2020年上海市青浦区中考一模数学试卷（期末）

这是一份2020年上海市青浦区中考一模数学试卷（期末），共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共6小题；共30分）
1. 如果两个相似三角形对应边之比是 1:2，那么它们的对应高之比是
A. 1:2B. 1:4C. 1:6D. 1:8

2. 如图，DE∥AB，如果 CE:AE=1:2，DE=3，那么 AB 等于
A. 6B. 9C. 12D. 13

3. 在 Rt△ABC 中，∠C=90∘，AC=1，AB=3，则下列结论正确的是
A. sinB=24B. csB=24C. tanB=24D. ctB=24

4. 已知非零向量 a，b，且有 a=−2b，下列说法中，不正确的是
A. a=2bB. a∥b
C. a 与 b 方向相反D. a+2b=0

5. 如图，在 △ABC 中，点 D 在边 BC 上，点 G 在线段 AD 上，GE∥BD，且交 AB 于点 E，GF∥AC，且交 CD 于点 F，则下列结论一定正确的是
A. AEAB=CFCDB. AEEB=DFFCC. EGBD=FGACD. AEAG=ADAB

6. 抛物线 y=ax2+bx+ca≠0 上部分点的横坐标 x，纵坐标 y 的对应值如表，那么下列结论中正确的是
x⋯−2−1012⋯y⋯04664⋯
A. a>0B. b<0C. c<0D. abc<0

二、填空题（共12小题；共60分）
7. 已知 ab=25，那么 ab−a 的值为 ．

8. 已知线段 AB=2，P 是 AB 的黄金分割点，且 AP>BP，那么 AP= ．

9. 已知向量 a 与单位向量 e 方向相反，且 a=3，那么 a= （用向量 e 的式子表示）．

10. 如果抛物线 y=ax2−1 的顶点是它的最低点，那么 a 的取值范围是 ．

11. 如果点 A−3,y1 和点 B−2,y2 是抛物线 y=x2+a 上的两点，那么 y1 y2．（填“>”、“=”、“<”）．

12. 某公司 10 月份的产值是 100 万元，如果该公司第四季度每个月产值的增长率相同，都为 xx>0，12 月份的产值为 y 万元，那么 y 关于 x 的函数解析式是 ．

13. 在 △ABC 中，∠C=90∘，如果 tanB=2，AB=4，那么 BC= ．

14. 小明沿着坡度 i=1:2.5 的斜坡前行了 29 米，那么他上升的高度是 米．

15. 已知点 G 是 △ABC 的重心，AB=AC=5，BC=8，那么 AG= ．

16. 如图，在菱形 ABCD 中，O，E 分别是 AC，AD 的中点，连接 OE．如果 AB=3，AC=4，那么 ct∠AOE= ．

17. 在方格纸中，每个小格的顶点叫做格点，以格点连线为边的三角形叫做格点三角形．如图，请在边长为 1 个单位的 2×3 的方格纸中，找出一个格点三角形 DEF．如果 △DEF 与 △ABC 相似（相似比不为 1），那么 △DEF 的面积为 ．

18. 已知，在矩形纸片 ABCD 中，AB=5 cm，点 E，F 分别是边 AB，CD 的中点，折叠矩形纸片 ABCD，折痕 BM 交 AD 边于点 M，在折叠的过程中，如果点 A 恰好落在线段 EF 上，那么边 AD 的长至少是 cm．

三、解答题（共7小题；共91分）
19. 计算：3tan30∘−1cs60∘+8cs45∘+1−tan60∘2．

20. 如图，在平行四边形 ABCD 中，E 为 DC 上一点，AE 与 BD 交于点 F，DE:EC=2:3．
（1）求 BF∶DF 的值；
（2）如果 AD=a，AB=b，试用 a，b 表示向量 AF．

21. 如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90∘，AC=2，BC=3．点 D 为 AC 的中点，连接 BD，过点 C 作 CG⊥BD，交 AC 的垂线 AG 于点 G，GC 分别交 BA，BD 于点 F，E．
（1）求 GA 的长；
（2）求 △AFC 的面积．

