2019年广州市荔湾区中考数学一模试卷

这是一份2019年广州市荔湾区中考数学一模试卷，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共10小题；共50分）
1. aa≠0 的相反数是
A. aB. −aC. 1aD. ∣a∣

2. 将如图所示的图形绕中心按逆时针方向旋转 120∘ 后可得到的图形是
A. B.
C. D.

3. 北京气象部门测得冬季某周内七天的气温如下：3，5，5，4，6，5，7（单位：∘C），则这组数据的平均数和众数分别是
A. 6，5B. 5.5，5C. 5，5D. 5，4

4. 下列运算正确的是
A. 3a2−a2=3B. a8÷a4=a2
C. a+32=a2+9D. −3a32=9a6

5. 如图，在 △ABC 中，AC=AD=DB，∠C=70∘，则 ∠CAB 的度数为
A. 75∘B. 70∘C. 40∘D. 35∘

6. 如图，数轴上表示某不等式组的解集，则这个不等式组可能是
A. x+2>0,x−1>0B. x+2>0,x−1<0C. x+2<0,x−1>0D. x+2<0,x−1<0

7. 下列命题是真命题的是
A. 一元二次方程一定有两个实数根
B. 对于反比例函数 y=2x，y 随 x 的增大而减小
C. 有一个角是直角的四边形是矩形
D. 对角线互相平分的四边形是平行四边形

8. 在同一直角坐标系中，若正比例函数 y=k1x 的图象与反比例函数 y=k2x 的图象有公共点，则
A. k1+k2<0B. k1+k2>0C. k1k2<0D. k1k2>0

9. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为
A. 3B. 33C. 32D. 62

10. 二次函数 y=x2+bx 的对称轴为直线 x=2，若关于 x 的一元二次方程 x2+bx−t=0（t 为实数）在 −1A. 0
二、填空题（共6小题；共30分）
11. 如图，直线 a，b 被直线 c 所截，且 a∥b．若 ∠1=38∘，则 ∠2= ∘．

12. 分解因式：4a2b−b= ．

13. 已知点 P 在线段 AB 的垂直平分线上，PA=4 cm，则 PB= cm．

14. 一扇形面积是 3π，半径为 3，则该扇形圆心角度数是 ．

15. 如图，在 4×4 的正方形网格图中有 △ABC，则 ∠ABC 的余弦值为 ．

16. 如图，AB 为半圆 O 的直径，AD，BC 分别切 ⊙O 于 A，B 两点，CD 切 ⊙O 于点 E，连接 OD，OC，下列结论：①∠DOC=90∘，②AD+BC=AB，③S梯形ABCD=CD⋅OA，④BO2⋅S△AOD=BC2⋅S△BOC，其中正确的有 （填序号）．

三、解答题（共9小题；共117分）
17. 计算：
（1）8+∣1−2∣+13−2−π−30；
（2）4sin45∘+2cs60∘−3tan30∘．

18. 如图，在菱形 ABCD 中，M，N 分别为 BC，CD 的中点．求证：AM=AN．

19. 已知 A=x2−1x2−2x+1−1x−1÷x+1x−1．
（1）化简 A；
（2）若 x2−2x−3=0，求 A 的值．

20. 为了解本校学生平均每天的课外学习时间情况，学校随机抽取部分学生进行问卷调查，并将调查结果分为A，B，C，D四个等级，设学习时间为 t （小时）：
A： t<1 ，B： 1≤t<1.5 ，C： 1.5≤t<2 ，D： t≥2 ，
根据调查结果绘制了如图所示的两副不完整的统计图．请你根据图中信息解答下列问题：
（1）本次抽样调查共抽取了 名学生，请将条形统计图补充完整；
（2）求表示B等级的扇形圆心角 α 的度数；
（3）在此次问卷调查中，甲班有 2 人平均每天课外学习时间超过 2 小时，乙班有 3 人平均每天课外学习时间超过 2 小时，若从这 5 人中任选 2 人去参加座谈，请用列表或画树状图的方法求选出的 2 人中至少有 1 人来自甲班的概率．

