2020年江苏省苏州市昆山市九校联考中考一模数学试卷

这是一份2020年江苏省苏州市昆山市九校联考中考一模数学试卷，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共10小题；共50分）
1. −12020 的绝对值是
A. 12020B. −12020C. −2020D. 2020

2. 港珠澳大桥全长 55 千米，工程项目总投资额 1269 亿元，用科学记数法表示 1269 亿为
A. 1269×108B. 1.269×108C. 1.269×1010D. 1.269×1011

3. 长沙某抗战纪念馆馆长联系某中学，选择 18 名青少年志愿者在同日参与活动，年龄如表所示：这 18 名志愿者年龄的众数和中位数分别是
年龄单位:岁12131415人数3564
A. 13，14B. 14，14C. 14，13D. 14，15

4. 如图是由 5 个相同的小正方体组成的立体图形，它的俯视图是
A. B.
C. D.

5. 如图，在 △ABC 中，∠A=90∘，AB=AC=2，⊙A 与 BC 相切于点 D，与 AB，AC 分别相交于点 E，F，则阴影部分的面积是
A. π2B. 3−π2C. 2−π2D. π3

6. 如图，学校环保社成员想测量斜坡 CD 旁一棵树 AB 的高度，他们先在点 C 处测得树顶 B 的仰角为 60∘，然后在坡顶 D 测得树顶 B 的仰角为 30∘，已知斜坡 CD 的长度为 10 m，DE 的长为 5 m，则树 AB 的高度是 m．
A. 10B. 15C. 153D. 153−5

7. 已知点 Mm,2018，Nn,2018 是二次函数 y=ax2+bx+2017 图象上的两个不同的点，则当 x=m+n 时，其函数值 y=
A. 2019B. 2018C. 2017D. 2016

8. 已知 t 为正整数，关于 x 的不等式组 2x+53−x>−5,x+32A. 16B. 17C. 18D. 19

9. 如图，矩形 ABCD 中，对角线 AC 的垂直平分线 EF 分别交 BC，AD 于点 E，F，若 BE=4，AF=6，则 AC 的长为
A. 45B. 63C. 230D. 2033

10. 已知 ⊙O 的半径为 2，A 为圆内一定点，AO=1．P 为圆上一动点，以 AP 为边作等腰 △APG，AP=PG，∠APG=120∘，OG 的最大值为
A. 1+3B. 1+23C. 2+3D. 23−1

二、填空题（共8小题；共40分）
11. 分解因式：81−9n2= ．

12. 若 x−12−x 有意义，则 x 的取值范围 ．

13. a 是方程 x2+x−1=0 的一个根，则代数式 −2a2−2a+2020 的值是 ．

14. 如图，在 4×4 的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格点，△ABC 的顶点都在格点上，则 △BAC 的余弦值是 ．

15. 如图，四边形 ABCD 内接于 ⊙O，F 是 CD 上一点，且 DF=BC，连接 CF 并延长交 AD 的延长线于点 E，连接 AC，若 ∠ABC=105∘，∠BAC=25∘，则 ∠E 的度数为 度．

16. 一个圆锥的侧面展开图半径为 16 cm，圆心角 270∘ 的扇形，则这个圆锥的底面半径是 cm．

17. 如图，在平面直角坐标系中，正方形 ABCD 的面积为 20，顶点 A 在 y 轴上，顶点 C 在 x 轴上，顶点 D 在双曲线 y=kxx>0 的图象上，边 CD 交 y 轴于点 E，若 CE=ED，则 k 的值为 ．

18. 如图，已知在 △ABC 中，AB=AC=13，BC=10，点 M 是 AC 边上任意一点，连接 MB，以 MB，MC 为邻边作平行四边形 MCNB，连接 MN，则 MN 的最小值为 ．

三、解答题（共10小题；共130分）
19. 计算：−12016+2sin60∘−1−3+π0．

20. 解不等式组，并写出该不等式组的所有整数解 x−322x−1≤4,1+3x2>2x−1.

