2021年北京市通州区中考一模数学试卷

这是一份2021年北京市通州区中考一模数学试卷，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共8小题；共40分）
1. 冬季奥林匹克运动会是世界规模最大的冬季综合性运动会，每四年举办一届．第 24 届冬奥会将于 2022 年在北京和张家口举办．下列四个图分别是四届冬奥会图标中的一部分，其中是轴对称图形的为
A. B.
C. D.

2. 据北京晚报报道，截止至 2021 年 3 月 14 日 9:30 时，北京市累计有 3340000 人完成了新冠疫苗第二针的接种，将 3340000 用科学记数法表示正确的是
A. 334×104B. 3.34×104C. 3.34×106D. 3.34×107

3. 比 2 大，比 5 小的整数是
A. 1B. 2C. 3D. 4

4. 不透明的袋子中有 5 张卡片，上面分别写着数字 1，2，3，4，5，除数字外五张卡片无其它差别．从袋子中随机摸出一张卡片，其数字为偶数的概率是
A. 15B. 25C. 12D. 35

5. 如果 a−b=2，那么代数式 a2+b2a−2b⋅aa−b 的值是
A. 2B. −2C. 12D. −12

6. 若实数 p，q，m，n 在数轴上的对应点的位置如图所示，且满足 p+q+m+n=0，则绝对值最小的数是
A. pB. qC. mD. n

7. 甲、乙两班学生参加植树造林活动，已知甲班每天比乙班少植 2 棵树，甲班植 60 棵树所用天数与乙班植 70 棵树所用天数相等．若设甲班每天植树 x 棵，则根据题意列出方程正确的是
A. 60x+2=70xB. 60x=70x+2C. 60x−2=70xD. 60x=70x−2

8. 为满足人民对美好生活的向往，造福子孙后代，环保部门要求相关企业加强污水治理能力，污水排放来达标的企业要限期整改．甲、乙两个企业的污水排放量 W 与时间 t 的关系如图所示，我们用 Wt 表示 t 时刻某企业的污水排放量，用 −Wt1−Wt2t1−t2 的大小评价在 t1 至 t2 这段时间内某企业污水治理能力的强弱，已知甲、乙两企业在整改期间排放的污水排放量与时间的关系如下图所示．
给出下列四个结论：
①在 t1≤t≤t2 这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；
②在 t1 时刻，乙企业的污水排放量高；
③在 t3 时刻，甲、乙两企业的污水排放量都已达标；
④在 0≤t≤t1，t1≤t≤t2，t2≤t≤t3 这三段时间中，甲企业在 t2≤t≤t3 的污水治理能力最强．
其中所有正确结论的序号是
A. ①②③B. ①③④C. ②④D. ①③

二、填空题（共8小题；共40分）
9. 在函数 y=x−2 中，自变量 x 的取值范围是 ．

10. 写出二元一次方程 x+2y=5 的一组解： ．

11. 某立体图形的三视图中，主视图是矩形，请写出一个符合题意的立体图形名称： ．

12. 某数学小组做抛掷一枚质地不均匀纪念币的实验，整理同学们获得的实验数据如下表．
抛掷次数5010020050010002000300040005000"正面向上"的次数193868168349707106914001747"正面向上"的频率
则抛掷该纪念币正面朝上的概率约为 ．（精确到 0.01）

13. 下图中的平面图形由多条直线组成，计算 ∠1+∠2+∠3+∠4+∠5= ．

14. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知正比例函数 y=mxm≠0 的图象与反比例函数 y=kxk≠0 图象的一个交点坐标为 p,q，则其另一个交点坐标为 ．

15. 如图所示，在正方形网格中，点 A，B，C，D 为网格线的交点，线段 AC 与 BD 交于点 O．则 △ABO 的面积与 △CDO 面积的大小关系为：S△ABO S△CDO（填“>”，“=”或“<”）．

16. 某生产线在同一时间只能生产一笔订单，即在完成一笔订单后才能开始生产下一笔订单中的产品．一笔订单的“相对等待时间”定义为该笔订单的等待时间与生产线完成该订单所需时间之比．例如，该生产线完成第一笔订单用时 5 小时，之后完成第二笔订单用时 2 小时，则第一笔订单的“相对等待时间”为 0，第二笔订单的“相对等待时间”为 52，现有甲、乙、丙三笔订单，管理员估测这三笔订单的生产时间（单位：小时）依次为 a，b，c，其中 a>b>c，则使三笔订单“相对等待时间”之和最小的生产顺序是 ．

