2019年浙江省温州市鹿城区中考数学二模试卷

这是一份2019年浙江省温州市鹿城区中考数学二模试卷，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共10小题；共50分）
1. 在 −3，−12，0，−3 四个数中，最小的数是
A. −3B. −12C. 0D. −3

2. 如图是由几个相同的正方体搭成的一个几何体，从正面看到的平面图形是
A. B.
C. D.

3. 为了解同学每天使用零花钱的情况，小明与小亮一起随机调查了班上的 15 名同学，结果如图，则关于这 15 名同学每天使用零花钱的情况，下列说法正确的是
A. 众数是 5 元B. 极差是 4 元
C. 平均数是 2.5 元D. 中位数是 3 元

4. 已知圆心角为 60∘ 的扇形面积为 24π，那么扇形的半径为
A. 12B. 6C. 4πD. 2π

5. 一个多边形的内角和是 720∘，这个多边形的边数是
A. 6B. 7C. 8D. 9

6. 在下列四个银行标志中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的有
A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 4 个

7. 在 Rt△ABC 中，∠B=90∘，AB=3，BC=4，则 csC 的值为
A. 45B. 35C. 43D. 34

8. 已知一元二次方程 x2−8x+15=0 的两个解恰好分别是等腰三角形 ABC 的底边长和腰长，则 △ABC 的周长为
A. 13B. 11 或 13C. 12 或 13D. 12

9. 在瑞安创建“国家卫生城市”的活动中，市园林公司加大了对市区主干道两旁“景观树”的力度，平均每天比原计划多植 6 棵，现在植树 50 棵所需的时间与原计划植树 45 棵所需的时间相同，设现在平均每天植树 x 棵，根据题意列方程为
A. 50x=45x−6B. 50x−6=45xC. 50x=45x+6D. 50x+6=45x

10. 如果等腰三角形的一个角是 80∘，那么它的底角是
A. 80∘ 或 50∘B. 50∘ 或 20∘C. 80∘ 或 20∘D. 50∘

二、填空题（共6小题；共30分）
11. 若 2x+y=4，x−y2=1，则 4x2−y2= ．

12. 某校八年级三班举行定点投篮比赛，每人投 5 球，所有学生投进的球数情况如表：
投进球数个012345人数人475763
则班上所有学生投进球数的众数是 ．

13. 如图，已知等腰三角形 ABC，CA=CB=6 cm，AB=8 cm，点 O 为 △ABC 内一点（点 O 不在 △ABC 边界上）．请你运用图形旋转和“两点之间线段最短”等数学知识、方法，求出 OA+OB+OC 的最小值为 ．

14. 已知关于 x，y 二元一次方程组 mx−3y=16,3x−ny=0 的解为 x=5,y=3, 则关于 a，b 的二元一次方程组 ma+b−3a−b=16,3a+b−na−b=0 的解是 ．

15. 如图，点 A 、 B 为反比例函数 y=kx 上的两点，点 B 的横坐标是点 A 横坐标的 3 倍，过点 A 作 AC∥y 轴，过点 B 作 BC∥x 轴交 AC 于点 C，连接 OC，当 AB=6 时，OC= ．

16. 点 E 为矩形 ABCD 的 BC 边上的一动点，将 △ABE 沿 AE 折叠得到 △AEF，连接 CF，DF，使 △CDF 为等腰直角三角形，记 △ADF 的面积为 S1，△CEF 的面积为 S2，则 S1S2= ．

三、解答题（共8小题；共104分）
17. 计算与化简：
（1）−4−20180+12−1−32；
（2）x+12−2x−2．

18. 转转盘和摸球是等可能概率下的经典模型．
（1）在一个不透明的口袋中，放入除颜色外其余都相同的 4 个小球，其中 1 个白球，3 个黑球搅匀后，随机同时摸出 2 个球，求摸出两个都是黑球的概率（要求釆用树状图或列表法求解）；
（2）如图，转盘的白色扇形和黑色扇形的圆心角分别为 120∘ 和 240∘．让转盘自由转动 2 次，求指针 2 次都落在黑色区域的概率（要求采用树状图或列表法求解）．

19. 如图，在 △ABC 中，AB=AC，∠BAC=90∘，在边 AC 外作 △ACD，满足 ∠ADC=90∘，连线 BD，
（1）若 ∠CAD=60∘，AC=6，求 BD2 的值；
（2）如图 2，延长 D 至 E，使得 DE=BD，过点 E 作 EF⊥BD 交 BD 延长线于 F，证明：EF=AD+CD．

