2020-2021学年天津市河北区中考二模数学试卷

这是一份2020-2021学年天津市河北区中考二模数学试卷，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共12小题；共60分）
1. 计算：4×−3 的结果是
A. −7B. 12C. 1D. −12

2. 2cs30∘ 的值等于
A. 33B. 3C. 2D. 32

3. 截至 2021 年 4 月 25 日 24 时，天津市累计完成疫苗接种 6547486 剂次，其中：首剂 6117711 次，第二剂 429775 次，至此，天津市实现了新冠病毒疫苗首剂接种 40% 全人群覆盖．将 429775 用科学记数法表示应为
A. 4.29775×105B. 0.429775×106C. 4.29775×106D. 42.9775×106

4. 在以下四个标志中，是轴对称图形的是
A. B.
C. D.

5. 如图是由 5 个相同的小正方体搭成的几何体，则它的俯视图是
A. B.
C. D.

6. 估计 10 的值在
A. 2 和 3 之间B. 3 和 4 之间C. 4 和 5 之间D. 5 和 6 之间

7. 二元一次方程组 2x−y=9,3x+y=6 的解为
A. x=3,y=−3B. x=−2,y=1C. x=2,y=−2D. x=2,y=−1

8. 如图，四边形 ABCD 为菱形，A，B 两点的坐标分别是 A3,0，B0,1，点 C，D 在坐标轴上，则菱形 ABCD 的周长等于
A. 2B. 4C. 8D. 16

9. 化简 a2a−1−1−2a1−a 的结果是
A. a−1B. a+1a−1C. aD. 1−a

10. 已知点 A−1,y1，B1,y2，C2,y3 是函数 y=−1x 图象上的三点，则 y1，y2，y3 的大小关系是
A. y1
11. 如图，将 △ABC 绕点 B 逆时针旋转 α，得到 △EBD，若点 A 恰好在 ED 的延长线上，则 ∠CAD 的度数为
A. 180∘−αB. αC. 90∘−αD. 2α

12. 如图抛物线 y=ax2+bx+c（a，b，c 为常数，且 a≠0）的图象交 x 轴于 A−2,0 和点 B，交 y 轴负半轴于点 C，且 OB=OC，下列结论：
① c=2b−2；
② a=12；
③ b=ac+1；
④ a+bc<0．
其中正确的个数是
A. 1B. 2C. 3D. 4

二、填空题（共6小题；共30分）
13. 计算：−b⋅b3= ．

14. 1−232= ．

15. 一枚材质均匀的骰子，六个面的点数分别是 1，2，3，4，5，6，投这个骰子，掷的点数不大于 4 的概率是 ．

16. 若函数 y=k−1x+2 是一次函数，且 y 的值随 x 值的增大而减小，则 k 的取值范围是 ．

17. 如图，E 是边长为 2 的正方形 ABCD 的对角线 AC 上一点，且 AE=AB，F 为 BE 上任意一点，FG⊥AC 于点 G，FH⊥AB 于点 H，则 FG+FH 的值是 ．

18. 如图，在每个小正方形的边长为 1 的网格中，△ABC 的顶点 A，B，C 均落在格点上．
（1）△ABC 的面积为 ．
（2）请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺在 AC 上做一点 M，使以 M 为圆心，MC 为半径的 ⊙M 与 AB 相切，并简要说明点 M 的位置是如何找到的（不要求证明） ．

三、解答题（共7小题；共91分）
19. 解不等式组 2x−3<5x, ⋯⋯①2x≤8. ⋯⋯②
请结合解题过程，完成本题的解答．
（1）解不等式①，得 ．
（2）解不等式②，得 ．
（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
（4）原不等式组的解集为 ．

20. 为了解某学校八年级学生每周平均课外阅读时间的情况，随机抽查了该学校八年级部分同学，对其每周平均课外阅读时间进行统计，绘制了如下的统计图①和图②．请根据相关信息，解答下列问题：
（1）该校抽查八年级学生的人数为 ，图①中 m 的值为 ．
（2）求统计的这组数据的平均数、众数和中位数．
（3）根据统计的样本数据，估计该校八年级 600 名学生中，每周平均课外阅读时间大于 3 h 的学生人数．

21. 已知 AB 是 ⊙O 的直径，C 是 ⊙O 上一点，过点 C 作 ⊙O 的切线，交 AB 的延长线于点 P．
（1）如图①，连接 AC，BC，若 BP=OB，求 ∠A 和 ∠P 的大小．
（2）图②，过点 P 作 ⊙O 的切线 PD，切点为 D，连接 CD，BD，若 ∠BDC=32∘，求 ∠BDP 的大小．

