2021年上海市宝山区中考一模数学试卷（期末）

这是一份2021年上海市宝山区中考一模数学试卷（期末），共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共6小题；共30分）
1. 如果 C 是线段 AB 延长线上一点，且 AC:BC=3:1，那么 AB:BC 等于
A. 2:1B. 1:2C. 4:1D. 1:4

2. 在 Rt△ABC 中，∠C=90∘，AB=5，BC=3，那么 sinA 的值为
A. 35B. 34C. 45D. 43

3. 如图，AB∥DE，BC∥DF，已知 AF:FB=m:n，BC=a，那么 CE 等于
A. amnB. anmC. amm+nD. anm+n

4. 已知点 M 是线段 AB 的中点，那么下列结论中，正确的是
A. AM=BM；B. AM=12AB；C. BM=12AB；D. AM+BM=0．

5. 将抛物线 y=x2 先向右平移 1 个单位长度，再向上平移 2 个单位长度，两次平移后得到的抛物线的表达式为
A. y=x−12−2B. y=x+12−2
C. y=x−12+2D. y=x+12+2

6. 如图所示是二次函数 y=ax2+bx+ca≠0 图象的一部分，那么下列说法中不正确的是
A. ac<0
B. 抛物线的对称轴为直线 x=1
C. a−b+c=0
D. 点 −2,y1 和 2,y2 在抛物线上，则 y1>y2

二、填空题（共12小题；共60分）
7. 如果 2x=3y，那么 x+yy = ．

8. 已知线段 a=2 厘米，c=8 厘米，那么线段 a 和 c 的比例中项 b 的长度为 厘米．

9. 如果线段 AB 的长为 2，点 P 是线段 AB 的黄金分割点，那么较短的线段 AP= ．

10. 计算：32a−b−a+b= ．

11. 已知等腰梯形上底为 5，高为 4，底角的余弦值为 35，那么其周长为 ．

12. 某厂七月份的产值是 10 万元，设第三季度每个月产值的增长率相同，都为 xx>0, 九月份的产值为 y 万元，那么 y 关于 x 的函数解析式为 ．（不要求写定义域）

13. 如果抛物线 y=mx+12+m（m 是常数）的顶点坐标在第二象限，那么它的开口方向 ．

14. 已知一条抛物线具有以下特征：（1）经过原点；（2）在 y 轴左侧的部分，图象上升，在 y 轴右侧的部分，图象下降．试写出一个符合要求的抛物线的表达式： ．

15. 如图，已知 △ABC 中，EF∥AB，AFFC=12，如果四边形 ABEF 的面积为 25，那么 △ABC 的面积为 ．

16. 在一块直角三角形铁皮上截一块正方形铁皮．如图，已有的铁皮是 Rt△ABC，∠C=90∘，要截得的正方形 EFGD 的边 FG 在 AB 上．顶点 E，D 分别在边 CA，CB 上，如果 AF=4，GB=9，那么正方形铁皮的边长为 ．

17. 如图，某堤坝的坝高为 12 米，如果迎水坡的坡度为 1:0.75，那么该大坝迎水坡 AB 的长度为 米．

18. 等腰 △ABC 中，AC=BC，∠ACB=90∘，点 E，F 分别是边 CA，CB 的中点．已知点 P 在线段 EF 上，连接 AP，将线段 AP 绕点 P 逆时针旋转 90∘ 得到线段 DP．如果点 P，D，C 在同一直线上，那么 tan∠CAP= ．

三、解答题（共7小题；共91分）
19. 计算：1−cs245∘ct30∘+sin60∘⋅tan30∘．

20. 如图 1，已知 △ABC 中，DE∥BC，且 DE 经过 △ABC 的重心点 G，BD=a，BC=b．
（1）试用向量 a，b 表示向量 BE；
（2）求作向量 233a−b．（不要求写作法，但要指出图中表示结论的向量）

21. 已知二次函数 y=ax2−axa≠0 的图象经过点 −1,2．
（1）求该二次函数的解析式和顶点坐标；
（2）能否通过所求得的抛物线的平移得到抛物线 y=x2+3x+12?如果能，请说明怎样平移：如果不能，请说明理由．

22. 如图 2，点 O 是菱形 ABCD 的对角线 BD 上一点，联结 AO 并延长，交 CD 于点 E，交 BC 的延长线于点 F．
（1）求证：AB2=DE⋅BF；
（2）如果 OE=1，EF=2，求 CFBF 的值．

23. 某校数学活动课上，开展测量学校教学大楼 AB 高度的实践活动，三个小组设计了不同方案，测量数据如下表：
（1）根据测量方案和所得数据，第 组的数据无法算出大楼高度?
（2）请选择其中一个可行方案及其测量数据，求出教学大楼的高度．
参考数据：sin37∘≈0.60，cs37∘≈0.80，tan37∘≈0.75．

24. 已知抛物线 y=ax2+bxa≠0 经过 A4,0，B−1,3 两点，抛物线的对称轴与 x 轴交于点 C，点 D 与点 B 关于抛物线的对称轴对称，连接 BC，BD．
（1）求该抛物线的表达式以及对称轴；
（2）点 E 在线段 BC 上，当 ∠CED=∠OBD 时，求点 E 的坐标；
（3）点 M 在对称轴上，点 N 在抛物线上，当以点 O，A，M，N 为顶点的四边形是平行四边形时，求这个平行四边形的面积．

