2021年上海市杨浦区中考二模数学试卷

这是一份2021年上海市杨浦区中考二模数学试卷，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共6小题；共30分）
1. 下列各数中无理数是
A. π2B. 227C. 4D. 327

2. 下列说法中，不一定成立的是
A. 如果 a>b，那么 a+c>b+cB. 如果 a+c>b+c，那么 a>b
C. 如果 a>b，那么 ac2>bc2D. 如果 ac2>bc2，那么 a>b

3. 下列方程中，有实数根的方程是
A. x4+1=0B. x+2=−1C. x+2=−xD. xx2−1=1x2−1

4. 已知 Ax1,y1 和点 Bx2,y2 是双曲线 y=2x 上的两个点，如果 x1A. y1>y2B. y1
5. 为了了解某校九年级 400 名学生的体重情况，从中抽取 50 名学生的体重进行分析．在这项调查中，样本是指
A. 400 名学生B. 被抽取的 50 名学生
C. 400 名学生的体重D. 被抽取的 50 名学生的体重

6. 下列命题中，真命题是
A. 平分弦的直径垂直于弦
B. 垂直平分弦的直线平分这条弦所对的弧
C. 在同圆中，相等的弦所对的弧也相等
D. 经过半径一端且垂直于这条半径的直线是圆的切线

二、填空题（共12小题；共60分）
7. 计算 a3⋅a−1= ．

8. 分解因式：x2−4x= ．

9. 已知函数 fx=x2x+3，那么自变量 x 的取值范围是 ．

10. 不等式组 3x−15≤0,3−x2>1 的解集是 ．

11. 已知关于 x 的一元二次方程 x2−6x+m−1=0 有两个相等的实数根，那么 m 的值为 ．

12. 某射箭运动员连续射靶 5 次，如果所得环数分别是：8，6，10，7，9，那么这个运动员所得环数标准差为 ．

13. 在一个布袋中，装有除颜色外其它完全相同的 2 个红球和 2 个白球，如果从中随机摸出两个球．摸到的两个球颜色相同的概率是 ．

14. 已知点 G 是 △ABC 的重心，设 AB=a，AC=b，那么 AG= ．（用 a，b 表示）

15. 如果一个正六边形的边心距的长度为 3 cm，那么它的半径的长度为 cm．

16. 如图，已知在正方形网格中，点 A，B，C，D 在小正方形的顶点上，线段 AB 与线段 CD 相交于点 O，那么 tan∠AOC= ．

17. 如果一条直线把一个平面图形的面积分成相等的两部分，那么我们把这条直线叫做这个平面图形的面积等分线．已知在菱形 ABCD 中，AB=6，∠B=60∘，点 E 在边 AD 上，且 AE=2，过点 E 的面积等分线与菱形的另一边交于点 F，那么线段 EF 的长为 ．

18. 如图，已知在 △ABC 中，∠C=90∘，∠B=30∘，AC=2，点 D 是边 BC 的中点，点 E 是边 AB 上一点，将 △BDE 沿直线 DE 翻折，点 B 落在点 Bʹ 处，连接 ABʹ．如果 ∠ABʹD=90∘，那么线段 AE 的长为 ．

三、解答题（共7小题；共91分）
19. 计算：8−13−2−13−1÷3+1−22．

20. 解方程：4xx2−9=1+2x−3−2x+3．

21. 如图，已知正比例函数 y=kx 的图象与反比例函数 y=6x（x>0）的图象都经过点 Aa,3，点 B 为 x 轴正半轴上一点，过点 B 作 BD⊥x轴，交反比例函数的图象于点 C，交正比例函数的图象于点 D．
（1）求 a，k 的值．
（2）连接 AC，如果 BD=6，求 △ACD 的面积．

