2020年上海市浦东新区中考一模数学试卷（期末）

这是一份2020年上海市浦东新区中考一模数学试卷（期末），共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共6小题；共30分）
1. 在 Rt△ABC 中，∠C=90∘，如果 BC=5，AB=13，那么 sinA 的值为
A. 513B. 512C. 1213D. 125

2. 下列函数中，是二次函数的是
A. y=2x−1B. y=2x2
C. y=x2+1D. y=x−12−x2

3. 抛物线 y=x2−4x+5 的顶点坐标是
A. −2,1B. 2,1C. −2,−1D. 2,−1

4. 如图，点 D，E 分别在 △ABC 的边 AB，AC 上，下列各比例式不一定能推得 DE∥BC 的是
A. ADBD=AECEB. ADAB=DEBCC. ABBD=ACCED. ADAB=AEAC

5. 如图，传送带和地面所成斜坡的坡度为 1:3，它把物体从地面点 A 处送到离地面 3 米高的 B 处，则物体从 A 到 B 所经过的路程为
A. 310 米B. 210 米C. 10 米D. 9 米

6. 下列说法正确的是
A. a+−a=0
B. 如果 a 和 b 都是单位向量，那么 a=b
C. 如果 a=b，那么 a=b
D. a=−12b（b 为非零向量），那么 a∥b

二、填空题（共12小题；共60分）
7. 已知 x=3y，那么 x+yx+2y= ．

8. 已知线段 AB=2 cm，点 P 是线段 AB 的黄金分割点，且 AP>PB，则线段 AP= cm．

9. 如果两个相似三角形对应边之比是 2:3，那么它们的对应中线之比是 ．

10. 如果二次函数 y=x2−2x+k−3 的图象经过原点，那么 k 的值是 ．

11. 将抛物线 y=−3x2 向下平移 4 个单位，那么平移后所得新抛物线的表达式为 ．

12. 如果抛物线经过点 A−1,0 和点 B5,0，那么这条抛物线的对称轴是直线 ．

13. 二次函数 y=−2x+12 的图象在对称轴左侧的部分是 （填“上升”或“下降”）．

14. 如图，在 △ABC 中，AE 是 BC 边上的中线，点 G 是 △ABC 的重心，过点 G 作 GF∥AB 交 BC 于点 F，那么 EFEB= ．

15. 如图，已知 AB∥CD∥EF，AD=6，DF=3，BC=7，那么线段 CE 的长度等于 ．

16. 如图，将 △ABC 沿射线 BC 方向平移得到 △DEF，边 DE 与 AC 相交于点 G，如果 BC=6 cm，△ABC 的面积等于 9 cm2，△GEC 的面积等于 4 cm2，那么 CF= cm．

17. 用“描点法”画二次函数 y=ax2+bx+c 的图象时，列出了如下的表格：
x⋯01234⋯y=ax2+bx+c⋯−3010−3⋯
那么当 x=5 时，该二次函数 y 的值为 ．

18. 在 Rt△ABC 中，∠C=90∘，AC=2，BC=4，点 D，E 分别是边 BC，AB 的中点，将 △BDE 绕着点 B 旋转，点 D，E 旋转后的对应点分别为点 Dʹ，Eʹ，当直线 DʹEʹ 经过点 A 时，线段 CDʹ 的长为 ．

三、解答题（共7小题；共91分）
19. 计算：tan45∘−cs60∘2sin30∘+ct260∘．

20. 如图，在平行四边形 ABCD 中，点 E 在边 AD 上，且 AE=2ED，连接 BE 并延长交边 CD 的延长线于点 F，设 BA=a，BC=b．
（1）用 a，b 表示 BE，DF；
（2）先化简，再求作：−32a+b+2a−b（不要求写作法，但要写明结论）．

21. 如图，在 △ABC 中，点 D，E 分别在边 AB，AC 上，且 AD=3，AC=6，AE=4，AB=8．
（1）如果 BC=7，求线段 DE 的长；
（2）设 △DEC 的面积为 a，求 △BDC 的面积（用 a 的代数式表示）．

