2020年上海市徐汇区中考二模数学试卷（期中）

这是一份2020年上海市徐汇区中考二模数学试卷（期中），共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共6小题；共30分）
1. 下列实数中，有理数是
A. π2B. 33C. 227D. 2−12

2. 下列二次根式中，最简二次根式是
A. a2+b2B. a+b2C. 4a+4bD. a2b+4

3. 下列方程中，有实数根的是
A. x2+1=0B. x2−1=0C. x−1=−1D. 1x−1=0

4. 关于抛物线 y=−x2+2x−3 的判断，下列说法正确的是
A. 抛物线的开口方向向上B. 抛物线的对称轴是直线 x=−1
C. 抛物线对称轴左侧部分是下降的D. 抛物线顶点到 x 轴的距离是 2

5. 如果从货船 A 测得小岛 B 在货船 A 的北偏东 30∘ 方向 500 米处，那么从小岛 B 看货船 A 的位置，此时货船 A 在小岛 B 的
A. 南偏西 30∘ 方向 500 米处B. 南偏西 60∘ 方向 500 米处
C. 南偏西 30∘ 方向 2503 米处D. 南偏西 60∘ 方向 2503 米处

6. 下列命题中，假命题是
A. 顺次连接任意四边形四边中点所得的四边形是平行四边形
B. 顺次连接对角线相等的四边形四边中点所得的四边形是菱形
C. 顺次连接对角线互相垂直的四边形四边中点所得的四边形是矩形
D. 顺次连接两组邻边互相垂直的四边形四边中点所得的四边形是矩形

二、填空题（共12小题；共60分）
7. 计算：1a−1b= ．

8. 分解因式：m2+2m−3= ．

9. 方程组 2x−y=0,x2+y2=5 的解是 ．

10. 已知正比例函数 y=kxk≠0 的函数值 y 随着自变量 x 的值增大而减小，那么符合条件的正比例函数可以是 ．（只需写出一个）

11. 如果关于 x 的方程 3x2+4x+m=0 有两个相等的实数根，那么 m 的值是 ．

12. 已知直线 y=kx+bk≠0 与 x 轴和 y 轴的交点分别是 1,0 和 0,−2，那么关于 x 的不等式 kx+b<0 的解集是 ．

13. 如果从长度分别为 2，4，6，7 的四条线段中随机抽取三条线段，那么抽取的三条线段能构成三角形的概率是 ．

14. 如图，在 △ABC 中，点 D 在边 AC 上，已知 △ABD 和 △BCD 的面积比是 2:3，AB=a，AC=b，那么向量 BD（用向量 a，b 表示）是 ．

15. 如图，⊙O 的弦 AB 和直径 CD 交于点 E，且 CD 平分 AB，已知 AB=8，CE=2，那么 ⊙O 的半径长是 ．

16. 某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系．每盆植 3 株时，平均每株盈利 4 元；若每盆增加 1 株，平均每株盈利减少 0.5 元．要使每盆的盈利达到 15 元，每盆应多植多少株．设每盆多植 x 株，则可以列出的方程是 ．

17. 已知正三角形 ABC 外接圆的半径长为 R，那么 △ABC 的周长是 ．（用含 R 的式子表示）

18. 如图，在平行四边形 ABCD 中，AD=3，AB=5，sinA=45，将平行四边形 ABCD 绕着点 B 顺时针旋转 θ0∘<θ<90∘ 后，点 A 的对应是点 Aʹ，连接 AʹC，如果 AʹC⊥BC，那么 csθ 的值是 ．

三、解答题（共7小题；共91分）
19. 计算：12+1+∣2−2∣−2cs30∘+312．

20. 解不等式组：−3x−2>−x−4,−x−73≤1−x3, 并将解集在数轴上表示出来．

21. 在抗击“新冠肺炎疫情”的日子里，上海全市学生积极响应号召开展“停课不停学”的线上学习活动，某中学为了了解全校 1200 名学生一周内平均每天进行在家体育锻炼时间的情况，随机调查了该校 100 名学生一周内平均每天在家体育锻炼时间的情况，结果如下表：
时间分15202530354045505560人数16241410868464
完成下列各题：
（1）根据上述统计表中的信息，可知这 100 名学生一周内平均每天在家体育锻炼时间的众数是 分，中位数是 分；
（2）小李根据上述统计表中的信息，制作了如下频数分布表和频数分布直方图（不完整），那么①频数分布表中 m= ，n= ；②请补全频数分布直方图；
频数分布表
分组时间:分钟频数14.5−24.54024.5−34.5m34.5−44.5n44.5−54.51254.5−64.510合计100
（3）请估计该学校平均每天在家体育锻炼时间不少于 35 分钟的学生大约有 人．

