2021年上海市静安区中考二模数学试卷

这是一份2021年上海市静安区中考二模数学试卷，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共6小题；共30分）
1. 下列计算正确的是
A. 1−1=−1B. 10=0C. −1−1=1D. −10=1

2. 如果关于 x 的方程 x2−6x+m=0 有实数根，那么 m 的取值范围是
A. m>9B. m≥9C. m<9D. m≤9

3. 一次函数 y=3x−2 的图象不经过的象限是
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限

4. 对于等边三角形，下列说法正确的为
A. 既是中心对称图形，又是轴对称图形
B. 是轴对称图形，但不是中心对称图形
C. 是中心对称图形，但不是轴对称图形
D. 既不是中心对称图形，又不是轴对称图形

5. 某厂对一个班组生产的零件进行调查．该班组在 8 天中每天所出的次品数如下（单位：个）；3，3，0，2，2，3，0，3．那么该班组在 8 天中出的次品数的中位数与方差分别是
A. 2.5 与 1.5B. 2 与 1.5C. 2.5 与 62D. 2 与 62

6. 对于命题：①如果一个圆上所有的点都在另一个圆的内部，那么这两个圆内含；②如果一个圆上所有的点都在另一个圆的外部，那么这两个圆外离．
下列判断正确的是
A. ①是真命题，②是假命题B. ①是假命题，②是真命题
C. ①、②都是真命题D. ①、②都是假命题

二、填空题（共12小题；共60分）
7. 计算：∣3−2∣= ．

8. 计算：x÷x2−x= ．

9. 函数 fx=x−13−2x 的定义域为 ．

10. 如果正比例函数的图象经过第二、四象限，那么函数值 y 随 x 的增大而 ．

11. 方程组 x2−y2=3,x−y=1 的解为 ．

12. 从 1，2，3 这三个数中任选两个组成两位数，在组成的所有两位数中任意抽取一个数，这个数恰好能被 3 整除的概率是 ．

13. 为了了解学生用于阅读课外书籍的时间的情况，某校在 300 名九年级学生中随机对 40 名学生每周阅读课外书籍所用的时间进行统计．根据调查结果画出频率分布直方图，如图所示（每个小组可包括最小值，不包括最大值），由此可以估计该校九年级学生阅读课外书籍用的时间在 6 小时及以上的人数约为 ．

14. 如图，在 △ABC 中，点 D 在边 AB 上，∠ACD=∠B，AD=2，AC=6，设 BA=a，BC=b，那么 CD= ．（用向量 a，b 的式子表示）

15. 如果 ⊙O1 与 ⊙O2 相交，⊙O1 的半径是 5，O1O2=3，那么 ⊙O2 的半径 r 的取值范围是 ．

16. 如图，已知在梯形 ABCD 中，AD∥BC，AB=CD，矩形 DEFG 的顶点 E，F，G 分别在边 AB，BC，CD 上，如果 DE=5，tanC=52，那么 AE 的长为 ．

17. 已知矩形纸片 ABCD 的边 AB=10，BC=12（如图），将它折叠后，点 D 落在边 AB 的中点处，那么折痕的长为 ．

18. 在一个三角形中，如果有一个内角是另一内角的 n 倍（n 为整数），那么我们称这个三角形为 n 倍角三角形．如果一个三角形既是 2 倍角三角形，又是 3 倍角三角形，那么这个三角形最小的内角度数为 ．

三、解答题（共7小题；共91分）
19. 先化简，再求值：x+2x2−x−x−1x2+x−4x2−1．其中 x=2+1．

20. 已知点 A2,m+3 在双曲线 y=mx 上．
（1）求此双曲线的表达式与点 A 的坐标．
（2）如果点 Ba,5−a 在此双曲线上，图象经过点 A，B 的一次函数的函数值 y 随 x 的增大而增大，求此一次函数的解析式．

21. 已知：如图，在 △ABC 中，AB=AC，AE⊥BC，垂足为 E．DC⊥BC，DC=BC=2，∠ADB=90∘，BD 与 AE，AC 分别相交于点 F，G．求：
（1）AF 的长．
（2）AG 的长．

22. 小丽的叔叔先用 900 元从甲批发部购进一种商品，后发现同样的商品乙批发部比甲批发部每件便宜 3 元，又用 1200 元钱从乙批发部购进了同样的商品，且比从甲批发部购进数量多了 40 件．问：乙批发部的这种商品每件几元?

