2021年天津市和平区中考二模数学试卷

这是一份2021年天津市和平区中考二模数学试卷，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共12小题；共60分）
1. 计算 0−−6 的结果等于
A. −6B. 0C. 16D. 6

2. 2cs45∘ 的值等于
A. 1B. 22C. 2D. 32

3. 下列图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是
A. B.
C. D.

4. 2020 年初，国家统计局发布数据，按现行国家农村贫困标准测算，截至 2019 年末，全国农村贫困人口减少至 551 万人，累计减少 93480000 人．将 93480000 用科学记数法表示为
A. 0.9348×108B. 9.348×108C. 9.348×107D. 93.48×106

5. 如左图是一个由 4 个相同的正方体组成的立体图形，它的左视图是
A. B.
C. D.

6. 估计 58 的值在
A. 7 和 8 之间B. 6 和 7 之间C. 5 和 6 之间D. 4 和 5 之间

7. 方程组 2x−y=5,3x+4y=2. 的解是
A. x=3,y=1B. x=2,y=−1C. x=2,y=1D. x=4,y=3

8. 计算 3x+1−3xx+1 的结果为
A. 3B. −3C. 3−3xx+1D. 3x−3x+1

9. 如图，正五边形 ABCDE 放入某平面直角坐标系后，若顶点 A，B，C，D 的坐标分别是 0,a，−3,2，b,m，c,m，则点 E 的坐标是
A. 2,−3B. 2,3C. 3,2D. 3,−2

10. 若点 −3,y1，2,y2，3,y3 都在反比例函数 y=−10x 的图象上，则 y1，y2，y3 的大小关系是
A. y1
11. 如图，以点 C 为旋转中心，把 △ABC 顺时针旋转得 △DEC．记旋转角为 α，连接 AE，∠AED 为 β，则 ∠BAE 的度数为
A. α−βB. α2+βC. β2D. α−β2

12. 已知抛物线 y=ax2+bx+c（a，b，c 为常数，a≠0）的对称轴是直线 x=1，且与 x 轴、 y 轴分别交于 A，B 两点，其中点 A 在点 3,0 的右侧，直线 y=−12x+c 经过 A，B 两点．
有下列结论：
① c>32；
② 2a+2b+c>0；
③ −12其中正确的结论是
A. ①B. ①②C. ②③D. ①②③

二、填空题（共6小题；共30分）
13. 计算 5x−3x+4x 的结果等于 ．

14. 计算 3+63−6 的结果等于 ．

15. 不透明袋子中装有 12 个球，其中有 3 个红球、 4 个黄球和 5 个绿球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出 1 个球，则它是红球的概率是 ．

16. 直线 y=4x+1 与 x 轴交点坐标为 ．

17. 如图，在四边形 ABCD 中，∠ABC=90∘，AB=3，BC=4，CD=5，DA=52，连接 BD，则 BD 的长为 ．

18. 如图，在每个小正方形的边长为 1 的网格中，点 A，点 B，点 D 均在格点上，并且在同一个圆上，取格点 M，连接 AM 并延长交圆于点 C．
（Ⅰ）四边形 ABCD 外接圆的半径为 ；
（Ⅱ）请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺画出线段 AP，使 AP 平分 ∠CAD，且点 P 在圆上，并简要说明点 P 的位置是如何找到的（不要求证明） ．

三、解答题（共7小题；共91分）
19. 解不等式组 x−2≤4+3x, ⋯⋯①3x+2≥4x. ⋯⋯②
请结合题意填空，完成本题的解答．
（Ⅰ）解不等式①，得 ；
（Ⅱ）解不等式②，得 ；
（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
（Ⅳ）原不等式组的解集为 ．

20. 在一次“爱心助学”捐款活动中，全校冋学人人拿出自己的零花钱，踊跃捐款，学生捐款额有 5 元、 10 元、 15 元、 20 元四种情况．李老师在全校范围内随机抽取部分学生，对捐款金额进行了统计，根据统计结果，绘制出如下的统计图①和图②．请根据相关信息，解答下列问题：
（1）本次抽取的学生人数为 ，图①中 m 的值为 ；
（2）求统计的这组学生捐款数据的平均数、众数和中位数；
（3）根据统计的学生捐款的样本数据，若该校共有 800 名初中学生，估计该校学生共捐款的钱数．

