2019年广州市越秀区中考数学一模试卷

这是一份2019年广州市越秀区中考数学一模试卷，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共10小题；共50分）
1. −5 的绝对值等于
A. −5B. 5C. ±5D. 0

2. 函数中 y=3x+2，自变量 x 的取值范围是
A. x≠−2B. x≥−2C. x>−2D. x>2

3. 方程 4xx−2−1=32−x 的解是
A. x=1B. x=−12C. x=13D. x=−53

4. 如图，一副分别含有 30∘ 和 45∘ 角的两个直角三角板，拼成如下图形，其中 ∠C=90∘，∠B=45∘，∠E=30∘，则 ∠BFD 的度数是
A. 15∘B. 25∘C. 30∘D. 10∘

5. 下列说法中，正确的是
A. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
B. 矩形的对角线互相垂直
C. 菱形的对角线互相垂直且平分
D. 对角线互相垂直，且相等的四边形是正方形

6. 在一次函数 y=kx+2 中，若 y 随 x 的增大而增大，则它的图象不经过第 象限．
A. 一B. 二C. 三D. 四

7. 如图，将 Rt△ABC 绕直角顶点 C 顺时针旋转 90∘，得到 △AʹBʹC，连接 AAʹ，若 ∠1=25∘，则 ∠BAAʹ 的度数是
A. 55∘B. 60∘C. 65∘D. 70∘

8. 如图，梯形 ABCD 中，AD∥BC，对角线 AC，BD 相交于 O，AD=1，BC=4，△AOD 面积为 1，则梯形 ABCD 的面积为
A. 9B. 27C. 23D. 25

9. 若二次函数 y=ax2+bx+ca≠0 的图象与 x 轴有两个交点，坐标分别为 x1,0，x2,0，且 x1A. ax0−x1x0−x2<0B. a>0
C. b2−4ac≥0D. x1
10. 如图，矩形ABCD中，AE⊥BD于点E，CF平分∠BCD，交EA的延长线于点F，且BC=4，CD=2，给出下列结论：①∠BAE=∠CAD；②∠DBC=30∘；③AE=455；④AF=25，其中正确结论的个数有
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个

二、填空题（共6小题；共30分）
11. 分解因式：2x2−4x= ．

12. 如图，菱形 ABCD 中，对角线 AC 交 BD 于 O，AB=8，E 是 CB 的中点，则 OE 的长等于 ．

13. 关于 x 的一元二次方程 x2−x+m=0 没有实数根，则 m 的取值范围是 ．

14. 已知一个圆锥体的三视图如图所示，则这个圆锥的侧面积为 cm2．

15. 一种商品原来的销售利润率是 47%，现在由于进价提高了 5%，而售价没变，所以该商品的销售利润率变成了 【注：销售利润率 =（售价 − 进价）÷ 进价】．

16. 在 △ABC 中，∠ACB=90∘，AC=2，∠B=30∘．过点 C 做直线 l∥AB，P 为直线 l 上一点，且 AP=AB，则点 P 到 BC 所在直线的距离是 ．

三、解答题（共9小题；共117分）
17. 已知 T=1−1x+1÷xx2−1．
（1）化简 T；
（2）若 x 满足 x2−x−2=0，求 T 的值．

18. 解不等式组 2x+2>3x,3x−12≥−2 并将它的解集在数轴上表示出来．

19. 如图，在平行四边形 ABCD 中，点 E，F 分别在 AD，BC 上，且 AE=CF，EF，BD 相交于点 O，求证：OE=OF．

20. 甲、乙、丙三位运动员在相同条件下各射靶 10 次，每次射靶的成绩如下：
甲：9，10，8，5，7，8，10，8，8，7
乙：5，7，8，7，8，9，7，9，10，10
丙：7，6，8，5，4，7，6，3，9，5
（1）根据以上数据完成下表：
平均数中位数方差甲88 乙882.2丙6 3
（2）根据表中数据分析，哪位运动员的成绩最稳定，并简要说明理由；
（3）比赛时三人依次出场，顺序由抽签方式决定，求甲、乙相邻出场的概率．

