2021年上海市松江区中考一模数学试卷（期末）

这是一份2021年上海市松江区中考一模数学试卷（期末），共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共6小题；共30分）
1. 如果两个相似三角形对应边的比为 1:4，那么它们的周长比是
A. 1:2B. 1:4C. 1:8D. 1:16

2. 在 Rt△ABC 中，∠C=90∘，∠A=α，BC=2，那么 AC 的长为
A. 2sinαB. 2csαC. 2tanαD. 2ctα

3. 抛物线 y=2x2 向右平移 3 个单位后得到的抛物线是
A. y=2x2+3；B. y=2x2−3；
C. y=2x+32；D. y=2x−32．

4. 已知 a=2b，下列说法中不正确的是
A. a−2b=0B. a 与 b 方向相同
C. a∥bD. ∣a∣=2∣b∣

5. 如图，一艘船从 A 处向北偏东 30∘ 的方向行驶 10 千米到 B 处，再从 B 处向正西方向行驶 20 千米到 C 处，这时这艘船与 A 的距离
A. 15 千米B. 10 千米C. 103 千米D. 53 千米

6. 如图，已知在 Rt△ABC 中，∠C=90∘，点 G 是 △ABC 的重心，GE⊥AC，垂足为 E，如果 CB=8，则线段 GE 的长为
A. 53B. 73C. 83D. 103

二、填空题（共12小题；共60分）
7. 已知 xy=53，那么 x−yy= ．

8. 已知线段 MN 的长是 4 cm，点 P 是线段 MN 的黄金分割点，则较长线段 MP 的长是_________ cm．

9. 计算：sin30∘⋅ct60∘= ．

10. 在 Rt△ABC 中，∠C＝90∘,AC=6,csA=34，那么 AB 的长为 ．

11. 一个边长为 2 厘米的正方形，如果它的边长增加 xx>0 厘米，则面积随之增加 y 平方厘米，那么 y 关于 x 的函数解析式为 ．

12. 已知点 A2,y1，B3,y2 在抛物线 y=x2−2x+c（c 为常数）上，则 y1 y2．（填“>”、“=”或“<”）

13. 如图，已知直线 l1，l2，l3 分别交直线 l4 于点 A，B，C，交直线 l5 于点 D，E，F，且 l1∥l2∥l3，AB=4，AC=6，DF=10，则 DE= ．

14. 如图，△ABC 在边长为 1 个单位的方格纸中，△ABC 的顶点在小正方形顶点位置，那么 ∠ABC 的正弦值为 ．

15. 如图，已知点 D，E 分别在 △ABC 的边 AB 和 AC 上，DE∥BC，DEBC=34，四边形 DBCE 的面积等于 7，则 △ADE 的面积为 ．

16. 如图，在梯形 ABCD 中，AD∥BC，BC=2AD，设向量 AB=a，AD=b，用向量 a，b 表示 AC 为 ．

17. 如图，正方形 DEFG 的边 EF 在 △ABC 的边 BC 上，顶点 D，G 分别在边 AB，AC 上．已知 △ABC 的边 BC=16 cm，高 AH 为 10 cm，则正方形 DEFG 的边长为 cm．

18. 如图，已知矩形纸片 ABCD，点 E 在边 AB 上，且 BE=1，将 △CBE 沿直线 CE 翻折，使点 B 落在对角线 AC 上的点 F 处，联结 DF．如果点 D，F，E 在同一直线上，则线段 AE 的长为 ．

三、解答题（共7小题；共91分）
19. 用配方法把二次函数 y=3x2−6x+5 化为 y=ax+m2+k 的形式，并指出这个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．

20. 如图，已知 AB∥CD，AD，BC 相交于点 E，AB=6，BE=4，BC=9，联结 AC．
（1）求线段 CD 的长；
（2）如果 AE=3，求线段 AC 的长．

21. 如图，已知在 Rt△ABC 中，∠C＝90∘，sin∠ABC=35，点 D 在边 BC 上，BD=4，连接 AD，tan∠DAC=23．
（1）求边 AC 的长；
（2）求 ct∠BAD 的值．