21. 如图，在平面直角坐标系中，四边形 ABCD 为正方形，点 A 的坐标为 (0,3) ，点 B 的坐标为 (0,−4) ，反比例函数 y=kx(k≠0) 的图象经过点 C ．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）点 P 是反比例函数在第二象限的图象上的一点，若 △PBC 的面积等于正方形 ABCD 的面积，求点 P 的坐标．

22. 某商店销售一种旅游纪念品，第一周的营业额为 200 元，第二周该商店对纪念品打 8 折销售，结果销售量增加 3 件，营业额增加了 40% ．
（1）求该商店第二周的营业额；
（2）求第一周该种纪念品每件的销售价格．

23. 已知，如图， △ABC 中， ∠C=90∘ ， E 为 BC 边中点．
（1）尺规作图：以 AC 为直径，作 ⊙O ，交 AB 于点 D （保留作图痕迹，不需写作法）．
（2）连接 DE ，求证： DE 为 ⊙O 的切线；
（3）若 AC=5 ， DE=158 ，求 BD 的长．

24. 如图 1 、图 2，△ABC 中，BF，CE 分别为 AC，AB 边上的中线，BF⊥CE 于点 P．
（1）如图 1，当 BC=62，∠PCB=45∘ 时，PE= ，AB= ；
（2）如图 2，猜想 AB2，AC2，BC2 三者之间的数量关系，并给予证明；
（3）如图 3，平行四边形 ABCD 中，点 M，N 分别在 AD，BC 上，AD=3AM，BC=3BN，连接 AN，BM，CM，AN 与 BM 交于点 G，若 BM⊥CM 于点 M，AB=4，AD=36，求 AN 的长．