23. 已知：如图，在梯形 ABCD 中，AD∥BC，∠B=90∘，E 是 AC 的中点，DE 的延长线交边 BC 于点 F．
（1）求证：四边形 AFCD 是平行四边形．
（2）如果 2AE2=AD⋅BC，
求证 ∶ 四边形 AFCD 是菱形．

24. 在平面直角坐标系 xOy 中，点 A 的坐标为 5,0（如图），经过点 A 的抛物线 y=x2+bx+5 与 y 轴相交于点 B，顶点为点 C．
（1）求此抛物线表达式与顶点 C 的坐标．
（2）求 ∠ABC 的正弦值．
（3）将此抛物线向上平移，所得新抛物线顶点为 D，且 △DCA 与 △ABC 相似，求平移后的新抛物线的表达式．

25. 如图，已知半圆 O 的直径 AB=4，点 P 在线段 OA 上，半圆 P 与半圆 O 相切于点 A，点 C 在半圆 P 上，CO⊥AB，AC 的延长线与半圆 O 相交于点 D，OD 与 BC 相交于点 E．
（1）求证：AD⋅AP=OD⋅AC．
（2）设半圆 P 的半径为 x，线段 CD 的长为 y，求 y 与 x 之间的函数解析式，并写出定义域．
（3）当点 E 在半圆 P 上时，求半圆 P 的半径．
答案
第一部分
1. D
2. D【解析】∵ 关于 x 的方程 x2−6x+m=0 有实数根，
∴Δ≥0，
∴Δ=−62−4m≥0，
∴m≤9．
3. B【解析】根据题意可知，一次函数中 k=3>0，b=−2<0，所以一次函数图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限．
4. B
5. A
【解析】将这组数据重新排列为 0，0，2，2，3，3，3，3，
所以这组数据的中位数为 2+32=2.5，
平均数为 2×0+2×2+4×38=2，
则其方差为 18×2×0−22+2×2−22+4×3−22=1.5．
6. A【解析】①如果一个圆上所有的点都在另一个圆的内部，那么这两个圆内含，是真命题；
②如果第一个圆上的点都在第二个圆的外部，那么这两个圆外离或内含，原命题是假命题．
第二部分
7. 2−3
【解析】因为 3−2<0，
所以：∣3−2∣=2−3．
8. 1x−1
【解析】x÷x2−x=xx2−x=1x−1．
9. x≠32
【解析】根据题意得：3−2x≠0，
解得：x≠32．
10. 减小
【解析】正比例函数的图象经过第二、四象限，大致图象如图：
x 越大，y 越小．
11. x=2,y=1
【解析】x2−y2=3, ⋯⋯①x−y=1. ⋯⋯②
由①，得 x+yx−y=3, ⋯⋯③
将②代入③，得 x+y=3, ⋯⋯④
② + ④，得 2x=4，
∴x=2，
将 x=2 代入②，得 2−y=1，
∴y=1，
∴ 方程组的解为 x=2,y=1.
12. 13
【解析】画树状图如图：
共有 6 个等可能的结果，在组成的所有两位数中任意抽取一个数，这个数恰好能被 3 整除的结果有 2 个，
所以在组成的所有两位数中任意抽取一个数，这个数恰好能被 3 整除的概率为 26=13．
13. 120 人
【解析】由题意可知九年级学生读课外书籍在 6 小时及以上的人数约为：
300×0.25+0.15=300×0.4=120（人）．
答：约为 120 人．
14. 13a−b
【解析】∵∠ACD=∠B，∠A=∠A，
∴△ACD∽△ABC，
∴ACAB=ADAC．
∵AD=2，AC=6，
∴6AB=26，
∴AB=3．
∵BD=AB−AD=1，
∴BD=13BA=13a．
∵CD=BD−BC=13a−b．
15. 2【解析】∵ 两圆相交，
∴ 圆心距的取值范围是 5−r<3<5+r，
即 216. 2