22. 如图，垂直于水平面的 5G 信号塔 AB 建在垂直于水平面的悬崖边 B 点处（点 A，B，C 在同一直线上）．某测量员从悬崖底 C 点出发沿水平方向前行 60 米到 D 点，再沿斜坡 DE 方向前行 65 米到 E 点（点 A，B，C，D，E 在同一平面内），在点 E 处测得 5G 信号塔顶端 A 的仰角为 37∘，悬崖 BC 的高为 92 米，斜坡 DE 的坡度 i=1:2.4．
（参考数据：sin37∘≈0.60，cs37∘≈0.80，tan37∘≈0.75．）
（1）求斜坡 DE 的高 EH 的长．
（2）求信号塔 AB 的高度．

23. 如图，已知在平行四边形 ABCD 中，E 是边 AD 上一点，联结 BE，CE，延长 BA，CE 相交于点 F，CE2=DE⋅BC．
（1）求证：∠EBC=∠DCE；
（2）求证：BE⋅EF=BF⋅AE．

24. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y=ax2+bx−2 经过点 A2,0 和 B−1,−1，与 y 轴交于点 C．
（1）求这个抛物线的表达式；
（2）如果点 P 是抛物线位于第二象限上一点，PC 交 x 轴于点 D，PDDC=23．
①求 P 点坐标；
②点 Q 在 x 轴上，如果 ∠QCA=∠PCB，求点 Q 的坐标．

