2021年上海市宝山区中考二模数学试卷

这是一份2021年上海市宝山区中考二模数学试卷，共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共6小题；共30分）
1. 下列运算正确的是
A. a2+a2=a4B. a3−a2=aC. a3⋅a2=a6D. a6÷a3=a3

2. 我国脱贫攻坚战取得了全面胜利．12.8 万个贫困村全部出列，区域性整体贫困得到解决，完成了消灭绝对贫困的艰巨任务，把“12.8 万”用科学记数法表示应是
A. 12.8×104B. 1.28×105C. 12.8×105D. 1.28×106

3. 如果直线 y=2x+m 的图象一定经过第二象限，那么 m 的取值范围是
A. m>0B. m≥0C. m<0D. m≤0

4. 正多边形的一个内角为 144∘，那么该正多边形的边数为
A. 8B. 9C. 10D. 11

5. 学校组织朗诵比赛，有 11 位同学晋级决赛，每位选手得分各不相同．如果小杰想要确定自己是否进入前 6 名，那么除了自己的得分以外，他还要了解这 11 名同学得分的
A. 平均数B. 中位数C. 众数D. 方差

6. 如图，在平行四边形 ABCD 中，如果点 E 是边 AD 的中点，且 ∠A=∠AEC，那么下列结论不正确的是
A. CE=CDB. BF=2DF
C. AB=52EFD. S四边形ABFE=5S△DEF

二、填空题（共12小题；共60分）
7. 因式分解：m2−n2= ．

8. 方程 3x+4=x 的根是 ．

9. 已知一元二次方程 12x2−2x−m=0 有实数根，那么 m 的取值范围是 ．

10. 不透明的布袋里有 2 个黄球、 4 个红球、 3 个白球，它们除颜色外其它都相同，那么从布袋中任意摸出一个球恰好为红球的概率是 ．

11. 为了解六年级学生掌握游泳技能的情况．在全区六年级 7200 名学生中，随机抽取了 600 名学生，结果有 240 名学生会游泳，那么估计该区会游泳的六年级学生数约为 人．

12. 已知点 A−3,y1 和点 B−23,y2 都在二次函数 y=ax2−2ax+ma>0 的图象上，那么 y1−y2 0（结果用 >，<，= 表示）．

13. 《九章算术》记载了这样一个问题：“今有善田一亩，价三百；恶田七亩，价五百．今并买一顷，价钱一万，问善田几何?”意思是：当下良田 1 亩，价值 300 钱；薄田 7 亩，价值 500 钱．现在共买 1 顷，价值 10000 钱．根据条件，良田买了 亩．

14. 如图，AC∥BD，∠C=72∘，∠ABC=70∘，那么 ∠ABD 的度数为 ．

15. 如图，已知等腰梯形 ABCD 中，AD∥BC，BC=3AD，如果 BC=a，BD=b，那么 AB= ．（结果用 a，b 表示）

16. 如图，AB 是圆 O 的直径，AD=DC=CB，AC 与 OD 交于点 E．如果 AC=3，那么 DE 的长为 ．

17. 我们把直角坐标平面内横、纵坐标互相交换的两个点称为“关联点对”，如点 A2,3 和点 B3,2 为一对“关联点对”．如果反比例函数 y=10x 在第一象限内的图象上有一对“关联点对”，且这两个点之间的距离为 32，那么这对“关联点对”中，距离 x 轴较近的点的坐标为 ．

18. 如图，矩形 ABCD 中，AB=2．AD=5，点 E 是 BC 边上一点，连接 AE，将 AE 绕点 E 顺时针旋转 90∘，点 A 的对应点记为点 F，如果点 F 在对角线 BD 上，那么 BFDF= ．

三、解答题（共7小题；共91分）
19. 计算：12−2+12−3−2723+∣3−2∣．

20. 解不等式组：5x>3x−8,x+24≥x−1, 并把解集在数轴上表示出来．

21. 已知直线 y=x+m 经过点 A2,3，且与 x 轴交于点 B．
（1）求点 B 的坐标；
（2）如果一个反比例函数的图象与线段 BA 的延长线交于点 D，且 BA:AD=3:2，求这个反比例函数的解析式．