22. 如图 1 是一种手机平板支架，由底座、支撑板和托板构成，手机放置在托板上．如图 2 是其侧面示意图．量得底座长 AB=11 cm，支撑板长 BC=8 cm，托板长 CD=6 cm，托板 CD 固定在支撑板顶端点 C 处，托板 CD 可绕点 C 转动，支撑板 BC 可绕点 B 转动．
（1）如果 ∠ABC=60∘，∠BCD=70∘，求点 D 到直线 AB 的距离（精确到 0.1 cm）．
（2）在第（1）小题的条件下，如果把线段 CD 绕点 C 顺时针旋转 20∘ 后，再将线段 BC 绕点 B 逆时针旋转，使点 D 落在直线 AB 上，求线段 BC 旋转的角度．
（参考数据：sin40∘≈0.64，cs40∘≈0.77，tan40∘≈0.84，sin37∘≈0.60，cs37∘≈0.80，tan37∘≈0.75，3≈1.73）

23. 已知：如图，AB 是半圆 O 的直径，C 是半圆上一点（不与点 A，B 重合），过点 A 作 AD∥OC 交半圆于点 D，E 是直径 AB 上一点，且 AE=AD，连接 CE，CD．
（1）求证：CE=CD．
（2）如果 AD=3CD，延长 EC 与弦 AD 的延长线交于点 F，连接 OD，求证：四边形 OCFD 是菱形．

24. 如图，已知在平面直角坐标系 xOy 中，直线 y=x−5 与 x 轴相交于点 A，与 y 轴相交于点 B，抛物线 y=ax2+6x+c 经过 A，B 两点．
（1）求这条抛物线的表达式．
（2）设抛物线与 x 轴的另一个交点为 C，点 P 是抛物线上一点，点 Q 是直线 AB 上一点，当四边形 BCPQ 是平行四边形时，求点 Q 的坐标．
（3）在第（2）小题的条件下，连接 QC，在 ∠QCB 内作射线 CD 与抛物线的对称轴相交于点 D，使得 ∠QCD=∠ABC，求线段 DQ 的长．