21. 已知 DA，DC 分别与 ⊙O 相切于点 A，C，延长 DC 交直径 AE 的延长线于点 P．
（1）如图①，若 DC=PC，求 ∠P 的度数；
（2）如图②，在 ⊙O 上取一点 B，连接 AB，BC，BE，当四边形 ABCD 是平行四边形时，求 ∠P 及 ∠AEB 的大小．

22. 如图，A，B 两地之间有一座山，汽车原来从 A 地到 B 地需经 C 地沿折线 A−C−B 行驶，全长 39 km．现开通隧道后，汽车直接沿直线 AB 行驶．已知 ∠A=30∘，∠B=53∘，求隧道开通后，汽车从 A 地到 B 地的路程（结果精确到 0.1 km）．参考数据：sin53∘≈0.8，tan53∘≈1.3，3≈1.73．

23. 甲、乙两车从 A 城出发前往 B 城．在整个行程中，甲车离开 A 城的距离 y1 km 与甲车离开 A 城的时间 x h 的对应关系如图所示．乙车比甲车晚出发 12 h，以 60 km/h 的速度匀速行驶．
（1）填空：
① A，B 两城相距 km；
②当 0≤x≤2 时，甲车的速度为 km/h；
③乙车比甲车晚 h 到达 B 城；
④甲车出发 4 h 时，距离 A 城 km；
⑤甲、乙两车在行程中相遇时，甲车离开 A 城的时间为 h；
（2）当 0≤x≤523 时，请直接写出 y1 关于 x 的函数解析式．
（3）当 312≤x≤5 时，两车所在位置的距离最多相差多少 km?

24. 如图，将一个直角三角形纸片 AOB，放置在平面直角坐标系中，已知点 O0,0，点 B 在 y 轴的正半轴上，OA=2，∠ABO=90∘，∠AOB=30∘，D，E 两点同时从原点 O 出发，D 点以每秒 3 个单位长度的速度沿 x 轴正方向运动，E 点以每秒 1 个单位长度的速度沿 y 轴正方向运动，连接 DE，交 OA 于点 F，将 △OEF 沿直线 DE 折叠得到 △OʹEF，设 D，E 两点的运动时间为 t 秒．
（1）求点 A 的坐标及 ∠OED 的度数；
（2）若折叠后 △OʹEF 与 △AOB 重叠部分的面积为 S．
①当折叠后 △OʹEF 与 △AOB 重叠部分的图形为三角形时，请写出 S 与 t 的函数关系式，并直接写出 t 的取值范围；
②当重叠部分面积最大时，把 △OEOʹ 绕点 E 旋转，得到 △PEQ，点 O，Oʹ 的对应点分别为 P，Q，连接 AP，AQ，求 △APQ 面积的最大值（直接写出结果即可）．