22. 水城门位于淀浦河和漕港河三叉口，是环城水系公园淀浦河梦蝶岛区域重要的标志性景观．在课外实践活动中，某校九年级数学兴趣小组决定测量该水城门的高．他们的操作方法如下：如图，先在 D 处测得点 A 的仰角为 20∘，再往水城门的方向前进 13 米至 C 处，测得点 A 的仰角为 31∘（点 D，C，B 在一直线上），求该水城门 AB 的高（精确到 0.1 米）．
（参考数据：sin20∘≈0.34，cs20∘≈0.94，tan20∘≈0.36，sin31∘≈0.52，cs31∘≈0.86，tan31∘≈0.60）

23. 已知：如图，在 △ABC 中，点 D 在边 BC 上，AE∥BC，BE 与 AD，AC 分别相交于点 F，G，AF2=FG⋅FE．
（1）求证：△CAD∽△CBG；
（2）连接 DG，求证：DG⋅AE=AB⋅AG．

24. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y=x2+bx+c 与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴交于点 C，对称轴为直线 x=2，点 A 的坐标为 1,0．
（1）求该抛物线的表达式及顶点坐标；
（2）点 P 为抛物线上一点（不与点 A 重合），连接 PC．当 ∠PCB=∠ACB 时，求点 P 的坐标；
（3）在（2）的条件下，将抛物线沿平行于 y 轴的方向向下平移，平移后的抛物线的顶点为点 D，点 P 的对应点为点 Q，当 OD⊥DQ 时，求抛物线平移的距离．