22. 如图，抛物线 y=ax2−2ax+3 与 x 轴交于点 A−1,0 和 B，与 y 轴交于点 C，顶点为点 D．
（1）求抛物线的表达式、点 B 和点 D 的坐标；
（2）将抛物线 y=ax2−2ax+3 向右平移后所得新抛物线经过原点 O，点 B，D 的对应点分别是点 Bʹ，Dʹ，连接 BʹC，BʹDʹ，CDʹ，求 △CBʹDʹ 的面积．

23. 如图，平行四边形 ABCD 中，点 E，F，G，H 分别在 AB，BC，CD，AD 边上且 AE=CG，AH=CF．
（1）求证：四边形 EFGH 是平行四边形；
（2）如果 AB=AD，且 AH=AE，求证：四边形 EFGH 是矩形．

24. 如图，已知直线 y=2x+2 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 C，矩形 ACBE 的顶点 B 在第一象限的反比例函数 y=mx 图象上，过点 B 作 BF⊥OC，垂足为 F，设 OF=t．
（1）求 ∠ACO 的正切值；
（2）求点 B 的坐标（用含 t 的式子表示）；
（3）已知直线 y=2x+2 与反比例函数 y=mx 图象都经过第一象限的点 D，连接 DE，如果 DE⊥x 轴，求 m 的值．