21. 先化简，再求值：x−2x2+2x÷x2−4x+4x2−4−12x，其中 x=3．

22. 甲、乙两辆货车分别从 A，B 两城同时沿高速公路向 C 城运送货物．已知 A，C 两城相距 450 千米，B，C 两城的路程为 440 千米，甲车比乙车的速度快 10 千米/小时，甲车比乙车早半小时到达 C 城．求两车的速度．

23. 为了解某校九年级男生 1000 米跑的水平，从中随机抽取部分男生进行测试，并把测试成绩分为D，C，B，A四个等次绘制成如图所示的不完整的统计图，请你依图解答下列问题：
（1）a= ，b= ，c= ．
（2）扇形统计图中表示C等次的扇形所对的圆心角的度数为 度．
（3）学校决定从A等次的甲、乙、丙、丁四名男生中，随机选取两名男生参加全市中学生 1000 米跑比赛，请用列表法或画树状图法，求甲、乙两名男生同时被选中的概率．

24. 如图，在等腰 Rt△ABC 中，∠C=90∘，AC=4，矩形 DEFG 的顶点 D，G 分别在 AC，BC 上，边 EF 在 AB 上．
（1）求证：△AED∽△DCG；
（2）若矩形 DEFG 的面积为 4，求 AE 的长．

25. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，菱形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点 P−1,2，AB⊥x 轴于点 E，正比例函数 y=mx 的图象与反比例函数 y=n−3x 的图象相交于 A，P 两点．
（1）求 m，n 的值与点 A 的坐标；
（2）求证：△CPD∽△AEO；
（3）求 sin∠CDB 的值．

26. 如图，AB 为 ⊙O 的直径，C，D 为圆上的两点，OC∥BD，弦 AD 与 BC，OC 分别交于 E，F．
（1）求证：AC=CD；
（2）若 CE=1，EB=3，求 ⊙O 的半径；
（3）若 BD=6，AB=10，求 DE 的长．

27. 在等腰梯形 ABCD 中，AD∥BC，AB=DC=5，AD=6，BC=12．
（1）梯形 ABCD 的面积等于 ．
（2）如图 1，动点 P 从 D 点出发沿 DC 以每秒 1 个单位的速度向终点 C 运动，动点 Q 从 C 点出发沿 CB 以每秒 2 个单位的速度向 B 点运动．两点同时出发，当 P 点到达 C 点时，Q 点随之停止运动．当 PQ∥AB 时，P 点离开 D 点多少时间?
（3）如图 2，点 K 是线段 AD 上的点，M，N 为边 BC 上的点，BM=CN=5，连接 AN，DM，分别交 BK，CK 于点 E，F，记 △ADG 和 △BKC 重叠部分的面积为 S，求 S 的最大值．

