2020年上海市金山区中考二模数学试卷（期中）

这是一份2020年上海市金山区中考二模数学试卷（期中），共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共6小题；共30分）
1. 在下列各数中，无理数是
A. 207B. π3C. 4D. 0.101001

2. 计算 a32 的结果是
A. aB. a5C. a6D. a9

3. 一次函数 y=2x−3 的图象在 y 轴的截距是
A. 2B. −2C. 3D. −3

4. 某区对创建全国文明城区的满意程度进行随机调查，结果如图所示，据此可估计全区 75 万居民对创建全国文明城区工作不满意的居民人数为
A. 1.2 万B. 1.5 万C. 7.5 万D. 66 万

5. 已知在 △ABC 中，AD 是中线，设 AB=m，AD=n，那么向量 BC 用向量 m，n 表示为
A. 2m−2nB. 2m+2nC. 2n−2mD. n−m

6. 如图，∠MON=30∘，P 是 ∠MON 的角平分线，PQ 平行 ON 交 OM 于点 Q，以 P 为圆心半径为 4 的圆 ON 相切，如果以 Q 为圆心半径为 r 的圆与 ⊙P 相交，那么 r 的取值范围是
A. 44

二、填空题（共12小题；共60分）
7. 分解因式：a2−4= ．

8. 某种冠状病毒的直径大约是 0.00011 毫米，数据 0.00011 用科学计数法表示为 ．

9. 方程 2−x=x 的解是 ．

10. 如果关于 x 的方程 x2−mx+2=0 有两个相等的实数根，那么 m 的值是 ．

11. 函数 y=13−x 的定义域是 ．

12. 从 1，2，3，4，5，6，7，8，9，10 这十个数中随机取出一个数，取出的数是 3 的倍数的概率是 ．

13. 某学校九年级共有 350 名学生，在一次九年级全体学生参加的数学测试中，随机抽取 50 名学生的测试成绩进行抽样调查，绘制频率分布直方图如图所示，如果成绩不低于 80 分算优良，那么估计九年级全体学生在这次测试中成绩优良学生人数约是 ．

14. 上海市居民用户燃气收费标准如表：
年用气量立方米每立方米价格元第一档0∼3103.00第二档310含∼520含3.30第三档520以上4.20
某居民用户用气量在第一档，那么该用户每年燃气费 y（元）与年用气量 x（立方米）的函数关系式是 ．

15. 四边形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相互垂直，AC=4，BD=6，顺次连接这个四边形中点所得的四边形的面积等于 ．

16. 我们把正多边形的一个内角与外角的比值叫做正多边形的内外比，内外比为 3 的正多边形的边数为 ．

17. 如图，在坡度为 1:2.4 的斜坡上有一棵与水平面垂直的树 BC，在斜坡底部 A 处测得树顶 C 的仰角为 30∘，AB 的长为 65 米，那么树高 BC 等于 米（保留根号）．

18. 如图，在 △ABC 中，∠C=90∘，AC=3，BC=4，把 △ABC 绕 C 点旋转得到 △AʹBʹCʹ，其中点 Aʹ 在线段 AB 上，那么 ∠AʹBʹB 的正切值等于 ．

三、解答题（共7小题；共91分）
19. 计算：12+3−1−1−1813+cs30∘．

20. 解方程组：x−y=2,x2−xy−y2=1.

21. 在平面直角坐标系 xOy 中（如图），已知函数 y=2x 的图象和反比例函数的在第一象限交于 A 点，其中点 A 的横坐标是 1．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）把直线 y=2x 平移后与 y 轴相交于点 B，且 AB=OB，求平移后直线的解析式．

22. 如图，已知在四边形 ABCD 中，∠A=∠ABC=90∘，点 E 是 CD 的中点，△ABD 与 △EBD 关于直线 BD 对称，AD=1，AB=3．
（1）求点 A 和点 E 之间的距离；
（2）连接 AC 交 BE 于点 F，求 AFAC 的值．

23. 如图，已知 C 是线段 AB 上的一点，分别以 AC，BC 为边在线段 AB 同侧作正方形 ACDE 和正方形 CBGF，点 F 在 CD 上，连接 AF，BD，BD 与 FG 交于点 M，点 N 是边 AC 上的一点，连接 EN 交 AF 与点 H．
（1）求证：AF=BD；
（2）如果 ANAC=GMGF，求证：AF⊥EN．