21. 如图，一次函数 y=−x+4 的图象与反比例函数 y=kx（k 为常数，且 k≠0）的图象交于 A1,a，B 两点．
（1）求反比例函数的表达式及点 B 的坐标；
（2）在 x 轴上找一点 P，使 PA+PB 的值最小，求满足条件的点 P 的坐标及 △PAB 的面积．

22. 如图，港口 B 位于港口 A 的南偏东 37∘ 方向，灯塔 C 恰在 AB 的中点处．一艘海轮位于港口 A 的正南方向，港口 B 的正西方向的 D 处，它沿正北方向航行 5 km 到达 E 处，测得灯塔 C 在北偏东 45∘ 方向上．这时，E 处距离港口 A 有多远?（参考数据：sin37∘≈0.60，cs37∘≈0.80，tan37∘≈0.75）

23. 如图，△ABC 中，∠ABC=90∘．
（1）在 BC 边上找一点 P，作 ⊙P 与 AC，AB 边都相切，与 AC 的切点为 Q；（尺规作图，保留作图痕迹）
（2）若 AB=4，AC=6，求第（1）题中所作圆的半径；
（3）连接 BQ，第（2）题中的条件不变，求 cs∠CBQ 的值．

24. 抛物线 y=−x2+2x+3 与 y 轴交于 B，与 x 轴交于点 D，A，点 A 在点 D 的右边，顶点为 F，C0,1．
（1）直接写出点 B，A，F 的坐标；
（2）设 Q 在该抛物线上，且 S△BAF=S△BAQ，求点 Q 的坐标；
（3）对大于 1 常数 m，在 x 轴上是否存在点 M，使得 sin∠BMC=1m?若存在，求出点 M 坐标；若不存在，说明理由?