20. 如图，在方格纸中，线段 AB 的两个端点都在小方格的格点上，分别按下列要求画格点四边形．
（1）在图甲中画一个以 AB 为对角线的平行四边形．
（2）在图乙中画一个以 AB 为边的矩形．

21. 如图，AB 是 ⊙O 的直径，点 C 是圆上一点，点 D 是 BC 的中点，延长 AD 至点 E，使得 AB=BE．
（1）求证：△ACF∽△EBF；
（2）若 BE=10，tanE=13，求 CF 的长．

22. 自 2017 年 3 月起，成都市中心城区居民用水实行以户为单位的三级阶梯收费办法：
第 I 级：居民每户每月用水 18 吨以内含 18 吨每吨收水费 a 元；
第 II 级：居民每户每月用水超过 18 吨但不超过 25 吨，未超过 18 吨的部分按照第 I 级标准收费，超过部分每吨收水费 b 元；
第 III 级：居民每户每月用水超过 25 吨，未超过 25 吨的部分按照第 I，II 级标准收费，超过部分每吨收水费 c 元．
设一户居民月用水 x 吨，应缴水费为 y 元，y 与 x 之间的函数关系如图所示：
（1）根据图象直接作答：a= ，b= ；
（2）求当 x≥25 时 y 与 x 之间的函数关系；
（3）把上述水费阶梯收费办法称为方案①，假设还存在方案②：居民每户月用水一律按照每吨 4 元的标准缴费，请你根据居民每户月“用水量的大小设计出对居民缴费最实惠的方案．（写出过程）

23. 如图，抛物线 y=mx2−4mx+2m+1 与 x 轴交于 Ax1,0，Bx2,0 两点，与 y 轴交于点 C，且 x2−x1=2．
（1）求抛物线的解析式；
（2）E 是抛物线上一点，∠EAB=2∠OCA，求点 E 的坐标；
（3）设抛物线的顶点为 D，动点 P 从点 B 出发，沿抛物线向上运动，连接 PD，过点 P 作 PQ⊥PD，交抛物线的对称轴于点 Q，以 QD 为对角线作矩形 PQMD，当点 P 运动至点 5,t 时，求线段 DM 扫过的图形面积．

