2020年广东省广州市荔湾区中考一模数学试卷

这是一份2020年广东省广州市荔湾区中考一模数学试卷，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共10小题；共50分）
1. −12020 的相反数是
A. 2020B. −2020C. 12020D. −12020

2. 若点 Ma,2 与点 N3,b 关于 x 轴对称，则 a，b 的值分别是
A. 3，−2B. −3，2C. −3，−2D. 3，2

3. 下列计算正确的是
A. a3⋅a2=a6B. −3a2b2=6a4b2
C. −a2+2a2=a2D. a−b2=a2−b2

4. 如图，直线 AB∥CD，BC 平分 ∠ABD，若 ∠1=62∘，则 ∠2 的值为
A. 59∘B. 66∘C. 62∘D. 56∘

5. 一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积是
A. 5 cm2B. 8 cm2C. 9 cm2D. 10 cm2

6. 如图，已知在平面直角坐标系中，四边形 ABCD 是菱形，其中点 B 坐标是 4,1，点 D 坐标是 0,1，点 A 在 x 轴上，则菱形 ABCD 的周长是
A. 8B. 25C. 45D. 12

7. 疫情无情人有情，爱心捐款传真情．新型冠状病毒感染的肺炎疫情期间，某班学生积极参加献爱心活动，该班 50 名学生的捐款统计情况如表：
金额/元5102050100人数6171485
则他们捐款金额平均数和中位数分别是
A. 27.6，10B. 27.6，20C. 37，10D. 37，20

8. 已知 x=3,y=−2 是方程组 ax+by=2,bx+ay=−3 的解，则 a−b 的值是
A. −1B. 1C. −5D. 5

9. 如图，在 Rt△ABC 中，∠A=90∘，AB=3，AC=4，现将 △ABC 沿 BD 进行翻折，使点 A 刚好落在 BC 上，则 CD 长是
A. 2B. 2.4C. 2.5D. 3

10. 如图，抛物线 G:y1=ax+12+2 与 H:y2=−x−22−1 交于点 B1,−2，且分别与 y 轴交于点 D，E．过点 B 作 x 轴的平行线，交抛物线于点 A，C，则以下结论：
①无论 x 取何值，y2 总是负数；
②抛物线 H 可由抛物线 G 向右平移 3 个单位，再向下平移 3 个单位得到；
③当 −3④四边形 AECD 为正方形．
其中正确的是
A. ①③④B. ①②④C. ②③④D. ①②③④

二、填空题（共6小题；共30分）
11. 函数 y=xx−2 中自变量 x 的取值范围是 ．

12. 已知一个多边形的内角和为 540∘，则这个多边形是 边形．

13. 计算：π−30+22= ．

14. 已知反比例函数 y=1−2mx 的图象上两点 Ax1,y1，Bx2,y2，当 x1<0
15. 如图，一个无底的圆锥铁片，它的高 AO=8 米，母线 AB 与底面半径 OB 的夹角为 α，tanα=43，则制作这样一个无底圆锥需要铁片 平方米（结果保留 π）．

16. 如图，菱形 ABCD 的边长为 6，∠B=120∘．点 P 是对角线 AC 上一点（不与端点 A 重合），则 12AP+PD 的最小值为 ．

三、解答题（共9小题；共117分）
17. 先化简再求值：1−a+1a2+2a÷a2+2a+1a3−4a，其中 a=2−1．

18. 如图，已知：在 △ABC 中，∠BAC=90∘，延长 BA 到点 D，使 AD=12AB，点 E，F 分别是边 BC，AC 的中点．求证：DF=BE．

19. 如图：已知：点 A−4,0，B0,3 分别是 x，y 轴上的两点．
（1）用尺规作图作出 △ABO 的外接圆 ⊙P；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）求出 ⊙P 向上平移几个单位后与 x 轴相切．

20. “校园音乐之声“结束后，王老师整理了所有参赛选手的比赛成绩（单位：分），绘制成如下频数直方图和扇形统计图：
（1）求本次比赛参赛选手总人数，并补全频数直方图；
（2）求扇形统计图中扇形 E 的圆心角度数；
（3）成绩在 E 区域的选手中，男生比女生多一人，从中随机选取两人，求恰好选中两名女生的概率．