【解析】∵ 梯形 ABCD 中，AD∥BC，AB=CD，
∴∠B=∠C．
又 ∵ 矩形 DEFC，
∴∠FGC=90∘=∠DGF，DG=EF，DE=FG．
∵tanC=52，
∴FGCG=52，而 DE=5，
∴5CG=52，则 CG=2．
∵∠EFB+∠GFC=∠C+∠GFC=90∘，
∴∠EFB=∠C，
则 ∠B=∠EFB，
∴BE=EF=DG，
∴AE=AB−BE=CD−DG=CG=2.
17. 656
【解析】如图所示，过点 E 作 EM⊥BC 于点 M，连接 PD，
∵ 把矩形 ABCD 折叠，
使点 D 与点 P 重合，点 C 落在点 G 处，
∴∠1=∠4，∠2+∠4=90∘，
∵∠2+∠3=90∘，
∴∠1=∠3，
∵∠EMF=90∘，∠A=90∘，
∴△ADP∽△EMF，
∴APMF=ADEM，
∵ 在矩形 ABCD 中，AB=10，
BC=12，P 为 AB 中点，
∴AD=12，AP=5，
则有 5FM=1210，解得：FM=256，
在 Rt△EMF 中，由勾股定理有：
EF=EM2+MF2=102+2562=656．
18. 30∘ 或 20∘ 或 18∘ 或 360∘11
【解析】①设最小内角度数为 n∘，2 倍角为 2n∘，3 倍角为 3n∘，
∴n+2n+3n=180，
∴n=30；
②设最小内角度数为 n∘，2 倍角为 2n∘，3 倍角为 6n∘，
∴n+2n+6n=180，
∴n=20．
③设最小内角度数为 n∘，3 倍角为 3n∘，2 倍角为 6n∘，
∴n+3n+6n=180，
∴n=18．
④设最小内角度数为 2n∘，其余两个角为 3n∘ 和 6n∘，
∴2n+3n+6n=180，
∴n=18011，
∴2n=36011．
第三部分
19. 原式=x+2xx−1−x−1xx+1−4x+1x−1=x+2x+1xx+1x−1−x−12xx+1x−1−4xxx+1x−1=x2+3x+2xx+1x−1−x2−2x+1xx+1x−1−4xxx+1x−1=x+1xx+1x−1=1xx−1,
将 x=2+1 代入，得
原式=12+1×2=12+2=2−22=1−22.
20. （1） A2,m+3 在 y=mx 上，
∴m+3=m2，
2m+6=m，
m=−6，
∴y=−6x，A2,−3．
（2） 点 Ba,5−a 在双曲线上，
∴5−a=−6a，
5a−a2=−6，
a2−5a−6=0，
a−6a+1=0，
a1=6，a2=−1，
∴B16,1，B2−1,6．
又过点 A，B 的一次函数值随 x 增大而增大，
kAB1=1−−36−2=44=1>0，
kAB2=6−−3−1−2=9−3=−3<0（舍），
∴ 一次函数过 A，B 两点，
−3=2k+b,1=6k+b,
k=1,b=−5.
∴yAB=x−5．
21. （1） ∵AE⊥BC，AB=AC，
∴BE=EC=12BC（三线合一），
∵AE⊥BC，DC⊥BC，
∴∠AEC=∠DCB=90∘，
∵DC=BC，
∴∠DBC=∠CDB=45∘，
∵∠ADB=90∘，
∴∠EAD=45∘，
（四边形 AECD 内角和为 360∘），
∴△ADF 是等腰直角三角形，
∵BC=DC=2，
∴BD=22，
∴BF=FD=12BD=2，
（由 E 为中点可得 F 为 BD 中点），
∴AD=FD=2，
∴AF=AD2+FD2=2．
（2） ∵AE∥CD，
∴∠FAG=∠DCG，
在 △AFG 和 △CDG 中，
∠FAG=∠DCG,∠AGF=∠CGD,AF=DC=2,
∴△AFG≌△CDG，
∴AG=CG=12AC，
∵E 为 BC 中点，EF∥CD，
∴EF=12CD=1，
∴EC=12BC=1，