25. 如图，已知在等腰 △ABC 中，AB=AC=55，tan∠ABC=2，BF⊥AC，垂足为 F，点 D 是边 AB 上一点（不与 A，B 重合）.
（1）求边 BC 的长；
（2）如图 2，延长 DF 交 BC 的延长线于点 G，如果 CG=4，求线段 AD 的长；
（3）过点 D 作 DE⊥BC，垂足为 E，DE 交 BF 于点 Q，连接 DF，如果 △DQF 和 △ABC 相似，求线段 BD 的长．
答案
第一部分
1. B
2. D
3. D
4. A
5. C
6. C
第二部分
7. 23
8. 25−2；
9. 36
10. 8
11. y=x2+4x；
12. <
13. 203
14. 55
15. 9
16. a+2b
17. 8013
18. 1+52
第三部分
19. y=3x2−2x+5，
y=3x2−2x+1−3+5，
y=3x−12+2．
开口方向：向上．
顶点坐标：1,2．
对称轴：直线 x=1．
20. （1） 因为 AB∥CD，
所以 ABCD=BEEC．
因为 BE=4，BC=9，
所以 EC=5．
因为 AB=6，
所以 6CD=45．
所以 CD=152．
（2） 因为 AB=6，BE=4，BC=9，
所以 AB2=BE⋅BC，即 BEAB=ABBC．
因为 ∠ABE=∠CBA，
所以 △ABE∽△CBA．
所以 AEAC=BEAB．
因为 AE=3，BE=4，AB=6，
所以 3AC=46．
所以 AC=92．
21. （1） 在 Rt△ACD 中，∠C=90∘，tan∠DAC=DCAC=23，
设 DC=2x，则 AC=3x，
在 Rt△ABC 中，∠C=90∘，sin∠ABC=ACAB=35，
所以 AB=5x，
所以 BC=4x，
因为 BC=CD+DB，BD=4，
所以 2x+4=4x，x=2，
所以 AC=6．
（2） 过点 D 作 DE⊥AB，垂足为 E，
因为 sin∠ABC=DEBD=35，BD=4，
所以 DE=125，BE=165，
因为 AB=10，
所以 AE=345，
在 Rt△AED 中，ct∠BAD=AEDE，
所以 ct∠BAD=176．
22. （1） 在 Rt△EHD 中，i=EHHD，
∵i=1:2.4，
∴EHHD=512，
∴EHDE=513．
∵DE=65，
∴EH=25（米）．
答：斜坡 DE 的高 EH 的长 25 米．
（2） 过点 E 作 EF⊥AC，垂足为 F，
在 Rt△EHD 中，EHHD=512，EH=25，
∴HD=60．
∵DC=60，
∴HC=120，
在 Rt△EFA 中，tan∠AEF=AFEF，
∵EF=HC=120，∠AEF=37∘，
∴AF=EF⋅tan∠AEF=120⋅tan37∘=90．
∵FC=EH=25，
∴AC=AF+FC=115，
∵BC=92，
∴AB=23（米）．
答：信号塔 AB 的高度为 23 米．
23. （1） 因为四边形 ABCD 是平行四边形，
所以 AD∥BC，
所以 ∠BCE=∠CED，
因为 CE2=DE⋅BC，
所以 CEDE=BCCE，
所以 △BCE∽△CED，
所以 ∠EBC=∠DCE．
（2） 因为 AB∥DC，
所以 ∠AEB=∠EBC，∠F=∠DCE，
因为 ∠EBC=∠DCE，
所以 ∠AEB=∠F，
因为 ∠ABE=∠EBF，
所以 △BEA∽△BFE，
所以 BEBF=AEEF，
所以 BE⋅EF=BF⋅AE．
24. （1） 因为抛物线经过点 A2,0，点 B−1,−1
所以 4a+2b−2=0a−b−2=−1，
解得 a=23b=−13
所以抛物线解析式为 y=23x2−13x−2
（2） ①过点 P 作 PE⊥y 轴，垂足为 E
因为 OD∥PE，
所以 PDDC=EOOC
因为 C0,−2，
所以 OC=2
因为 PDDC=23
所以 OE=43
当 y=43 时，23x2−13x−2=43，
解得 x1=−2，x2=52（舍去）
所以 P−2,43
②（i）当点 Q 在线段 OA 上时，
因为 B−1,−1，
所以 ∠BCO=45∘
因为 OC=OA，
所以 ∠OCA=45∘，
所以 ∠BCO=∠OCA，
因为 ∠QCA=∠PCB，
所以 ∠DCO=∠QCO，
所以 OD=OQ
因为 ODPE=COCE，
所以 OD=65，
所以 OQ=65，
所以 Q65,0
（ii）当点 Q 在 OA 的延长线上时
因为 ∠OCD=45∘−∠PCB，∠DQC=90∘−∠OCQ=90∘−45∘+∠QCA=45∘−∠QCA
又因为 ∠QCA=∠PCB，
所以 ∠OCD=∠DQC
所以 tan∠OCD=tan∠DQC，
所以 DOOC=OCOQ
所以 OQ=103，
所以 Q103,0
所以 Q65,0或Q103,0．
25. （1） 过点 A 作 AH⊥BC，垂足为 H．
∵AB=AC，
∴BH=HC．
在 Rt△ABH 中，tan∠ABC=AHBH=2．
∴cs∠ABC=BHAB=55，
∵AB=55，
∴BH=5．
∴BC=10．
（2） 过点 A 作 AM∥BG 交 GD 的延长线于点 M．
∴AMCG=AFFC，AMBG=ADBD．
在 Rt△BFC 中，cs∠ACB=cs∠ACB=55，BC=10．
∴FC=25．
∴AF=35．
∵CG=4，
∴AM=6．
∴614=AD55−AD，
∴AD=352．
（3） ∵BF⊥AC，DE⊥BC，
∴∠BFC=∠DEB=90∘．
∴∠BQE=∠ACB．
∵∠BQE=∠DQF，
∴∠DQF=∠ACB．
∵△DQF 和 △ABC 相似，
∴DQAC=QFBC 或 DQBC=FQAC．
∵tan∠BQE=tan∠ACB=tan∠ABC=2，
∴BEQE=2，DEBE=2．
设 BE=x，QE=2x，则 DE=4x．
∴BQ=5x，BD=25x，DQ=3x．
∵BF=2CF=45，
∴QF=45−5x．
（ⅰ）当 DQAC=QFBC 时，则 3x55=45−5x10，解得 x=85，
∴BD=25x=1655；
（ⅱ）当 DQBC=FQAC 时，则 3x10=45−5x55，解得 x=2011．
∴BD=25x=40511．
综上所述，BD=1655 或 BD=40511．