21. 为应对新型冠状病毒，某药店老板到厂家选购 A，B 两种品牌的医用外科口罩，B 品牌口罩每个进价比 A 品牌口罩每个进价多 0.7 元，若用 7200 元购进 A 品牌的数量是用 5000 元购进 B 品牌数量的 2 倍．
（1）求 A，B 两种品牌的口罩每个进价分别为多少元?
（2）若 A 品牌口罩每个售价为 2.1 元，B 品牌口罩每个售价为 3 元，药店老板决定一次性购进 A，B 两种品牌口罩共 8000 个，在这批口罩全部出售后所获利润不低于 3000 元．则最少购进 B 品牌口罩多少个?

22. 如图，直线 y=kx+bk≠0 与双曲线 y=mxm≠0 交于点 A−12,2，Bn,−1．
（1）求直线与双曲线的解析式．
（2）点 P 在 x 轴上，如果 S△ABP=3，求点 P 的坐标．

23. 已知：如图，AB 是 ⊙O 的直径，点 C 是过点 A 的 ⊙O 的切线上一点，连接 OC，过点 A 作 OC 的垂线交 OC 于点 D，交 ⊙O 于点 E，连接 CE．
（1）求证：CE 与 ⊙O 相切；
（2）连接 BD 并延长交 AC 于点 F，若 OA=5，sin∠BAE=55，求 AF 的长．

24. 如图 1，在平面直角坐标系中，抛物线 y=ax2+bx+3 交 x 轴于 A−1,0 和 B5,0 两点，交 y 轴于点 C，点 D 是线段 OB 上一动点，连接 CD，将线段 CD 绕点 D 顺时针旋转 90∘ 得到线段 DE，过点 E 作直线 l⊥x 轴于 H，过点 C 作 CF⊥l 于 F．
（1）求抛物线解析式；
（2）如图 2，当点 F 恰好在抛物线上时，求线段 OD 的长；
（3）在（2）的条件下：
①连接 DF，求 tan∠FDE 的值；
②试探究在直线 l 上，是否存在点 G，使 ∠EDG=45∘?若存在，请直接写出点 G 的坐标；若不存在，请说明理由．