24. 在平面直角坐标系 xOy 中（如图），已知抛物线 y=−x2+bx+c 经过点 A3,0 和 B0,3，其顶点为 C．
（1）求抛物线的解析式和顶点 C 的坐标；
（2）我们把坐标为 n,m 的点叫作坐标为 m,n 的点的反射点，已知点 M 在这条抛物线上，它的反射点在抛物线的对称轴上，求点 M 的坐标；
（3）点 P 是抛物线在第一象限部分上的一点，如果 ∠POA=∠ACB，求点 P 的坐标．

25. 如图，在 △ABC 中，∠C=90∘，AC=6，BC=8，P 是线段 BC 上任意一点，以点 P 为圆心 PB 为半径的圆与线段 AB 相交于点 Q（点 Q 与点 A，B 不重合），∠CPQ 的角平分线与 AC 相交于点 D．
（1）如果 DQ=PB，求证：四边形 BQDP 是平行四边形；
（2）设 PB=x，△DPQ 的面积为 y，求 y 关于 x 的函数关系式，并写出 x 的取值范围；
（3）如果 △ADQ 是以 DQ 为腰的等腰三角形，求 PB 的长．
答案
第一部分
1. B【解析】A．207 是分数，是有理数，故不是无理数；
B．π3 是无理数；
C．4=2 是整数，故不是无理数；
D．0.101001 是有理数，故不是无理数．
2. C【解析】a32=a3×2=a6．
3. D【解析】∵y=2x−3，即 b=−3，
∴ 图象与 y 轴的截距为 −3．
4. B【解析】75 万 ×1−10%−88%=1.5 万．
5. C
【解析】∵AB=m，AD=n，
∴BD=AD−AB=n−m，
∵AD 是 △ABC 中线，
∴BC=2BD=2n−2m．
6. A【解析】过点 Q 作 QA⊥AN 于 A，过点 P 作 PB⊥ON 于 B，
∵PQ∥ON，
∴PQ⊥PB，
∴∠QAB=∠QPB=∠PBA=90∘，
∴ 四边形 ABPQ 是矩形，
∴QA=PB=4，
∵∠MON=30∘，
∴OQ=2QA=8，
∵OP 平分 ∠MON，PQ∥ON，
∴∠QOP=∠PON=∠QPO，
∴PQ=OQ=8．
当以 Q 为圆心半径为 r 的圆与 ⊙P 相外切时，r=8−4=4；
当以 Q 为圆心半径为 r 的圆与 ⊙P 相内切时，r=8+4=12．
∴ 以 Q 为圆心半径为 r 的圆与 ⊙P 相交，4第二部分
7. a＋2a−2
【解析】a2−4=a+2a−2．
8. 1.1×10−4
【解析】0.00011=1.1×10−4．
9. x=1
【解析】2−x=x，
2−x=x2，
x2+x−2=0，
x+2x−1=0，
解得：x1=−2，x2=1，
∵2−x≥0，
∴x≤2，
∴x=1．
10. ±22
【解析】∵ 方程 x2−mx+2=0 有两个相等的实数根，
∴Δ=m2−8=0，解得 m=±22．
11. x≠3
【解析】由题意得 3−x≠0，
∴x≠3．
12. 310
13. 161
【解析】∵ 成绩不低于 80 分的有 15+8=23（人），
∴ 在这次测试中成绩优良学生人数约是 15+850×350=161（人）．
14. y=3x0≤x<310
【解析】根据题意得第一档燃气收费标准为 3.00（元/立方米），
∴ 该用户每年燃气费 y（元）与年用气量 x（立方米）的函数关系式是 y=3x0≤x<310．
15. 6
【解析】如图：
∵E，F，G，H 分别为各边的中点，
∴EF∥AC，GH∥AC，EH∥BD，FG∥BD，EF=12AC=2，EH=12BD=3，
∴ 四边形 EFGH 是平行四边形，
∵AC⊥BD，EF∥AC，EH∥BD，
∴∠EMO=∠ENO=90∘，
∴ 四边形 EMON 是矩形，
∴∠MEN=90∘，
∴ 四边形 EFGH 是矩形，
∴ 四边形 EFGH 的面积 =2×3=6．
16. 8
【解析】设正多边形的边数为 n．
∵ 内角和为 n−2×180∘，外角和为 360∘，