25. 如图，在梯形 ABCD 中，AD∥BC，AB=CD=AD=5，csB=45，点 O 是边 BC 上的动点，以 OB 为半径的 ⊙O 与射线 BA 和边 BC 分别交于点 E 和点 M，连接 AM，作 ∠CMN=∠BAM，射线 MN 与边 AD 、射线 CD 分别交于点 F，N．
（1）当点 E 为边 AB 的中点时，求 DF 的长；
（2）分别连接 AN，MD，当 AN∥MD 时，求 MN 的长；
（3）将 ⊙O 绕着点 M 旋转 180∘ 得到 ⊙Oʹ，如果以点 N 为圆心的 ⊙N 与 ⊙Oʹ 都内切，求 ⊙O 的半径长．
答案
第一部分
1. C【解析】根据有理数的定义：有理数分为整数和分数，227 是分数，满足条件．
2. A【解析】最简二次根式：被开方数中不含能开方开的尽的因数或因式；被开方数的因数是整数，因式是整式．
A：a2+b2 满足条件，正确；
B：a+b2=∣a+b∣，错误；
C：4a+4b=4⋅a+b=2a+b，错误；
D：a2b+4=a2⋅b+4=∣a∣⋅b+4，错误．
故答案选：A．
3. B【解析】根据一元二次方程根的判别式 Δ=b2−4ac 计算：
A：x2+1=0⇒Δ=−4<0，方程无实根，错误；
B：x2−1=0⇒Δ=4>0，方程有两个不等实根，正确；
C：x−1=−1<0，二次根式无意义，方程无解，错误；
D：1x−1=0，分式方程需满足分母不为 0，此方程无解，错误．
故答案选：B．
4. D【解析】A：二次项系数为 −1<0，故开口向下，错误；
B：对称轴公式 x=−b2a=−22⋅−1=1，错误；
C：开口向下，在对称轴左侧部分上升，错误；
D：顶点坐标公式 −b2a,4ac−b24a 代入计算得顶点为 1,−2，顶点到 x 轴的距离是 2，正确．
故答案选：D．
5. A
【解析】建立如图所示方位角：
∵B 在 A 的北偏东 30∘ 方向，
∴A 在 B 的南偏西 30∘ 方向．
又 ∵B 与 A 相距 500 米，
∴A 与 B 相距 500 米．
6. D【解析】
观察图形：E，F，G，H 分别为 AC，AB，BD，CD 的中点，
根据中位线定理：EF∥BC，GH∥BC，EF=GH=12BC．
A：顺次连接任意四边形四边中点所得的四边形是平行四边形，正确；
B：顺次连接对角线相等的四边形四边中点所得的四边形是菱形，正确；
C：顺次连接对角线互相垂直的四边形四边中点所得的四边形是矩形，正确；
D：顺次连接两组邻边互相垂直的四边形四边中点所得的四边形是平行四边形，错误．
故答案选：D．
第二部分
7. b−aab
【解析】1a−1b=bab−aab=b−aab．
8. m+3m−1
【解析】根据十字相乘法分解因式可得：m2+2m−3=m+3m−1．
9. x=1,y=2 或 x=−1,y=−2
【解析】2x−y=0, ⋯⋯①x2+y2=5. ⋯⋯②
由 ① 得：y=2x. ⋯⋯③
将 ③ 代入 ② 得：x2+2x2=5．
解得：x=±1，将 x=±1 代入 ③ 得：y=±2
∴x=1,y=2 或 x=−1,y=−2.
10. y=−2x
【解析】正比例函数 y=kxk≠0：
当 k>0 时，y 随着自变量 x 的值增大而增大；
当 k<0 时，y 随着自变量 x 的值增大而减小，
∴ 要使 y 随着自变量 x 的值增大而减小，需满足 k<0 即可．
11. m=43
【解析】∵ 关于 x 的方程 3x2+4x+m=0 有两个相等的实数根，
∴Δ=b2−4ac=0，
∴42−4⋅3⋅m=0，
解得：m=43，
故答案为：m=43．
12. x<1
【解析】∵ 直线 y=kx+bk≠0 与 x 轴和 y 轴的交点分别是 1,0 和 0,−2，
∴ 函数经过一、三、四象限．
又 ∵kx+b<0 即函数值小于零，
∴x 的取值范围为 x<1．
13. 12
【解析】∵ 从长度分别为 2，4，6，7 的四条线段中随机抽取三条线段，
∴ 可能有：2，4，6；2，6，7；4，6，7；2，4，7 四种可能性，
又 ∵ 构成三角形的条件：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，
∴ 符合条件的有：2，6，7；4，6，7 两种，
故概率为：24=12．
14. 25b−a
【解析】∵△ABD 和 △BCD 的面积比是 2:3，
∴AD:DC=2:3．
∴AD=25AC=25b．
∴BD=BA+AD=−AB+AD=−a+25b=25b−a．
15. 5
【解析】如图：连接 OB．
∵CD 平分 AB，AB=8，
∴AE=BE=4．
设半径为 r．
∵CE=2，
∴OE=r−2．
在 Rt△OEB 中：r2=r−22+42，解得：r=5．
16. 3+x4−0.5x=15
【解析】根据题意可得 x+34−0.5x=15．
故答案为：x+34−0.5x=15．
17. 33R
【解析】如图：作 OH⊥BC 于 H，
∵∠A=60∘，OB=R，
∴∠BOH=60∘，
∴BH=HC=32R，
∴BC=3R，
∴ 周长为：33R．
18. 725
【解析】如图，作 AʹC⊥BC，连接 AʹB 与 DC 交于 G，作 CH⊥AʹB 于 H．
∵AD=3，AB=5，sinA=45，
∴BC=3，BAʹ=5．
∴AʹC=4，sin∠AʹBC=45．
∴∠AʹBC=∠A=∠GCB．
∴AʹG=GC=GB=52．
在 Rt△AʹBC 中，根据等面积法得出：CH=AʹC⋅BCAʹB=125，
∴GH=522−1252=710．
∴cs∠HGC=71052=725．
又 ∵∠HGC=∠ABAʹ=∠θ，
∴csθ=725．
第三部分
19. 12+1=1⋅2−12+12−1=2−1，∣2−2∣=2−2，312=3，