25. 已知 AB 是 ⊙O 的直径，C，E 是 ⊙O 上的点，CD⊥AB 于点 D，EF⊥AB 于点 F，过点 E 作 EG⊥OC 于点，延长 EG 交 OA 于点 H．
（1）求证：HO⋅HF=HG⋅HE；
（2）求证：CD=FG．
答案
第一部分
1. B【解析】∵∣−5∣=−−5=5，
∴−5 的绝对值等于 5．
2. C【解析】根据题意得：x+2>0，解得：x>−2．
3. D【解析】去分母得
4x−x+2=−3.
解得
x=−53.
经检验 x=−53 是分式方程的解．
4. A【解析】∵Rt△CDE 中，∠C=90∘，∠E=30∘，
∴∠BDF=∠C+∠E=90∘+30∘=120∘，
∵△BDF 中，∠B=45∘，∠BDF=120∘，
∴∠BFD=180∘−45∘−120∘=15∘．
故选：A．
5. C
【解析】A错误，如等腰梯形即为一组对边平行，另一组对边相等的四边形，却不是平行四边形；
B错误，由矩形的性质可知矩形的对角线互相平分且相等；
C正确，由菱形的性质可知菱形的对角线互相垂直且平分；
D错误，由正方形的性质及判定可知，对角线互相垂直，平分，且相等的四边形是正方形；
故选：C．
6. D【解析】∵ 在一次函数 y=kx+2 中，y 随 x 的增大而增大，
∴k>0，
∵2>0，
∴ 此函数的图象经过一、二、三象限，不经过第四象限．
7. C【解析】∵Rt△ABC 绕直角顶点 C 顺时针旋转 90∘ 得到 △AʹBʹC，
∴AC=AʹC，
∴△ACAʹ 是等腰直角三角形，
∴∠CAʹA=45∘，∠CAʹBʹ=20∘=∠BAC，
∴∠BAAʹ=180∘−70∘−45∘=65∘．
8. D【解析】∵AD∥BC，
∴△AOD∽△COB，
∴ADBC=AOCO=14，
∴S△AODS△BOC=ADBC2=116，
∴S△BOC=16，
∵S△AODS△COD=AOCO，S△AODS△AOB=AOCO，
∴S△COD=S△AOB=4，
∴ 梯形 ABCD 的面积为：4+4+16+1=25，
故选：D．
9. A【解析】A、当 a>0 时，
∵ 点 Mx0,y0 ，在 x 轴下方，
∴x1 ∴x0−x1>0，x0−x2<0，
∴ax0−x1x0−x2<0；
当 a<0 时，若点 M 在对称轴的左侧，则 x0 ∴x0−x1<0，x0−x2<0，
∴ax0−x1x0−x2<0；
综上所述，ax0−x1x0−x2<0，故本选项正确；
B、 a 的符号不能确定，故本选项错误；
C、 ∵ 函数图象与 x 轴有两个交点，∴Δ>0，故本选项错误；
D、 x1，x0，x2 的大小无法确定，故本选项错误．
故选：A．
10. C
【解析】【分析】根据余角的性质得到∠BAE=∠ADB，等量代换得到∠BAE=∠CAD，故①正确；根据三角函数的定义得到tan∠DBC=CDBC=12，于是得到∠DBC≠30∘，故②错误；由勾股定理得到BD=BC2+CD2=25，根据相似三角形的性质得到AE=455；故③正确；根据角平分线的定义得到∠BCF=45∘，求得∠ACF=45∘−∠ACB，推出∠EAC=2∠ACF，根据外角的性质得到∠EAC=∠ACF+∠F，得到∠ACF=∠F，根据等腰三角形的判定得到AF=AC，于是得到AF=25，故④正确．
【解析】解：在矩形ABCD中，∵∠BAD=90∘，
∵AE⊥BD，
∴∠AED=90∘，
∴∠ADE+∠DAE=∠DAE+∠BAE=90∘，
∴∠BAE=∠ADB，
∵∠CAD=∠ADB，
∴∠BAE=∠CAD，故①正确；
∵BC=4，CD=2，
∴tan∠DBC=CDBC=12，
∴∠DBC≠30∘，故②错误；
∵BD=BC2+CD2=25，
∵AB=CD=2，AD=BC=4，
∵△ABE∽△DBA，
∴AEAD=ABBD，
即AE4=225，
∴AE=455；故③正确；
∵CF平分∠BCD，
∴∠BCF=45∘，
∴∠ACF=45∘−∠ACB，
∵AD∥BC，
∴∠DAC=∠BAE=∠ACB，
∴∠EAC=90∘−2∠ACB，
∴∠EAC=2∠ACF，
∵∠EAC=∠ACF+∠F，
∴∠ACF=∠F，
∴AF=AC，
∵AC=BD=25，
∴AF=25，故④正确；
故选：C．