22. 为了测量大楼顶上（居中）避雷针 BC 的长度，在地面上点 A 处测得避雷针底部 B 和顶部 C 的仰角分别为 55∘58ʹ 和 57∘，已知点 A 与楼底中间部位 D 的距离约为 80 米，求避雷针 BC 的长度．（参考数据：sin55∘58ʹ≈0.83，cs55∘58ʹ≈0.56，tan55∘58ʹ≈1.48，sin57∘≈0.84，tan57∘≈1.54）

23. 如图，已知 △ABC 和 △ADE，点 D 在 BC 边上，DA=DC，∠ADE=∠B，边 DE 与 AC 相交于点 F．
（1）求证：AB⋅AD=DF⋅BC；
（2）如果 AE∥BC，求证：BDDC=DFFE．

24. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y=−x2+bx+c 与 x 轴的两个交点分别为 A−1,0，B3,0，与 y 轴相交于点 C．
（1）求抛物线的表达式；
（2）连接 AC，BC，求 ∠ACB 的正切值；
（3）点 P 在抛物线上，且 ∠PAB=∠ACB，求点 P 的坐标．

25. 在 Rt△ABC 中，∠A=90∘，AB=4，AC=3，D 为 AB 边上一动点（点 D 与点 A，B 不重合），连接 CD，过点 D 作 DE⊥DC 交边 BC 于点 E．
（1）如图，当 ED=EB 时，求 AD 的长；
（2）设 AD=x，BE=y，求 y 关于 x 的函数解析式并写出函数定义域；
（3）把 △BCD 沿直线 CD 翻折得 △CDBʹ，连接 ABʹ，当 △CABʹ 是等腰三角形时，直接写出 AD 的长．
答案
第一部分
1. A【解析】如图：
在 Rt△ABC 中，∠C=90∘，BC=5，AB=13，
sinA=BCAB=513．
2. C【解析】A．y=2x−1 是一次函数，故A选项错误；
B．y=2x2 右边不是整式，不是二次函数，故B选项错误；
C．y=x2+1 右边是整式，自变量最高次数是 2，是二次函数，故C选项正确；
D．y=x−12−x2 整理为 y=−2x+1 是一次函数，故D选项错误．
3. B【解析】∵y=x2−4x+5=x−22+1，
∴ 顶点坐标为 2,1．
4. B【解析】A、 ∵ADBD=AECE，
∴DE∥BC，不符合题意；
B、由 ADAB=DEBC，不一定能推出 DE∥BC，符合题意；
C、 ∵ABBD=ACCD，
∴DE∥BC，不符合题意；
D、 ∵ADAB=AEAC，
∴DE∥BC，不符合题意．
5. A
【解析】设 BC⊥AC，垂足为 C，
∵i=BC:AC=1:3，
∴3:AC=1:3，
∴AC=9，
在 Rt△ACB 中，由勾股定理得 AB=AC2+BC2=92+32=310．
∴AB=310 米．
6. D【解析】A．a+−a 等于 0 向量，而不是 0，故A选项错误；
B．如果 a 和 b 都是单位向量，说明两个向量长度相等，但是方向不一定相同，故B选项错误；
C．如果 a=b，说明两个向量长度相等，但是方向不一定相同，故C选项错误；
D．如果 a=−12b（b 为非零向量），可得到两个向量是共线向量，可得到 a∥b，故D选项正确．
第二部分
7. 45
【解析】∵x=3y，
∴x+yx+2y=3y+y3y+2y=4y5y=45．
8. 5−1
【解析】由于 P 为线段 AB=2 cm 的黄金分割点，且 AP 是较长线段，则 AP=2×5−12=5−1．
9. 2:3
【解析】∵ 两三角形相似，且对应边比为 2:3，
∴ 相似比 k=2:3．
∴ 它们对应中线的比为 2:3．
10. 3
【解析】∵ 二次函数 y=x2−2x+k−3 的图象经过原点，
∴0=k−3，
∴k=3．
11. y=−3x2−4
【解析】∵y=−3x2，
∴ 原抛物线的顶点坐标为 0,0，
∵ 向下平移 4 个单位，
∴ 平移后的抛物线的顶点坐标为 0,4，