25. 如图，在梯形 ABCD 中，AD∥BC，BC=BD=10，CD=4，AD=6．点 P 是线段 BD 上的动点，点 E，Q 分别是线段 DA，BD 上的点，且 DE=DQ=BP，连接 EP，EQ．
（1）求证：EQ∥DC；
（2）当 BP>BQ 时，如果 △EPQ 是以 EQ 为腰的等腰三角形，求线段 BP 的长；
（3）当 BP=m0答案
第一部分
1. A【解析】∵ 两个相似三角形对应边之比是 1:2，
又 ∵ 相似三角形的对应高的比、中线、角平分线的比都等于相似比，
∴ 它们的对应高之比是：1:2．
2. B【解析】∵CE:AE=1:2，
∴CE:CA=1:3，
∵DE∥AB，
∴DEAB=CECA=13，
∵DE=3，
∴AB=3DE=9．
3. C【解析】如图所示：
∵Rt△ABC 中，∠C=90∘，AC=1，AB=3，
∴BC=AB2−AC2=32−12=22，
∴sinB=ACAB=13，
csB=BCAB=223，
tanB=ACBC=122=24，
ctB=BCAC=221=22．
4. D【解析】A．∵a=−2b，表明向量 a 与 −2b 是同一方向上相同的向量，自然模也相等，
∴a=2b，该选项不符合题意错误；
B．∵a=−2b，表明向量 a 与 −2b 是同一方向上相同的向量，那么它们是相互平行的，虽然 −2b 与 b 方向相反，但还是相互平行，
∴a∥b，该选项不符合题意错误；
C．∵a=−2b，而 −2b 与 b 方向相反，
∴a 与 b 的方向相反，该选项不符合题意错误；
D．∵0 只表示数量，不表示方向，而 a+2b 是两个矢量相加是带方向的，应该是 a+2b=0，该选项符合题意正确．
5. A
【解析】∵GE∥BD，
∴AEAB=AGAD，
∵GF∥AC，
∴CFCD=AGAD，
∴AEAB=CFCD，A选项正确；
∵GE∥BD，
∴AEEB=AGGD，
∵GF∥AC，
∴AGGD=CFFD，
∴AEEB=CFFD，B选项错误；
∵GE∥BD，
∴EGBD=AGAD，
∵GF∥AC，
∴GFAC=DGAD，
∴EGBD≠GFAC，C选项错误；
∵GE∥BD，
∴AEAG=ABAD，D选项错误．
6. D【解析】∵x=−1 时，y=4；x=0 时，y=6；x=−2 时，y=0，
∴a−b+c=4，c=6，4a−2b+c=0，
解得：a=−1，b=1，c=6．
∴abc=−1×1×6=−6<0．
第二部分
7. 23
【解析】设 a=2k，则 b=5k，
ab−a=2k5k−2k=23．
8. 5−1
【解析】根据题意，设 AP=x，则 BP=2−x，
依题意得：AP2=BP×AB，即：x2=22−x，
化简得：x2+2x−4=0，解得：x=5−1（负值已舍）．
9. −3e
【解析】∵ 向量 a 与单位向量 e 方向相反，且 a=3，
∴a=−3e．
10. a>0
【解析】∵ 原点是抛物线 y=ax2−1 的最低点，
∴a>0．
11. >
【解析】∵ 二次项系数为 1，
∴ 开口向上，
∵ 对称轴是直线：x=0，即 y 轴，
又 ∵−3<−2，
∴y1>y2．
12. y=1001+x2
【解析】依题意得：y=1001+x2．
13. 455
【解析】在 △ABC 中，∠C=90∘，tanB=2，
∵tanB=ACBC=2，
∴AC=2BC，
∵AB2=AC2+BC2，
∴42=2BC2+BC2，
∴5BC2=4，
∴BC=455．
14. 229
【解析】如图．
AB=29 米，BC:AC=1:2.5．
设 BC=x 米，则 AC=2.5x 米．
在 Rt△ABC 中，AB2=BC2+AC2，
即 x2+2.5x2=292，
化简得：294x2=292，
解得：x=229．
∴ 上升高度是 229 米．
15. 2
【解析】如图所示：连接 AG 并延长交 BC 于点 D．
∵G 是 △ABC 的重心，AB=AC=5，BC=8，
∴AD⊥BC，BD=12BC=12×8=4，
∴AD=AB2−BD2=52−42=3，
∴AG=23AD=23×3=2．
16. 255
【解析】如图，连接 BD．
在菱形 ABCD 中，O 是 AC 的中点，
∴O 也是对角线的交点，且 AC 与 BD 垂直平分，
∵O，E 分别是 AC，AD 的中点，
∴OE∥CD，
∴∠AOE=∠ACD．
在 Rt△OCD 中，OC=12AC=12×4=2，CD=AB=3，
∴OD=CD2−OC2=32−22=5，
∴ct∠AOE=ct∠ACD=OCOD=25=255．
17. 1
【解析】如图．
∵AB=1，BC=2，AC=5，
∴AB:BC:AC=1:2:5．
∵DE=2，EF=2，DF=10，
∴DE:EF:DF=2:2:10=1:2:5．
∴AB:BC:AC=DE:EF:DF．
∴△ABC∼△DEF．
∴S△DEF=12×2×1=1．
18. 532
【解析】如图，当点 A 恰好与点 F 重合时，边 AD 的长最短．
根据折叠的性质得：FB=AB=5．
∵ 点 E，F 分别是边 AB，CD 的中点，
∴EF∥AD，则 EF⊥AB，EB=12AB=52．
在 Rt△FBE 中，EF=BF2−EB2=52−522=532，
∴ 边 AD 的长至少是 532 cm．
第三部分
19. 原式=3×33−112+8×22+1−32=3−2+2+3−1=23−1.