∴ 一个内角度数为 n−2×180∘n，一个外角度数为 360∘n，
∴n−2×180∘n=3×360∘n，解得 n=8．
经检验 n=8 是方程的解且符合题意．
17. 203−25
【解析】延长 CB 交水平面于点 D，则 ∠D=90∘，
∵ 坡度为 1:2.4，
∴ 设 BD=x 米，则 AD=2.4x 米，
在 Rt△ABD 中，AB=65 米，AB2=AD2+BD2，
∴652=2.4x2+x2，
解得 x=25（负值舍去），
∴BD=25 米，AD=60 米，
∵∠CAD=30∘，
∴CD=AD⋅tan30∘=203 米，
∴BC=CD−BD=203−25 米．
18. 724
【解析】∵∠C=90∘，AC=3，BC=4，
∴AB=5．
由旋转得：AC=AʹC，BC=BʹC，AʹBʹ=AB=5，∠ACAʹ=∠BʹCB，
∴∠2=∠A，
∵∠A+∠1=90∘，
∴∠2+∠1=90∘，即 ∠AʹBBʹ=90∘，
过点 C 作 CE⊥AB 于 E，
∴△ACE∽△ABC，
∴AC2=AE⋅AB，
∴32=5AE，解得 AE=95，
∴AAʹ=185，
∴AʹB=AB−AAʹ=75，
∵AC=AʹC，BC=BʹC，∠ACAʹ=∠BʹCB，
∴△ACAʹ∽△BCBʹ，
∴ACBC=AAʹBBʹ，
∴34=185BBʹ，解得 BBʹ=245，
∴tan∠AʹBʹB=AʹBBBʹ=724．
第三部分
19. 12+3−1−1−1813+cs30∘=23+123+1−12+32=33.
20.
x−y=2, ⋯⋯①x2−xy−y2=1. ⋯⋯②
由 ① 得
x=2+y. ⋯⋯③
将 ③ 代入 ② 得
2+y2−2+yy−y2=1.
解得
y1=3,y2=−1.
将 y1=3，y2=−1 分别代入 ③，得
x1=5,x2=1.∴
原方程组的解是
x1=5,y1=3,x2=1,y2=−1.
21. （1） 将点 A 的横坐标 1 代入 y=2x 中，得 y=2，
∴ 点 A 的坐标为 1,2，
设反比例函数解析式为 y=kx，
将点 A 的坐标代入，得到 k=2，
∴ 反比例函数解析式为 y=2x．
（2） 过点 A 作 AC⊥y 轴于 C，则 AC=1，OC=2，
∵AB=OB，
∴ 直线 y=2x 向上平移，
设平移后的直线解析式为 y=2x+b，则 OB=b，
∵AC2+BC2=AB2，
∴12+2−b2=b2，
解得 b=54，
∴ 平移后的解析式为：y=2x+54．
22. （1） 连接 AE 交 BD 于 H．
∵△ABD 与 △EBD 关于直线 BD 对称，
∴AE⊥BD，AH=HE，
∵∠A=90∘，AD=1，AB=3，
∴BD=2，
∵S△ABD=12AB⋅AD=12BD⋅AH，
∴AB⋅AD=BD⋅AH，
∴2AH=3，
∴AE=2AH=3．
（2） 延长 AD，BE 交于点 M．
∵∠A=90∘，AD=1，BD=2，
∴sin∠ABD=ADBD=12，
∴∠ABD=30∘，
∵△ABD 与 △EBD 关于直线 BD 对称，
∴∠BED=∠A=90∘，DE=AD=1，∠DBE=∠ABD=30∘，
∵ 点 E 是 CD 的中点，
∴BE 垂直平分 CD，
∴BC=BD=2，
∴∠CBE=∠DBE=30∘，
∵∠A=∠ABC=90∘，
∴AD∥BC，
∴∠M=∠CBE=30∘，
∴AM=ABtan30∘=3，
∵AM∥BC，
∴AFCF=AMBC=32，
∴AFAC=35．
23. （1） 在正方形 ACDE 和正方形 CBGF 中，
AC=CD,CF=CB,∠ACD=∠BCD=90∘,
∴△ACF≌△DCB，
∴AF=BD．
（2） 在正方形 ACDE 和正方形 CBGF 中，
AE=AC,GF=GB,
∵ANAC=GMGF，
∴ANAE=GMGB，
∵∠EAN=∠G=90∘，
∴△EAN∽△BGM，