原式=2−1+2−2−2⋅32+3=1．
20.
−3x−2>−x−4, ⋯⋯①−x−73≤1−x3, ⋯⋯②
由 ① 得：
−3x+6>−x−4.
解得：
x<5.
由 ② 得：
−3x−7≤1−x.
解得：
x≥−4.∴
不等式的解集为：
−4≤x<5.
在数轴上表示为：
21. （1） 20；25
【解析】众数：一组数据中，出现次数最多的数；中位数：将一组数据从小到大排列，处在最中间的数．
根据表格可得：
众数为：20 分钟；
一共调查了 100 名同学，处在最中间的数是第 50，51 名，锻炼时间均为 25 分钟，故中位数为：25+252=25 分钟，
综上所述：众数为 20 分钟，中位数为 25 分钟．
（2） ① 24；14
②频数分布直方图如图所示：
【解析】由题目中的统计表得出：m=14+10=24，n=8+6=14．
（3） 432
【解析】统计可知：100 名同学中，平均每天在家体育锻炼时间不少于 35 分钟的学生有 36 人，
∴ 该学校平均每天在家体育锻炼时间不少于 35 分钟的学生大约有 1200×36100=432 人．
故答案为：432．
22. （1） 将 A−1,0 代入 y=ax2−2ax+3，解得：a=−1．
∴ 抛物线的表达式为 y=−x2+2x+3．
令 y=0，即 −x2+2x+3=0，解得：x1=−1，x2=3．
∴B3,0；
又 ∵y=−x2+2x+3=−x−12+4，
∴ 顶点坐标 D1,4．
（2） ∵ 抛物线 y=ax2−2ax+3 向右平移后所得新抛物线经过原点 O，A−1,0，
∴ 抛物线向右平移一个单位，
∴B4,0，D2,4．
如图：连接 CDʹ，DʹBʹ，CBʹ，作 DʹH⊥y 轴，BʹG⊥DʹH 交 DʹH 延长线于 G．
∴S△CBʹDʹ=S梯HCBʹG−S△HCDʹ−S△DʹBʹG=1+4⋅4⋅12−1⋅2⋅12−2⋅4⋅12=5.
∴△CBʹDʹ 的面积为 5．
23. （1） 在平行四边形 ABCD 中，∠A=∠C，
又 ∵AE=CG，AH=CF，
∴△AEH≌△CGF．
∴EH=GF．
在平行四边形 ABCD 中，AB=CD，AD=BC，
∴AB−AE=CD−CG，AD−AH=BC−CF，
即 BE=DG，DH=BF．
又 ∵ 在平行四边形 ABCD 中，∠B=∠D，
∴△BEF≌△DGH．
∴GH=EF．
∴ 四边形 EFGH 是平行四边形．
（2） 在平行四边形 ABCD 中，AB∥CD，AB=CD．
设 ∠A=α，则 ∠D=180∘−α．
∵AE=AH，
∴∠AHE=∠AEH=180∘−a2=90∘−a2．
∵AD=AB=CD，AH=AE=CG，
∴AD−AH=CD−CG，即 DH=DG．
∴∠DHG=∠DGH=180∘−180−a2=a2．
∴∠EHG=180∘−∠DHG−∠AHE=90∘．
又 ∵ 四边形 EFGH 是平行四边形，
∴ 四边形 EFGH 是矩形．
24. （1） ∵ 直线 y=2x+2 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 C，
∴A−1,0，C0,2．
∴tan∠ACO=AOCO=12．
（2） ∵ 四边形 AEBC 是矩形，BF⊥OC，OF=t，
∴∠BFC=∠COA=90∘，∠FCB+∠FBC=∠FCB+∠OCA=90∘．
∴∠FBC=∠OCA．
∴△BFC∽△COA，即 BFCO=FCOA=BCCA．
∴BF2=2−t1．
∴BF=4−2t．
∴ 点 B 的坐标 4−2t,t．
（3） 如图，作 EM⊥x 轴．
∵ 四边形 AEBC 是矩形，
∴BC=AE，∠OCA+∠CAO=∠CAO+∠OAE=90∘．
∴∠OCA=∠OAE=∠FBC．
∴△BFC≌△AME．
∴BF=AM=4−2t．
∴E 点的横坐标为 3−2t．
又 ∵DE⊥x 轴，D 在 y=2x+2 上，
∴D3−2t,8−4t．
∵D3−2t,8−4t，B4−2t,t 均在反比例 y=mx 上，
∴3−2t8−4t=t4−2t，解得：t1=65，t2=2．
∵ 四边形 AEBC 是矩形，
∴t2=2 舍去．
∴B85,65．
∴m=4825．
25. （1） 如图，作 EH⊥BM 于 H．
∵E 为 AB 中点，AB=AD=DC=5，csB=45，
∴AE=BE=52．
∴csB=BHBE=45．
∴BH=2．
∴EH=522−22=32．
设半径为 r，在 Rt△OEH 中：r2=2−r2+322，解得：r=2516．
∵E，O 分别为 BA，BM 中点，
∴∠BAM=∠BEO=∠OBE．
又 ∵∠CMN=∠BAM，
∴∠CMN=∠OBE．
∴MF∥AB．
∴ 四边形 BMFA 是平行四边形．
∴AF=BM=2r=258．
∴FD=AD−AF=5−258=158．
（2） 如图，连接 MD，AN．
∵∠B=∠C，∠BAM=∠CMN，
∴∠AMB=∠CNM．
又 ∵∠AMB=∠MAD，
∴∠MAD=∠CNM．
又 ∵∠AFM=∠NFD，
∴△AFM∼△NFD．
∴AFNF=MFDF⇒AF⋅DF=NF⋅MF. ⋯⋯①
又 ∵MD∥AN，
∴△AFN∽△DFM．
∴AFDF=NFMF⇒AF⋅MF=NF⋅DF. ⋯⋯②
由 ①×② 得：AF2=NF2⇒AF=NF．
∴NF=DF．
∴MN=AD=5，故 MN 的长为 5．
（3） 作如图：
∵ 圆 O 与圆 Oʹ 外切且均与圆 N 内切，
设圆 N 半径为 R，圆 O 半径为 r，
∴NO=R−r=NOʹ．
∴N 在 OOʹ 的中垂线上．
∴MN 垂直平分 OOʹ．
∴∠NMC=90∘．
∵∠BAM=∠CMN=90∘，
∴A 点在圆上，
∴csB=ABBM=5BM=45，
解得：BM=254，⊙O 的半径长为 258．