24. 如图，AB 为 ⊙O 的直径，且 AB=m（m 为常数），点 C 为 AB 的中点，点 D 为圆上一动点，过 A 点作 ⊙O 的切线交 BD 的延长线于点 P，弦 CD 交 AB 于点 E．
（1）当 DC⊥AB 时，则 DA+DBDC= ；
（2）①当点 D 在 AB 上移动时，试探究线段 DA，DB，DC 之间的数量关系；并说明理由；
②设 CD 长为 t，求 △ADB 的面积 S 与 t 的函数关系式；
（3）当 PDAC=9220 时，求 DEOA 的值．
答案
第一部分
1. A【解析】−3，−12，0，−3 四个数中，最小的数是 −3．
故选：A．
2. D【解析】从正面看第一层是三个小正方形，第二层在中间位置一个小正方形，故D符合题意．
3. D【解析】A、每天花 3 元的人数最多，是 5 人，所以，众数是 3 元，故本选项错误；
B、极差为 5−0=5 元，故本选项错误；
C、平均数 =1150×1+1×3+3×5+4×4+5×2=115×44≈2.93 元，故本选项错误；
D、按照从小到大的顺序排列，15 个人中第 8 人的零花钱数是 3 元，所以，中位数是 3 元，故本选项正确．
4. A【解析】设扇形的半径为 r．
由题意：60⋅π⋅r2360=24π，
∴r2=144，
∵r>0，
∴r=12．
5. A
【解析】设这个多边形的边数为 n，
则 n−2×180∘=720∘，
解得 n=6，
故这个多边形为六边形．
6. B【解析】根据中心对称图形的概念，观察可知，
第一个既是轴对称图形，也是中心对称图形；
第二个是轴对称图形，不是中心对称图形；
第三个不是轴对称图形，也不是中心对称图形；
第四个是轴对称图形，也是中心对称图形．
所以既是轴对称图形又是中心对称图形的有 2 个．
7. A【解析】∵Rt△ABC 中，∠B＝90∘，AB=3，BC=4，
∴AC=AB2+BC2=32+42=5，
∴csC=BCAC=45，
故选：A．
8. B【解析】解方程 x2−8x+15=0 可得 x=3 或 x=5，
当 △ABC 的底为 3 时，则该三角形的三边长为 3，5，5，其周长为 13，
当 △ABC 的底为 5 时，则该三角形的三边长为 5，3，3，其周长为 11，
综上可知 △ABC 的周长为 11 或 13．
9. A【解析】设现在平均每天植树 x 棵，则原计划每天植树 x−6 棵，
依题意，得，50x=45x−6．
10. A
【解析】根据题意，一个等腰三角形的一个角等于 80∘，
①当这个角是底角时，即该等腰三角形的底角的度数是 80∘，
②当这个角 80∘ 是顶角，
设等腰三角形的底角是 x∘，
则 2x+80∘=180∘，
解可得，x=50∘，
即该等腰三角形的底角的度数是 50∘．
第二部分
11. 8
【解析】∵ x−y2=1，
∴ 2x−y=2，
则 4x2−y2=2x+y2x−y=4×2=8．
12. 1 和 3
【解析】班上所有学生投进球数的众数是 1 和 3．
13. 43+25
【解析】如图：以 AB 为边作等边三角形 △ABD，以 OB 为边作等边 △OBE．连接 CD 交 AB 于 M 点．
∵△ABD 和 △OBE 是等边三角形，
∴OE=OB=BE，∠ABD=∠OBE=60∘，AB=BD，
∴∠ABO=∠DBE 且 AB=BD，BO=BE，
∴△ABO≌△DBE，
∴AO=DE，
∴AO+BO+CO=DE+OE+CO，
∴ 当 D，E，O，C 四点共线时，AO+BO+CO 值最小，
∵AC=BC，AD=BD，
∴CD 是 AB 的垂直平分线，
∴AB⊥CD，AM=MB=4，
∵CA=CB=6，AD=BD=8，
∴CM=25，MD=43，
∴CD=43+25，
∴AO+BO+CO 最小值为 43+25．
14. a=4,b=1
【解析】∵ 关于 x，y 二元一次方程组 mx−3y=16,3x−ny=0 的解为 x=5,y=3,
∴ 关于 a，b 的二元一次方程组 ma+b−3a−b=16,3a+b−na−b=0 的解是 a+b=5,a−b=3,，即 a=4,b=1.
15. 3
【解析】延长 AC 交 x 轴于点 D，
则 AC⊥x 轴，且 ∠ACB＝90∘，
∵AC∥y 轴，BC∥x 轴，点 B 的横坐标是点 A 横坐标的 3 倍，
∴ 设 Aa,ka，B3a,k3a，点 C 的坐标为 a,k3a，
∴AC=AD−CD=ka−k3a=2k3a，BC=2a，
∴ 在 Rt△ACB 中，AB2=36=AC2+BC2=2a2+2k3a2=4a2+4k29a2，