22. 图 1 是某地摩天轮的图片，图 2 是示意图．已知线段 BC 经过圆心 D 且垂直于地面，垂足为点 C，当座舱在点 A 时，测得摩天轮顶端点 B 的仰角为 15∘，同时测得点 C 的俯角为 76∘，又知摩天轮的半径为 10 米，求摩天轮顶端 B 与地面的距离．（精确到 1 米）
参考数据：sin15∘≈0.26，cs15∘≈0.96，tan15∘≈0.27，sin76∘≈0.97，cs76∘≈0.24，tan76∘≈4.01．

23. 如图，在平行四边形 ABCD 中，∠BAD 的平分线交边 BC 于点 E，交 DC 的延长线于点 F，点 G 在 AE 上，连接 GD，∠GDF=∠F．
（1）求证：AD2=DG⋅AF；
（2）连接 BG，如果 BG⊥AE，且 AB=6，AD=9，求 AF 的长．

24. 在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y=ax2+bx−1a≠0 经过点 A−2,0，B1,0 和点 D−3,n，与 y 轴交于点C．
（1）求该抛物线的表达式及点 D 的坐标；
（2）将抛物线平移，使点 C 落在点 B 处，点 D 落在点 E 处，求 △ODE 的面积；
（3）如果点 P 在 y 轴上，△PCD 与 △ABC 相似，求点 P 的坐标．