25. 如图，在矩形 ABCD 中，AB=4，BC=3，点 P 是边 AB 上的一动点，连接 DP．
（1）若将 △DAP 沿 DP 折叠，点 A 落在矩形的对角线上点 Aʹ 处，试求 AP 的长；
（2）点 P 运动到某一时刻，过点 P 作直线 PE 交 BC 于点 E，将 △DAP 与 △PBE 分别沿 DP 与 PE 折叠，点 A 与点 B 分别落在点 Aʹ，Bʹ 处，若 P，Aʹ，Bʹ 三点恰好在同一直线上，且 AʹBʹ=2，试求此时 AP 的长；
（3）当点 P 运动到边 AB 的中点处时，过点 P 作直线 PG 交 BC 于点 G，将 △DAP 与 △PBG 分别沿 DP 与 PG 折叠，点 A 与点 B 重合于点 F 处，请直接写出 F 到 BC 的距离．
答案
第一部分
1. C【解析】−12020 的相反数是 12020．
2. A【解析】两点关于 x 轴对称，横坐标相等，纵坐标互为相反数，由题 a=3，b=−2．
3. C【解析】A、 原式=a5，不符合题意；
B、 原式=9a4b2，不符合题意；
C、 原式=a2，符合题意；
D、 原式=a2−2ab+b2，不符合题意．
故选：C．
4. D【解析】∵AB∥CD，
∴∠ABC=∠1=62∘（两直线平行，同位角相等）．
∠ABD+∠BDC=180∘（两直线平行，同旁内角互补），
∵BC 平分 ∠ABD，
∴∠ABD=2∠ABC=124∘（角平分线定义），
∴∠BDC=180∘−∠ABD=56∘，
∴∠2=∠BDC=56∘（对顶角相等）．
5. D
【解析】由题意推知几何体长方体，长、宽、高分别 1 cm，1 cm，2 cm，
所以其面积为：2×1×1+1×2+1×2=10cm2．
6. C【解析】设点 Aa,0．
∵ 四边形 ABCD 是菱形，
∴AD=AB，且点 B 坐标是 4,1，点 D 坐标是 0,1．
∴a−42+1−02=a−02+0−12．
∴a=2．
∴ 点 A2,0．
∴AO=2，
∴AD=OA2+OD2=4+1=5．
∴ 菱形 ABCD 的周长 =4×5=45．
7. B【解析】这组数的平均数是：1505×6+10×17+20×14+50×8+100×5=27.6（元），
把这些数从小到大排列，最中间两个数是 20，20，则它们的平均数是 20+202=20 元，则中位数是 20 元．
8. B【解析】将 x=3,y=−2 代入 ax+by=2,bx+ay=−3 得：3a−2b=2,3b−2a=−3,
解之得：a=0,b=−1,
∴a−b=0−−1=1．
9. C【解析】∵∠A=90∘，AB=3，AC=4，
∴BC=AB2+AC2=9+16=5，
∵ 将 △ABC 沿 BD 进行翻折，使点 A 刚好落在 BC 上，
∴AB=AʹB=3，∠A=∠BAʹD=90∘，AD=AʹD，
∴AʹC=2，
∵CD2=AʹD2+AʹC2，
∴CD2=4−CD2+4，
∴CD=2.5．
10. B
【解析】① ∵x−22≥0，
∴−x−22≤0，
∴y2=−x−22−1≤−1<0．
∴ 无论 x 取何值，y2 总是负数，故①正确；
② ∵ 抛物线 G:y1=ax+12+2 与抛物线 H:y2=−x−22−1 交于点 B1,−2，
∴ 当 x=1 时，y=−2，即 −2=a1+12+2，解得：a=−1；
∴y1=−x+12+2，
∴H 可由 G 向右平移 3 个单位，再向下平移 3 个单位得到，故②正确；
③ ∵y1−y2=−x+12+2−−x−22−1=−6x+6，
∴ 随着 x 的增大，y1−y2 的值减小，故③错误；
④设 AC 与 DE 交于点 F，
∵ 当 y=−2 时，−x+12+2=−2，解得：x=−3 或 x=1，
∴ 点 A−3,−2，
当 y=−2 时，−x−22−1=−2，解得：x=3 或 x=1，
∴ 点 C3,−2，
∴AF=CF=3，AC=6．
当 x=0 时，y1=1，y2=−5．
∴DE=6，DF=EF=3．
∴ 四边形 AECD 为平行四边形．
∴AC=DE．
∴ 四边形 AECD 为矩形．
∵AC⊥DE，
∴ 四边形 AECD 为正方形，故④正确．
第二部分
11. x>2
【解析】根据二次根式的意义以及分式的意义可知：x−2>0，
所以，x>2．
12. 5
【解析】设这个多边形是 n 边形，由题意得，n−2×180∘=540∘，解之得，n=5．
13. 3
【解析】原式=1+2=3.