∴a2+k29a2=9，
∴OC2=OD2+CD2=a2+k29a2=9，
∴OC＝3．
故答案为：3．
16. 3
【解析】过点 F 作 FM⊥AD 于 M 点，延长 MF 交 BC 于 N 点，则 MN⊥BC．
∵ 等腰直角 △DFC，
∴∠FDC=45∘，MF=NF，MN=AB．
∴∠MDF=45∘，
∴DM=MF．
设 MF=a，则 MN=2a=AB．
根据折叠性质，可知 AF=AB=2a．
在 Rt△AFM 中，AF=2MF，
∴∠MAF=30∘．
∴AM=3a．
根据折叠的性质可知 ∠BAE=∠EAF=12×60∘=30∘．
在 Rt△ABE 中，求得 BE=233a，
∴EC=BC−BE=3a+a−233a=33a+a．
∴S1S2=ADEC=3+133+1=3．
第三部分
17. （1） 原式=4−1+2−3=2.
（2） 原式=x2+2x+1−2x+4=x2+5.
18. （1） 根据题意画图如下：
共有 12 种等可能的结果，摸出两个都是黑球的情况数有 6 种，
所以摸出两个都是黑球的概率是 612=12．
（2） 记白色区域为 A，黑色区域为 B，将 B 区域平分成两部分，
画树状图得：
∵ 共有 9 种等可能的结果，两次指针都落在黑色区域的有 4 种情况，
∴ 指针 2 次都落在黑色区域的概率为 49．
19. （1） 如图，过点 B 作 BG⊥AD，交 DA 的延长线于点 G，
∵∠BAC=90∘，∠DAC=60∘，
∴∠BAG=30∘，且 BG⊥AG．
∴GB=12AB=3，AG=3BG=33．
∵∠ADC=90∘，∠DAC=60∘，AC=6，
∴AD=12AC=3，
∴GD=AG+AD=33+3．
∴BD2=GB2+GD2=9+9+27+183=45+183．
（2） 如图，在 EF 上截取 EH=AD，
∵AD⊥CE，EF⊥DF，
∴∠ADB+∠EDF=90∘，∠E+∠EDF=90∘，
∴∠ADB=∠E，且 BD=ED，AD=EH，
∴△ADB≌△HEDSAS．
∴DH=AB，∠BAD=∠EHD．
∴DH=AC，
∵∠BAD=∠BAC+∠CAD=90∘+∠CAD，∠EHD=∠F+∠HDF=90∘+∠HDF，
∴∠HDF=∠CAD，且 AC=DH，∠ADC=∠DFH=90∘．
∴△ADC≌△DFHASA．
∴CD=HF．
∴EF=EH+HF=AD+CD．
20. （1） 如图甲所示：四边形 ACBD 是平行四边形；（答案不唯一）
（2） 如图乙所示：四边形 ABCD 是矩形．（答案不唯一）
21. （1） 因为点 D 是 BC 的中点，
所以 ∠CAD=∠BAE．
因为 AB=BE，
所以 ∠BAE=∠E，
所以 ∠CAF=∠E．
又因为 ∠AFC=∠EFB，
所以 △ACF∽△EBF；
（2） 因为 AB 为 ⊙O 的直径，
所以 ∠ACB=90∘．
因为 △ACF∽△EBF，
所以 ∠EBF=∠ACF=90∘．
因为 BE=10，tanE=13，
所以 BF=BE⋅tanE=103．
因为 ∠CAF=∠E，
所以 AC=3CF．
在 Rt△ABC 中，
∠ACB=90∘，AB=BE=10，AC=3CF，BC=CF+103，
所以 AB2=AC2+BC2，
即 102=9CF2+CF+1032，
解得：CF=83 或 CF=−103（舍去）．
所以 CF 的长为 83．
22. （1） 3；4
【解析】a=54÷18=3，b=82−54÷25−18=4．
（2） 设当 x≥25 时，y 与 x 之间的函数关系式为 y=mx+nm≠0，将 25,82，35,142 代入 y=mx+n，
得：25m+n=82,35m+n=142,
解得：m=6,n=−68.
∴ 当 x≥25 时，y 与 x 之间的函数关系式为 y=6x−68．
（3） 根据题意得：选择缴费方案②需交水费 y（元）与用水数量 x（吨）之间的函数关系式为 y=4x．
当 6x−68<4x 时，x<34；
当 6x−68=4x 时，x=34；
当 6x−68>4x 时，x>34．
∴ 当 x<34 时，选择缴费方案①更实惠；当 x=34 时，选择两种缴费方案费用相同；当 x>34 时，选择缴费方案②更实惠．
23. （1） ∵ 抛物线与 x 轴有两个交点，
∴ 一元二次方程 mx2−4mx+3=0 有两个不相等的实数根．
∴x1+x2=−−4mm=4，
抛物线对称轴直线 x=x1+x22=2，
又 ∵x1−x2=2，
∴x1=1，x2=3，则点 A1,0，B3,0，
把点 A1,0 代入 y=mx2−4mx+2m+1 中得，