28. 如图①，在平面直角坐标系中，抛物线 y=ax2+bx+ca≠0 经过点 D2,4，与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴交于点 C0,4，连接 AC，CD，BC，其且 AC=5．
（1）求抛物线的解析式．
（2）如图②，点 P 是抛物线上的一个动点，过点 P 作 x 轴的垂线 l，l 分别交 x 轴于点 E，交直线 AC 于点 M．设点 P 的横坐标为 m．当 0（3）当 −1答案
第一部分
1. A【解析】根据负数的绝对值等于它的相反数，可得 −12020=12020．
2. D【解析】1269 亿 =126900000000=1.269×1011．
3. B【解析】观察图表可知：年龄是 14 的人数有 6 人，出现次数最多，故众数为 14；
由图可知参加社区服务志愿者的共有 18 人，
∴ 中位数为 14+14÷2=14，故中位数是 14．
4. C【解析】它的俯视图是：
故选：C．
5. C
【解析】连接 AD，如图，
∵⊙A 与 BC 相切于点 D，
∴AD⊥BC，
∵∠A=90∘，AB=AC=2，
∴BC=2AB=22，
∴AD=BD=CD=2，
∴阴影部分的面积=S△ABC−S扇形BAC=12×2×2−90⋅π⋅22360=2−12π.
故选：C．
6. B【解析】在 Rt△CDE 中，
∵CD=10 m，DE=5 m，
∴sin∠DCE=DECD=510=12，
∴∠DCE=30∘，
∵∠ACB=60∘，DF∥AE，
∴∠BGF=60∘，
∴∠ABC=30∘，∠DCB=90∘，
∵∠BDF=30∘，
∴∠DBF=60∘，
∴∠DBC=30∘，
∴BC=CDtan30∘=1033=103m，
∴AB=BC⋅sin60∘=103×32=15m．
故选：B．
7. C【解析】∵ 当 x=m 和 x=n 时，y 的值相等，
∴x=−b2a=m+n2，
∴m+n=−ba，
当 x=m+n 时，则 y=a−ba2+b−ba+2017=2017
∴ 当 x=m+n 时，二次函数 y 的值是 2017．
8. B【解析】不等式组整理得：x<20,x>32t−1,
解集为：32t−1 t=1 时，32t−1=3，不等式组解集是 3 t=2 时，32t−1=1，不等式组解集是 1 t=3 时，32t−1=35，不等式组解集是 35由上可知，t≥3 时，0<32t−1<1，整数解的个数都是 19 个．
9. C【解析】如图，连接 AE，设 EF 与 AC 交点为 O，
∵EF 是 AC 的垂直平分线，
∴OA=OC，AE=CE，
∵ 四边形 ABCD 是矩形，
∴∠B=90∘，AD∥BC，
∴∠OAF=∠OCE，
在 △AOF 和 △COE 中，
∠AOF=∠COE,OA=OC,∠OAF=∠OCE,
∴△AOF≌△COEASA，
∴AF=CE=6，
∴AE=CE=6，BC=BE+CE=4+6=10，
∴AB=AE2−BE2=36−16=25，
∴AC=AB2+BC2=20+100=230．
10. B
【解析】如图，将线段 OA 绕点 O 顺时针旋转 120∘ 得到线段 OT，
连接 AT，GT，OP．则 AO=OT=1，AT=3，
∵△AOT，△APG 都是顶角为 120∘ 的等腰三角形，
∴∠OAT=∠PAG=30∘，
∴∠OAP=∠TAG，OAAT=PAAG=33
∴OAAP=ATAG，
∴△OAP∽△TAG，
∴OPTG=OATA=33，
∵OP=2，
∴TG=23，
∵OG≤OT+GT，
∴OG≤1+23，
∴OG 的最大值为 1+23．
第二部分
11. 93+n3−n
【解析】原式=99−n2=93+n3−n.
12. x≥1 且 x≠2
【解析】根据题意得：x−1≥0，2−x≠0，
解得 x≥1 且 x≠2．
13. 2018
【解析】∵a 是方程 x2+x−1=0 的一个实数根，
∴a2+a−1=0，
∴a2+a=1，
∴−2a2−2a+2020=−2a2+a+2020=−2×1+2020=−2018.
14. 255
【解析】作 CD⊥AB 于点 D，
△ABC 的面积 =3×4−12×3×4−12×1×2−12×1×3−1×1=52．
由勾股定理得，AB=32+42=5，AC=12+22=5，
12×AB×CD=52，即 12×5×CD=52，
解得 CD=1，
由勾股定理得，AD=AC2−CD2=2，
则 cs∠BAC=ADAC=25=255．
另解：根据勾股定理分别求出 AB，BD，AD，
根据勾股定理的逆定理得到 ∠ADB=90∘，
