2020年天津市西青区中考一模数学试卷

这是一份2020年天津市西青区中考一模数学试卷，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共12小题；共60分）
1. 计算 6÷−3 的结果等于
A. −12B. −2C. −3D. −18

2. 计算 2cs30∘ 的结果等于
A. 12B. 22C. 32D. 3

3. 我国自行设计、制造的第一颗人造卫星“东方红一号”的运行轨迹距地球最近点 439000 m，将 439000 用科学计数法表示应为
A. 4.39×105B. 4.39×106C. 0.439×106D. 439×103

4. 下列图案中，是中心对称图形的是
A. B.
C. D.

5. 如图是一个由 5 个相同正方体组成的立体图形，它的主视图是
A. B.
C. D.

6. 估计 27 的值在
A. 2 和 3 之间B. 3 和 4 之间C. 4 和 5 之间D. 5 和 6 之间

7. 化简 x2x−1+x1−x 的结果是
A. xB. x−1C. −xD. x+2

8. 如图，四边形 ABCD 为菱形，A，B 两点的坐标分别是 2,0，0,1，点 C，D 在坐标轴上，则菱形 ABCD 的周长等于
A. 5B. 43C. 45D. 20

9. 方程组 x+y=6,x−3y=−2 的解是
A. x=5,y=1B. x=4,y=2C. x=−5,y=−1D. x=−4,y=−2

10. 若点 x1,−1，x2,1，x3,2 在反比例函数 y=−1x 的图象上，则下列各式中正确的是
A. x1
11. 如图所示，在 △ABC 中，AB=BC，∠ACB=90∘，点 D 在 BC 上，BD=3，DC=1，点 P 是 AB 上的动点，则 PC+PD 的最小值为
A. 7B. 6C. 5D. 4

12. 将二次函数 y=x2−4x+a 的图象向左平移 1 个单位长度，再向上平移 1 个单位长度，若得到的函数图象与直线 y=2 有两个交点，则 a 的取值范围是
A. a<3B. a>3C. a<5D. a>5

二、填空题（共5小题；共25分）
13. 计算 6x2⋅3xy 的结果等于 ．

14. 计算 25−22 的结果等于 ．

15. 不透明的袋子中有 9 个球，其中有 2 个红球，3 个绿球，4 个蓝球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机取出一个球，则它是红球的概率是 ．

16. 将一次函数 y=3x 的图象向上平移 2 个单位的长度，平移后的直线与 x 轴的交点坐标为 ．

17. 如图，在 △ABC 中，AB=AC=5，BC=45，D 为边 AB 上一动点（不与点 B 重合），以 CD 为一边作正方形 CDEF，连接 BE，则 △BDE 的面积的最大值为 ．

三、解答题（共8小题；共104分）
18. 如图，将 △ABC 放在每个小正方形的边长为 1 的网格中，点 A，点 B，点 C 均落在格点上．
（1）边 AC 的长等于 ；
（2）以点 C 为旋转中心，把 △ABC 顺时针旋转，得到 △AʹBʹC，使点 B 的对应点 Bʹ 恰好落在边 AC 上．请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，作出旋转后的图形，并简要说明画图方法（不要求证明）： ．

19. 解不等式 x−2≤−1, ⋯⋯①4x+5≥x−7. ⋯⋯②
请结合题意填空，完成本题的解答．
（1）解不等式 ①，得 ；
（2）解不等式 ②，得 ；
（3）把不等式 ① 和 ② 的解集在数轴上表示出来：
（4）原不等式组的解集为 ．

20. 某校为了解九年级学生每周平均课外阅读时间（单位：h），随机抽查了该学校九年级部分同学，对其每周平均课外阅读时间进行统计，绘制了如下的统计图①和②，请根据相关信息，解答下列问题．
（1）该校抽查九年级学生的人数为 ，图①中的 a 值为 ；
（2）求统计的这组每周平均课外阅读时间的样本数据的平均数、众数和中位数；
（3）若该校九年级共有 400 名学生，根据统计的这组每周平均课外阅读时间的样本数据，估计该校九年级每周平均课外阅读时间为 3 h 的学生人数．

21. 已知 AB 是 ⊙O 的直径，DA 为 ⊙O 的切线，切点为 A，过 ⊙O 上的点 C 作 CD∥AB 交 AD 于点 D，连接 BC，AC．
（1）如图①，若 DC 为 ⊙O 的切线，切点为 C，求 ∠ACD 和 ∠DAC 的大小；
（2）如图②，当 CD 为 ⊙O 的割线且与 ⊙O 交于点 E 时，连接 AE，若 ∠EAD=30∘，求 ∠ACD 和 ∠DAC 的大小．