22. 如图，从空中 C 点测得两建筑物 A，B 底部的俯角分别为 37∘ 和 53∘．如果测得 C 与 B 之间的距离为 152 m，且点 A，B，D 在同一直线上．（结果取整数）
（参考值：sin37∘≈0.6，cs37∘≈0.8，tan37∘≈34，sin53∘≈0.8，cs53∘≈0.6，tan53∘≈43）
（1）求 C 点距地面的高度 CD 的值．
（2）求建筑物 A，B 间的距离．

23. 同一种品牌的空调在甲、乙两个电器店的标价均是每台 3000 元．现甲、乙两个电器店优惠促销，
甲电器店的优惠方案：如果一次购买台数不超过 5 台时，价格为每台 3000 元，如果一次购买台数超过 5 台时，超过部分按六折销售；乙电器店的优惠方案：全部按八折销售．
设某校在同一家电器店一次购买空调的数量为 x（x 为正整数）．
（1）根据题意，填写下表：
一次购买台数台2615⋯甲电器店收费元6000⋯乙电器店收费元4800⋯
（2）设在甲电器店购买收费 y1 元，在乙电器店购买收费 y2 元，分别写出 y1，y2 关于 x 的函数关系式．
（3）当 x>6 时，该校在哪家电器店购买更合算?并说明理由．

24. 已知一个矩形纸片 OACB，将该纸片放置在平面直角坐标系中，点 A，B 别在 x 轴、 y 轴上，点 C4,2，点 D 是边 OA 上的动点，沿 BD 折叠该纸片，得点 C 的对应点 Cʹ，点 A 的对应点 Aʹ．
（1）如图①，当点 Aʹ 落在 y 轴上时，求点 Aʹ 的坐标．
（2）如图②，当 BCʹ 平分 ∠OBD 时，求点 Aʹ 的坐标．
（3）连接 AʹC，CʹC，求 △AʹCʹC 面积的最大值（直接写出结果即可）．