14. m<12
【解析】当 x1<0根据两种图象特点可知，此时 k>0，
所以 1−2m>0，
解不等式得 m<12．
15. 60π
【解析】∵AO=8 米，母线 AB 与底面半径 OB 的夹角为 α，tanα=43，
∴tanα=43=AOBO=8BO；
∴BO=6，
∴AB=AO2+BO2=10；
根据圆锥的侧面积公式：πrl=π×6×10=60π（平方米）．
16. 33
【解析】如图，过点 P 作 PE⊥AB 于点 E，过点 D 作 DF⊥AB 于点 F，
∵ 四边形 ABCD 是菱形，且 ∠B=120∘，
∴∠DAC=∠CAB=30∘，
∴PE=12AP；
∵∠DAF=60∘，
∴∠ADF=30∘，
∴AF=12AD=12×6=3；
∴DF=33；
∵12AP+PD=PE+PD，
∴ 当点 D，P，E 三点共线且 DE⊥AB 时，PE+DP 的值最小，最小值为 DF 的长，
∴12AP+PD 的最小值为 33．
第三部分
17. 原式=1−a+1aa+2÷a+12aa+2a−2=1−a+1aa+2⋅aa+2a−2a+12=1−a−2a+1=a+1−a+2a+1=3a+1.
当 a=2−1 时，
原式=32=322.
18. ∵∠BAC=90∘，
∴∠DAF=90∘，
∵ 点 E，F 分别是边 BC，AC 的中点，
∴AF=FC，BE=EC，FE 是 △ABC 的中位线，
∴FE=12AB，FE∥AB，
∴∠EFC=∠BAC=90∘，
∴∠DAF=∠EFC，
∵AD=12AB，
∴AD=FE，
在 △ADF 和 △FEC 中，
AD=FE,∠DAF=∠EFC,AF=FC,
∴△ADF≌△FECSAS，
∴DF=EC，
∴DF=BE．
19. （1） 如图，即为 △ABO 的外接圆 ⊙P．
（2） ∵ 点 A−4,0，B0,3，
∴OA=4，OB=3，
∴AB=5，
∴⊙P 的半径为 2.5，即 PD=2.5；
∵P 是 AB 的中点，C 是 OA 的中点，
∴PC=12OB=1.5；
∴CD=PD−PC=1．
∴⊙P 向上平移 1 个单位后与 x 轴相切．
20. （1） 本次比赛参赛选手总人数为 9÷25%=36（人），
则 E 组人数为 36−4+7+11+9=5（人），
补全直方图如下：
（2） 扇形统计图中扇形 E 的圆心角度数为 360∘×536=50∘．
（3） 由题意知 E 组中男生有 3 人，女生有 2 人，画图如下：
共有 20 种等可能结果，其中恰好选中两名女生的有 2 种，
所以恰好选中两名女生的概率为 220=110．
21. （1） 设 A 种口罩每件的进价为 x 元，
根据题意得：
7200x=2×5000x+0.7.
解得
x=1.8.
经检验 x=1.8 是原方程的解，
x+0.7=2.5（元），
答：A 种口罩每件的进价为 1.8 元，B 种口罩每件的进价为 2.5 元．
（2） 设购进 B 品牌的口罩 m 个，
根据题意得：
2.1−1.88000−m+3−2.5m≥3000.
解得
m≥3000.∵m
为整数，
∴m 的最小值为 3000．
答：最少购进 B 品牌的口罩 3000 个．
22. （1） ∵ 双曲线 y=mxm≠0 经过点 A−12,2，
∴m=−1．
∴ 双曲线的表达式为 y=−1x．
∵ 点 Bn,−1 在双曲线 y=−1x 上，
∴ 点 B 的坐标为 1,−1．
∵ 直线 y=kx+b 经过点 A−12,2，B1,−1，
∴−12k+b=2,k+b=−1, 解得 k=−2,b=1,
∴ 直线的表达式为 y=−2x+1．
（2） 当 y=−2x+1=0 时，x=12，
∴ 点 C12,0．
设点 P 的坐标为 x,0，
∵S△ABP=3，A−12,2，B1,−1，
∴12×3x−12=3，即 x−12=2，
解得：x1=−32，x2=52．
∴ 点 P 的坐标为 −32,0 或 52,0．
23. （1） 连接 OE，BE．
∵AB 是 ⊙O 的直径，
∴∠AEB=90∘．
∵AE⊥OC，
∴∠ADO=∠AEB=90∘．
∴OD∥BE．
∵OA=OB，
∴AD=DE．
∴OC 垂直平分 AE．
∴AC=CE．
∴△AOC≌△EOC．
∴∠CEO=∠CAO=90∘，即 OE⊥CE．
∴CE 与 ⊙O 相切．
（2） 作 DM⊥AB 于 M．
∵OA=5，
∴AB=10．
∵sin∠BAE=55，
∴BE=AB⋅sin∠BAE=25．