22. 2019 年，成都马拉松成为世界马拉松大满贯联盟的候选赛事，这大幅提升了成都市的国际影响力，如图，在一场马拉松比赛中，某人在大楼 A 处，测得起点拱门 CD 的顶部 C 的俯角为 35∘，底部 D 的俯角为 45∘，如果 A 处离地面的高度 AB=20 米，求起点拱门 CD 的高度．（结果精确到 1 米；参考数据：sin35∘≈0.57，cs35∘≈0.82，tan35∘≈0.70）

23. 甲、已两家商场平时以同样价格出售相同的商品，春节期间两家商场都让利酬宾，其中甲商场所有商品按 8 折出售，乙商场对一次购物中超过 200 元后的价格部分打 7 折．设原价购物金额累计为 x 元 x>0．
（1）根据题意，填写下表：（单位：元）
原价购物金额累计/元130300700⋯甲商场实际购物金额/元104560⋯乙商场实际购物金额/元130270⋯
（2）设在甲商场实际购物金额为 y甲 元，在乙商场实际购物金额为 y乙 元，分别写出 y甲，y乙 关于 x 的函数解析式：
（3）根据题意填空：
①若在同甲商场和在乙商场实际购物花费金额一样多，则在同一商场所购商品原价金额累计为 元；
②若在同一商场购物，商品原价购物金额累计为 800 元，则在甲、乙两家商场中的 商场实际购物花费金少；
③若在同一商场实际购物金额为 400 元，则在甲、乙两家商场中的 商场商品原价购物累计金额多．

24. 将矩形纸片 OABC 放在平面直角坐标系中，O 为原点，点 A 在 y 轴上，点 C 在 x 轴上，点 B 坐标是 8,6，点 P 是边 AB 上的一个动点，将 △OAP 沿 OP 折叠，使点 A 落在点 Q 处．
（1）如图 1，当点 Q 恰好落在 OB 上时，求点 P 的坐标；
（2）如图 2，当点 P 是 AB 中点时，直线 OQ 交 BC 于点 M．①求证：MB=MQ；②求点 Q 的坐标．