25. 如图，已知抛物线 y=ax−22+c 与 x 轴从左到右依次交于 A，B 两点，与 y 轴交于点 C，其中点 B 的坐标为 3,0，点 C 的坐标为 0,−3，连接 AC，BC．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若点 P 是该抛物线的对称轴上的一个动点，连接 PA，PB，PC，设点 P 的纵坐标为 h，试探究：
①当 h 为何值时，PA−PC 的值最大?并求出这个最大值；
②在 P 点的运动过程中，∠APB 能否与 ∠ACB 相等?若能，请求出 P 点的坐标；若不能，请说明理由．
答案
第一部分
1. B【解析】a 的相反数为 −a．
2. B【解析】∵ 图形绕其中心按逆时针方向旋转 120∘，
∴ 旋转后可得到图形是：阴影部分的长边转到下面水平方向．
3. C【解析】这组数据的平均数是 3+5+5+4+6+5+7÷7=5∘C；
∵5 出现了 3 次，出现的次数最多，
∴ 这组数据的众数是 5．
4. D【解析】A、 3a2−a2=2a2，故此选项错误；
B、 a8÷a4=a4，故此选项错误；
C、 a+32=a2+6a+9，故此选项错误；
D、 −3a32=9a6，正确．
5. A
【解析】∵AC=AD=DB，
∴∠C=∠ADC=70∘，∠B=∠DAB，
∴∠CAD=180∘−70∘−70∘=40∘，
∵∠ADC=∠B+∠DAB，
∴∠DAB=∠B=35∘，
∴∠CAB=∠CAD+∠DAB=75∘．
6. B【解析】由数轴知不等式组的解集为 −20,x−1<0 的解集为 −27. D【解析】A、一元二次方程也可能没有实数根，故错误，是假命题；
B、对于反比例函数 y=2x，在每一个象限内 y 随 x 的增大而减小，故错误，是假命题；
C、有一个角是直角的平行四边形是矩形，故错误，是假命题；
D、对角线互相平分的四边形是平行四边形，正确，是真命题，
故选：D．
8. D【解析】∵ 正比例函数 y=k1x 的图象与反比例函数 y=k2x 的图象有公共点，
∴k1，k2 同号，
∴k1k2>0．
9. C【解析】由图可得，该三棱柱的底面积为 12×2×2=2，高为 3，
∴ 该几何体的体积为 2×3＝32，故选：C．
10. B
【解析】∵ 对称轴为直线 x=2，
∴b=−4，
∴y=x2−4x，
关于 x 的一元二次方程 x2+bx−t=0 的解可以看成二次函数 y=x2−4x 与直线 y=t 的交点，
∵−1 ∴ 二次函数 y 的取值为 −4≤y<5，
∴−4≤t<5．
第二部分
11. 142
【解析】∵∠1=38∘，
∴∠3=180∘−∠1=180∘−38∘=142∘，
∵a∥b，
∴∠2=∠3=142∘．
故答案为：142．
12. b2a+12a−1
【解析】原式=b4a2−1=b2a+12a−1．
13. 4
【解析】∵ 点 P 在线段 AB 的垂直平分线上，
∴ PB=PA，
∵ PA=4 cm，
∴ PB=4 cm．
故答案为 4 cm．
14. 120∘
【解析】设扇形圆心角的度数为 n∘，
∴3π=nπ×32360，
∴n=120．
即扇形圆心角度数为 120∘．
故答案为 120∘．
15. 255
【解析】设小正方形的边长为 1，
∵AC=22+12=5，BC=32+42=5，AB=22+42=25，
∵AB2+AC2=252+52=25，BC2=52=25，
∴AB2+AC2=BC2，
∴∠CAB=90∘，
∴cs∠ABC=ABBC=255．
16. ①③
【解析】连接 OE，如图所示：
∵AD 与圆 O 相切，DC 与圆 O 相切，BC 与圆 O 相切，
∴∠DAO=∠DEO=∠OBC=90∘，
∴DA=DE，CE=CB，AD∥BC，
在 Rt△ADO 和 Rt△EDO 中，
OD=OD,DA=DE,
∴Rt△ADO≌Rt△EDOHL，
∴∠AOD=∠EOD，
同理 Rt△CEO≌Rt△CBO，
∴∠EOC=∠BOC，
又 ∠AOD+∠DOE+∠EOC+∠COB=180∘，
∴2∠DOE+∠EOC=180∘，
即 ∠DOC=90∘，选项 ① 正确；
∵DA，DE 为圆 O 的切线，
∴AD=ED，∠AOD=∠EOD，