∴AE=AB2−BE2=102−252=45．
∴AD=12AE=25．
∴DM=AD⋅sin∠BAE=2．
∴AM=AD2−DM2=252−22=4．
∵OA=5，
∴OM=1．
∴BM=6．
∵AC 是 ⊙O 的切线，
∴∠CAB=∠DMB=90∘，
∴DM∥AF，
∴△DMB∽△FAB，
∴DMAF=BMAB，
∴2AF=610，
∴AF=103．
24. （1） 如图 1．
∵ 抛物线 y=ax2+bx+3 交 x 轴于 A−1,0 和 B5,0 两点，
∴a−b+3=0,25a+5b+3=0, 解得：a=−35,b=125,
∴ 抛物线解析式为 y=−35x2+125x+3．
（2） 如图 2．
∵ 点 F 恰好在抛物线上，C0,3，
∴F 的纵坐标为 3，
把 y=3 代入 y=−35x2+125x+3，得 −35x2+125x+3=3，
解得 x=0 或 x=4．
∴F4,3，
∴OH=4，
∵∠CDE=90∘，
∴∠ODC+∠EDH=90∘，
∴∠OCD=∠EDH．
在 △OCD 和 △HDE 中，
∵∠OCD=∠EDH,∠COD=∠DHE=90∘,CD=DE,
∴△OCD≌△HDEAAS．
∴DH=OC=3．
∴OD=4−3=1．
（3） ①如图 3，连接 CE．
∵△OCD≌△HDE，
∴HE=OD=1，
∵BF=OC=3，
∴EF=3−1=2．
∵∠CDE=∠CFE=90∘，
∴C，D，E，F 四点共圆，
∴∠ECF=∠EDF．
在 Rt△CEF 中，
∵CF=OH=4，
∴tan∠ECF=EFCF=24=12，
∴tan∠FDE=12；
②存在，点 G 的坐标为 4,−32 或 4,6．
【解析】②如图 4，连接 CE．
∵CD=DE，∠CDE=90∘，
∴∠CED=45∘．
过 D 点作 DG1∥CE，交直线 l 于 G1，
过 D 点作 DG2⊥CE，交直线 l 于 G2，
则 ∠EDG1=45∘，∠EDG2=45∘，
∵EH=1，OH=4，
∴E4,1，
∵C0,3，
∴ 直线 CE 的解析式为 y=−12x+3．
设直线 DG1 的解析式为 y=−12x+m，
∵D1,0，
∴0=−12×1+m，解得 m=12，
∴ 直线 DG1 的解析式为 y=−12x+12，
当 x=4 时，y=−12×4+12=−32，
∴G14,−32；
设直线 DG2 的解析式为 y=2x+n，
∵D1,0，
∴0=2×1+n，解得 n=−2，
∴ 直线 DG2 的解析式为 y=2x−2，当 x=4 时，y=2×4−2=6，
∴G24,6．
综上，在直线 l 上，存在点 G，使 ∠EDG=45∘，点 G 的坐标为 4,−32 或 4,6．
25. （1） ①当点 Aʹ 在对角线 BD 上时，如图 1．
∵AB=4，CB=3，
∴BD=5．
由折叠性质，AD=AʹD=3，AP=AʹP，∠A=∠PAʹD=90∘．
∴BAʹ=2．
设 AP=x，则 BP=4−x．
∵BP2=AʹB2+AʹP2，
∴4−x2=x2+22，解得 x=32．
∴AP=32；
②当点 Aʹ 在对角线 AC 上时，如图 2．
根据折叠的性质可知 DP⊥AC，
∴△DAP∽△ABC．
∴ADAP=ABBC．
∴AP=AD⋅BCAB=3×34=94．
∴AP 长为 32 或 94．
（2） ①如图 3．
设 AP=x，则 BP=4−x，
根据折叠的性质可知：PAʹ=PA=x，PBʹ=PB=4−x．
∵AʹBʹ=2，
∴4−x−x=2．
∴x=1，即 AP=1；
②如图 4．
设 AP=x，则 BP=4−x．
根据折叠性质可知：PAʹ=PA=x，PBʹ=PB=4−x．
∵AʹBʹ=2，
∴x−4−x=2．
∴x=3，即 AP=3．
∴AP 长为 1 或 3．
（3） F 到 BC 的距离为 1613．
【解析】如图 5，作 FH⊥CD 于 H，作 FI⊥BC 于 I．
根据折叠性质可知：AD=DF=3，BG=GF，G，F，D 三点共线．
设 BG=FG=x，
在 Rt△GCD 中，x+32=42+3−x2，解得 x=43．
∴DG=DF+FG=133，CG=BC−BG=53．
∵FH∥CG，
∴FHCG=DFDG．
∴FH=1513．
∵ 易知四边形 FICH 为矩形，
∴FH=IC．
∴GI=GC−IC=2039．
∴ 在 Rt△FGI 中，FI=FG2−GI2=1613．
∴F 到 BC 的距离为 1613．