∵CD∥BG，
∴∠CDB=∠MBG，
∵∠DCB=∠G=90∘，
∴△MBG∽△BDC，
∵△BDC≌△FAC，
∴△EAN∽△ACF，
∴∠AEN=∠CAF，
∵∠AEN+∠ANE=90∘，
∴∠CAF+∠ANE=90∘，
∴∠AHN=90∘，
∴AF⊥EN．
24. （1） 将点 A3,0 和 B0,3 代入 y=−x2+bx+c，
得 −9+3b+c=0,c=3, 解得 b=2,c=3,
∴y=−x2+2x+3=−x−12+4，
∴ 顶点 C 的坐标为 1,4．
（2） 设点 M 的坐标为 n,m, 则其反射点的坐标为 m,n，
∵ 点 M 的反射点在抛物线的对称轴上，
∴m=1，即 Mn,1，
代入 y=−x2+2x+3 中，得 −n2+2n+3=1，
∴n=1±3，
∴ 点 M 的坐标为 1+3,1 或 1−3,1．
（3） ∵ 点 A3,0 和 B0,3，
∴OA=OB=3，
∴AB=32，
∴∠ABO=∠BAO=45∘，
过点 C 作 CM⊥y 轴与 M，
∵C1,4，
∴CM=BM=1，
∴∠CBM=∠BCM=45∘，
∴∠ABC=90∘，
∴BC=2，
设点 P 的坐标为 x,−x2+2x+3，
过点 P 作 PF⊥x 轴于 F，则 ∠OFP=∠ABC=90∘，
∵∠POA=∠ACB，
∴△POF∽△CAB，
∴OFPF=ABBC，
∴x32=−x2+2x+32，
解得 x=5+1336 或 x=5−1336（不合题意，舍去），
∴−x2+2x+3=5+13318，
∴ 点 P 的坐标为 5+1336,5+13318．
25. （1） ∵∠CPQ 的角平分线与 AC 相交于点 D，
∴∠CPD=∠QPD，
∵DQ=PB=PQ，
∴∠QDP=∠QPD，
∴∠QDP=∠CPD，
∴DQ∥BP，
∵DQ=BP，
∴ 四边形 BQDP 是平行四边形．
（2） ∵∠C=90∘，AC=6，BC=8，
∴AB=10，
过点 P 作 PH⊥AB 于 H，
∴∠BHP=∠C=90∘，
∵∠B=∠B，
∴△BHP∽△BCA，
∴BPAB=BHBC=HPAC，
∴x10=BH8=HP6，
∴BH=45x，HP=35x，
∴BQ=2BH=85x，
∵PB=PQ，
∴∠B=∠BQP，
∵∠CPQ=2∠CPD=∠B+∠BQP，
∴∠CPQ=∠B，
∴PD∥AB，
∴PCBC=CDCA，
∴8−x8=CD6，
∴CD=348−x，
∴AD=6−348−x=34x，
过点 Q 作 QE⊥AC 于 E，
∵AQ=10−85x，
∴QE=4510−85x=8−3225x，
∴y=S△ABC−S△ADQ−S△PCD−S△BPD=12×6×8−12×34x8−3225x−128−x×348−x−12×85x×35x=−38x2+3x.
∵348−x>0,8−3225x>0,x>0, 解得 0 ∴y=−38x2+3x0 （3） 设 PB=a，
过点 P 作 PH⊥AB，
由（2）可知 BQ=85a，
∴AQ=10−85a，
①当 AD=DQ 时，如图，过点 D 作 DF⊥AB 于 F，
则 AF=12AQ=5−45a，
∴AD=535−45a=253−43a，
∴CD=6−253−43a=43a−73，
∵PD∥AB，
∴PCBC=CDCA，
∴8−a8=43a−736，解得 a=4；
②当 AQ=DQ 时，过点 Q 作 QM⊥AC 于 M，
∴AM=35AQ=3510−85a=6−2425a，
∴AD=2AM=12−4825a，
∴CD=6−AD=4825a−6，
∵PD∥AB，
∴PCBC=CDCA，
∴8−a8=4825a−66，解得 a=40089；
③当 AD=AQ=10−85a 时，则 CD=6−AD=85a−4，
∵PD∥AB，
∴PCBC=CDCA，
∴8−a8=85a−46，解得 a=20047．