25. 如图，已知 Q 是 ∠BAC 的边 AC 上一点，AQ=15，ct∠BAC=34，点 P 是射线 AB 上一点，连接 PQ，⊙O 经过点 A 且与 QP 相切于点 P，与边 AC 相交于另一点 D．
（1）当圆心 O 在射线 AB 上时，求 ⊙O 的半径长．
（2）当圆心 O 到直线 AB 的距离为 34 时，求线段 AP 的长．
（3）试讨论以线段 PQ 长为半径的 ⊙P 与 ⊙O 的位置关系，并写出相应的线段 AP 取值范围．
答案
第一部分
1. A【解析】A．π2 是无理数，故A正确；
B．227 是有理数，故B错误；
C．4=2 是有理数，故C错误；
D．327=3 是有理数，故D错误．
2. C
3. C
4. D【解析】∵k=2>0，
∴ 双曲线在一、三象限．
①当 x1y2；
②当 0y2；
③当 x1<05. D
【解析】为了了解某校九年级 400 名学生的体重情况，从中抽取 50 名学生的体重进行统计分析，在这个问题中，样本是指被抽取的 50 名学生的体重．
故选D．
6. B
第二部分
7. a2
【解析】原式=a3+−1=a2．
8. xx−4
【解析】x2−4x=xx−4．
9. x≠−32
【解析】∵2x+3≠0，
∴x≠−32．
10. x<1
【解析】3x−15≤0, ⋯⋯①3−x2>1, ⋯⋯②
解不等式①得：
3x≤15,x≤5,
解不等式②得：
3−x>2,−x>2−3,−x>−1,x<1,
∴ 原不等式组的解集为 x<1．
11. 10
【解析】∵ 一元二次方程 x2−6x+m−1=0 有两个相等的实数，
∴Δ=36−4m−1=0，
∴m=10．
12. 2
【解析】由题意知：x=8+6+10+7+95=8，
方差 S2=158−82+6−82+10−82+7−82+9−82=2，
∴ 标准差是方差的平方根为 2．
故答案为：2．
13. 13
【解析】画树形图得：
∵ 从中随机摸出两个球，摸到的两个球的不同组合为 12 种，摸到的两个球颜色相同的组合为：4，
∴P摸到的两个球颜色相同=412=13．
14. 13a+13b
【解析】∵G 是 △ABC 的重心，
∴AG:DG=2:1，BD=12BC，
∴AG=23AD，
∵BC=AC−AB，AB=a，AC=b，
∴BC=b−a，
∴BD=12b−a，
∴AD=AB+BD=a+12b−a=12a+12b，
∴AG=23AD=2312a+12b=13a+13b．
15. 2
【解析】作 OB⊥AB 于 B 点，连接 AO，
则 OB=3，∠AOB=30∘，
∴AB=OB×tan∠AOB=3×tan30∘=1cm，
∴ 边长 =2 cm，
∴ 它的半径的长度为 2 cm．
16. 3
【解析】连接 AC，BD，
∵ 点 A，B，C，D 在小正方形的顶点上，
∴ 易证 ∠ACO=∠BDO=90∘，
∵∠AOC=∠BOD，
∴△AOC∽△BOD，
∴ACBD=OCOD，
即 OCOD=22+2212+12=21，
∴OC=2OD=23CD，
且 CD=12+12=2，
∴OC=232，
则 tan∠AOC=ACOC=22232=3．
故答案为：3．
17. 27
【解析】令菱形 ABCD 的中心为 O（角平分线的交点），
∵EF 是面积等分线，
∴EF 过 O 点，
∵ 四边形 ABCD 是菱形，
∴AB=BC，
又 ∵∠ABC=60∘，
∴△ABC 是等边三角形，
∴AC=AB=6，OA=12AC=3，
过 E 作 EH⊥AO 于点 H，
在 Rt△EAH 中，∠EAH=60∘，∠AEH=30∘，AE=2，
∴AH=12AE=12×2=1，EH=AF2−AH2=3，
∴HO=AO−AH=3−1=2，
∴EO=EH2+HO2=32+22=7，
在 △AOE 和 △COF 中，∠EAO=∠FCO，AO=CO，∠AOE=∠COF，
∴△AOE≌△COFASA，
∴EO=FO=7，
∴EF=DO+OF=7+7=27．
18. 145
【解析】连接 AD，过点 E 过 EH⊥BC 于点 H，
∵ 点 D 是边 BC 的中点，
∴BD=CD，
∵△BDE 沿直线 DE 翻折得到 △BʹDE，
∴BD=BʹD，∠BDE=∠BʹDE，
∴CD=BʹD，
