2021年上海市徐汇区中考一模数学试卷

这是一份2021年上海市徐汇区中考一模数学试卷，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共6小题；共30分）
1. 将抛物线 y=2x+12 先向右平移 3 个单位，再向下平移 2 个单位后，所得抛物线的表达式是
A. y=2x−22−2B. y=2x−22+2
C. y=2x+42−2D. y=2x+42+2

2. 在 Rt△ABC 中，∠A=90∘，AB=6，BC=10，那么下列结论正确的是
A. tanC=43B. ctC=45C. sinC=34D. csC=45

3. 已知抛物线 y=−x2+4x+c 经过点 4,3，那么下列各点中，该抛物线必经过的点是
A. 0,2B. 0,3C. 0,4D. 0,5

4. 已知海面上一艘货轮 A 在灯塔 B 的北偏东 30∘ 方向，海监船 C 在灯塔 B 的正东方向 5 海里处，此时海监船 C 发现货轮 A 在它的正北方向，那么海监船 C 与货轮 A 的距离是
A. 10 海里B. 53 海里C. 5 海里D. 533 海里

5. 下列说法中，正确的是
A. 两个矩形必相似
B. 两个含 45∘ 角的等腰三角形必相似
C. 两个菱形必相似
D. 两个含 30∘ 角的直角三角形必相似

6. 定义：x 表示不超过实数 x 的最大整数，例如：1,7=1，35=0，−214=−3，根据你学习函数的经验，下列关于函数 y=x 的判断中，正确的是
A. 函数 y=x 的定义域是一切整数
B. 函数 y=x 的图象是经过原点的一条直线
C. 点 225,2 在函数 y=x 图象上
D. 函数 y=x 的函数值 y 随 x 的增大而增大

二、填空题（共12小题；共60分）
7. 如果 a:b=2:3，那么代数式 b−aa 的值是 ．

8. 如图，AB∥CD∥EF，如果 AC=2，CE=3，BD=1.5，那么 BF 的长是 ．

9. 已知点 P 在线段 AB 上，如果 AP2=AB⋅BP，AB=4，那么 AP 的长是 ．

10. 已知二次函数 y=ax+322−1 的图象在直线 x=−32 的左侧部分是下降的，那么 a 的取值范围是 ．

11. 如图，在 △ABC 中，点 D,E 分别在边 AB,AC 上，DE∥BC，如果 △AED 和四边形 DECB 的面积相等，BC=22，那么 DE 的长是 ．

12. 在坡度为 i=1:3 的山坡上种树，要求株距（相邻两棵树间的水平距离）是 6 米，那么斜坡上相邻两棵树间的坡面距离是 米．

13. 已知甲、乙两楼相距 30 米，如果从甲楼底看乙楼顶，测得仰角为 45∘，从乙楼顶看甲楼顶，测得俯角为 30∘，那么甲楼高是 米．

14. 如图，点 P 在线段 BC 上，AB⊥BC，DP⊥AP，CD⊥DP．如果 BC=10，AB=2，tanC=12，那么 DP 的长是 ．

15. 如图，已知 △ABC 是边长为 2 的等边三角形，正方形 DEFG 的顶点 D，E 分别在边 AC，AB 上，点 F，G 在边 BC 上，那么 AD 的长是 ．

16. 《周髀算经》中的“赵爽弦图”（如图），图中的四个直角三角形都全等，如果正方形 ABCD 的面积是正方形 EFGH 面积的 13 倍，那么 ∠ABE 的余切值是 ．

17. 如图，在 △ABC 中，点 D，E 分别在边 AB，AC 上，DE∥BC，将 △ADE 沿直线 DE 翻折后与 △FDE 重合，DF，EF 分别与边 BC 交于点 M，N，如果 DE=8，ADAB=23，那么 MN 的长是 ．

18. 如图，在 △ABC 中，∠ABC=120∘，AB=12，点 D 在边 AC 上，点 E 在边 BC 上，sin∠ADE=45，ED=5，如果 △ECD 的面积是 6，那么 BC 的长是 ．

三、解答题（共7小题；共91分）
19. 计算：sin45∘ct45∘−tan60∘+∣2cs45∘−ct30∘∣．

20. 如图，在平行四边形 ABCD 中，AE 平分 ∠BAD，AE 与 BD 交于点 F，AB=1.2，BC=1.8．
（1）求 BF:DF 的值；
（2）设 AB=a，BC=b，求向量 DF（用向量 a，b 表示）．

21. 已知抛物线 y=x2+bx+c 与 y 轴交于点 C0,2，它的顶点为 M，对称轴是直线 x=−1．
（1）求此抛物线的表达式及点 M 的坐标．
（2）将上述抛物线向下平移 mm>0 个单位，所得新抛物线经过原点 O，设新抛物线的顶点为 N，请判断 △MON 的形状，并说明理由．