m−4m+2m+1=0，解得，m=1，
∴ 抛物线解析式为 y=x2−4x+3．
（2） 如图 1，作 MN 垂直且平分线段 AC，交 y 轴与点 F．连接 FA，则 ∠OFA=2∠OCA．
由 MN 垂直平分 AC 得 FC=FA，
设 F0,n，则 OF=n，OA=1，
在 Rt△OAF 中，由勾股定理得，AF=OA2+OF2=1+n2，
∴FC=1+n2，
∴OC=OF+FC=n+1+n2=3，
∴1+n2=3−n，
等式左右两边同时平方得，1+n2=3−n2，
解得，n=43，
∴F0,43，
∴tan∠OFA=OAOF=143=34．
①当抛物线上的点 E 在 x 轴下方时，作 EG⊥x 轴于点 G，并使得 ∠EAB=∠OFA．
设点 Em,m2−4m+3，其中 1则 tan∠EAB=EGAG=−m2+4m−3m−1=34，
整理得，4m2−13m+9=0，解得，m1=94，m2=1（舍去），
此时 E 点坐标为 94,−1516；
②当抛物线上的点 Eʹ 在 x 轴上方时，作 EʹH⊥x 轴于点 H，并使得 ∠EʹAB=∠OFA．
设点 Eʹm,m2−4m+3，其中 m>3，
则 tan∠EʹAB=EʹHAH=m2−4m+3m−1=34，
整理得，4m2−19m+15=0，解得，m3=154，m4=1（舍去）．
此时 Eʹ 点坐标为 154,3316．
综上所述，满足题意的点 E 的坐标可以为 94,−1516 或 154,3316．
（3） 如图 2，由抛物线解析式得顶点坐标 D2,−1．
∵ 由题意，当 P 在抛物线上由 B3,0 由下向上运动到点 5,t 时，其横坐标向右移动的距离恰好等于点 M 由 A1,0 在 x 上由右向左移动到点 K 的距离，
∴ 线段 DM 扫过的图形面积即 S△KMD．
当 P 运动到 5,t 时，过 P 作 PH⊥x 轴于点 H5,0，
∴HB=5−3=2，
∴MK=HB=2．
∴S△MKD=12⋅2⋅1=1，即线段 DM 扫过的图形面积为 1．
24. （1） 2
【解析】如图 1，
∵AB 为 ⊙O 的直径，
∴∠ADB=90∘，
∵C 为 AB 的中点，
∴AC=BC，
∴∠ADC=∠BDC=45∘，
∵DC⊥AB，
∴∠DEA=∠DEB=90∘，
∴∠DAE=∠DBE=45∘，
∴AE=BE，
∴ 点 E 与点 O 重合，
∴DC 为 ⊙O 的直径，
∴DC=AB，
在等腰直角三角形 DAB 中，DA=DB=22AB，
∴DA+DB=2AB=2CD，
∴DA+DBDC=2．
（2） ①如图 2，过点 A 作 AM⊥DC 于 M，过点 B 作 BN⊥CD 于 N，连接 AC，BC，
由（1）知 AC=BC，
∴AC=BC，
∵AB 为 ⊙O 的直径，
∴∠ACB=∠BNC=∠CMA=90∘，
∴∠NBC+∠BCN=90∘，∠BCN+∠MCA=90∘，
∴∠NBC=∠MCA，
在 △NBC 和 △MCA 中，
∠BNC=∠CMA,∠NBC=∠MCA,BC=CA,
∴△NBC≌△MCAAAS，
∴CN=AM，
∵AC=BC，
∴∠BDC=∠CDA=∠DAM=45∘，
∴AM=22DA，DN=22DB，
∴DC=DN+NC=22DB+22DA=22DB+DA，即 DA+DB=2DC；
②在 Rt△DAB 中，DA2+DB2=AB2=m2，
∵DA+DB2=DA2+DB2+2DA⋅DB，且由①知 DA+DB=2DC=2t，
∴2t2=m2+2DA⋅DB，
∴DA⋅DB=t2−12m2，
∴S△ADB=12DA⋅DB=12t2−14m2，
∴△ADB 的面积 S 与 t 的函数关系式 S=12t2−14m2．
（3） 如图 3，过点 E 作 EH⊥AD 于 H，EG⊥DB 于 G，则 HE=GE，四边形 DHEG 为正方形，
由（1）知 AC=BC，
∴AC=BC，
∴△ACB 为等腰直角三角形，
∴AB=2AC，
∵PDAC=9220，
设 PD=92，则 AC=20，AB=202，
∵∠DBA=∠DBA，∠PAB=∠ADB，
∴△ABD∽△PBA，
∴ABPB=BDAB=ADPA，
∴202DB+92=BD202，
∴DB=162，
∴AD=AB2−DB2=122，
设 NE=ME=x，
∵S△ABD=12AD⋅BD=12AD⋅NE+12BD⋅ME，
∴12×122×162=12×122⋅x+12×162⋅x，
∴x=4827，
∴DE=2HE=2x=967，
又 ∵AO=12AB=102，
∴DEOA=967×1102=24235．