在 Rt△ACD 和 Rt△ABʹD 中，
AD=AD,CD=BʹD,
∴Rt△ACD≌Rt△ABʹDHL，
∴∠ADC=∠ADBʹ，
∴∠ADE=∠ADBʹ+∠BʹDE=12∠CDBʹ+∠BDBʹ=90∘.
∴∠BDE+∠CDA=90∘，
∵∠CAD+∠CDA=90∘，
∴∠BDE=∠CAD，
∴tan∠BDE=tan∠CAD=CDAC=EHDH，
在 Rt△ACB 中，∠C=90∘，∠B=30∘，AC=2，
AB=2AC=4，BC=AB2−AC2=23，
∴CD=BD=12BC=3，
∴CDAC=32，
∴EHDH=32，
设 EH=3a，则 DH=2a，
在 Rt△BHE 中，∠EHB=90∘，∠B=30∘，
∴BE=2EH=23a，
∴BH=BE2−EH2=3a，
∴BD=BH+DH=5a=3，
∴a=35．
∴BE=23×35=65，
∴AE=AB−BE=4−65=145，
∴ 线段 AE 的长为 145．
第三部分
19. 8−13−2−13−1÷3+1−22=22−3+23−23+2−3÷3+1−22+2=22+3+2−3+3−22=5.
20. 方程两边同时乘以 x+3x−3 得：
4x=x2−9+2x+3−2x−3.
整理得：
x2−4x+3=0.
解得：
x1=1,x2=3.
经检验：x2=3 是原方程的增根，
所以，原方程的解为 x=1．
21. （1） ∵ 点 A 在反比例函数 y=6x（x>0）的图象上，
∴3=6a，得 a=2，
∴A2,3，把 A2,3 代入正比例函数 y=kx，得：3=2k，
∴k=32．
（2） 由（1）得：正比例函数的解析式为 y=32x，
设 Bb,0，则 b,32b，C6,6b，
∵BD=6，
∴32b=6，b=4，
∴C4,32，D4,6，
∴CD=6−32=92，
∴S△ACD=12CD⋅xC−xA=12×92×4−2=92，
即 △ACD 的面积为 92．
22. （1） 作 CG⊥AB 于 G，DF⊥CG 于 F，
在 Rt△CGB 中，∠B=60∘，BC=8，
∴CG=BC×sin60∘=43，
∵∠1=30∘，∠BCD=70∘，
∴∠2=40∘，
又 ∵DC=6，
∴CF=DC×cs40∘=6×0.77≈4.6 cm．
（2） 将 CD 绕点 C 顺时针旋转 20∘，
∴∠C=90∘，
∴ 在 Rt△BCD 中，
tan∠B=68=34=0.75，
由参考依据：tan37∘≈0.75，
∴∠B=37∘，
∵60∘−37∘=23∘，
∴ 线段 BC 旋转 23∘．
23. （1） 连接 AC，
∵AD∥OC，
∴∠DAC=∠OCA，
∴OA=OC，
∴∠OAD=∠OCA，
∴∠DAC=∠EAC，
在 △ADC 和 △AEC 中，
AD=AE,∠DAC=∠EAC,AC=AC,
∴△ADC≌△AECSAS，
∴CD=CE．
（2） 连接 AC，
∵AD=3CD，
∴∠AOD=3∠COD，
设 ∠COD=α，则 ∠AOD=3α，
∵AD∥OC，
∴∠ODA=∠COD=α，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA=α，
∵∠OAD+∠ODA+∠AOD=180∘，
∴α+α+3α=180∘，
∴5α=180∘，
∴α=36∘，
∴∠AOD=108∘，∠COD=∠ODA=36∘，
∵OC=OD，
∴∠ODC=∠OCD=72∘，
∴∠ADC=∠ODA+∠ODC=108∘，
∵△ADC≌△AEC，
∴∠ADC=∠AEC=108∘，
∴∠AOD=∠AEC=108∘，
∴OD∥EF，
∵OC∥DF，
∴ 四边形 OCFD 是平行四边形，
∵OC=OD，
∴ 四边形 OCFD 是菱形．
24. （1） 在直线 y=x−5 中，令 x=0，y=5，令 y=0，x=5，
∴A5,0，B0,−5，
将 A，B 代入 y=ax2+6x+c 中得：
25a+30+c=0,c=−5,, 解得 a=−1,c=−5,
∴ 抛物线为：y=−x2+6x−5．
（2） y=−x2+6x−5=−x−1x−5，
令 y=0，x1=1，x2=5，
∴ 另一交点 C 为 1,0，
∵ 点 Q 在 y=x−5 上，
设 Qx,x−5，
∵ 四边形 BCPQ 是平行四边形，