∴ 平移后的抛物线的表达式为：y=−3x2−4．
12. x=2
【解析】∵ 一条抛物线经过点 −1,0，5,0，
∴ 这两点关于对称轴对称，
∴x=−1+52=2，即 x=2．
13. 上升
【解析】∵ 二次函数 y=−2x+12 中，a=−2<0，
∴ 抛物线开口向下，
∴ 对称轴左侧的函数增减性为 y 随 x 的增大而增大，
∴ 函数图象在对称轴左侧部分是上升．
14. 13
【解析】∵ 点 G 是 △ABC 的重心，
∴GE:AG=1:2，
∴GE:AE=1:3，
∴GF∥AB，
△EGF∽△EAB，
∴EFEB=GEAE=13．
15. 72
【解析】∵AB∥CD∥EF，
∴ADDF=BCCE，
∵AD=6，DF=3，BC=7，
∴63=7CE，
∴CE=72．
16. 2
【解析】∵AB∥DE，
∴△ABC∽△GEC，
∴S△GECS△ABC=ECBC2=49，
∴EC6=23．
∴EC=4 cm，
∵EF=BC=6 cm，
∴CF=EF−EC=6−4=2 cm．
17. −8
【解析】将点 0,−3，1,0，2,1 代入 y=ax2+bx+c 中得，c=−3,a+b+c=0,4a+2b+c=1.
解得，a=−1,b=4,c=−3.
∴ 抛物线表达式为 y=−x2+4x−3，
∴ 当 x=5 时，y=−8．
18. 25 或 655
【解析】如图 1，当点 A 在 ED 的延长线上时，
∵∠C=90∘，AC=2，BC=4，
∴AB=AC2+BC2=4+16=25，
∵ 点 D，E 分别是边 BC，AB 的中点，
∴DE∥AC，DE=12AC=1，BD=12BC=2，
∴∠EDB=∠ACB=90∘．
∵ 将 △BDE 绕着点 B 旋转，
∴∠BDʹEʹ=∠BDE=90∘，DʹEʹ=DE=1，BD=BD=2，
∵ 在 Rt△ABC 和 Rt△BADʹ 中，
DʹB=AC=2,AB=BA, 即 AC=DʹB,AB=BA,
∵Rt△ABC≌Rt△BADʹHL，
∴ADʹ=BC，且 AC=DʹB，
∴ 四边形 ACBDʹ 是平行四边形，且 ∠ACB=90∘，
∴ 四边形 ACBDʹ 是矩形，
∴CD=AB=25；
如图 2，当点 A 在线段 DʹEʹ 的延长线上时，
∵∠ADʹB=90∘，
∴ADʹ=AB2−DʹB2=20−4=4，
∴AE=ADʹ−DEʹ=3，
∵ 将 △BDE 绕着点 B 旋转，
∴∠ABC=∠EBD，
∵BEʹAB=12=BDʹBC，
∴△ABE∽△BCDʹ．
∴AEʹCDʹ=ABBC，
∴3CDʹ=254，CDʹ=655．
第三部分
19. tan45∘−cs60∘2sin30∘+ct260∘=1−122×12+332=12+13=56.
20. （1） ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD，AD=BC，AD∥BC，
∴ABDF=AEED，
∵AE=2ED，
∴DF=12AB，AE=23AD，
∵BA=a，BC=b，
∴DF=12a，AE=23b，
∴BE=AB+AE=a+23b．
（2） −32a+b+2a−b=−32a+b+2a−2b=12a−b.
如图，平行四边形 ABCD，取 AB 的中点，
则 BM=12a，CB=−b，
∴CM=CB+BM=−b+12a=12a−b，
∴CM=12a−b．
21. （1） ∵AD=3，AC=6，AE=4，AB=8，
∴ADAC=AEAB=12，
∵∠A=∠A，
∴△ADE∽ACB，
∴DEBC=12，
∵BC=7，
∴DE=72．
（2） ∵AEEC=46−4=2，
∴S△ADES△EDC=AEEC=2．
∵S△DEC=a，
∴S△ADE=2a．
∵△ADE∽ACB，
∴S△ADES△ACB=122．
∴2aS△BDC+a+2a=14．
∴S△BDE=5a．
22. 在 Rt△ABD 中，
∵tan∠BAD=BDAD，