25. 如图，抛物线 y=ax2+bx+4a≠0 与 x 轴交于 A−3,0，C4,0 两点，与 y 轴交于点 B．
（1）求这条抛物线的顶点坐标；
（2）已知 AD=AB（点 D 在线段 AC 上），有一动点 P 从点 A 沿线段 AC 以每秒 1 个单位长度的速度移动；同时另一个点 Q 以某一速度从点 B 沿线段 BC 移动，经过 ts 的移动，线段 PQ 被 BD 垂直平分，求 t 的值；
（3）在（2）的情况下，抛物线的对称轴上是否存在一点 M，使 MQ+MC 的值最小?若存在，请求出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由．
答案
第一部分
1. B
2. D
3. A
4. D
5. A
6. D
7. A
8. C
9. B
10. B
11. C
12. C
第二部分
13. 18x3y
14. 22−410
15. 29
16. −23,0
17. 8
第三部分
18. （1） 5
（2） 如图，取格点 D，E，连接 DE，交 AC 于点 Bʹ，取格点 F，G 交 DE 于点 Aʹ．连接 AʹC，AʹBʹ．
则 △AʹBʹC 即为所求．
19. x≤1；x≥−4；
−4≤x≤1
20. （1） 50；16
（2） ∵x=1×5+2×12+3×20+4×8+5×550=2.92，
∴ 统计的这组数据的平均数是 2.92．
观察条形统计图，
∵ 在这组样本数据中，3 出现了 20 次，出现的次数最多，
∴ 这组样本数据的众数是 3．
将这组样本数据按照由小到大的顺序排列，其中处于中间位置的两个数都是 3，有 3+32=3，
∴ 这组样本数据的中位数是 3．
（3） ∵ 在 50 名学生中，每周平均课外阅读时间为 3 小时的学生人数比例 40%，
∴ 由样本数据，估计该校九年级 400 名学生中，每周平均课外阅读时间为 3 小时的人数比例约为 40%，有 400×40%=160．
根据样本数据，估计该校九年级每周平均课外阅读时间为 3 小时的学生有 160 名．
21. （1） ∵AB 是 ⊙O 的直径，DA 为 ⊙O 的切线，切点为 A，
∴DA⊥AB，即 ∠DAB=90∘．
∵DA，DC 都是过 ⊙O 外一点 D 的 ⊙O 切线，
∴DA=DC．
∵CD∥AB，
∴∠DAB+∠ADC=180∘，
∴∠ADC=90∘．
∴∠ACD=∠DAC=45∘．
（2） ∵AB 是 ⊙O 的直径，DA 为 ⊙O 的切线，切点为 A，
∴DA⊥AB，即 ∠DAB=90∘．
∵CD∥AB，
∴∠DAB+∠ADC=180∘，∠DEA=∠EAB．
∴∠ADC=90∘．
∵∠EAD=30∘，
∴∠DEA=60∘，∠EAB=60∘．
∴∠BCE=120∘．
∵AB 是 ⊙O 的直径，
∴∠BCA=90∘．
∴∠ACD=30∘．
∴∠DAC=60∘．
22. 作 CE⊥AB 于 E，
则四边形 CDBE 为矩形，
∴CE=AB=20，CD=BE，
在 Rt△ADB 中，∠ADB=45∘，
∴AB=DB=20，
在 Rt△ACE 中，tan∠ACE=AECE，
∴AE=CE⋅tan∠ACE≈20×0.70=14，
∴CD=BE=AB−AE=6，
答：起点拱门 CD 的高度约为 6 米．
23. （1） 240；550
（2） y甲=0.8xx>0．
当 0当 x>200 时，y乙=200+0.7x−200，即 y乙=0.7x+60．
（3） 600；乙；甲
24. （1） ∵ 四边形 OABC 为矩形，点 B 坐标是 8,6，
∴AO=BC=6，OC=AB=8，
在 Rt△OCB 中，OB=OC2+BC2=10，
∵△OAP 沿 OP 折叠后，点 A 落在点 Q 处，且 Q 在 OB 上，
∴OQ=OA=6，PQ=AP，∠OQP=∠OAP=90∘，
∴BQ=OB−OQ=4，
设 AP=x，则 PQ=x，BP=8−x，
在 Rt△PQB 中，
∵PQ2+QB2=PB2，
∴x2+42=8−x2，解得 x=3，
∴ 点 P 的坐标为 3,6．
（2） ①连接 PM，如图，
∵△OAP 沿 OP 折叠后，点 A 落在点 Q 处，
∴PQ=PA，∠PQM=∠OAP=90∘，
∵ 点 P 是 AB 中点，
∴PA=PB，
∴PB=PQ，
在 Rt△PQM 和 Rt△PBM 中，
PM=PM,PB=PQ,
∴Rt△PQM≌Rt△PBM，
∴BM=MQ；
②过 Q 作 QN⊥OC，垂足为 N，如图，
设 BM=MQ=m，则 OM=OQ+QM=6+m，CM=BC−BM=6−m，
在 Rt△OMC 中，
∵OC2+CM2=OM2，
∴82+6−m2=6+m2，解得 m=83，
∴MC=6−83=103，OM=6+83=263，
∵∠QON=∠MOC，∠QNO=∠MCO=90∘，
∴Rt△OQN∽Rt△OMC，
∴QNMC=ONOC=OQOM，即 QN103=ON8=6263，
∴QN=3013，ON=7213，
∴ 点 Q 的坐标是 7213,3013．
25. （1） ∵ 抛物线 y=ax2+bx+4a≠0 与 x 轴交于 A−3,0，C4,0 两点，
∴16a+4b+4=0,9a−3b+4=0, 解这个方程组，得 a=−13,b=13.
∴ 抛物线的解析式为 y=−13x2+13x+4．
∵y=−13x2+13x+4=−13x−122+4912，
∴ 这条抛物线的顶点坐标为 12,4912．
（2） ∵ 点 A，C 的坐标分别为 −3,0，4,0，
∴AO=3，OC=4．
∴AC=AO+OC=7．
∵ 抛物线 y=−13x2+13x+4 与 y 轴交于点 B，
∴ 点 B 的坐标为 0,4．
∴OB=4．
∴AB=5．
∴AD=AB=5．
∴DC=AC−AD=2．
连接 QD．
∵AD=AB，
∴∠ABD=∠ADB．
∵ 线段 PQ 被 BD 垂直平分，
∴DP=DQ．
∴∠DPQ=∠DQP．
∴∠PDB=∠QDB．
∴∠ABD=∠QDB．
∴AB∥DQ．
∴△ABC∽△DQC．
∴DQAB=CDCA．
∴DQ5=27．
∴DQ=107．
∴PD=107．
∴AP=AD−PD=257．
∴t=257．
（3） 存在．