【点评】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，三角形的外角的性质，角平分线的定义，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
第二部分
11. 2xx−2
【解析】2x2−4x=2xx−2．故答案为：2xx−2．
12. 4
【解析】∵ 四边形 ABCD 是菱形，
∴DO=OB，
∵E 是 BC 的中点，
∴OE=12AB，
∵AB=8,
∴OE=4．
13. m>14
【解析】根据方程没有实数根，得到 Δ=b2−4ac=1−4m<0，
解得：m>14．
14. 15π
【解析】根据三视图得到圆锥的底面圆的直径为 6 cm，
即底面圆的半径 3 cm，圆锥的高为 4 cm，
所以圆锥的母线长 =32+42=5cm，
所以这个圆锥的侧面积 =12×2π×3×5=15πcm2．
15. 40%
【解析】设售价为 x，进价为 a．根据题意有 x−aa=47%，当售价没变，x−a−5%a1+5%a=40%．
16. 1+132 或 −1+132
【解析】① 如图 1，延长 BC，作 PD⊥BC，交点为 D，延长 CA，作 PE⊥CA 于点 E，
∵∠PDC=∠ACD=∠PEC=90∘，
∴ 四边形 CDPE 是矩形，
∴CD=PE，PD=EC，
∵ 在 △ABC 中，∠ACB=90∘，AC=2，∠B=30∘．
∴AB=2AC=4，
∵CP∥AB，
∴∠PCD=∠B=30∘，∠DPC=60∘，
∴CD=tan∠DPC⋅PD=3PD，
设 PD=EC=m，
在直角 △AEP 中，AE2+EP2=AP2，
∴m−22+3m2=42，
解得 m=1+132，
∴PD=1+132．
② 如图 2，作 PD⊥BC 于 D，PE⊥AC，交 AC 延长线于 E，
∵ 在 △ABC 中，∠ACB=90∘，AC=2，∠B=30∘．
∴∠BAC=60∘，B=2AC=4，
∵CP∥AB，
∴∠PCE=∠BAC=60∘，
∴ 在直角 △PEC 中，PE=tan60∘⋅CE，
同理：四边形 CDPE 是矩形，
∴CD=PE，PD=EC，
设 PD=EC=m，
在直角 △AEP 中，AE2+EP2=AP2，
∴m+22+3m2=42，
解得 m=−1+132．
∴PD=−1+132，
故点 P 到 BC 所在直线的距离是 1+132 或 −1+132．
第三部分
17. （1） T=x+1−1x+1⋅x+1x−1x=x−1．
（2） 由 x2−x−2=0，得到 x−2x+1=0，
解得：x=2 或 x=−1（舍去），
则当 x=2 时，T=2−1=1．
18. 解不等式
2x+2>3x,
得：
x<4,
解不等式
3x−12≥−2,
得：
x≥−1,∴
不等式组的解集为
−1≤x<4,
将解集表示在数轴上如下：
19. ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∴∠ODE=∠OBF，
∵AE=CF，
∴DE=BF，且 ∠DOE=∠BOF，∠ODE=∠OBF ，
∴△DOE≌△BOFAAS，
∴OE=OF．
20. （1） 2；6；
【解析】∵ 甲的平均数是 8，
∴ 甲的方差是：1109−82+2×10−82+4×8−82+2×7−82+5−82
=2;
把丙运动员的射靶成绩从小到大排列为：3，4，5，5，6，6，7，7，8，9，则中位数是 6+62=6；
故答案为：2，6；
（2） 甲的方差是：1109−82+2×10−82+4×8−82+2×7−82+5−82
=2;
∴S甲2 ∴ 甲运动员的成绩最稳定；
（3） 根据题意画图如下：
∵ 共有 6 种情况数，甲、乙相邻出场的有 4 种情况，
∴ 甲、乙相邻出场的概率是 46=23．
21. （1） 把点 A1,a 代入一次函数 y=−x+4，
得：a=−1+4，解得：a=3，
∴ 点 A 的坐标为 1,3．
把点 A1,3 代入反比例函数 y=kx，
得：3=k，
∴ 反比例函数的表达式 y=3x，
联立两个函数关系式成方程组得：y=−x+4,y=3x,
解得：x=1,y=3, 或 x=3,y=1,
∴ 点 B 的坐标为 3,1；
（2） 作点 B 作关于 x 轴的对称点 D，交 x 轴于点 C，连接 AD，交 x 轴于点 P，此时 PA+PB 的值最小，连接 PB，如图所示．