根据余弦的定义计算，cs∠BAC=ADAB=255．
15. 50
【解析】∵ 四边形 ABCD 内接于 ⊙O，∠ABC=105∘，
∴∠ADC=180∘−∠ABC=180−105∘=75∘，
∵DF=BC，∠BAC=25∘，
∴∠DCE=∠BAC=25∘，
∴∠E=∠ADC−∠DCE=75∘−25∘=50∘．
16. 12
【解析】设此圆锥的底面半径为 r，
根据圆锥的侧面展开图扇形的弧长等于圆锥底面周长可得，
2πr=270π×16180，r=12 cm．
17. 4
【解析】∵ 正方形 ABCD 的面积为 20，
∴AB=BC=CD=DA=20=25，
∴CE=DE=5，
∵∠COE=∠ADE=90∘，∠CEO=∠AED，
∴△COE∽△ADE，
∴OEDE=OCAD=CEAE，即 OE5=OC25=5AE，
∴OEOC=12，
∵CE=5，
∴OE=1，OC=2，
过点 D 作 DF⊥x 轴，垂足为 F，
∵CE=DE，
∴OF=OC=2，DF=2OE=2，
∴D2,2 代入反比例函数关系式得，k=2×2=4．
18. 12013
【解析】设 MN 与 BC 交于点 O，连接 AO，过点 O 作 OH⊥AC 于 H 点，
∵ 四边形 MCNB 是平行四边形，
∴O 为 BC 中点，MN=2MO．
∵AB=AC=13，BC=10，
∴AO⊥BC．
在 Rt△AOC 中，利用勾股定理可得 AO=AC2−CO2=132−52=12．
利用面积法：AO×CO=AC×OH，即 12×5=13×OH，解得 OH=6013．
当 MO 最小时，则 MN 就最小，O 点到 AC 的最短距离为 OH 长，
∴ 当 M 点与 H 点重合时，MO 最小值为 OH 长是 6013．
∴ 此时 MN 最小值为 2OH=12013．
第三部分
19. 原式=1+2×32−3−1+1=1+3−3+1+1=3.
20.
x−322x−1≤4, ⋯⋯①1+3x2>2x−1. ⋯⋯②
由①得
x≥−54.
由②得
x<3.
所以不等式组的解集是 −54≤x<3．
所以整数解是 −1，0，1，2．
21. 当 x=3 时，
∴原式=x−2xx+2÷x−22x+2x−2−12x=x−2xx+2×x+2x−2−12x=1x−12x=12x=36.
22. 设乙车的速度为 x 千米/时，则甲车的速度为 x+10 千米/时．
根据题意，得：
450x+10+12=440x.
解得：
x=80 或 x=−110舍去.∴x=80
．
经检验，x=80 是原方程的解，且符合题意．
当 x=80 时，x+10=90．
答：甲车的速度为 90 千米/时，乙车的速度为 80 千米/时．
23. （1） 2；45；20
【解析】本次调查的总人数为 12÷30%=40 人，
∴ a=40×5%=2，b=1840×100=45，c=840×100=20．
（2） 72
【解析】扇形统计图中表示C等次的扇形所对的圆心角的度数为 360∘×20%=72∘．
（3） 画树状图，如图所示：
共有 12 个可能的结果，选中的两名同学恰好是甲、乙的结果有 2 个，故 P选中的两名同学恰好是甲、乙=212=16．
24. （1） ∵△ABC 是等腰直角三角形，∠C=90∘，
∴∠B=∠A=45∘，
∵ 四边形 DEFG 是正方形，
∴∠AED=∠DEF=90∘，DG∥AB，
∴∠CDG=∠A，
∵∠C=90∘，
∴∠AED=∠C
∴△AED∽△DCG，
（2） 设 AE 的长为 x，
∵ 等腰 Rt△ABC 中，∠C=90∘，AC=4，
∴∠A=∠B=45∘，AB=42，
∵ 矩形 DEFG 的面积为 4，
∴DE⋅FE=4，∠AED=∠DEF=∠BFG=90∘，
∴BF=FG=DE=AE=x，
∴EF=42−2x，
即 x42−2x=4，
解得 x1=x2=2，
∴AE 的长为 2．
25. （1） 将点 P−1,2 代入 y=mx，得：2=−m，
解得：m=−2，
∴ 正比例函数解析式为 y=−2x；
将点 P−1,2 代入 y=n−3x，得：2=−n−3，
解得：n=1，
∴ 反比例函数解析式为 y=−2x．
联立正、反比例函数解析式成方程组，得：y=−2x,y=−2x,
解得：x1=−1,y1=2, x2=1,y2=−2,
∴ 点 A 的坐标为 1,−2．
（2） ∵ 四边形 ABCD 是菱形，
∴AC⊥BD，AB∥CD，
∴∠DCP=∠BAP，即 ∠DCP=∠OAE．
∵AB⊥x 轴，
∴∠AEO=∠CPD=90∘，
∴△CPD∽△AEO．
（3） ∵ 点 A 的坐标为 1,−2，
∴AE=2，OE=1，AO=AE2+OE2=5．