25. 抛物线 y=−12x2+bx+c 过点 A−1,0 和点 B3,0，与 y 轴交于点 C，顶点为点 D．
（1）求点 C，D 的坐标；
（2）点 E 是线段 OB 上一动点，过点 E 作直线 l⊥x 轴，交抛物线于点 M，连接 BM 并延长交 y 轴于点 N，连接 AM，OM．若 △AEM 的面积是 △MON 面积的 2 倍，求点 E 的坐标；
（3）抛物线上一点 T，点 T 的横坐标是 −3，连接 BT，与 y 轴交于点 P，点 Q 是线段 AT 上一动点（不与点 A，点 T 重合），将 △BPQ 沿 PQ 所在直线翻折，得到 △FPQ，当 △FPQ 与 △TPQ 重叠部分的面积是 △TBQ 面积的 14 时，求线段 TQ 的长度．
答案
第一部分
1. D
2. A
3. B
4. C
5. D
6. A
7. B
8. C
9. C
10. B
11. A
12. D
第二部分
13. 6x
14. 3
15. 14
16. −14,0
17. 65
18. 13，取格点 E，F，连接 EF，交 CD 于点 G．取格点 O，连接 OG 并延长交圆于点 P，连接 AP，AP 即为所求．
第三部分
19. （Ⅰ）x≥−3；
（Ⅱ）x≤2；
（Ⅲ）
（Ⅳ）−3≤x≤2．
20. （1） 50；36
（2） ∵x=5×6+10×18+15×16+20×1050=13，
∴ 这组数据的平均数是 13．
∵ 在这组数据中，10 出现了 18 次，出现的次数最多，
∴ 这组数据的众数是 10；
∵ 将这组数据按照由小到大的顺序排列，其中处于中间位置的两个数都是 15，有 15+152=15．
∴ 这组数据的中位数是 15．
（3） ∵ 统计的学生捐款的平均数是 13，
∴ 估计该校学生共捐款的钱数是：13×800=10400，
答：估计该校学生共捐款的钱数约是 10400 元．
21. （1） ∵DA，DC 是 ⊙O 的切线，
∴DA=DC，OA⊥DA，
∴∠DAO=90∘，
∵DC=PC，
∴DA=DC=PC，
∵∠DAP=90∘，
∴sinP=ADDP=12，
∴∠P=30∘．
（2） 连接 OC，AC，
∵DA，DC 是 ⊙O 的切线，
∴DA=DC，
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ 平行四边形 ABCD 是菱形，
∴DA=DC=CB=AB，∠ABC=∠ADC，
∵∠AOC=2∠ABC，
∴∠AOC=2∠ADC，
∴DA，DC 是 ⊙O 的切线，
∴OA⊥AD，OC⊥DC，
∴∠DAO=∠DCO=90∘，
∵∠ADC+∠DCO+∠AOC+∠DAO=360∘，
∴∠ADC+∠AOC=180∘，
∴3∠ADC=180∘，
∴∠ADC=60∘，
∴∠P=90∘−∠ADC=30∘，∠ABC=60∘，
又 AB=BC，
∴△ABC 是等边三角形，
∴∠ACB=60∘，
∴∠AEB=∠ACB=60∘．
22. 过点 C 作 CD⊥AB，垂足为点 D，
在 Rt△ACD 中，∠A=30∘，
∴AC=2CD．
在 Rt△BCD 中，∠B=53∘，sinB=CDBC，
∴BC=CDsinB=CDsin53∘，
∵AC+BC=39，
∴2CD+CDsin53∘=39．
∴2CD+1.25CD≈39，
∴CD≈12．
在 Rt△ACD 中，∠A=30∘，tanA=CDAD，
∴AD=CDtanA=CDtan30∘≈123．
在 Rt△BCD 中，∠B=53∘，tanB=CDBD，
∴BD=CDtanB=CDtan53∘≈12013，
∴AB=AD+BD≈123+12013≈29.99≈30.0．
答：汽车从 A 地到 B 地的路程约 30.0 km．
23. （1） ① 360；② 60；③ 56；④ 6803；⑤ 52 或 196
（2） 当 0≤x≤2 时，y1=60x；
当 2当 223 （3） 当 312≤x≤5 时，
由题意，可知甲车在乙车前面，设两车所在位置的距离相差 y km，
则 y=80x−2803−60x−30=20x−1903．
∵20>0，
∴y 随 x 的增大而增大．
∴ 当 x=5 时，y 取得最大值 1103．
答：两车所在位置的距离最多相差 1103 km．
24. （1） 因为 ∠ABO=90∘，∠AOB=30∘，OA=2，
所以 AB=12OA=1，
所以 OB=AO2−AB2=3，
所以 A1,3，
因为 ∠EOD=90∘，OE=t，OD=3t，
所以 tan∠OED=ODOE=3，
所以 ∠OED=60∘．
（2） ①因为 ∠OED=60∘，∠AOB=30∘，
所以 ∠OFE=90∘，
所以 OA⊥DE．
所以将 △OEF 沿直线 DE 折叠得到 △OʹEF，折叠后点 Oʹ 落在直线 OA 上，