22. 为加强对市内道路交通安全的监督，王警官利用无人机进行检测．某高架路有一段限速每小时 60 千米的道路 AB（如图所示），当无人机在限速道路的正上方 C 处时，测得限速道路的起点 A 的俯角是 37∘，无人机继续向右水平飞行 220 米到达 D 处，此时又测得起点 A 的俯角是 30∘，同时测得限速道路终点 B 的俯角是 45∘（注：即四边形 ABDC 是梯形）．
（参考数据：sin37∘≈0.60，cs37∘≈0.80，tan37∘≈0.75，3≈1.73）
（1）求限速道路 AB 的长（精确到 1 米）；
（2）如果李师傅在道路 AB 上行驶的时间是 1 分 20 秒，请判断他是否超速?并说明理由．

23. 如图，在 △ACB 中，点 D，E 分别在边 BC，AC 上，AD=AB，BE=CE，AD 与 BE 交于点 F，且 AF⋅DF=BF⋅EF．求证：
（1）∠ADC=∠BEC；
（2）AF⋅CD=EF⋅AC．

24. 已知二次函数 y=ax2−2ax+a+4a<0 的大致图象如图所示，这个函数图象的顶点为点 D．
（1）求该函数图象的开口方向、对称轴及点 D 的坐标；
（2）设该函数图象与 y 轴正半轴交于点 C，与 x 轴正半轴交于点 B，图象的对称轴与 x 轴交于点 A，如果 DC⊥BC，tan∠DBC=13，求该二次函数的解析式；
（3）在（2）的条件下，设点 M 在第一象限该函数的图象上，且点 M 的横坐标为 tt>1，如果 △ACM 的面积是 258，求点 M 的坐标．