25. 如图，已知 AB⊥BC，DC⊥BC，垂足分别为点 B 、点 C，AC 与 BD 交于点 P．
（1）如果 AB=3，CD=5，以点 P 为圆心作圆，圆 P 与直线 BC 相切．
①求圆 P 的半径长；
②又 BC=8，以 BC 为直径作圆 O，试判断圆 O 与圆 P 的位置关系，并说明理由．
（2）如果分别以 AB，CD 为直径的两圆外切，求证：△ABC 与 △BCD 相似．
答案
第一部分
1. D【解析】A．a2+a2=2a2，故A不符合题意；
B．a3−a2=a2a−1，故B不符合题意；
C．a3⋅a2=a5，故C不符合题意；
D．a6÷a3=a3．故D符合题意．
2. B【解析】12.8 万 =1.28×105．
3. A【解析】根据题意得：m>0．
4. C【解析】∵ 正多边形的一个内角是 144∘，
∴ 该正多边形的一个外角为 36∘，
∵ 多边形的外角之和为 360∘，
∴ 边数 =360∘36∘=10，
∴ 这个正多边形的边数是 10．
5. B
【解析】由于总共有 11 个人，且他们的分数互不相同，第 6 的成绩是中位数，要判断是否进入前 6 名，故应知道中位数的多少．
6. C【解析】在平行四边形 ABCD 中，AD∥BC，AD=BC，AB=CD，
∵AD∥BC，∠A=∠AEC，
∴AB=CE，
∴CE=CD，故A正确；
∵ 点 E 是边 AD 的中点，
∴AD=BC=2AE=2DE，
∵AD∥BC，
∴△BFC∽△DFE，
∴BFDF=BCDE=2，
∴BF=2DF，故B正确；
∵AB=CE，FCEF=BCDE=2，
∴FC=2EF，
∴CE=3EF，
∴AB=CE=3EF，故C不正确；
∵BCDE=2，
∴S△BFC=4S△DEF，
∴S△DFC=2S△DEF，
∴S△BCD=S△BFC+S△DFC=6S△DEF，
∴S四边形ABFE=5S△DEF，故D正确．
第二部分
7. m+nm−n
8. x=4
【解析】两边平方得：3x+4=x2，
解方程得：x1=−1，x2=4，
检验：当 x=−1 时，原方程右边 =−1，所以 x=−1 不是原方程的解，
当 x=4 时，原方程左边 = 右边，所以 x=4 是原方程的解．
9. m≥−2
【解析】∵一元二次方程 12x2−2x−m=0 有两个实数根，
∴Δ=−22−4×12×−m=4+2m≥0，
解得：m≥−2，
故 m 的取值范围是 m≥−2．
10. 49
【解析】∵ 布袋里共有 9 个除颜色外其它都相同的小球，其中红球有 4 个，
∴ 从布袋中任意摸出一个球恰好为红球的概率是 49．
11. 2880
【解析】估计该区会游泳的六年级学生数约为 7200×240600=2880（人）．
12. >
【解析】∵ 点 A−3,y1 和点 B−23,y2 都在二次函数 y=ax2−2ax+ma>0 的图象上，
∴y1=9a+6a+m=15a+m，y2=49a+43a+m=169a+m，
∴y1−y2=15a+m−169a−m=1199a，
∵a>0，
∴1199a>0，
∴y1−y2>0．
13. 12.5
【解析】设良田买了 x 亩，薄田买了 y 亩，
依题意得：x+y=100,300x+5007y=10000,
解得：x=12.5,y=87.5.
即良田买了 12.5 亩．
14. 38∘
【解析】∵AC∥BD，∠C=72∘，
∴∠DBC=180∘−72∘=108∘，
∵∠ABC=70∘，
∴∠ABD=108∘−70∘=38∘．
15. 13a−b
【解析】∵AD∥BC，BC=3AD，
∴AD=13a，
∴AB=AD+DB=13a−b．
16. 32
【解析】∵AD=DC=CB，
∴∠AOD=60∘，OD⊥AC，AE=CE=12AC=32，
∴∠A=30∘，
∴OE=AE⋅tan30∘=32×33=32，
∴OA=OD=2OE=3，
∴DE=OD−OE=3−32=32．
17. 5,2 或 −5,−2
【解析】设反比例函数 y=10x 在第一象限内的图象上一对“关联点对”为 Aa,b，Bb,a 且 a>b，
∴ab=10，
∵ 这两个点之间的距离为 32，
∴AB=a−b2+b−a2=32，
∴a−b=3，
由 a−b=3,ab=10, 解得 a=5,b=2 或 a=−2,b=−5.
∴A5,2，B2,5 或 A−5,−2，B−2,−5，
∴ 距离 x 轴较近的点的坐标为 5,2 或 −5,−2．
18. 2
【解析】根据题意画出图形，过点 F 作 FG⊥BC 于点 G，
由旋转可知：EA=EF，∠AEF=90∘，
∴∠AEB+∠FEG=90∘，
∵ 四边形 ABCD 是矩形，
∴∠ABE=90∘，AB=CD=2，BC=AD=5，
∴∠BAE+∠AEB=90∘，
∴∠BAE=∠FEG，
在 △ABE 和 △EGF 中，
∠BAE=∠GEF,∠ABE=∠EGF=90∘,AE=FE,
∴△ABE≌△EGFAAS，