∴1.48=BD80，
∵AD=80 米，
∴BD=118.4（米），
Rt△CAD 中，
∵tan∠CAD=CDAD，
∴1.54=CDAD，
∴CD=123.2（米），
∴BC=CD−BD=4.8（米）．
答：避雷针 BC 的长度为 4.8 米．
23. （1） ∵AD=DC，
∴∠DAC=∠C，
∵∠ADE=∠B，
∴△ABC∽△FDA，
∴ADBC=DFAB，
∴AB⋅AD=DF⋅BC．
（2） ∵AE∥BC，
∴∠E=∠EDC，∠EAC=∠C，
∴△AEF∽△CDF，
∴DFFE=DCAE，
∴DFFE=ADAE，
∵∠ADC=∠ADE+∠EDC=∠B+∠BAD，∠ADE=∠B，
∴∠BAD=∠EDC，
∴∠BAD=∠E，
∴△ABD∽△EDA，
∴BDAD=ADAE，
∴BDCD=ADAE，
∴BDDC=DFFE．
24. （1） 将 A−1,0，B3,0 代入 y=−x2+bx+c 中得，
−1−b+c=0,−9+3b+c=0, 解得，b=2,c=3,
∴ 抛物线的表达式为 y=−x2+2x+3．
（2） 如图，过点 A 作 AD⊥BC 垂足为 D．
∵A−1,0，B3,0，C0,3，
∴AB=4，OC=3，BC=32，AC=10．
∵AB⋅OC2=BC⋅AD2，
∴4×32=32⋅AD2．
∴AD=22．
由勾股定理得 CD=2．
∴tan∠ACB=ADCD=222=2，即 tan∠ACB=2．
（3） 如图，设 P 在抛物线上，Px,−x2+2x+3，过 P 作 PE⊥x 轴，垂足为 E．
∵∠PAB=∠ACB，
∴tan∠PAB=12，
∴−x2+2x+3x+1=2 或 −−x2+2x+3x+1=2，
解得 x=−1（舍去）或 x=1，x=−1（舍去）或 x=5．
当 x=−1 时，y=4；当 x=5 时，y=−12．
∴P 点坐标为 1,4 或 5,−12．
25. （1） ∵ED=EB，
∴∠EDB=∠B．
∵CD⊥DE，
∴∠CDE=∠A=90∘．
∵∠ACD+∠ADC=90∘，∠ADC+∠EDH=90∘，
∴∠ACD=∠EDB=∠B．
∴tan∠ACD=tan∠B．
∴ADAC=ACAB．
∴AD3=34．
∴AD=94．
（2） 如图 1 中，作 EH⊥BD 于 H．
在 Rt△ACB 中，
∵∠A=90∘，AC=3，AB=4，
∴BC=AC2+BC2=5．
∴sin∠B=35，cs∠B=45．
∵BE=y，
∴EH=BE⋅sin∠B=35y，BH=BE⋅cs∠B=45y．
∴DH=AB−AD−BH=4−x−45y．
∵∠A=∠DHE=90∘，∠ACD=∠EDH，
∴△ACD∽△HDE，
∴ACGH=ADEH．
∴34−x−45y=x35y．
∴y=20x−5x29+4x0 （3） 7243+151143 或 7243−151143．
【解析】①如图 3−1 中，设 CBʹ 交 AB 于 K，作 AE⊥CK 于 E，DM⊥CBʹ 于 M，DN⊥BC 于 N．
∵AC=AB=3，AE⊥CBʹ，
∴CE=EBʹ=12CBʹ=52．
∴AE=AC2−CE2=32−522=112．
∵∠ACE=∠KCA，∠AEC=∠KAC=90∘，
∴△ACE∽△KCA．
∴ACKC=AEKA=CECA，即 3KC=112KA=523．
∴AK=3115，CK=185．
∴BK=AB−AK=4−3115．
∵∠DCK=∠DCB，DM⊥CM，DN⊥CB，
∴DM=DN．
∴S△CDKS△CDB=DKDB=12CK⋅DM12BC⋅DN=CKCB=1855=1825．
∴BD=2543BK=10043−151143．
∴AD=AB−BD=4−10043−151143=7243+151143．
②如图 3−2 中，当 CBʹ 交 BA 的延长线于 K 时，
同法可得 BD=2543BK=10043+151143，
∴AD=AB−BD=7243−151143．