25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y=−14x2+bx+3 的对称轴是直线 x=2，与 x 轴相交于 A，B 两点（点 A 在点 B 的左侧），与 y 轴交于点 C．
（1）求抛物线的解析式及顶点坐标．
（2）M 为第一象限内抛物线上的一个点，过点 M 作 MN⊥x 轴于点 N，交 BC 于点 D，连接 CM，当线段 CM=CD 时，求点 M 的坐标．
（3）以原点 O 为圆心，AO 长为半径作 ⊙O，点 P 为 ⊙O 上的一点，连接 BP，CP，求 2PC+3PB 的最小值．
答案
第一部分
1. D【解析】4×−3=−4×3=−12．
2. B【解析】根据特殊角的三角函数值直接解答即可．
2cs30∘=2×32=3．
3. A
4. C
5. C
【解析】俯视图为：
6. B【解析】∵3×3=9，4×4=16，
∴10 介于 3 和 4 之间．
7. A
8. C【解析】∵A3,0，B0,1，
∴AB=32+12=2，
∴C菱形ABCD=2×4=8．
9. A【解析】原式=a2−2a+1a−1=a−12a−1=a−1.
10. B
【解析】把 A−1,y1，B1,y2，C2,y2 代入 y=−1x 中，
得 y1=1，y2=−1，y3=−12，
∵−1<−12<1
∴y211. A【解析】根据旋转的性质可知，
∠CBD=∠ABE=α，∠CAB=∠E，BA=BE，
∴∠BAE=∠E=12180∘−∠ABE=12180∘−α=90∘−12α,
∴∠CAB=∠E=∠BAE=90∘−12α，
∴∠CAD=∠CAB+∠BAE=2∠CAB=290∘−12α=180∘−α.
12. D【解析】∵ 二次函数开口向上，与 y 轴交于负半轴，
∴a>0，c<0，
∵ 对称轴在 y 轴左侧，
∴−b2a<0，
∴b>0，
∴a+b>0，
∴a+bc<0，故④结论正确；
∵ 二次函数 y=ax2+bx+c，
∴ 当 x=0 时，y=c，
∴ 点 C 坐标为 0,c，
∵c<0 且 OB=OC，
∴ 点 B 坐标为 −c,0，
将 B−c,0 代入，得：ac2−bc+c=0，
∴ac−b+1=0 即 b=ac+1，故③结论正确；
∵ 二次函数图象与 x 轴交于点 A−2,0，B−c,0，
∴ 方程 ax2+bx+c=0 的两根为 x1=−2，x2=−c，
∴ 由根与系数的关系可知 −2×−c=ca，即 2c=ca，
∴a=12，故②结论正确；
将 a=12 代入 b=ac+1，得：12c+1=b，
∴c=2b−2，故①结论正确，
综上所述，结论正确有①②③④，共 4 个．
第二部分
13. −b4
【解析】原式=−b1+3=b4.
14. 13−43
【解析】原式=12−2×1×23+232=1−43+12=13−43.
15. 23
【解析】共有 6 种情况，掷的点数不大于 4 的情况有 4 种，故概率为 46=23．
16. k<1
【解析】根据题意：k−1<0，k<1．
17. 2
【解析】过 E 作 EM⊥BC 于 M，连接 AF，
∵S△BCE=S△BEF+S△BCF=12BE⋅FG+12BC⋅FH,
∵BE=BC=2，
∴S△BCE=FG+FH，
∵S△BCE=12BC⋅EM=12×2×EM=EM，
∴FG+FH=EM，
∵ 四边形 ABCD 是正方形，BD 是对角线，
∴∠EBM=45∘，
∵EM⊥BC，BE=BC=2，
∴EM=22BE=22×2=2，
∴FG+FH=2．
18. 6，如图所示，延长 BC 到 D，使 BD=5，连接 AD，取 AD 的中点 E，连接 BE 交 AC 于点 M
【解析】（1）S△ABC=12×3×4=6．
（2）延长 BC 到 D，使 BD=5，连接 AD，取 AD 的中点 E，连接 BE 交 AC 于点 M，
理由如下：如图，
AB=32+42=5=BD，
由等腰三角形的性质可知，点 E 是 AD 的中点，
∴BE 平分 ∠ABC，
∴ 点 M 到 ∠ABC 两边的距离相等，
因此点 M 符合题意．
第三部分
19. （1）x>−1
（2）x≤4
（3）
（4）−120. （1） 40；30
【解析】该校抽查九年级学生人数为：4÷10%=40（人），
∵m%=1240×100%=30%，
∴m=30．
（2） 观察条形统计图，
∵x=1×4+2×8+3×12+4×10+5×64+8+12+10+6=3.15
∴ 这组数据的平均数为 3.15，
∵ 在这组数据中，3 出现 12 次，出现的次数最多，
∴ 这组数据的众数为 3，
∵ 将这组数据按从小到大的顺序排列，其中处于中间的两个数都是 3，有 3+32=3，
因此这组数据的中位数是 3．
（3） ∵ 在统计的这组学生每周平均课外阅读时间的样本数据中，
每周平均课外阅读时间大于 3 h 的学生人数约占 25%+15%=40%，
∴600×40%=240．
答：根据统计的样本数据，估计该校八年级 600 名学生中，每周平均课外阅读时间大于 3 h 的约有 240 人．
21. （1） 如图①，连接 OC，
∵PC 是 ⊙O 的切线，
∴∠OCP=90∘，
∵BP=OB，
∴BC=OB，
∵OB=OC，
∴△BOC 为等边三角形，
∴∠BOC=60∘，
∴∠A=12∠BOC=30∘，
∴∠P=90∘−∠COB=30∘．
（2） 如图②，连接 OC，OD，设 CD 交 OP 于点 E，
∵PC，PD 是 ⊙O 的切线，
∴PC=PD，∠OCP=∠ODP=90∘，
∵OC=OD，
∴OP 垂直平分 CD，
∴∠CEP=∠DEP=90∘，
∵∠BDC=32∘，
∴∠OBD=90∘−∠BDC=58∘，
∵OD=OB，
∴∠ODB=∠OBD=58∘，