∴BE=FG，AB=EG=2，
设 CG=x，则 BE=BC−CG−EG=5−x−2=3−x，
∴FG=BE=3−x，
∵FG∥DC，
∴△BFG∽△BDC，
∴BGBC=FGDC，
∴5−x5=3−x2，解得 x=53，
∴CG=53，
∴BG=BC−CG=5−53=103，
FG=3−x=3−53=43，
∵FG∥DC，
∴BFDF=BGCG=10353=2．
第三部分
19. 原式=22+2+3−32+2−3=−1.
20.
5x>3x−8, ⋯⋯①x+24≥x−1, ⋯⋯②
解不等式①得：
x>−4,
解不等式②得：
x≤2,
故不等式组的解集为 −4将解集表示在数轴上如下：
21. （1） ∵ 直线 y=x+m 经过点 A2,3，
∴2+m=3，
解得 m=1，
∵ 直线 y=x+1 与 x 轴交于点 B．
∴x=−1，
∴ 点 B 的坐标为 −1,0；
（2） 过点 A，D 作 x 轴的垂线，垂足分别为点 G，H，
∴AG∥DH，
根据题意可知：AG=2，BG=3，
∵BA:AD=3:2，
∴GH=2，DH=5，
∴D4,5，
∴ 反比例函数的解析式为 y=20x．
22. 连接 AB，AD，AC，过点 A 作 AE⊥BC 于 E，
则 ∠AEB=∠AEC=90∘，
由题意得：点 A，B 在圆 D 上，
∴DB=DA，
在 Rt△ABE 中，∠BAE=15∘，
∴∠DBA=∠DAB=75∘，∠DAE=60∘，
∵OA=10 米，
∴AE=5（米），
∴BE=AE×tan15∘≈5×0.27=1.35（米），
∵∠EAC=76∘，
∴CE=AE×tan76∘≈5×4.01=20.05（米），
∴BC=BE+CE=1.35+20.05≈21（米），
答：摩天轮顶端 B 与地面的距离约为 21 米．
23. （1） ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AB∥DF，AD∥BC，
∵AE 平分 ∠BAD，
∴∠BAF=∠DAF=∠F，
∴AD=DF，
∵∠GDF=∠F，
∴△GDF∽△DAF，
∴DGAD=DFAF，
∴AD2=DG⋅AF．
（2） ∵AF 平分 ∠BAD，
∴∠BAE=∠DAF，
∵AD∥BC，
∴∠BEA=∠DAF，
∴∠BEA=∠BAE，
∵BG⊥AE，AB=6，AD=9，
∴BA=BE=6，
∵∠BEA=∠CEF，
∴∠CEF=∠F，
∴EC=CF=3，DF=AD=9，
∴FEFA=CEAD=13，
即 AG=GE=EF，
∵AD2=DG⋅AF，
∴23AF2=81，
∴AF=962．
24. （1） 因为抛物线 y=ax2+bx−1 经过点 A−2,0，B1,0 和 D−3,n，
所以 4a−2b=1,a+b=1,
解得：a=12,b=12.
所以抛物线解析式为：y=12x2+12x−1；
所以 n=12×−32+12×−3−1=2，
所以 D−3,2；
（2） 因为将抛物线平移，使点 C 落在点 B 处，点 D 落在点 E 处，
所以 E−2,3，
所以 S△ODE=9−12×3×2×2−12=52；
（3） 如图 1，连接 CD，AC，CB，过点 D 作 DE⊥y 轴于点 E，
因为 A−2,0，B1,0，C−1,0，D−3,2，
所以 OB=OC，DE=CE=3，AB=3，BC=2，CD=32，
所以 ∠ABC=∠OCD=45∘，
因为 △PCD 与 △ABC 相似，点 P 在 y 轴上，
所以分两种情况讨论：
①如图 2，当 ∠BAC=∠CDP 时，△DCP∽△ABC，
所以 ABCD=BCPC，
所以 332=2PC，
所以 PC=2，
所以 P0,1．
②如图 3，当 ∠BAC=∠DPC 时，△PCD∽△ABC，
所以 BCCD=ABPC，
所以 232=3PC，
所以 PC=9，
所以 P0,8，
所以点 P 的坐标为 0,8 或 0,1 时，△PCD 与 △ABC 相似．
25. （1） ①过点 P 作 PH⊥BC 于 H．
∵AB⊥BC，DC⊥BC，
∴AB∥PH∥DC，
∴PHAB=CHCB，PHDC=BHBC，
∵AB=3，DC=5，
∴PH3+PH5=1，
∴PH=158，
∵ 直线 BC 与 ⊙P 相切，
∴⊙P 的半径为 158．
②结论：⊙O 与 ⊙P 内切．
理由：设 BC 的中点为 O，
∵BC=8，
∴OB=OC=4，
由 PHAB=CHBC，
∴CH=5，OH=1，
∴OP=178，
即 OP=RO−RP，
∴⊙O 与 ⊙P 内切．
（2） 设 AB，DC 的中点分别为 O1，O2，连接 O1O2，
过点 O1 作 O1E⊥DC 于 E，设 AB=a，DC=b．
由题意 O1O2=a+b2，
在 Rt△O1O2E 中，O1E=ab，
∵O1E=BC，
∴AB⋅DC=BC2，即 ABBC=BCDC，
∵∠ABC=∠DCB=90∘，
∴△ABC∽△BCD．