三、解答题（共12小题；共156分）
17. 计算：3−π0−14−1+12−6cs30∘．

18. 解不等式组：−2x+6≥4,4x+13>x−1, 并将其解集在数轴上表示出来．

19. 下面是小于同学设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程．
已知：直线 l 及直线 l 外一点 P．
求作：直线 PQ，使得 PQ∥l．
小于同学的作法：如下，
（1）在直线 l 的下方取一点 O；
（2）以点 O 为圆心，OP 长为半径画圆，⊙O 交直线 l 于点 C，D（点 C 在左侧），连接 CP；
（3）以点 D 为圆心，CP 长为半径画圆，交 ⊙O 于点 Q，N（点 Q 与点 P 位于直线 l 同侧）；
（4）作直线 PQ；
∴ 直线 PQ 即为所求．
请你依据小于同学设计的尺规作图过程，完成下列问题．
（1）使用直尺和圆规，完成作图；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明：
证明：连接 DP．
∵CP=DQ，
∴CP=DQ（ ）（填推理的依据）．
∴∠PDC=∠DPQ（ ）（填推理的依据）．
∴PQ∥l（ ）（填推理的依据）．

20. 已知关于 x 的方程 x2−4x+2−k=0 有两个不相等的实数根．
（1）求实数 k 的取值范围；
（2）请你给出一个 k 的值，并求出此时方程的根．

21. 已知：如图，在 △ABC 和 △DEF 中，点 B，E，C，F 四点在一条直线上，且 BE=CF，AB=DE，∠B=∠DEF．
求证：△ABC≌△DEF．

22. 在平面直角坐标系 xOy 中，点 A1,4 为双曲线 y=kx 上一点．
（1）求 k 的值；
（2）当 x>2 时，对于 x 的每一个值，函数 y=mx−2m≠0 的值大于 y=kx 的值，直接写出 m 的取值范围．

23. 如图，在四边形 ABCD 中，∠BCD=90∘，对角线 AC，BD 相交于点 N．点 M 是对角线 BD 中点，连接 AM，CM．如果 AM=DC，AB⊥AC，且 AB=AC．
（1）求证：四边形 AMCD 是平行四边形．
（2）求 tan∠DBC 的值．

24. 截止到 2020 年 11 月，我国贫困县“摘帽”计划已经全部完成，脱贫攻坚取得了全面胜利！为了打赢“脱贫攻坚”战役，国家设立了“中央财政脱贫专项资金”以保证各省贫困地区的持续投入．小凯同学通过登录国家乡村振兴局网站，查询到了 2020 年中央财政脱贫专项资金对我国 28 个省、直辖市、自治区的分配额度（亿元），并对数据进行整理、描述和分析．下面是小凯给出的部分信息．
a.反映 2020 年中央财政脱贫专项资金分配额度的频数分布直方图如下（数据分成 8 组：0≤x<20，20≤x<40，40≤x<60，60≤x<80，80≤x<100，100≤x<120，120≤x<140，140≤x≤160）
b. 2020 年中央财政脱贫专项资金在 20≤x<40 这一组分配的额度是（亿元）：
25 28 28 30 37 37 38 39 39
（1）2020 年中央财政脱贫专项资金对各省、直辖市、自治区分配额度的中位数为 （亿元）．
（2）2020 年中央财政脱贫专项资金对某省的分配额度为 95 亿元，该额度在 28 个省、直辖市、自治区中由高到低排第 名．
（3）小凯在收集数据时得到了 2016∼2020 年中央财政脱贫专项资金对自治区A和自治区B的分配额度变化图：
①比较 2016 年 ∼2020 年中央财政脱贫专项资金对自治区A，B的分配额度，方差 sA2 sB2（填写“>”或者“<”）；
②请结合统计数据，针对中央财政脱贫专项资金对自治区A，B脱贫攻坚工作的支持情况，说一说你的看法．

25. 已知：如图，点 A，C，D 在 ⊙O 上，且满足 ∠C=45∘，连接 OD，AD．过点 A 作直线 AB∥OD，交 CD 的延长线于点 B．
（1）求证：AB 是 ⊙O 的切线；
（2）如果 OD=CD=2，求 AC 边的长．

26. 已知二次函数 y=ax2−2ax+1a≠0．
（1）求此二次函数图象的对称轴；
（2）设此二次函数的图象与 x 轴交于不重合两点 Mx1,0，Nx2,0（其中 x1
27. 已知点 P 为线段 AB 上一点，将线段 AP 绕点 A 逆时针旋转 60∘，得到线段 AC；再将线段 BP 终点 B 逆时针旋转 120∘，得到线段 BD；连接 AD，取 AD 中点 M，连接 BM，CM．
（1）如图 1，当点 P 在线段 CM 上时，求证：PM∥BD；
（2）如图 2，当点 P 不在线段 CM 上，写出线段 BM 与 CM 的数量关系与位置关系，并证明．