∴PQ∥BC，PQ=BC，PQ 可看作线段 BC 沿 BA 方向平移得到，
∵B0,−5→Qx,x−5，
∴C1,0→P1+x,x，
∵ 点 P 在抛物线 y=−x2+6x−5 上，
∴x=−x+12+6x+1−5，解得 x1=0（舍去），x2=3，
∴Q3,−2．
（3） ∵y=−x2+6x−5=−x−32+4，
∴ 对称轴为直线 x=3，
∴ 点 Q 在对称轴上，设 CD 交 AB 于点 E，
如图，在 △CQE 和 △BQC 中，
∵∠CQB=∠CQB，∠QCE=∠QBC，
∴△QCE∽△QBC，
∴CQBQ=CEBC，
∵C1,0，Q3,−2，B0,−5，
∴CQ=3−12+−22=22，
BQ=32+−2+52=32，
BC=12+52=26，
∴2232=CE26，
∴CE=2263，
∵ 点 E 在 y=x−5 上，
设 Ea,a−5，
∴CE2=a−12+a−52=2a2−12a+26，
∴2a2−12a+26=22632，解得 a1=133（舍去），a2=53，
∴E53,−103，
设 yCE=kx+b，
将 C1,0，E53,−103，代入得 k+b=0,53k+b=−103, 解得 k=−5,b=5,
∴yCE=−5x+5，
当 x=3 时，y=−10，
∴D3,−10，
∴DQ=yQ−yD=−2−−10=−2+10=8.
∴ 线段 DQ 的长是 8．
25. （1） 当圆心 O 在射线 AB 上时，如图所示，
因为 PQ 与 ⊙O 相切于点 P，
所以 OP⊥PQ，
所以 ∠APQ=90∘，
因为 ct∠BAC=APPQ=34，
设 AP=3x，则 PQ=4x，
所以 AQ=AP2+PQ2=5x=15，
所以 x=3，
所以 AP=9，
所以 ⊙O 的半径长为 92．
（2） 过点 Q 作 QH⊥AB 于点 H，过点 O 作 OK⊥AB 于点 K，连接 OP，OA．
①当圆心 O 在直线 AB 上方时，如图，
在 Rt△AHQ 中，∠AHQ=90∘，ct∠QAH=AHQH=34，
所以 AHAQ=35，
所以 AH=9，HQ=12，
因为 PQ 是 ⊙O 的切线，
所以 PQ⊥OP，
因为 OK⊥AB，HQ⊥AB，
所以 ∠OKP=∠OPQ=∠QHP=90∘，
因为 ∠KOP+∠OPK=90∘，∠OPK+∠HPQ=90∘，
所以 ∠KOP=∠HPQ，
所以 △KOP∽△HPQ，
所以 OKPH=KPHQ．
因为 OA=OP，OK⊥AP，
所以 AK=PK，
设 AK=PK=m，
则 PH=AH−AK−PK=9−2m，
所以 349−2m=m12，
所以 2m2−9m+9=0，
所以 m−32m−3=0，
所以 m1=3，m2=32，
所以 AP=2m=3或6，
所以线段 AP 的长为 3 或 6．
②当圆心 O 在直线 AB 下方时，如图，
同理可证 △KOP∽△HPQ，
所以 OKPH=KPHQ，
设 AK=PK=n，则 PH=AK+PK−AH=2n−9，
所以 342n−9=n12，
所以 2n2−9n−9=0，
所以 n1=9+3174，n2=9−3174（负值舍去），
所以 AP=2n=9+3172，
线段 AP 的长为 9+3172．
综上所述，线段 AP 的长为 3 或 6 或 9+3172．
（3） 当 ⊙P 与 ⊙O 相切时，如图，连接 OA，OP，过点 O 作 OK⊥AB 于点 K，过点 Q 作 QH⊥AB 于点 H．
PQ=2OP，
由（2）可知，△KOP∽△HPQ，
所以 POQP=PKQH=12，
因为 HQ=12，
所以 PK=AK=6，
所以 AP=12，
所以当 AP=12 时，⊙P 与 ⊙O 内切，
当 0当 ⊙O 与 AC 相切于点 A 时，
此时 ⊙O 与边 AC 只有一个交点，
即点 O 与点 A 重合．
连接 OA，OP，OQ，
OQ 交 AB 于点 H，
所以 ∠OAQ=∠OPQ=90∘，
在 Rt△OAQ 和 Rt△OPQ 中，
OQ=OQ,OA=OP,
所以 Rt△OAQ≌△Rt△OPQHL，
所以 QA=QP，
所以 OQ 垂直平分 AP，
所以 AP=2AH=18，
所以当 12综上所述，当 ⊙P 与 ⊙O 内含时，0当 ⊙P 与 ⊙O 内切时，AP=12，
当 ⊙P 与 ⊙O 相切时，12