25. 如图，已知 Rt△ABC 中，∠ACB=90∘，AC=BC，点 D，E 在边 AB 上，∠DCE=45∘，过点 A 作 AB 的垂线交 CE 的延长线于点 M，连接 MD．
（1）求证：CE2=BE⋅DE；
（2）当 AC=3，AD=2BD 时，求 DE 的长；
（3）过点 M 作射线 CD 的垂线，垂足为点 F．设 BDBC=x，tan∠FMD=y，求 y 关于 x 的函数关系式，并写出定义域．
答案
第一部分
1. A
2. A
3. D
4. B
5. C
6. B
第二部分
7. 52
8. 4
9. 3−5
10. 5a−4b
11. 26
12. y=101+x2
13. 向上
14. y=−x2（答案不唯一）
15. 45
16. 6
17. 15
18. 2−1
第三部分
19. 原式=1−2223+32⋅33=1−123+12=23−111.
20. （1） a+23b
（2） 所求作向量为 EA（图略）
21. （1） 由二次数图象经过点 −1,2 得 a+a=2，a=1，
∴ 二次函数解析式为 y=x2−x，
∵y=x2−x=x−122−14，
∴ 顶点坐标为 12,−14．
（2） ∵y=x2+3x+12=x+322−74，
∴ 该抛物线顶点坐标为 −32,−74，
∴ 原抛物线可通过向左平移 2 个单位，再向下平移 32 个单位得到抛物线 y=x2+3x+12．
22. （1） 由菱形 ABCD 可得 ∠ADE=∠ABF，AD=AB，AD∥BC，
∴∠DAE=∠BFA；
∴△ADE∽△FBA；
∴ADBF=DEAB．
∴AB2=DE⋅BF．
（2） 联结 OC，
由 OE=1，EF=2 得 OF=3，
由菱形 ABCD，可得 △DAO≌△DCO，
∴∠DAO=∠DCO．
∵AD∥BC，
∴∠DAO=∠F．
∴∠DCO=∠F．
∵∠EOC=∠COF，
∴△EOC∽△COF．
∴CO2=OE⋅OF=1×3=3．
∴CO=AO=3．
∵AB∥CD，
∴CFBF=FEFA．
∴CFBF=3−33．
23. （1） 二
（2） 第一组：
在 Rt△ABD 中，AB⊥BC，由 ∠ADB=45∘，
得 AB=BD．
设 AB=BD=x，则 BC=12+x，
在 Rt△ABC 中，由 ∠C=37∘，
tan∠C=ABBC，
得 xx+12=34．
解得 x=36．
答：教学大楼的高度是 36 米．
第三组：
在 Rt△ABF 中，AB⊥BP，由 ∠AFB=45∘，
得 AB=BF．
在 Rt△PEF 中，由 EF=9，∠P=37∘，
得 PF=12，
设 AB=BF=x，则 BP=12+x．
在 Rt△PAB 中，由 ∠P=37∘，tan∠P=ABBP，
得 xx+12=34．
解得 x=36．
答：教学大楼的高度是 36 米．
24. （1） ∵y=ax2+bxa≠0 经过 A4,0，B−1,3，
由题意得 16a+4b=0,a−b=3. 解得 a=35,b=−125.
∴ 二次函数解析式为 y=35x2−125x，
∴ 抛物线的对称轴为直线 x=2．
（2） 由抛物线的对称轴与 x 轴交于点 C，点 D 与点 B 关于抛物线的对称轴对称可得 BD∥OA，且 C2,0，D5,3．
∴∠DBC=∠BCO，∠DBO+∠BOC=180∘．
∵B−1,3，
∴BC=32．
∵∠CED=∠OBD，
∴∠BOC=∠DEB．
∴△EBD∽△OCB．
∴BEOC=BDBC，即 BE2=632．
∴BE=22，CE=2．
过点 E 作 EF⊥OA，垂足为点 F，
在 Rt△OEF 中，由 ∠EFC=90∘ 可得 EF=FC=1．
∴ 点 E 的坐标为 1,1．
（3） 以点 O，A，M，N 为顶点的四边形是平行四边形时，
分类讨论：
i）OA 为对角线，MN 与 OA 互相垂直且平分，
可得 N2,−125，M2,125．
∴S平行四边形ONAM=12⋅OA⋅MN=485．
ii）OA 为边，MN 与 OA 互相平行且相等，
可得 M2,365，N6,365 或 N−2,365．
∴S平行四边形OANM=OA⋅ME=1445．
25. （1） ∵Rt△ABC 中，∠ACB=90∘，AC=BC，∠DCE=45∘，
∴∠B=∠DCE=45∘．
又 ∵∠BEC=∠CED，
∴△BEC∽△CED．
∴CEBE=DECE，
∴CE2=BE⋅DE．
（2） ∵∠ACD=45∘+∠ACE=∠BEC，
∠B=∠BAC，
∴△BEC∽△ACD，
∴BCAD=BEAC．
又 AC=BC=3，∠ACB=90∘，
∴AB=32．
∵AD=2BD，
∴BD=2，AD=22．
可得 BE=924，
∴DE=524．
（3） 延长 BC 交 MA 延长线于点 G．
∵MA⊥AB，∠B=45∘，
可得 ∠G=∠B=∠DCE．
又 ∵∠MCB=∠B+∠BCD，
∠MCB=∠G+∠GMC，
∴∠GMC=∠BCD．
∴△BCD∽△GMC．
∴BDCG=CDCM，
∴BDCD=CGCM，
∵∠B=∠DCM=45∘，
∴△BCD∽△CMD．
∵MF⊥FC，
∴CM=2CF．
∴BDBC=CDCM=CD2CF=x，
∴CDCF=2x．
∴tan∠FMD=FDCF=1−2x，
∴y=1−2x0