∴∠BDP=90∘−58∘=32∘．
22. （1） 在 Rt△DBC 中，∠DBC=53∘，BC=152，∠BDC=90∘，
sin∠DBC=CDBC=CD152=sin53∘，
解得：CD≈152×0.8=121.6≈122．
答：C 点距地面的高度 CD 的值约为 122 米．
（2） 在 Rt△DBC 中，∠DBC=53∘，BC=152，∠BDC=90∘，
cs∠DBC=BDBC=BD152=cs53∘，
解得：BD≈152×0.6=91.2，
在 Rt△ADC 中，∠DAC=37∘，CD=121.6，∠ADC=90∘，
tan∠DAC=CDAD=tan37∘，
解得：AD=121.6×43=162.1，
AB=AD+BD=162.1+91.2=253.3≈253 米．
答：AB 之间的距离约为 253 米．
23. （1）
一次购买台数台2615⋯甲电器店收费元60001680033000⋯乙电器店收费元48001440036000⋯
【解析】由题意可知：
当一次性购买 6 台甲电器时费用为：3000×5+3000×0.6×6−5=15000+1800=16800（元），
当一次性购买 6 台乙电器时费用为：3000×6×0.8=14400（元）；
当一次性购买 15 台甲电器时费用为：3000×5+3000×0.6×15−5=15000+18000=33000（元），
当一次性购买 15 台乙电器时费用为：3000×15×0.8=36000（元）．
（2） 当 0当 x>5 时，y1=3000×5+3000×60%x−5，
即 y1=1800x+6000，
y1=3000x,05（x 为正整数），
y2=3000×80%=2400x（x>0 且 x 为正整数）．
（3） 设 y1 与 y2 的总费用的差为 y 元，
则 y=1800x+6000−2400x，即 y=−600x+6000，
当 y=0 时，即 −600x+6000=0，解得 x=10．
∴ 当 x=10 时，选择甲乙两家电器店购买均可：
∵−600<0，
∴y 随 x 的增大而减小，
∴ 当 6y2 在乙家电器店购买更合算；
当 x>10 时，y124. （1） ∵ 四边形 AʹCʹBO 由四边形 ACBO 沿 BD 翻折得到的，
∴BAʹ=AB（连接 AB），
∵C4,2，
∴OA=4，BO=2，
AB=OA2+OB2=42+22=25（勾股定理），
∴BAʹ=25，
∴Aʹ0,2−25．
（2） BCʹ 平分 ∠OBD，
∴∠CBD=∠OBCʹ，
∵BCʹAʹD 是沿 BD 翻折得到的，
∴∠CʹBD=∠DBC，
∴∠OBCʹ=∠CʹBD=∠DBC=30∘，
令 BC 交 x 轴于点 H，
∴OH=tan30∘⋅BO=233，BH=2OH=433，
∵BC∥OA，
∴∠CBD=∠BDO，
∴HD=HB=433，OD=633=23，
∴AD=AʹD=AO−OD=4−23，
过 A 点作 AD 的垂线，交于点 G，
∴∠CʹHD=60∘，
∴∠ADAʹ=60∘，DG=12AʹD=2−3，AʹG=3−23，
∴OG=OD+DG=2+3，
∴Aʹ2+3,3−23，
（3） 8．
【解析】沿 BD 翻折 OBD，得到 OʹBD，
∵BOʹ=BO=2，令 D 点坐标为 x,0，OʹF=z，
4+z2=x−z2，2×z=x2−4，
∴z=x2−42x，
∴x−z=x2+42x，
∴4x−z=OʹGz，
∴OʹG=4zx−z=4x2−4x2+4，
∴Oʹ 的横坐标为：BG=BOʹ2−OʹG2=8xx2+82，
Oʹ 到 AC 的距离为：AD−BG=4−8xx2+8x2，
∴S△AʹCʹO=S△ACOʹ=8−16xx2+8x2，
∵x2+8x≥4x0≤x≤4，
∴8xx2+82≤22，
∴ 当 x=0 时，S△ACOʹ 的取最大值为 8，
∴△AʹCʹO 面积的的最大值为 8．（利用面积相等来求）
25. （1） ∵x=−b2a=2，a=−14，
∴b=1，
∴ 抛物线的解析式为 y=−14x2+x+3，
∴y=−14x2+x+3=−14x−22+4，
∴ 抛物线的顶点坐标为 2,4．
（2） 连接 CM，过点 C 作 CE⊥MN 于点 E，
∵y=−14x2+x+3，令 x=0，则 y=3，
∴C0,3，
令 y=0，即 −14x2+x+3=0，解得 x1=6，x2=−2，
∴A−2,0，B6,0，
设直线 BC 的解析式为 y=kx+b，
将 B6,0，C0,3 代入 y=kx+b，得 6k+b=0,b=3, 解得 k=−12,b=3,
∴ 直线 BC 的解析式为 y=−12x+3，
∵ 点 M 在抛物线上，点 D 在 BC 上，MN⊥x 轴，
∴ 设点 M 的坐标为 m,−14m2+m+3，点 D 坐标为 m,−12m+3，
∴MD=−14m2+m+3−−12m+3=−14m2+32m，
∵CM=CD，OC=EN=3，
∴MD=2ED=2×3−−12m+3=m，
又 ∵MD=−14m2+32m，
∴−14m2+32m=m，即 mm−2=0，解得 m=2 或 m=0（不合题意，舍去），
∴m=2，当 m=2 时，y=−14×22+2+3=4，
∴ 点 M 的坐标为 2,4．
（3） 如图，连接 OP，在 OC 上截取 OG，使得 OGOP=OPOC=23，
连接 PG，BG，
此时 OG=43，G0,43，
∵OGOP=OPOC，∠POG=∠COP，
∴△POG∽△COP，
∴PGPC=OGOP=23，即 PG=23PC，
∴2PC+3PB=323PC+PB=3PB+PG，
∴ 当 B，P，G 三点共线时，PB+PG 的值最小，最小值即为 BG 的值，
∴BG=OG2+OB2=432+62=2853，
∴2PC+3PB 的最小值为 285．