∵CE，CB 为圆 O 的切线，
∴CE=CB，∠EOC=∠BOC，
∴CD=DE+EC=AD+BC，选项 ② 错误；
S梯形ABCD=12AB⋅AD+BC=12AB⋅CD=OA⋅CD，选项 ③ 正确；
∵∠AOD+∠COB=∠AOD+∠ADO=90∘，∠A=∠B=90∘，
∴△AOD∽△BCO，
∴S△AODS△BOC=AO2BC2=OB2BC2，
∴S△AOD⋅BC2=S△BOC⋅OB2，选项 ④ 错误．
第三部分
17. （1） 8+∣1−2∣+13−2−π−30=22+2−1+9−1=32+7
（2） 4sin45∘+2cs60∘−3tan30∘=4×22+2×12−3×33=22+1−1=22
18. ∵ 四边形 ABCD 是菱形，
∴AB=BC=CD=AD，∠B=∠D．
∵M，N 分别是 BC，CD 的中点，
∴BM=12BC，DN=12CD，
∴BM=DN．
在 △ABM 和 △ADN 中，
AB=AD,∠B=∠D,BM=DN.
∴△ABM≌△ADN（SAS）
∴AM=AN．
19. （1） 原式=x+1x−1x−12−1x−1⋅x−1x+1=x+1x−1−1x−1⋅x−1x+1=xx−1⋅x−1x+1=xx+1.
（2） 由 x2−2x−3=0 得 x=3 或 x=−1，
∵x+1≠0，即 x≠−1，
∴x=3，
则 原式=34．
20. （1） 200 ，如图：
（2） ∵ B等级所占的比为： 30200×100%=15% ，
∴α=15%×360∘=54∘ ．
（3） 设甲班的 2 名同学分别用 A1 ， A2 表示，乙班 3 名同学分别用 B1 ， B2 ， B3 表示，随机选出两人参加座谈的树状图如下：
共有 20 种等可能结果，而选出 2 人中至少有 1 人来自甲班的有 14 种，
∴ 所求概率为： 1420=710 ．
21. （1） ∵ 点A的坐标为 (0,3) ，点 B 的坐标为 (0,−4) ，
∴AB=7 ，
∵ 四边形 ABCD 为正方形，
∴ 点 C 的坐标为 (7,−4) ，
代入 y=kx ，得 k=−28 ，
∴ 反比例函数的解析式为 y=−28x ．
（2） 设点 P 到 BC 的距离为 h ．
∵△PBC 的面积等于正方形 ABCD 的面积，
∴12×7×h=72 ，解得 h=14 ，
∵ 点 P 在第二象限， yP=h−4=10 ，
此时， xP=−2810=−145 ，
∴ 点 P 的坐标为 (−145,10) ．
22. （1） 200×1+40%=280 ．
答：该商店第二周的营业额为 280 元．
（2） 设该种纪念品第一周每件的销售价格为 x 元，
依题意，列方程得 2800.8x=200x+3 ，
解得 x=50 ，
经检验 x=50 是所列方程的解且符合题意．
答：该种纪念品第一周每件的销售价格是 50 元．
23. （1） 如图 1 ，
（2） 如图 2 ，连接 OD ， CD ，
∵AC 为直径，
∴∠ADC=90∘ ，
∵E 为 BC 边中点，
∴DE 为 Rt△BDC 斜边 BC 上的中线，
∴DE=EC=BE ，
∴∠1=∠2 ，
∵OC=OD ，
∴∠3=∠4 ，
∴∠ODE=∠2+∠4=∠1+∠3=∠ACB=90∘ ，
∴OD⊥DE ，
∴DE 为 ⊙O 的切线．
（3） ∵E 为 BC 边中点，
∴BC=2DE=154 ，
∵AC=5 ，
∴AB=254 ，
∵∠DBC=∠CBA ，
∴Rt△BDC∽Rt△BCA ，
∴BDBC=BCAB ，即 BD154=154254 ，
∴BD=94 ．
24. （1） 3；65
【解析】如图 1，
∵BF⊥CE，
∴∠BPC=90∘，
∵∠PCB=45∘，
∴△BPC 是等腰直角三角形，
∵BC=62，
∴PC=BP=6，
∵BF，CE 分别为 AC，AB 边上的中线，
∴EF 是 △ABC 的中位线，
∴EF∥BC，EF=12BC，
∴△EPF∽△CPB，
∴EPPC=EFBC=12，
∴EP6=12，
∴EP=3，
由勾股定理得：BE=BP2+EP2=32+62=35，
∴AB=2BE=65．
（2） 猜想：AB2+AC2=5BC2．
证明：
∵BF，CE 是 △ABC 的中线，