∵△CPD∽△AEO，
∴∠CDP=∠AOE，
∴sin∠CDB=sin∠AOE=AEAO=25=255．
26. （1） ∵AB 是圆的直径，
∴∠ADB=90∘，
∵OC∥BD，
∴∠AFO=∠ADB=90∘，
∴OC⊥AD，
∴AC=CD．
（2） 连接 AC，如图，
∵AC=CD，
∴∠CAD=∠ABC，
∵∠ECA=∠ACB，
∴△ACE∽△BCA，
∴AC2=CE⋅CB，
即 AC2=1×1+3，
∴AC=2，
∵AB 是圆的直径，
∴∠ACB=90∘，
∴AB=22+42=25，
∴⊙O 的半径为 5．
（3） 在 Rt△DAB 中，AD=102−62=8，
∵OC⊥AD，
∴AF=DF=4，
∵OF=52−42=3，
∴CF=2，
∵CF∥BD，
∴△ECF∽△EBD，
∴EFDE=CFBD=26=13，
∴DEDF=34，
∴DE=34×4=3．
27. （1） 36
【解析】如图 1，作 AE⊥BC 于 E，DF⊥BC 于 F，则 AE∥DF，
∵AD∥BC，AE⊥BC，
∴ 四边形 ADFE 是矩形，
∴AE=DF，AD=EF=6，
在 Rt△ABE 和 Rt△DCF 中，
AB=DC,AE=DF,
∴Rt△ABE≌Rt△DCFHL，
∴BE=CF，
∴BE=CF=BC−EF2=3，
由勾股定理得，AE=AB2−BE2=25−9=4，
梯形 ABCD 的面积 =12×AD+BC×AE=12×12+6×4=36．
（2） 如图 3，过 D 作 DE∥AB，交 BC 于点 E，
∵AD∥BC，DE∥AB，
∴ 四边形 ABED 为平行四边形，
∴BE=AD=6，
∴EC=6，
当 PQ∥AB 时，PQ∥DE，
∴△CQP∽△CED，
∴CPCD=CQCE，即 5−t5=2t6，解得 t=158．
（3） 如图 2，过 G 作 GH⊥BC，延长 HG 交 AD 于 I，
过 E 作 EX⊥BC，延长 XE 交 AD 于 Y，
过 F 作 FU⊥BC 于 U，延长 UF 交 AD 于 W，
∵BM=CN=5，
∴MN=12−5−5=2，
∴BN=CM=7，
∵MN∥AD，
∴△MGN∽△DGA，
∴HGGI=MNAD，即 HG4−HG=26，解得 HG=1，
设 AK=x，
∵AD∥BC，
∴△BEN∽△KEA，
∴EXEY=BNAK，即 EX4−EX=7x，
解得 EX=287+x，同理：FU=2813−x，
S=S△BKC−S△BEN−S△CFM+S△MNG=12×12×4−12×7×28x+7−12×7×2813−x+12×2×1=25−1960−x−32+100.
当 x=3 时，S 的最大值为 25−1960100=5.4．
28. （1） ∵ 在 Rt△AOC 中，∠AOC=90∘，
∴OA=AC2−OC2=3，
∴A3,0．
将 A3,0，C0,4，D2,4 代入抛物线 y=ax2+bx+ca≠0 中得 9a+3b+c=0,c=4,4a+2b+c=4,
解得，a=−43,b=83,c=4.
∴ 抛物线解析式为 y=−43x2+83x+4．
（2） 由 A3,0，C0,4 可得直线 AC 解析式为 y=−43x+4，
∴M 坐标为 m,−43m+4，
∵MG∥BC，
∴∠CBO=∠MGE，且 ∠COB=∠MEG=90∘，
∴△BCO∽△GME，
∴COME=BOGE，即 4−43m+4=1GE，
∴GE=−13m+1，
∴OG=OE−GE=43m−1，
∴S△CGM=S梯形COEM−S△COG−S△GEM=12m−43m+4+4−4×43m−1×12−12−13m+1−43m+4=−89m2+83m=−89m−322+2.
∴ 当 m=32 时，S 最大，即 S最大=2．
（3） 根据题意可知 △AEM 是直角三角形，而 △MPC 中，∠PMC=∠AME 为锐角，
∴△PCM 的直角顶点可能是 P 或 C．
第一种情况：当 ∠CPM=90∘ 时，如图③，
则 CP∥x 轴，此时点 P 与点 D 重合，
∴ 点 P2,4，此时 m=2；
第二种情况：当 ∠PCM=90∘ 时，如图④，
延长 PC 交 x 轴于点 F，由 △FCA∽△COA，得 AFAC=ACAO，
∴AF=253，
∴OF=253−3=163，
∴F−163,0，
∴ 直线 CF 的解析式为 y=34x+4，
联立直线 CF 和抛物线解析式可得 y=34x+4,y=−43x2+83x+4,
解得 x1=0,y1=4, x2=2316,y2=32564.
∴P 坐标为 2316,32564，此时 m=2316；
综上可知存在满足条件的实数 m，其值为 2 或 2316．