28. 在平面直角坐标系 xOy 中，任意两点 Px1,y1，Qx2,y2，定义线段 PQ 的“直角长度”为 dPQ=∣x2−x1∣+∣y2−y1∣．
（1）已知点 A3,2．
① dOA= ；
②已知点 Bm,0，若 dAB=6，求 m 的值；
（2）在三角形中，若存在两条边“直角长度”之和等于第三条边的“直角长度”，则称该三角形为“和距三角形”．已知点 M3,3．
①点 D0,dd≠0，如果 △OMD 为“和距三角形”，求 d 的取值范围；
②在平面直角坐标系 xOy 中，点 C 为直线 y=−x−4 上一点，点 K 是坐标系中的一点，且满足 CK=1，当点 C 在直线上运动时，点 K 均满足使 △OMK 为“和距三角形”，请你直接写出点 C 的横坐标 xc 的取值范围．
答案
第一部分
1. D
2. C
3. B
4. B
5. A
6. C
7. B
8. D
第二部分
9. x≥2
10. 例如：x=1,y=2
11. 答案不唯一．例如：圆柱、长方体等
12. 0.35
13. 360∘
14. −p,−q
15. =
16. c，b，a
第三部分
17. 原式=1−4+23−6⋅32=−3−3.
18.
−2x+6≥4.−2x≥−2.x≤1.4x+13>x−1.4x+1>3x−3.x>−4.
∴ 原不等式组的解集为 −419. （1）
（2） 在同圆中，等弦所对的弧相等；在同圆中，等弧所对的圆周角相等；内错角相等，两直线平行
20. （1） ∵ 方程有两个不相等的实数根，
∴Δ=−42−4⋅2−k=8+4k>0，
∴k>−2．
（2） 答案不唯一
k=−1，x−22=1．
∴x1=1，x2=3．
21. ∵BE=CF，
∴BC=EF，
∴ 在 △ABC 与 △DEF 中，
AB=DE∠B=∠DEFBC=EF
∴△ABC≌△DEFSAS．
22. （1） 将点 A1,4 带入 y=kx，
k=4．
（2） 当 x>2 时，y=4x 的函数值随着 x 的增大而减小；
当 x=2 时，
2m−2≥42，
m≥2．
23. （1） ∵∠DCB=90∘，
在 Rt△DCB 中，点 M 为 DB 中点，
∴MC=12BD=BM．
∵ 在 △ABC 中，AB=AC，
∴△ABM≌△ACM，
∴∠BAM=∠CAM，
∴AM⊥BC．
∵∠DCB=90∘，
∴AM∥DC．
∵AM=DC，
∴ 四边形 AMCD 是平行四边形．
（2） 延长 AM，交 BC 于点 Q，
∵AM⊥BC，
∴AM∥DC．
∵M 是 BD 的中点，
∴MQ=12DC，
又 ∵AM=DC，
∴MQ=12AM．
∵Rt△ACB 中，AB=AC，AM⊥BC，
∴AQ=BQ，
∴tan∠DBC=MQBQ=13．
24. （1） 37.5
（2） 6
（3） >
言之有理即可．
25. （1） 连接 OA．
∵∠C=45∘，
∴∠O=2∠C=90∘，
∵OD∥AB，
∴∠OAB=90∘，
∵⊙O 过点 A，
∴AB 是 ⊙O 切线于点 A．
（2） 分别连接 OC，AD，作 DH⊥AC 于 H．
∵OC=OD=CD=2，
∴△OCD 是等边三角形，
∴∠OCD=60∘，
∵∠ACD=45∘，
∴∠OCA=∠OAC=15∘，
∵CD=2，
∴DH=CH=2，
∵OA=OD，∠AOD=90∘，
∴∠OAD=45∘，
∴∠CAD=30∘，
又 ∵tan∠CAD=DHAH=tan30∘=13，
∴AH=6，
∴AC=DH+AH=2+6．
26. （1） x=−−2a2a=1
（2） ∵x1+2x2<6，x1+x2=2，
∴x2<4．
若 a>0 时，当 x=1 时，a−2a+1<0，a>1．
若 a<0 时，当 x=4 时，16a−8a+1<0，a<−18．
∴a>1 或 a<−18．
27. （1） ∵ 点 P 在线段 CM 上，
∴△APC 为等边三角形，
∴∠CPA=60∘，
∴∠APM=120∘，
又 ∵∠ABD=120∘，
∴PM∥BD．
（2） 延长 BM 至点 F，使得，MF=MB，连接 AF，BC，FC，PC．
猜想：CM⊥MB，CM=3MB．
证明：
∵AM=MD，FM=BM，
∴ 四边形 AFCB 为平行四边形，
∴AF=BD，AF∥BD，
∴∠BAF=180−∠ABD=60∘，
∴∠CAF=120∘，
∵△APC 是等边三角形，
∴AC=CP，∠CPB=120∘，
∵PB=DB=AF，
∴△CAF≌△CPB，
∴CF=CB，∠1=∠2，
∴∠FCB=60∘，
∴△CBF 是等边三角形，
又 ∵FM=BM，
∴CM⊥MB，CM=3MB．
28. （1） ① 5；
② −1,0 或 7,0，∴m=−1或7；
（2） 据题意，锐角三角形不可能为“和距三角形”．
① d≤3 且 d≠0．
②据题意，点 K 的轨迹是以点 C 为圆心，半径为 1 的圆，
∴−3≤xc≤−2−22 或 −2+22