如图，
当点 Oʹ 落在线段 OA 上，△OʹEF 与 △AOB 重叠部分是三角形时，
因为 △OEF 沿直线 DE 折叠得到 △OʹEF，
所以 △OEF≌△OʹEF，
所以 OE=OʹE=t，∠EOʹF=∠EOF=30∘，
所以 EF=12OʹE=12t，
所以 OʹF=OʹE2−EF2=32t，
所以 S=12EF⋅OʹF=38t20如图，
当点 Oʹ 落在线段 OA 延长线上，△OʹEF 与 △AOB 重叠部分是三角形时，设 AB 与 EF 交于点 M，
因为 OE=OʹE=t，∠EFO=90∘，∠EOF=30∘，
所以 cs∠EOF=OFOE=32，
所以 OF=32OE=32t，
所以 AF=OA−OF=2−32t，
因为 ∠ABO=∠EFO=90∘，
所以 ∠AOB+∠BAO=∠AMF+∠BAO=90∘，
所以 ∠AMF=30∘，
因为 ∠MFA=90∘，∠AMF=30∘，
所以 tan∠AMF=AFMF=33，
所以 MF=3AF=32−32t．
所以 S=12AF⋅MF=322−32t2=338t2−3t+233≤t<433．
所以 S=38t2,0② 127+12325．
25. （1） ∵ 抛物线 y=−12x2+bx+c 过点 A−1,0 和点 B3,0，
得 −12−b+c=0,−92+3b+c=0 解得 b=1,c=32.
∴ 抛物线的解析式为 y=−12x2+x+32．
∵ 当 x=0 时，y=32，
∴ 点 C 的坐标为 0,32．
∵y=−12x2+x+32=−12x−12+2，
∴ 顶点 D 的坐标为 1,2．
（2） 设点 E 的坐标为 m,0，（0 ∵ 过点 E 作直线 l⊥x 轴，交抛物线于点 M，
∴ 点 M 的坐标为 m,−12m2+m+32．
设直线 BM 的解析式为 y=k1x+b1，
有 3k1+b1=0,mk1+b1=−12m2+m+32,
解得 k1=−12m+1b1=32m+1.
∴ 直线 BM 的解析式为 y=−12m+1x+32m+1．
∵ 当 x=0 时，y=32m+1，
∴ 点 N 的坐标为 0,32m+1．
S△AEM=12AE⋅ME=12m+1⋅−12m2+m+32=12m+1⋅−12m+1⋅m−3.
S△MON=12ON⋅∣xM∣=12×32m+1⋅m，
∵△AEM 的面积是 △MON 面积的 2 倍，
∴12m+1⋅−12m+1⋅m−3=2×12×32m+1⋅m，
m2+4m−3=0，m=−2±7，
∵0 ∴m=−2+7．
∴ 点 E 的坐标为 −2+7,0．
（3） ∵ 抛物线上一点 T，点 T 的横坐标是 −3，
∴y=−12×−32−3+32=−6．
∴ 点 T 的坐标为 −3,−6．
设直线 BT 的解析式为 y=k2x+b2，
有 3k2+b2=0,−3k2+b2=−6 解得 k2=1,b2=−3.
∴ 直线 BT 的解析式为 y=x−3．
∵ 当 x=0 时，y=−3，
∴ 点 P 的坐标为 0,−3．
过点 T 作 TG⊥y 轴于点 G，则 TG=3，PG=3，
∴TP=TG2+PG2=32+32=32，
又 BP=OB2+OP2=32+32=32，
∴BP=TP．
∴ 点 P 是线段 BT 的中点．
∴S△BPQ=S△TPQ，
由折叠知，△BPQ≌△FPQ，则 S△BPQ=S△FPQ．
∴S△FPQ=S△TPQ．
①如图，
当点 F 在直线 BT 下方时，
设线段 FQ 与线段 PT 交于点 M，
△FPQ 与 △TPQ 重叠部分是 △MPQ，连接 FT．
∵S△MPQ=14S△BTQ，
∴S△MPQ=12S△TPQ=12S△FPQ．
∴MP=MT，MQ=MF．
∴ 四边形 FPQT 是平行四边形．
∴TQ=PF．
∵PF=BP，BP=32，
∴TQ=32．
②如图，当点 F 在直线 BT 上方时，设线段 FP 与线段 QT 交于点 N，△FPQ 与 △TPQ 重叠部分是 △NPQ，连接 FT．
同理可得，四边形 FTPQ 是平行四边形．
∴QF=TP=BP．
∵QF=BQ，
∴BQ=BP=32．
设直线 AT 的解析式为 y=k3x+b3，
有 −k3+b3=0,−3k3+b3=−6 解得 k3=3,b3=3.
∴ 直线 AT 的解析式为 y=3x+3．
设点 Q 的坐标为 t,3t+3−3过点 Q 作 QE⊥x 轴于点 E，
BQ=EB2+EQ2=t−32+3t+32=32，解得 t1=0，t2=−65．
∵−3 ∴t=−65，
∴ 点 Q 的坐标为 −65,−35．
过点 Q 作 x 轴的平行线，过点 T 作 y 轴的平行线，两线交于点 H，
∴TQ=QH2+TH2=−65+32+−35+62=9105．
综上所述，线段 TQ 的长度为 32 或 9105．