∴EF 是 △ABC 的中位线，
∴EF∥BC，EF=12BC，PEPC=PFPB=12，
设 PF=m，PE=n，则 PB=2m，PC=2n，
在 Rt△PBC 中，2m2+2n2=BC2, ⋯⋯①
在 Rt△PBE 中，n2+2m2=AB22, ⋯⋯②
在 Rt△PCF 中，m2+2n2=AC22, ⋯⋯③
由 ①，②，③ 得：AB2+AC2=5BC2．
（3） 法一：
在 △AGM 与 △NGB 中，
∠AGM=∠NGB,∠AMG=∠NBG,AM=NB,
∴△AGM≌△NGBAAS，
∴BG=MG，AG=NG，
∴BG 是 △ABN 的中线，
如图 3，取 AB 的中点 F，连接 NF，并延长交 DA 的延长线于 E，
同理，△AEF≌△BNF，
∴AE=BN，EM=2BN=NC，
∵EM∥NC，
∴ 四边 ENCM 是平行四边形，
∴EN∥CM，
∵BM⊥CM，
∴EN⊥BM，即 BG⊥FN，
∵NF，BG 都为 △ABN 的中线，
由（2）知，AB2+AN2=5BN2，
∵AB=4，BN=13AD=6，
∴42+AN2=5×6，
∴AN=14．
【解析】法二：
如图 4，作 BP⊥DA 延长线于点 P，CQ⊥AD 于点 Q，
在平行四边形 ABCD 中，AD=BC，
易知四边形 PBCQ 为矩形，
∴PQ=BC，
∴PA=QD，
依题意：AM=BN=6，MD=26，
设 PA=QD=x，PB=CQ=y，
∴PM=x+6，MQ=26−x，
∵BM⊥CM 于点 M，∠BMC=90∘，
∴∠BMP+∠CMQ=90∘，
又 ∠BMP+∠PBM=90∘，
∴∠PBM=∠CMQ，
又 ∵∠BPM=∠MQC=90∘，
∴△PBM∽△QMC，
∴PMQC=PBQM，即 x+6y=y26−x，
化简得：y2=−x2+6x+12, ⋯⋯①
作 AH⊥BC 于点 H，则 BH=PA=x，AH=y，
在 Rt△ABH 中，AH2=AB2−BH2，
∴y2=42−x2=16−x2, ⋯⋯②
由 ①② 得：−x2+6x+12=16−x2，
∴x=263，y2=403，
在 Rt△AHN 中，
AN=AH2+HN2=y2+6−x2=403+6−2632=14.
25. （1） 把 B3,0，C0,−3 代入 y=ax−22+c，
得：a+c=0,4a+c=−3, 解得：a=−1,c=1,
∴ 此抛物线的解析式为 y=−x−22+1，即 y=−x2+4x−3．
（2） ① ∵ 抛物线 y=−x2+4x−3 的对称轴为直线 x=2，
∴ 可设点 P2,h．
由三角形的三边关系可知，PA−PC ∴ 当 P，A，C 三点共线时，PA−PC 的值最大，为 AC 的长度，
∴ 延长 CA 交直线 x=2 于点 P，则点 P 为所求，如图 1．
∵ 点 B 的坐标为 3,0，对称轴为直线 x=2，
∴A1,0，
又 C0,−3，则有 OA=1，OC=3，
∴AC=OA2+OC2=10．
设直线 AC 的解析式为 y=kx+bk≠0，
则 k+b=0,b=−3, 解得 k=3,b=−3.
∴ 直线 AC 的解析式为 y=3x−3，
∴h=3×2−3=3，
∴ 当 h=3 时，PA−PC 的值最大，最大值为 10；
②如图 2，设直线 x=2 与 x 轴的交点为点 D，作 △ABC 的外接圆 ⊙E，⊙E 与直线 x=2 位于 x 轴下方部分的交点为 P1，P1 关于 x 轴的对称点为 P2，则 P1，P2 均为所求的点．
∵∠AP1B，∠ACB 都是弧 AB 所对的圆周角，
∴∠AP1B=∠ACB，且射线 DE 上的其它点 P 都不满足 ∠APB=∠ACB．
∵ 圆心 E 必在 AB 边的垂直平分线即直线 x=2 上．
∴ 点 E 的横坐标为 2．
又 ∵OB=OC=3，BC 边的垂直平分线即直线 y=−x．
∴ 圆心 E 也在直线 y=−x 上，
∴E2,−2．
在 Rt△ADE 中，DE=2，AD=12AB=12OB−OA=123−1=1，
由勾股定理得 EA=AD2+DE2=12+22=5，
∴EP1=EA=5，
∴DP1=DE+EP1=2+5，
∴P12,−2−5．
由对称性得 P22,2+5．
∴ 符合题意的点 P 的坐标为 P12,−2−5，P22,2+5．