20. （1） ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴DC∥AB，DC=AB，
∴BFDF=ABDE．
∵DE:EC=2:3，
∴DC:DE=5:2，
∴AB:DE=5:2，
∴BF:DF=5:2．
（2） ∵BF:DF=5:2，
∴BF=57BD，
∵BD=AD−AB，
∴BD=a−b，
∴BF=57BD=57a−57b，
∵AF=AB+BF，
∴AF=b+57a−57b=57a+27b．
21. （1） ∵∠ACB=90∘，
∴∠BCE+∠GCA=90∘．
∵CG⊥BD，
∴∠CEB=90∘，
∴∠CBE+∠BCE=90∘，
∴∠CBE=∠GCA．
又 ∵∠DCB=∠GAC=90∘，
∴△BCD∽△CAG．
∴CDAG=BCCA，
∴1AG=32，
∴AG=23．
（2） ∵∠GAC+∠BCA=180∘，
∴GA∥BC．
∴GABC=AFFB．
∴AFFB=29．
∴AFAB=211．
∴S△AFCS△ABC=211．
又 ∵S△ABC=12×2×3=3，
∴S△AFC=611．
22. 由题意，得 ∠ABD=90∘，∠D=20∘，∠ACB=31∘，CD=13．
在 Rt△ABD 中，
∵tan∠D=ABBD，
∴BD=ABtan20∘=AB0.36．
在 Rt△ABC 中，
∵tan∠ACB=ABBC，
∴BC=ABtan31∘=AB0.6．
∵CD=BD−BC，
∴13=AB0.36−AB0.6，解得 AB≈11.7 米．
答：水城门 AB 的高约为 11.7 米．
23. （1） ∵AF2=FG⋅FE，
∴AFFG=FEAF．
又 ∵∠AFG=∠EFA，
∴△FAG∽△FEA．
∴∠FAG=∠E．
∵AE∥BC，
∴∠E=∠EBC．
∴∠EBC=∠FAG．
又 ∵∠ACD=∠BCG，
∴△CAD∽△CBG．
（2） ∵△CAD∽△CBG，
∴CACB=CDCG．
又 ∵∠DCG=∠ACB，
∴△CDG∽△CAB，
∴DGAB=CGCB．
∵AE∥BC，
∴AECB=AGGC．
∴AGAE=GCCB，
∴DGAB=AGAE，
∴DG⋅AE=AB⋅AG．
24. （1） ∵A 的坐标为 1,0，对称轴为直线 x=2，
∴ 点 B 的坐标为 3,0．
将 A1,0，B3,0 代入 y=x2+bx+c，
得 1+b+c=0,9+3b+c=0, 解得：b=−4,c=3.
∴y=x2−4x+3．
当 x=2 时，y=22−4×2+3=−1．
∴ 顶点坐标为 2,−1．
（2） 过点 P 作 PN⊥x 轴，垂足为点 N．过点 C 作 CM⊥PN，交 NP 的延长线于点 M．
∵∠CON=90∘，
∴ 四边形 CONM 为矩形．
∴∠CMN=90∘，CO=MN．
∵y=x2−4x+3，
∴ 点 C 的坐标为 0,3．
∵B3,0，
∴OB=OC．
∵∠COB=90∘，
∴∠OCB=∠BCM=45∘，
又 ∵∠ACB=∠PCB，
∴∠OCB−∠ACB=∠BCM−∠PCB，即 ∠OCA=∠PCM．
∴tan∠OCA=tan∠PCM．
∴13=PMMC．
设 PM=a，则 MC=3a，PN=3−a．
∴P3a,3−a．
将 P3a,3−a 代入 y=x2−4x+3，
得 3a2−12a+3=3−a，解得 a1=119，a2=0（舍）．
∴P113,169．
（3） 设抛物线平移的距离为 m，如图，得 y=x−22−1−m，
∴D 的坐标为 2,−1−m．
过点 D 作直线 EF∥x 轴，交 y 轴于点 E，交 PQ 的延长线于点 F．
∵∠OED=∠QFD=∠ODQ=90∘，
∴∠EOD+∠ODE=90∘，∠ODE+∠QDF=90∘，
∴∠EOD=∠QDF，
∴tan∠EOD=tan∠QDF．
∴DEOE=QFDF．
∴2m+1=169−m+1+m113−2，
解得 m=15，即抛物线平移的距离为 15．
25. （1） ∵AD∥BC，
∴∠EDQ=∠DBC．
∵DEDQ=1，BDBC=1，
∴DEDQ=BDBC．
∴△DEQ∽△BCD．
∴∠DQE=∠BDC，
∴EQ∥CD．
（2） 设 BP 长为 x，则 DQ=x，QP=2x−10．
∵△DEQ∽△BCD，
∴EQDC=QDCB．
∴EQ=25x．
（ⅰ）当 EQ=EP 时，
∴∠EQP=∠EPQ，
∵DE=DQ，
∴∠EQP=∠QED，
∴∠EPQ=∠QED，
∴△EQP∽△DEQ，
∴EQDE=QPEQ，
∴25x2=2x−10⋅x，解得 x=12523 或 x=0（舍去）；
（ⅱ）当 QE=QP 时，
∴25x=2x−10，解得 x=254，
∵254>6，
∴ 此种情况不存在．
∴BP=12523．
（3） 过点 P 作 PH⊥EQ，交 EQ 的延长线于点 H；
过点 B 作 BG⊥DC，垂足为点 G．
∵BD=BC，BG⊥DC，
∴DG=2，BG=46，
∵BP=DQ=m，
∴PQ=10−2m．
∵EQ∥DC，
∴∠PQH=∠BDG．
又 ∵∠PHQ=∠BGD=90∘，
∴△PHQ∽△BGD．
∴PHBG=PQBD=HQGD，
∴PH46=10−2m10=HQ2．
∴HQ=10−2m5，PH=2610−2m5．
∴EH=10−2m5+2m5=2，
∴tan∠PEQ=PHEH=2610−2m5×12=26−265m．