25. 如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90∘，AC=12，BC=5，点 D 是边 AC 上的动点，以 CD 为边在 △ABC 外作正方形 CDEF，分别连接 AE，BE，BE 与 AC 交于点 G．
（1）当 AE⊥BE 时，求正方形 CDEF 的面积；
（2）延长 ED 交 AB 于点 H，如果 △BEH 和 △ABG 相似，求 sin∠ABE 的值；
（3）当 AG=AE 时，求 CD 的长．
答案
第一部分
1. A
2. D
3. B
4. B
5. D
6. C
第二部分
7. 12
8. 154
9. 25−2
10. a>0
11. 2
12. 210
13. 30−103
14. 655
15. 43−6
16. 32
17. 4
18. 93−6
第三部分
19. 原式=22×1−3+2×22−3=22−3+3−2=−22.
20. （1） ∵ 四边形 ABCD 是平四边形，
∴AD=BC=1.8；BC∥AD；
∴∠BEA=∠EAD；
又 AE 平分 ∠BAD，
∴∠BAE=∠EAD；
∴∠BAE=∠BEA；
∴BE=AB=1.2；
∵BC∥AD，
∴BFDF=BEAD=．
（2） ∵AD=BC，AD∥BC，
∴AD=BC=b；
∵BD=AB−AD=a−b；
又 BFDF=23，
∴DFBD=35；
∴DF=35DB=35a−35b．
21. （1） 由题意，得 c=2,−b2=−1; 解得 b=2,c=2;
∴ 抛物线的表达式是 y=x2+2x+2；M−1,1．
（2） △MON 是等腰直角三角形．
设新抛物线表达式为 y=x2+2x+2−m．
由题意，得 m=2；
∴ 新抛物线的表达式为 y=x2+2x；
∴N−1,−1；
∴OM=2，ON=2，MN=2；
∴OM2+ON2=4=MN2；OM=ON；
∴△MON 是等腰直角三角形．
22. （1） 分别过点 C，D 作 CM⊥AB，DN⊥AB，垂足分别是 M，N．
易得，四边形 MNDC 是矩形，
∴CM=DN，MN=CD=220；
在 Rt△AMC 中，∠AMC=90∘，
∴tan∠CAM=CMAM=tan37∘=34；
在 Rt△DNB 中，∠BND=90∘，
∴tan∠DBN=DNBN=tan45∘=1；
设 CM=3k，AM=4k，则 BN=DN=CM=3k；
在 Rt△AND 中，∠AND=90∘，
∴tan∠DAN=DNAN=tan30∘；
即 3k4k+220=13；得 k=2033+4≈203×1.73+4=183.8；
∴AB=7k+220=7×183.8+220=1506.6≈1507（米）．
（2） 李师傅在道路 AB 上行驶的时间是 1 分 20 秒，他超速了．
由题意，限速每小时 60 千米可化为 60000米3600秒=503（米/秒）；
∴ 按限速要求通过道路 AB 的最少时间为：1507÷503=90.42（秒）；
又 1 分 20 秒 =80（秒），80<90.42；
∴ 李师傅在道路 AB 上行驶的时间是 1 分 20 秒，他超速了．
23. （1） ∵AF⋅DF=BF⋅EF，
∴AFBF=EFDF；
又 ∠AFE=∠BFD，
∴△AFE∽△BFD；
∴∠EAF=∠DBF；
∵∠C=∠C；
∴△ADC∽△BEC；
∴∠ADC=∠BEC．
（2） ∵BE=CE，
∴∠EBC=∠C；
又 ∠EBC=∠FAE；
∴∠FAE=∠C；
∵∠AEF=∠C+∠EBC=2∠C，
∠ADB=∠C+∠DAC=2∠C，
∴∠AEF=∠ADB；
∵AB=AD，
∴∠ABD=∠ADB；
∴∠ABD=∠AEF；
∴△AEF∽△CBA；
∴AFEF=ACAB；
∵∠C=∠DAC，
∴AD=CD；
又 AB=AD，
∴AB=CD；
∴AFEF=ACCD；
∴AF⋅CD=EF⋅AC．
24. （1） ∵y=ax2−2ax+a+4=ax−12+4；
又 a<0，
∴ 该函数图象的开口方向向下；
对称轴是直线 x=1；
顶点 D1,4．
（2） 在 Rt△DCB 中，∠DCB=90∘，
∴tan∠DBC=CDBC=13；
过点 D 作 DN⊥OC，垂足为 N．
∵∠NCB=∠NCD+∠DCB=∠COB+∠CBO，
又 ∠DCB=∠COB=90∘，
∴∠NCD=∠CBO；
又 ∠DNC=∠COB=90∘，
∴△DNC∽△COB，
∴NDOC=CNOB=CDBC=13 ；
可得 OC=3 ；
∴C0,3；
由题意，得 a+4=3 ， 得 a=−1；
该二次函数的解析式是 y=−x2+2x+3．
（3） 设 Mt,−t2+2t+3，过点 M 作 ME⊥OB 交 CA 延长线于点 E．
则点 E 的横坐标为 t；由题意，得 A1,0；
∴ 直线 AC 的解析式为 y=−3x+3，
∴Et,−3t+3；
∵S△ACM=S△ECM−S△ACM=12t⋅ME−12t−1ME=12ME=258;
又 ME=−t2+2t+3−−3t+3=−t2+5t ；
∴−t2+5t=254；即 4t2−20t+25=0；解得 t=52；
∴M52,74．
25. （1） ∵ 四边形 CDEF 是正方形，
∴CD=DE=EF=CF，∠DEF=90∘；
∵AE⊥BE，
∴∠AEB=90∘=∠DEF；
∴∠AED+∠DEG=∠DEG+∠FEG；
∴∠AED=∠FEG；
又 ∠ADE=∠F=90∘，
∴△ADE≌△EFB；
∴AD=BF；
设 CD=x，则 CF=EF=x，AD=12−x；
∴12−x=5+x；解得 x=72
∴S正方形CDEF=CD2=494．
（2） 当 △BEH 和 △ABG 相似时，又 ∠ABG=∠EBH，所以分两种情况考虑：
1∘∵∠BHE=∠BAG+∠ADH=∠BAG+90∘；
∴∠BHE≠∠BAG；
2∘ 当 ∠BEH=∠BAG 时，
∵DE∥BC，
∴∠BEH=∠CBG；
∴∠CBG=∠BAG；
∴tan∠CBG=CGBC=tan∠BAG=BCAC；
∴CG5=512；得 CG=512；
∴AG=11912;
过点 A 作 AM⊥BE，垂足为 M．在 Rt△AMG 中，∠AMG=90∘；
sin∠AGM=AMAG=sin∠BGC=sin∠ABC=1213；可得：AM=11913；
在 Rt△AMB 中，∠AMB=90∘，sin∠ABE=AMAB=119169；
综合 1∘ 、 2∘，如果 △BEH 和 △ABG 相似，sin∠ABE 的值是 119169．
（3） 同（2），过点 A 作 AM⊥BE，垂足为 M．设 CD=x．
∵CD∥EF，
∴CGEF=BCBF；即 CGx=55+x；解得 CG=5x5+x；
∴AG=60+7x5+x，DG=x25+x；
∵AG=AE，
∴GM=12GE；
由 ∠EGD=∠AGM，∠EDG=∠AMG=90∘，△EDG∽△AMG；
∴GDGE=GMAG；得 GE2=2GD⋅AG；即 DG2+DE2=2GD⋅AG；
即 x45+x2+x2=2×x25+x⋅60+7x5+x；
化简，得 2x2−4x−95=0；解得 x=2±1942 （负值舍去）
∴CD=2+1942．