∠EAB+∠AEP=90∘，
∴∠BAF=∠AEP=18∘，
在 Rt△ABF 中，
AF=AB⋅cs∠BAF=34×cs18∘≈34×0.95≈32.3cm，
BF=AB⋅sin∠BAF=34×sin18∘≈34×0.3≈10.2cm，
∵BF∥CD，
∴∠CBF=∠BCD=30∘，
∴CF=BF⋅tan∠CBF=10.2×tan30∘=10.2×33≈5.78，
∴AC=AF+CF=32.3+5.78≈38cm．
答：显示屏顶端 A 与底座 C 的距离 AC 约为 38 cm．
23. （1） 120；120；280
【解析】根据函数图象中的数据，t=3 时，甲组加工零件的数量为 y甲=120（个），
t=4 时，甲组加工零件的数量为 y甲=120（个），
甲组工人每小时加工零件：120÷3=40（个），
∴a=120+40×8−4=280（个）．
（2） 40；120；7
【解析】①根据函数图象中的数据，甲组工人每小时加工零件：120÷3=40（个）；
②根据函数图象中的数据，乙组工人每小时加工零件：360÷8−5=120（个）；
③设甲组加工 c 小时时，甲、乙两组加工零件的总数为 480 个，
由题意得：120+40c−4+120c−5=480，
解得 c=7，
即甲组加工 7 小时时，甲、乙两组加工零件的总数为 480 个．
（3） 设 y乙 与 t 之间的函数关系式是 y乙=kt+b，5k+b=0,8k+b=360,
解得：k=120,b=−600.
即 y乙 与 t 之间的函数关系式是 y乙=120t−6005≤t≤8；
0≤t<3 时，y甲=40t0≤t<3，
3≤t<4 时，y甲=1203≤t<4，
4≤t≤8 时，设 y甲=mt+n4≤t≤8，4m+n=120,8m+n=280,
解得：m=40,n=−40.
∴y甲=40t−404≤t≤8，
∴y甲=40t,0≤t<3120,3≤t<440t−40,4≤t≤8．
24. （1） −3；4
【解析】∵A3,0，B0,4，
∴OA=3，OB=4，
∵ 四边形 OABC 是平行四边形，
∴BC=OA=3，BC∥OA，AB∥OC，
∴ 点 C 的坐标为：−3,4．
（2） 由旋转的性质，可得：OD=OB=4，OF=OA=3，∠ODF=∠OBA，∠OFD=∠OAB，
∵∠BOD=90∘，
∴S△DOF=12OD×OF=12×4×3=6，DF=OF2+OD2=32+42=5，
∵AB∥OC，
∴∠OBA=∠BOC，
∴∠ODF=∠BOC，
∵∠OFP=∠DFO，
∴△OFP∽△DFO，
∴S△OPFS△DOF=OFDF2=352=925，
∴S△OPF=925S△DOF=925×6=5425．
（3） 如图，
重叠部分为五边形时，Fʹ 必须位于点 B 上方，
∵OF=3，OB=4，
∴d>1，
当点 C 在 DʹFʹ 上时，重叠部分不构成五边形，设此时直线 DʹFʹ 的解析式为 y=34x+b，
将 C−3,4 代入，得 4=34×−3+b，
解得，b=254，
∴ 直线 DʹFʹ 的解析式为 y=34x+254，
令 x=0，得 y=254，
∴Fʹ0,254，
∴OFʹ=254，
∴FFʹ=OFʹ−OF=254−3=134，
∴d<134，
∴1 ∵PʹFʹFʹO=sin∠FʹOC=35，
∴PʹFʹ=35FʹO=35d+3，
同理可得：PʹO=45d+3，
∴S△FʹPʹO=12PʹFʹ⋅PʹO=12×35d+3×45d+3=625d+32，
∵BFʹHFʹ=cs∠DʹFʹO=35，BFʹ=d−1，
∴HFʹ=53d−1，
∵HBHFʹ=sin∠DʹFʹO=45，
∴HB=45HFʹ=45×53d−1=43d−1，
∴S△HBF=12BFʹ×HB=12×d−1×43d−1=23d−12，
∵OOʹ=d，
∴OʹG=OOʹ⋅sin∠BOC=35d，OG=OOʹ⋅cs∠BOC=45d，
∴S△OGOʹ=12OʹG⋅OG=12×35d×45d=625d2，
∴S=S△FʹPʹO−S△HBFʹ−S△OGOʹ=625d+32−23d−12−625d2=−23d2+20875d+11275,
∴S=−23d2+20875d+11275125. （1） 当 k=2 时，y=x2−22−1x+22−52×2=x2−2x−1，
x顶点=−b2a=−−22=1，y顶点=x2−2x−1=12−2×1−1=−2，
∴ 此抛物线顶点坐标为 1,−2．
（2） 把 1,k2 代入抛物线解析式得 k2=1−2k−1+k2−52k，
解得：k=23．
（3） 把点 2k,y1 代入抛物线有 y1=4k2−2k−12k+k2−52k，
同理把点 2,y2，代入抛物线得 y2=4−4k−1+k2−52k，
由 y1>y2 知，4k2−2k−12k+k2−52k>4−4k−1+k2−52k，
解得 k>1．
（4） 抛物线 y=x2−2k−1x+k2−52k=x−k+12+−12k−1 向右平移 1 个单位长度得到新解析式为 y=x−k2+−k2−1，
① k<1 时，1≤x≤2 位于对称轴右侧，y 随 x 增大而增大，
当 x=1 时，y最小=1−k2−12k−1=k2−52k=−32，
解 k1=1≥1，k2=32≥1，
∴ 舍去，
②当 1≤k≤2 时，y最小=−12k−1=−32，
解得 k1，k2=32（舍去），
③当 k>2 时，1≤x≤2 位于对称轴左侧，
∴x=2 时，y最小=2−k2−12k−1=k2−92+3=−32，
解得 k1=3，k2=32（舍去），
综上 k=1 或 3．