∴AE=AF+EF=2+1=3，
在 Rt△AEC 中，
AC=AE2+EC2=32+12=10，
∴AG=12AC=102．
22. 设乙批发部的这种商品每件 x 元，则甲批发部的这种商品每件 x+3 元，依题意得：
1200x−900x+3=40.
整理得：
2x2−9x−180=0.
解得：
x1=12,x2=−152.
经检验，x1=12，x2=−152 是原方程的解，x1=12 符合题意，x2=−152 不合题意，舍去．
答：乙批发部的这种商品每件 12 元．
23. （1） ∵AD∥BC，
∴∠DAE=∠FCE，∠ADE=∠CFE，
又 ∵E 是 AC 中点，
∴AE=CE，
∵AD∥BC，
在 △AED 与 △CEF 中，
∠ADE=∠CFE,∠DAE=∠FCE,AE=CE,
∴△AED≌△CEFAAS．
∴DE=FE，
∴ 四边形 AFCD 是平行四边形．
（2） ∵AD∥BC，
∴∠DAE=∠FCE，
∵2AE2=AD⋅BC，
∴AE⋅AC=AD⋅BC，
∴AEAD=BCAC，
∴AECB=ADAC，
∴△ADE∽△CAB，
∴∠AED=90∘．
∴ 四边形 AFCD 是菱形．
24. （1） ∵ A 在抛物线上，
将 A5,0 代入抛物线方程：0=52+5b+5，b=−6，
∴ 抛物线方程为：y=x2−6x+5，
将抛物线方程变形为：y=x−32−4，
∴ 顶点 C 的坐标为 3,−4．
（2） 设 BC 与 x 轴的交点为 E，
则由直线 BC:y=−3x+5，得 E53,0，
∴ AE=103，又 ∠BAO=45∘，
∴ EH=AE2=523，
又 BE=OB2+OE2=5103，
∴ sin∠ABC=EHBE=55．
（3） 设直线 CD 与 x 轴交点为 F，
则 tan∠ACD=AFCF=12，又 tan∠ABC=12，
∴ ∠ACD=∠ABC，
∴ CDAC=ABBC 或 CDAC=BCAB，
又 AC=25，AB=52，BC=310，
∴ 可求得 AD=6或103，
∴ D3,2 或 3,−23，
平移后抛物线解析式为：y=x−32+2 或 y=x−32−23．
25. （1） 连接 PC，
∵AP=CP，
∴∠CAP=∠ACP；
∵OA=OD，
∴∠DAO=∠ADO，
∴∠ACP=∠ADO，可得 CP∥OD，
∴ACAD=CPOD，
又 CP=AP，
∴AD⋅AP=OD⋅AC．
（2） ∵AB=4，
∴AO=BO=2，
∵AP=CP=x，
∴OP=2−x，
由勾股定理，可得
OC2=CP2−PO2=x2−2−x2=4x−4，
AC2=OA2+OC2=4+4x−4=4x，
∴AC=2x，
由 PC∥OD，
可得 ACCD=APOP，
代入数据，2xy=x2−x，
解得解析式为 y=4−2xxx1 （3） 如图，连接 CP，EF，作 EG⊥AB 于点 G．
∵OC 垂直平分 AB，
∴CA=CB，
∴∠DAB=∠B，
∵OA=OD，
∴∠D=∠DAB，
∴∠D=∠DAB=∠B，
∵∠DEC=∠BEO，
∴∠DCE=∠BOE，
由 E 在圆 P 上，
∴∠ACE+∠AFE=180∘，
∵∠ACE+∠DCE=180∘，
∴∠DCE=∠EFO，
∴∠EOF=∠EFO，
∴EO=EF，OG=FG=x−1，
∵∠CPO=∠EOG，∠COP=∠EGO=90∘，
∴△COP∽△EOG，
∴EOCP=OGOP，
又 ∵CP∥DO，EOCP=BOBP，
∴OGOP=BOBP，
代入数据，可得 x−12−x=24−x，
化简可得 x2−7x+8=0，
解得 x1=7−172，x2=7+172（大于 2 舍去），
∴ 半圆 P 的半径为 7−172．