∵ 点 B，D 关于 x 轴对称，点 B 的坐标为 3,1，
∴ 点 D 的坐标为 3,−1．
设直线 AD 的解析式为 y=mx+n，
把 A，D 两点代入得：m+n=3,3m+n=−1,
解得：m=−2,n=5,
∴ 直线 AD 的解析式为 y=−2x+5．
令 y=−2x+5 中 y=0，则 −2x+5=0，
解得：x=52，
∴ 点 P 的坐标为 52,0．
S△PAB=S△ABD−S△PBD=12BD⋅xB−xA−12BD⋅xB−xP=12×1−−1×3−1−12×1−−1×3−52=32.
22. 如图，过点 C 作 CH⊥AD，垂足为 H，
设 CH=x km，
在 Rt△ACH 中，∠A=37∘，
∵tan37∘=CHAH，
∴AH=CHtan37∘=xtan37∘．
在 Rt△CEH 中，∠CEH=45∘，
∵tan45∘=CHEH，
∴EH=CHtan45∘=x．
∵CH⊥AD，BD⊥AD，
∴∠AHC=∠ADB=90∘．
∴HC∥DB．
∴AHHD=ACCB．
又 C 为 AB 的中点，
∴AC=CB．
∴AH=HD．
∴xtan37∘=x+5．
∴x=5×tan37∘1−tan37∘≈5×0.751−0.75=15．
∴AE=AH+HE≈15tan37∘+15≈35km．
因此，E 处距离港口 A 大约 35 km．
23. （1） 如图，⊙P 即为所求．
（2） 在 Rt△ABC 中，
∵AB=4，AC=6，
∴BC=AC2−AB2=25，
∵PA 平分 ∠BAC，PB⊥BA，PQ⊥AC，
∴PB=PQ，设 PB=PQ=r，
∵S△ABC=S△ABP+S△ACP，
∴12×4×25=12×4×r+12×6×r，
∴r=455．
（3） ∵∠ABP=∠AQP=90∘，AP=AP，PB=PQ，
∴Rt△APB≌△Rt△APQHL，
∴AB=AQ，
∵PB=PQ，
∴PA 垂直平分线段 BQ，
∴∠CBQ+∠ABQ=90∘，∠BAP+∠APB=90∘，
∴∠CBQ=∠BAP，
∴cs∠CBQ=cs∠BAP=ABAP=442+4552=4305．
24. （1） B0,3，A3,0，F1,4；
【解析】y=−x2+2x+3, ⋯⋯①
令 y=0，解得：x=3或−1，
令 x=0，则 y=3，故点 B0,3，
同理点 F1,4；
（2） 连接 AB，过点 F 作直线 m 平行于直线 AB 交抛物线于点 Q，在 BA 下方作直线 n，使直线 m，n 与直线 AB 等距离，
过点 F 作 x 轴的垂线交 AB 于点 H 、交直线 n 与点 Fʹ，直线 n 与抛物线交于点 Qʹ，Qʺ，
直线 BA 的表达式为：y=−x+3，
则直线 m 的表达式为：y=−x+b，将点 F 坐标代入上式并解得：
直线 m 的表达式为：y=−x+5, ⋯⋯②
联立 ①② 并解得：x=1或2（舍去 1），
故点 Q2,3；
则点 H1,2，则 FH=4−2=2，
故直线 n 的表达式为：y=−x+3−2=−x+1, ⋯⋯③
联立 ①③ 并解得：x=3±172，
故点 Q 坐标为 3+172,−1−172 或 3−172,−1+172，
综上，点 Q2,3 或 3+172,−1−172 或 3−172,−1+172；
（3） 过点 C 作 CH⊥MB 于点 H，
设：OM=a，则 MB=a2+9，CM=a2+1，
S△BCM=12×BC×OM=12×CH×MB，则 CH=BC×OMMB=2a2+9，sin∠BMC=CHCM=2a2+9a2+1=1m，
解得：a=±4m2−10+4m2−20m+9，
即点 M4m2−10+4m2−20m+9,0 或 −4m2−10+4m2−20m+9,0．
25. （1） ∵EF⊥AB，EG⊥OC，
∴∠OGH=∠EFH=90∘，
又 ∵∠OHG=∠EHF（公共角），
∴△OGH∽△EFH，
∴OHEH=HGHF，
即：HO⋅HF=HG⋅HE．
（2） 延长 CD，EG，EF 交于点 P，N，M，连接 MN，
由垂径定理得：CD=DP，EG=NG，EF=MF，
∴FG 是 △EMN 的中位线，
∴FG=12MN，
由（1）得 ∠AOC=∠NEM，
∴MN=CP，
∴FG=CD．